SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 2 ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 2nd Lesson ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 2.2
ప్రశ్న 1.
క్రింది పటాలలో ‘x’ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
i) ఒక త్రిభుజంలోని బాహ్య కోణం, దాని అంతరాభి ముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం.
∴ ∠ACD = ∠B + ∠A
⇒ 123° = x + 56°
⇒ x = 123° – 56° = 67°
∴ x = 67°
ii) త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం = 180°
= ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒ 45° + 3x + 16° + 68° = 180°
⇒ 3x + 129° = 180°
⇒ 3x = 180 – 129 = 51°
∴ ∠x = 17°
iii) ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 25° + x + 30° = 180°
⇒ x + 55° = 180°
⇒ x = 180 – 55 = 125°
∴ x = 125°
iv) ΔXYZ లో \(\overline{\mathrm{XY}}=\overline{\mathrm{XZ}}\) కావున
∠Y = ∠Z అవుతుంది.
∴ 2x + 7° = 45°
⇒ 2x = 45 – 7 ⇒ 2x = 38
∴ x = 19°
v) ΔBOA నుండి
AB = AO ⇒ ∠B = ∠O = 3x + 10°
ΔCOD నుండి
OC = CD ⇒ ∠O = ∠D = y అనుకొనుము.
∴ ∠C + ∠O + ∠D = 180°
⇒ 2x + y + y = 180°
⇒ 2y = 180 – 2x
y = \(\frac{180-2 x}{2}\) = 90 – x
∴ ∠O = ∠D = 90 – x
కాని ∠BOA = ∠COD [∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం]
⇒ 3x + 10 = 90 – x
⇒ 3x + x = 90 – 10
⇒ 4x = 80
∴ x = 20°
ప్రశ్న 2.
రెండు సంఖ్యల భేదం 8. పెద్దసంఖ్యకు 2 కలిపిన ఫలితము చిన్న సంఖ్యకు 3 రెట్లు అవుతుంది. ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
పెద్ద సంఖ్య = x అనుకొనుము.
రెండు సంఖ్యల భేదం = 8
∴ చిన్న సంఖ్య = x – 8
పెద్ద సంఖ్యకు 2 కలిపిన ఫలితము చిన్న సంఖ్యకు 3 రెట్లు అవుతుంది.
x + 2 = 3(x – 8)
x + 2 = 3x – 24
3x – x = 2 + 24
2x = 26 ⇒ x = \(\frac {26}{2}\) = 13
∴ పెద్ద సంఖ్య = 13
చిన్న సంఖ్య = 13 – 8 = 5
ప్రశ్న 3.
మొత్తం 58, భేదం 28 అయ్యే రెండు సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
పెద్ద సంఖ్య = x అనుకొనుము.
రెండు సంఖ్యల మొత్తం 58
∴ చిన్న సంఖ్య = 58 – x
ఆ రెండు సంఖ్యల భేదం = 28
∴ x – (58 – x) = 28
x – 58 + x = 28
2x = 28 + 58 = 86 ⇒ x = \(\frac {86}{2}\) = 43
∴ ఒక సంఖ్య లేదా, పెద్ద సంఖ్య = 43
రెండవ సంఖ్య లేదా చిన్న సంఖ్య = 58 – 43 = 15
ప్రశ్న 4.
రెండు వరుస బేసిసంఖ్యల మొత్తం 56 అయిన వాటిని కనుగొనుము.
సాధన.
రెండు వరుస బేసిసంఖ్యలు 2x + 1, 2x + 3 అనుకొనుము.
∴ రెండు బేసిసంఖ్యల మొత్తం = 2x + 1 + 2x + 3 = 56
⇒ 4x + 4 = 56
4x = 56 – 4 = 52 ⇒ x = \(\frac {52}{4}\) = 13
∴ 2x + 1 = 2 × 13 + 1 = 26 + 1 = 27
2x + 3 = 2 × 13 + 3 = 26 + 3 = 29
∴ కావలసిన వరుస బేసిసంఖ్యలు = 27, 29.
ప్రశ్న 5.
మూడు వరుస యొక్క గుణకాల మొత్తం 777. ఆ గుణకాలను కనుగొనుము.
(సూచన : మూడు వరుస 7 యొక్క గుణకాలు ‘x’, ‘x + 7’, ‘x + 14)
సాధన.
7 యొక్క మూడు వరుస గుణకాలు
x, x + 7, x + 14
∴ x + x + 7 + x + 14 = 777
⇒ 3x + 21 = 777
⇒ 3x = 777 – 21
⇒ 3x = 756
∴ x = \(\frac {756}{3}\) = 252
x + 7 = 252 + 7 = 259
x + 14 = 252 + 14 = 266
∴ కావలసిన మూడు వరుస 7 యొక్క గుణకాలు 252, 259, 266.
ప్రశ్న 6.
ఒక మనిషి కాలినడకన 10 కి.మీ. ప్రయాణించిన అనంతరం కొంత దూరము రైలులో, మరికొంత దూరము బస్సులో ప్రయాణించాడు. బస్సులో ప్రయాణించిన దూరము రైలులో ప్రయాణించిన దూరమునకు రెట్టింపు. అతని మొత్తం ప్రయాణం 70 కి.మీ. అయిన అతను రైలులో ప్రయాణించిన దూరము ఎంత ?
సాధన.
కాలినడకన ప్రయాణించిన దూరం = 10 కి.మీ.
రైలులో ప్రయాణించిన దూరం = xకి.మీ. అనుకొనుము
బస్సులో ప్రయాణించిన దూరం = 2 × x = 2x కి.మీ.
∴ 10 + x + 2x = 70
⇒ 3x = 70 – 10
⇒ 3x = 60 ⇒ x = \(\frac {60}{3}\) = 20
∴ రైలులో ప్రయాణించిన దూరం = x = 20 కి.మీ.
ప్రశ్న 7.
వినయ్ ఒక పిజ్జా కొని దానిని మూడు ముక్కలు చేశాడు. వీటిని బరువు తూయగా మొదటిది రెండవదాని కంటే 7గ్రా. తక్కువగాను, మూడవ దానికంటే 4 గ్రా. ఎక్కువ గానూ వుంది. పిజ్జా యొక్క మొత్తం బరువు 300 గ్రా, అయిన ప్రతీ ముక్క బరువును కనుగొనుము.
(సూచన : మొదటి ముక్క బరువు ‘x’ గ్రా. అనుకొనిన పెద్ద దాని బరువు ‘x + 7’, చిన్నదాని బరువు ‘x – 4’ గ్రా.)
సాధన.
ఒక పిజ్జాను 3 ముక్కలు చేసిన
మొదటి ముక్క బరువు = x గ్రా. అనుకొనుము.
పెద్దముక్క బరువు = (x + 7) గ్రా.
చిన్నముక్క బరువు = (x – 4) గ్రా.
∴ x + (x + 7) + (x – 4) = 300
⇒ 3x + 3 = 300
⇒ 3x = 300 – 3 = 297
⇒ x = \(\frac {297}{3}\) = 99
∴ x = 99
x + 7 = 99 + 7 = 106
x – 4 = 99 – 4 = 95
∴ పిజ్జా యొక్క 3 ముక్కల బరువులు 95 గ్రా., 99 గ్రా., 106 గ్రా.
ప్రశ్న 8.
ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పొలము చుట్టుకొలత 400 మీటర్లు. దాని పొడవు, వెడల్పు కంటే 26మీ. ఎక్కువ. అయిన దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం వెడల్పు = x మీ.
పొడవు = (x + 26) మీ.
∴ దీ.చ. పొలం చుట్టుకొలత = 2(l + b) = 400
⇒ l + b = 200
⇒ x + 26 + x = 200
⇒ 2x = 200 – 26 = 174
⇒ x = \(\frac {174}{2}\) = 87
∴ దీ.చ. పొలం పొడవు = x + 26
= 87 + 26 = 113 మీ.
వెడల్పు = x = 87 మీ.
ప్రశ్న 9.
ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం యొక్క పొడవు, వెడల్పు యొక్క రెట్టింపు కంటే 8 మీ. తక్కువ. పొలము యొక్క చుట్టుకొలత 56 మీ. అయిన దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం వెడల్పు = xమీ. అనుకొనుము
∴ పొడవు = 2 × x – 8
= (2x – 8) మీ.
∴ దీ.చ. పొలం చుట్టుకొలత = 56 మీ.
∴ 2(l + b) = 56
⇒ 2(2x – 8 + x) = 56
∴ దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం వెడల్పు (x) = 12 మీ.
దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం పొడవు = 2x – 8
= 2 × 12 – 8
= 24 – 8
= 16 మీ.
ప్రశ్న 10.
ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాల కొలతలు సమానం. వీని కొలత మూడవ భుజం రెట్టింపు కంటే 5 మీ. తక్కువ. త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత 55 మీ. అయిన భుజాల కొలతలను కనుగొనుము.
సాధన.
త్రిభుజంలోని మూడవ భుజం కొలత = x మీ. అనుకొనుము.
∴ మిగిలిన రెండు సమాన భుజాల కొలతలు = 2 × x – 5
= (2x – 5) మీ.
త్రిభుజం చుట్టుకొలత = 55 మీ.
∴ (2x – 5) + (2x – 5) + x = 55
⇒ 5x – 10 = 55 ⇒ 5x = 65
⇒ x = \(\frac {65}{5}\)
∴ x = 13 మీ.
2x – 5 = 2 × 13 – 5 = 26 – 5 = 21 మీ.
∴ ఆ త్రిభుజ మూడు భుజాల కొలతలు = 13, 21, 21 (మీటర్లలో)
ప్రశ్న 11.
రెండు పూరక కోణాల భేదము 12° అయిన వానిని కనుగొనుము.
సాధన.
రెండు పూరక కోణాలలో ఒక కోణం = x అనుకొనుము.
రెండు పూరక కోణాల మొత్తం = 90°
∴ రెండవ కోణం = 90° – x
రెండు పూరక కోణాల భేదం = 12°
∴ x – (90° – x) = 12°
x – 90° + x = 12°
2x = 12° + 90° = 102°
∴ x = \(\frac{102^{\circ}}{2}\) = 51°
∴ ఒక కోణం = 51°
రెండవ కోణం = 90° – 51° = 39°
ప్రశ్న 12.
రాహుల్ మరియు లక్ష్మీల వయస్సుల నిష్పత్తి 5 : 7. నాలుగు సం॥ల తరువాత వారి వయస్సుల మొత్తము 56 సం॥లు. వారి ప్రస్తుత వయస్సులు ఎంత ?
సాధన.
రాహుల్ మరియు లక్ష్మిల వయస్సుల నిష్పత్తి = 5 : 7
వారి వయస్సులు 5x, 7x సం॥లు అనుకొనుము.
4 సం॥ల తరువాత రాహుల్ వయస్సు = 5x + 4
4 సం॥ల తరువాత లక్ష్మి వయస్సు = 7x + 4
లెక్క ప్రకారం
4 సం॥ల తరువాత వారి వయస్సుల మొత్తం = 56
⇒ (5x + 4) + (7x + 4) = 56
⇒ 12x + 8 = 56
⇒ 12x = 48
⇒ x = 4
∴ రాహుల్ వయస్సు = 5x = 5 × 4 = 20 సం॥లు
∴ లక్ష్మి వయస్సు = 7x = 7 × 4 = 28 సం॥లు
ప్రశ్న 13.
ఒక పరీక్షలో 180 బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు కలవు. ప్రతి సరియైన సమాధానమునకు 4 మార్కులు ఇవ్వబడును. సమాధానము వ్రాయని మరియు తప్పుగా సమాధానము వ్రాసిన ప్రతి ప్రశ్నకు ఒక మార్కు తగ్గించబడుతుంది. ఒక అభ్యర్థికి ఈ పరీక్షలో 450 మార్కులు వచ్చిన ఆ అభ్యర్థి ఎన్ని ప్రశ్నలకు సరియైన సమాధానములు వ్రాసినాడు ?
సాధన.
సరియైన సమాధానాలు వ్రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = x అనుకొనిన
తప్పు సమాధాన ప్రశ్నలు = 180 – x
ప్రతి సరియైన సమాధానమునకు 4 మార్కులు కనుక సరియైన సమాధానానికి వచ్చు మార్కులు = 4 × x = 4x
తప్పు సమాధానముకు తగ్గించే మార్కులు = (180 – x) × 1 = 180 – x
లెక్క ప్రకారం మొత్తం మార్కులు = 450
∴ 4x – (180 – x) = 450
⇒ 4x – 180 + X = 450
⇒ 5x = 450 + 180 ⇒ 5x = 630
∴ x = 126
∴ సరియైన సమాధానాలు వ్రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = 126
ప్రశ్న 14.
₹ 5 నోట్లు, ₹ 10 నోట్లు కలిపి మొత్తం 90 నోట్లు కలవు. వీని మొత్తం విలువ ₹ 500 అయిన ఏ రకమైన నోట్లు ఎన్ని కలవు ?
(సూచన : ₹ 5 యొక్క నోట్ల సంఖ్య ‘x’ అనుకొనిన ₹ 10 యొక్క నోట్ల సంఖ్య = 90 – x)
సాధన.
₹ 5 నోట్ల సంఖ్య = x
₹ 10 నోట్ల సంఖ్య = 90 – x అనుకొనుము.
5x + 10(90 – x) = 500
5x + 900 – 10x = 500
– 5x = – 400 ⇒ x = 80
∴ ₹ 5 నోట్ల సంఖ్య = 80
₹ 10 నోట్ల సంఖ్య = 90 – x = 90 – 80 = 10
ప్రశ్న 15.
ఒక వ్యక్తి పెన్నులు, పెన్సిళ్ళు కొనడానికి ₹ 564 ఖర్చు చేశాడు. ఒక్కొక్క పెన్ను ఖరీదు ₹ 7, పెన్సిల్ ఖరీదు ₹ 3, మరియు మొత్తము పెన్నులు, పెన్సిళ్ల సంఖ్య 108 అయిన అతను ఏ రకమైన వస్తువులను ఎన్నెన్ని కొన్నాడు?
సాధన.
పెన్నుల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
మొత్తం వస్తువుల సంఖ్య = 108
∴ పెన్సిళ్ళ సంఖ్య = 108 – x
పెన్నుల ఖరీదు = ₹ 7
∴ x పెన్నుల ఖరీదు = ₹7 × x = ₹7x
పెన్సిళ్ళ ఖరీదు = ₹ 3
∴ (108 – x) పెన్సిళ్ళ ఖరీదు = ₹ 3 (108 – x)
= ₹ (324 – 3x)
మొత్తం వస్తువులు కొనడానికి ఖర్చు చేసినది = ₹ 564
∴ 7x + (324 – 3x) = 564
⇒ 7x + 324 – 3x = 564
4x = 564 – 324 = 240 ⇒ x = \(\frac {240}{4}\) = 60
∴ పెన్నుల సంఖ్య = 60
ఈ పెన్సిళ్ళ సంఖ్య = 108 – 60 = 48
ప్రశ్న 16.
ఒక పాఠశాలలోని వాలీబాల్ కోర్టు యొక్క చుట్టుకొలత ను 177 అడుగులు. దీని పొడవు, వెడల్పుకు రెట్టింపు అయిన వాలీబాల్ కోర్టు యొక్క పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
వాలీబాల్ కోర్టు యొక్క వెడల్పు = x అడుగులు అనుకొనుము.
∴ పొడవు = 2 × x = 25 అడుగులు
కోర్టు చుట్టుకొలత = 177 అడుగులు
∴ 2(l + b) = 177
⇒ 2(2x + x) = 177
⇒ 2 × 3x = 177
∴ వాలీబాల్ కోర్టు వెడల్పు = x = 29.5 అడుగులు
పొడవు = 2x = 2 × 29.5 = 59 అడుగులు
ప్రశ్న 17.
ఒక పుస్తకము తెరచి వుంది. తెరిచిన ఆ రెండు పేజీలలో పేజీ నెంబర్ల మొత్తము 373 అయిన పేజీ నెంబర్లను కనుగొనుము.
(సూచన : తెరచిన పేజీల సంఖ్యలు x మరియు x + 1 అనుకొనండి)
సాధన.
తెరచిన పుస్తకంలోని మొదటి పేజీ యొక్క సంఖ్య = x
రెండవ పేజీ సంఖ్య = x + 1 అగును
∴ రెండు పేజీల సంఖ్యల మొత్తము = 373
⇒ x + x + 1 = 373
2x + 1 = 373
2x = 372
∴ x = 186
∴ x + 1 = 186 + 1 = 187
∴ ఆ వరుస పేజీల సంఖ్యలు = 186, 187.