Mahesh

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది అంకశ్రేఢులలో పేర్కొన్న పదాల మొత్తాలను ‘ కనుగొనుము.
(i) 2, 1, 12, ……… 10 పదాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 2, 7, 12, …….. 10 పదాలు.
a = 2; d = a₂ – a₁ = 7 – 2 = 5; n = 10
S_n = \(\frac{n}{2}\) (2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2 × 2 + (10 – 1) 5]
= 5 [4 + 45] = 5 × 49 = 245
∴ S₁₀ = 245.

(ii) – 37, – 33, – 29, ………….., 12 పదాలు
సాదన.
ఇచ్చిన A.P : – 37, – 33, – 29, …………, 12 పదాలు .
a = – 37; d = a₂ – a₁
= (- 33) – (- 37)
= – 33 + 37 = 4, n = 12
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [2 × (- 37) + (12 – 1)4]
= 6[- 74 + 11 × 4]
= 6[- 74 + 44] = 6 (- 30) = – 180
∴ S₁₂ = – 180.

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………… 100 పదాలు.
సాదన.
ఇచ్చిన A.P : 0.6, 1.7, 2.8, ….. 100 పదాలు.
a = 0.6, d = a₂ – a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100
S_n = \(\frac{n}{2}\) (2a + (n – 1)d]
S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\) [2 × 0.6 + (100 – 1) × 1.1]
= 50 [1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1 = 5505
∴ S₁₀₀ = 5505.

(iv) \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ………….., 11 పదాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P: \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ………….., 11 పదాలు.
a = \(\frac{1}{15}\);
d = \(\frac{1}{12}\) – \(\frac{1}{15}\)
= \(\frac{5-4}{60}=\frac{1}{60}\)
n = 11
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₁ = \(\frac{11}{2}\) [2 × \(\frac{1}{15}\) + (11 – 1) × \(\frac{1}{60}\)]

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{10}{60}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{1}{6}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{4+5}{30}\right]\)

= \(\frac{11}{2} \times \frac{9}{30}=\frac{33}{20}\)
∴ S₁₁ = \(\frac{33}{20}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాని మొత్తాలను కనుగొనుము.
(i) 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + ……….. + 84
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 7, 10\(\frac{1}{2}\), 14, ………. 84
∴ a = 7; d = a₂ – a₁ = 10\(\frac{1}{2}\) – 7 = 3\(\frac{1}{2}\)
d = 7\(\frac{1}{2}\); a_n = 84
a_n = a + (n – 1) d = 84
= 7 + (n – 1)(\(\frac{7}{2}\)) = 84
⇒ (n – 1) × \(\frac{7}{2}\) = 84 – 7
⇒ (n – 1) \(\frac{7}{2}\) = 77
⇒ n – 1 = 77 × \(\frac{7}{2}\)
⇒ n – 1 = 22
⇒ n = 22 + 1 = 23
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [7 + 84]
= \(\frac{23}{2}\) (91)
= \(\frac{2093}{2}\) = 1046 \(\frac{1}{2}\)
∴ S₂₃ = 1046\(\frac{1}{2}\)

(లేదా)

S_n = [2a + (n – 1)d]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [2(7) + (23 – 1) \(\frac{7}{2}\)]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [14 + 22 × \(\frac{7}{2}\)]
= \(\frac{23}{2}\) [14 + 77]
= \(\frac{23}{2}\) (91)
= \(\frac{2093}{2}\)
∴ S₂₃ = 1046 \(\frac{1}{2}\).

(ii) 34 + 32 + 30 + … + 10
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 34, 32, 30, ………, 10
a = 34; d = a₂ – a₁ = 32 – 34 = – 2,
a_n = 10
a_n = a + (n – 1) d = 10 :
⇒ 34 + (n – 1) (- 2) = 10
⇒ 34 – 2n + 2 = 10
⇒ – 2n = 10 – 36 = – 26
⇒ 2n = 26
n = \(\frac{26}{2}\) = 13
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [34 +10] = \(\frac{13}{2}\) × 44
∴ S₁₃ = 286.

(లేదా)

S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)]
= \(\frac{13}{2}\) [2(34) + (13 – 1) (- 2)]
= \(\frac{13}{2}\) [68 – 24)
= \(\frac{13}{2}\) × 44 = 286
∴ S₁₃ = 286.

(iii) – 5 + (- 8) + (- 11) + ……….. + (- 230)
సాధన.
ఇచ్చిన A.P:
(5) + (- 8) + (- 11) + ………….. + (- 230)
a = – 5,
d = a₂ – a₁ = (- 8) – (- 5). = – 8 + 5 = – 3,
a_n = – 230
a_n = a + (n – 1) d = – 230
(- 5) + (n – 1) × (- 3) = – 230
– 5 – 3n + 3 = – 230
– 3n = – 230 + 2
– 3n = – 228
⇒ 3n = 228
n = \(\frac{228}{3}\) = 76
S_n = \(\frac{n}{2}\) [(- 5) + (- 230)]
∴ S₁ = 35 × (- 235) = – 8930
(లేదా)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1]d]
S₇₆ = \(\frac{76}{2}\) [2(- 5) + 75(- 3)]
= 38 [- 10 – 225]
= 38 × (- 235)
∴ S₇₆ = – 8930.

ప్రశ్న 3.
ఒక అంకశ్రేణిలో
(i) a = 5, d = 3, a_n = 50 అయిన n మరియు S_n లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 5; d = 3; a_n = 50
a_n = a + (n – 1) 4 = 50
⇒ 5+ (n – 1) 3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50
⇒ 3n = 50 – 2 = 48
⇒ n = \(\frac{48}{3}\) = 16.
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [5 + 50] = 8 × 55
∴ S₁₆ = 440.

(ii) a = 7, a₁₃ = 35 అయిన d ని మరియు S₁₃ ను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 7, a_n = 35
a₁₃ = a + 12d = 35
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac{28}{12}\) = \(\frac{7}{3}\)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [7 + 35]
= \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21 = 273
∴ S₁₃ = 273.

(iii) a₁₂ = 37, d = 3 అయిన a ను మరియు S₁₂ ను కనుగొనుము.
సాధన.
a₁₂ = 37, d = 3
a₁₂ = a + 11d = 37
a + 11 (3) = 37
a + 33 = 37 ⇒ a = 37 – 33 = 4
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n ]
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [4 + 37] = 6 × 41 = 246
∴ S₁₂ = 246.

(iv) a₃ = 15, S₁₀ = 125 అయిన d మరియు a₁₀ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₃ = 15, S₁₀ = 125
a₃ = a + 2d = 15 …………. (1)
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2a + (10 – 1)d] = 125
= 2a + 9d = \(\frac{125}{2}\)
2a + 9d = 25 ……………….(2)

d = -1 ను (1) లో రాయగా,
a + 2(- 1) = 15
a = 15 + 2 = 17
a₁₀ = a + 9d = 17 + 9 (- 1)
= 17 – 9 = 8
∴ d = – 1 మరియు a₁₀ = 8.

(v) a = 2, d = 8, S_n = 90 అయిన n మరియు a_n లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 2; d = 8, S_n = 90
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] = 90
\(\frac{n}{2}\) [2(2) + (n – 1) 8] = 90
n [4 + 8n – 8] = 90 × 2 = 180
8n² – 4n – 180 = 0
4[2n² – n -45] = 0
2n² – n – 45 = 0
2n² – 10n + 9n – 45 = 0 (∵ 2 × – 45 = – 90)
2n [n – 5] + 9 [n – 5] = 0
(n – 5) (2n + 9) = 0
∴ n – 5 = 0 లేదా 2n + 9 = 0
పదాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు ఒక సహజసంఖ్య.
∴ n – 5 = 0 ⇒ n = 5
∴ a₅, = a + 4d = 2 + 4(8)
= 2 + 32 = 34
∴ n = 5 మరియు a₅ = 34.

(లేదా)

S₅ = \(\frac{5}{2}\) [2 + a₅] = 90 [∵ S_n = (a + a_n)]
= 2 + a₅ = 90 × \(\frac{2}{5}\) = 36
a₅ = 36 – 2 = 34 .

(vi) a_n = 4, d = 2, S_n = – 14, అయిన n మరియు a లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 4, d = 2, S_n = – 14
a_n = a + (n – 1) d = 4
= a + (n – 1) (2) = 4.
∴ a + 2n = 4 + 2 = 6
a = 6 – 2n, ………… (1)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = – 14
\(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) (2)] = – 14
\(\frac{n}{2}\) × 2[a + n – 1) = – 14
n [6 – 2n + n – 1] = – 14 [(1) నుండి]
n [5 – n] = – 14
5n – n² = – 14
n² – 5n = 14
⇒ n² – 5n – 14 = 0
n² – 7n + 2n – 14 = 0 (∵ 1 × (- 14) = – 14)
n (n – 7) + 2 (n – 7) = 0
(n – 7) (n + 2) = 0
పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడు ఒక సహజ సంఖ్య.
∴ n – 7 = 0
n = 7
n = 7 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a = 6 – 2 (7) = 6 – 14 = – 8
∴ n = 7, a = – 8.

(vii) l = 28, S = 144 మరియు పదాల సంఖ్య 9 అయిన a విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
l = a_n = 28, S = 144 మరియు n = 9.
[∵ A.P. లో చివరి పదాన్ని l తో సూచిస్తారు]
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n] = 144
\(\frac{9}{2}\) [a + 28] = 144
a + 28 = 144 × 2
a + 28 = 32
a = 32 – 28 = 4
∴ a = 4.

ప్రశ్న 4.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి, చివరి పదాలు వరుసగా 17 మరియు 350. సామాన్య భేదం 9 అయిన శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్యను, పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక అంకశ్రేఢిలో మొదటి పదం a = 17
చివరి పదం a_n = 350
సామాన్యభేదం d = 9
a_n = a + (n – 1) 4 = 350
17 + (n – 1) 9 = 350
17 + 9n – 9 = 350
9n + 8 = 350
9n = 350 – 8 = 342
n = \(\frac{342}{9}\) = 38
∴ n = 38.
ఇప్పుడు S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₃₈ = \(\frac{38}{2}\) [17 + 350] = 19 × 367
S₃₈= 6973
∴ పదాల సంఖ్య n = 38
38 పదాల మొత్తం S₃₈ = 6973.

ప్రశ్న 5.
ఒక అంకశ్రేణిలో 2వ, 3వ పదాలు వరుసగా 14 మరియు 18 అయిన 51 పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక అంకశ్రేణిలో
2వ పదం a₂ = a + 4 = 14 ………… (1)
3వ పదం a₃ = a + 2d = 18 …………..(2)
పదాల సంఖ్య = 51
d = a₂ – a₁ = 18 – 14 = 4
d ను (1) లో రాయగా
a + 4 = 14 = a = 14 – 4 = 10
a = 10, d = 4, n = 51 అయిన
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₅₁ = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1) × 4) |
= \(\frac{51}{2}\) [20 + 50 × 4]
= \(\frac{51}{2}\) × (20 + 200)
= \(\frac{51}{2}\) × 220
= 51 × 110 = 5610
∴ 51 పదాల మొత్తం S_n = 5610.

ప్రశ్న 6.
ఒక అంకశ్రేఢిలో మొదటి 7 పదాల మొత్తము 49 మరియు 17 పదాల మొత్తము 289 అయిన మొదటి n పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
S₇ = 49 మరియు S₁₇ = 289
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1)d] = 49 .
= \(\frac{7}{2}\) [2a + 6d] = 49
2a + 6d = 49 × \(\frac{2}{7}\) = 14
∴ 2a + 6d = 14 ………. (1)
అలాగే S₁₇ = \(\frac{17}{2}\) [2a + 16d] = 289
2a + 16d = 289 × \(\frac{2}{27}\) = 34
∴ 2a + 16d = 34 ………. (2)

d = 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2a + 6(2) = 14
2a = 14 – 12 = 2
∴ a = \(\frac{2}{2}\) = 1
a = 1, d = 2 అయిన S_n
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2 (1) + (n – 1) 2]
= \(\frac{n}{2}\) [2 + 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) × 2n
S_n = n²
[Shortcut:-
S_n = 49 = 7²
S_n = 289 = 17²
S_n = n²
∴ మొదటి n పదాల మొత్తం S_n = n².

ప్రశ్న 7.
a_n క్రింది విధంగా నిర్వచించబడితే a₁, a₂, ………., a_n, అంకశ్రేణి అవుతుందని చూపండి. మరియు మొదటి 15 పదాల మొతమును కనుగొనండి.
(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 – 5n
సాధన.
(i) a_n = 3 + 4n
a₁ = 3 + 4(1) = 7
a₂ = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11
a₃ = 3 + 4(3) = 3 + 12 = 15
a₄ = 3 + 4 (4) = 3 + 16 = 19
…………………………………………………………..
………………………………………………………….
a₁, a₂, a₃, …………… = 7, 11, 15, 19, ……………
d = a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4
d = a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
d = a₄ – a₃ = 19 – 15 = 4
అన్ని సందర్భాలలోను , సమానము. కావున a₁, a₂, a₃, a₄, ….., a_n అంకశ్రేణి అవుతుంది.
15 పదాల మొత్తం a = 7, d = 4, n = 15
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\) [2x 7 + (15 – 1) 4]
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]]
= \(\frac{15}{2}\) (14 + 14 × 4]
= \(\frac{15}{2}\) [70]
= 15 × 35 = 525
∴ 15 పదాల మొత్తం S₁₅ = 525.

(ii) a_n = 9 – 5n
సాధన.
a₁ = 9 – 5 × 1= 9 – 5 = 4
a₂ = 9 – 5 × 2 = 9 – 10 = – 1
a₃ = 9 – 5 × 3 = 9 – 15 = – 6
a₄ = 9 – 5 × 4 = 9-20 = – 11
………………………………..
a₁, a₂, a₃, a₄ ………….. = 4, – 1, – 6, – 11, ……………
d = a₂ – a₁ = – 1 – 4 = – 5
d = a₃ – a₂ = – 6 – (- 1) = – 6 + 1 = – 5
d = a₄ – a₃ = – 11 -(- 6) = – 11 + 6 = – 5
………………………………………………..
………………………………………………..
అన్ని సందర్భాలలోను d సమానము. కావున a₁, a₂, a₃, a₄, …………… a_n అంకశ్రేఢి అవుతుంది.
15 పదాల మొత్తం a = 4, d = – 5, n = 15
S₁₅ = 15 [2(4) + (15 – 1) (- 5)]
= 15 [8 + 14 (- 5)]
= \(\frac{15}{2}\) × – 62 = 15 × – 31 = – 465
∴ 15 పదాల మొత్తం S₁₅ = 465.

ప్రశ్న 8.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి n పదాల మొత్తము 4n – na అయిన మొదటి పదం ఎంత ? (S, విలువే మొదటి పదము అవుతుందని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి) మొదటి రెండు పదాల మొత్తం ఎంత ? రెండవ పదము ఎంత ? అదేవిధంగా 8వ పదమును, 10వ పదమును మరియు nవ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి : 2
ఒక అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం S_n = 4n – na
మొదటిపదం a₁ = S₁ = 4 (1) – (1)² = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4 (2) – (2)²
= 8 – 4 = 4
రెండవ పదం a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
మొదటి మూడు పదాల మొత్తం S₃ = 4 x (3) – (3)²
= 12 – 9 = 3
మూడవ పదం a₃ = S₃ – S₂ = 3 – 4 = – 1
మొదటి తొమ్మిది పదాల మొత్తం S₉ = 4(9) – 9²
= 36 – 81 = – 45
మొదటి పది పదాల మొత్తం S₁₀ = 4(10) – 10²
= 40 – 100 = – 60
పదవ పదము = a₁₀ = S₁₀ – S₉
= – 60 – (- 45)
= – 60 + 45 = – 15
(n – 1) పదాల మొత్తం S_{n – 1}
= 4 (n – 1) – (n – 1)²
= 4n – 4 – (n² – 2n + 1)
= 4n – 4 – n² + 2n -1
S_{n – 1} = 6n – n² – 5
n పదాల మొత్తం S_n = 4n – n²
∴ n వ పదం a_n = S_n – S_{n – 1}
= (4n – n²) – (6n – n² – 5) ..
= 4n -n² – 6n + n² + 5
a_n = 5 – 2n.

రెండవ పద్ధతి :
అంకశ్రేణి n పదాల మొత్తం S_n = 4n – n²
మొదటి పదం a₁ = S₁ = 4(1) – (1)2²
= 4 – 1 = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4(2) – (2)²
=8 – 4 = 4
రెండవ పదం a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
∴ సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = – 2
∴ మూడవపదం a₃ = a₂ + d = 1 + (- 2) = – 1
పదవపదం a₁₀ = a + 9d = 3 + 9 (- 2)
= 3 – 18 = – 15
n వ పదము a_n = a + (n- 1) d
= 3 + (n – 1) (- 2)
= 3 – 2n + 2
a_n = 5 – 2n

మూడవ పద్ధతి :
అంకశ్రేణిలో S_n = 4n – n²
nవ పదం a_n = S_n – S_{n – 1} అవుతుంది.
S_{n – 1} = 4 (n – 1) – (n – 1)
= 4n -4 – (n² – 2n + 1)
= 4n – 4 – n² + 2n – 1
S_{n – 1} = 6n – n² – 5
a_n = S_n – S_{n – 1}
= (4n – n²) – (6n – n² – 5)
= 4n – n² – 6n + n² + 5
a_n = 5 – 2n
∴ మొదటి పదం a₁ = 5 – 2(1) = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4(2) – 2²
= 8 – 4 = 4
a₂ = 5 – 2(2) = 5 – 4 = 1
a₃ = 5 – 2(3) = 5 – 6 = – 1
a_n = 5 – 2(10) = 5 – 20 = – 15
nవ పదం a_n = 5 – 2n.

ప్రశ్న 9.
6చే భాగించబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
6 చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా 6, 12, 18, 24, …….. 40 పదాలు .
ఈ జాబితా అంకశ్రేణిలో కలదు.
a = 6, d = a₂ – a₁ = 12 – 6 = 6, n = 40
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₄₀ = \(\frac{40}{2}\) [2(6) + (40 – 1) (6)]
= 20 [12 + 39 × 6]
= 20 [12 + 234] = 20 × 246
S₄₀ = 4920.
6చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల, మొత్తం S₄₀ = 4920.

ప్రశ్న 10.
ఒక పాఠశాలలో విద్యావిషయక సంబంధిత విషయాలలో అత్యున్నత ప్రతిభ కనపరిచిన వారికి మొత్తం 700 రూపాయలకు 7 బహుమతులు ఇవ్వాలని భావించారు. ప్రతి బహుమతి విలువ దాని ముందున్న దానికి ₹ 20 తక్కువ అయిన ప్రతి బహుమతి విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
బహుమతులను a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, ………………. అనుకొనుము.
ప్రతి బహుమతి దాని ముందున్న బహుమతికన్నా ₹ 20 తక్కువ.
కావున, a₁, a₂, a₃, a₄, ….., a₇ లు Sn A.P. లో ఉంటాయి.
∴ సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = – 20
(∵ a₁ కన్నా a₂, 20 తక్కువగా ఉంటుంది.)
లెక్క ప్రకారం బహుమతుల మొత్తం S₇ = 700 .
S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1) (- 20)] = 700
[2a + 6 (- 20)] = 700 × \(\frac{2}{7}\)
2a – 120 = 200
2a = 200 + 120 = 320
a = \(\frac{320}{2}\) = 160
∴ బహుమతుల విలువ a = a₁ = 160
a₂ = 160 – 20 = 140
a₃ = 140 – 20 = 120
a₄ = 120 – 20 = 100
a₅ = 100 – 20 = 80
a₆ = 80 – 20 = 60
a₇ = 60-20 = 40.

ప్రశ్న 11.
ఒక పాఠశాల ఆవరణలో పర్యావరణ పరిరక్షణకు విద్యార్థులు చెట్లు నాటాలని భావించారు. ప్రతి సెక్షను విద్యార్థులు వారు చదువుతున్న తరగతి సంఖ్యకు సమానమైన చెట్లను అనగా 1వ తరగతి చదువుచున్న ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు 1 చెట్టును, రెండవ తరగతి చదువుచున్న ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు 2 చెట్లను నాటాలని ఈ విధంగా 12వ తరగతి వరకూ చేయాలని నిర్ణయించుకున్నారు. అయితే ప్రతి తరగతిలో మూడు సెక్షన్లు ఉన్న మొత్తం నాటిన చెట్లు ఎన్ని?
సాధన.

మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటే చెట్ల సంఖ్య జాబితా 3, 6, 9, 12, ………….. 33, 36.
ఇది A.P లో కలదు.
12 తరగతులలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 3 + 6, + 9 +:12 + …. + 36
a = 3, 4 = 6 – 3 = 3, n = 12
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [3 + 36]
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a +1]].
= 6 × 39.
S₁₂ = 234
∴ ప్రతి తరగతిలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 234.

రెండవ పద్ధతి :
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన చెట్ల సంఖ్య జాబితా 1, 2, 3, 4, 5, 6, ………… 11. 12 ఇది A.P లో కలదు.
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 1 + 2 + 3 + ………….. + 11 + 12
a = 1, d = 1, n = 12 S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [1 + 12]
= 6 × 13 = 78 [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]]
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 78
ప్రతి తరగతిలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 78 × 3 = 234.

ప్రశ్న 12.
అర్ధ వృత్తాలచే ఒక సర్పిలాకారము తయారుచేయబడింది. పటంలో చూపిన విధంగా అర్ధవృత్తాల కేంద్రాలు A వద్ద ప్రారంభించబడి A, Bల మధ్య మారుతూ వున్నాయి. అనగా మొదటి అర్ధవృత్త కేంద్రము A, రెండవ అర్ధవృత్త కేంద్రము B, మూడవ అర్ధవృత్త కేంద్రము A …… మరియు అర్ధవృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 0.5 సెం.మీ., 1.0 సెం.మీ, 1.5 సెం.మీ, 20 సెం.మీ, … ఈ విధంగా మొత్తం 18 అర్ధవృత్తాలు వున్న సర్పిలం మొత్తం పొడవు ఎంత ? (x = 4) (సూచన : వరుస అర్ధవృత్తాల పొడవులు l₁, l₂, l₃, l₄ . . . మరియు వీని కేంద్రాలు వరుసగా A, B, A, B……..]

సాధన.
వరుస అర్ధవృత్తాల పొడవులు l₁, l₂, l₃, l₄, ……. మరియు వీటి కేంద్రాలు A, B, A, B
అర్ధవృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 0, 5 సెం.మీ., 1 సెం.మీ., 1, 5 సెం.మీ., 2 సెం.మీ…
l₁ = π(0.5) = 0.5π (∵ అర్ధవృత్త చాపం పొడవు l = πr)
l₂ = π(1) = π
l₃ = π(1.5) = 1.5π
l₄ = π(2) = 2π
……………………
…………………………
l₁, l₂, l₃, l₄, ……. లు A.P. లో కలవు.
13 అర్ధవృత్తాలు గల సర్పిలం మొత్తం పొడవు l₁, l₂, l₃, l₄, …………..l₁₃
0.5π + π + 1.5π + ……….. + 13 పదాలు ……… (1)
a = 0.5π, d = 0.57 మరియు n = 13
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [2(0.5π) + ( 13 – 1) (0.5π)]
= \(\frac{13}{2}\) [π + 6π] = 13 × 7π
= \(\frac{13}{2}\) × 7 × \(\frac{22}{7}\) = 13 × 11
S₁₃ = 143 సెం.మీ.
∴ 13 అర్ధవృత్తాలున్న సర్పిలం మొత్తం పొడవు = 143 సెం.మీ.

(లేదా)
(1) ⇒ π (0.5 + 1 + 1.5 + 2 + ……… + 13 పదాలు )
S₁₃ = π [\(\frac{13}{2}\) (2 (0.5) + (13 – 1) (0.5)]
= π [\(\frac{13}{2}\) (1 + 6)]
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{13}{2}\) × 7 = 11 × 13
S₁₃ = 143 సెం.మీ.

 

ప్రశ్న 13.
200 చెక్క మొద్దులను క్రింది పటంలో చూపిన విధంగా అమర్చారు. అన్నింటి కంటే క్రింద వున్న వరుసలో 20 చెక్క మొద్దులను, దానిపై 19 మొద్దులను, దాని పైన 18 మొద్దులను ….. అమర్చిన మొత్తం 200 మొద్దులను అమర్చుటకు ఎన్ని వరుసలు కావాలి ? అన్నింటికంటే పైన వున్న వరుసలో ఎన్ని చెక్క మొద్దులు కలవు ?

సాధన.
క్రింది నుండి ప్రతి వరుసలోను గల చెక్క మొద్దుల సంఖ్య జాబితా 20, 19, 18, 17, ……. ఇది A. P. లో కలదు.
a = 20, d = a₂ – a₁ = 19 – 20 = -1
మొత్తం చెక్క మొద్దుల సంఖ్య S_n = 200
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 200
\(\frac{n}{2}\) [2(20) + (n – 1) (- 1)] = 200
\(\frac{n}{2}\) [40 – n+1] = 200
\(\frac{n}{2}\) [41 – n] = 200
41n – n² = 400
⇒41n – n² – 400 = 0
⇒ n² – 41n + 400 = 0
⇒ n² – 25n – 16n + 400 = 0 ( 1 × 400 = 400)

⇒ n (n – 25) – 16 (n – 25) = 0.
⇒ (n – 25) (n – 16) = 0
∴ n – 25 = 0 లేదా n – 16 = 0
n = 25 లేదా n = 16
n = 25 అసాధ్యము. కావున n = 16
(20, 19, 18, ……. జాబితాలో 25వ పదం రుణసంఖ్య అవుతుంది.)
అనగా ’20, 19, 18, …… శ్రేణిలో 16 పదాలుంటాయి. కావున 200 మొద్దులను అమర్చుటకు 16 వరుసలు కావాలి.
పై వరుసలోని మొద్దుల సంఖ్య = a₁₆ = a + 15d = 20 + 15(- 1) = 20 – 15 = 5
∴ పై వరుసలోని మొద్దుల సంఖ్య = 5. – A.P. 10వ తరగతి జీ గణితశాస్త్రం

ప్రశ్న 14.
బంతి మరియు బకెట్ ఆటలో, ప్రారంభంలో ఒక బకెట్ దానికి 5మీ. దూరంలో ఒక బంతి ఉంచబడినవి. మొత్తం 10 బంతులలో మిగిలిన బంతులు ఒకదానికొకటి 3మీ. దూరంలో పటంలో చూపిన విధంగా అమర్చబడినవి. ఆటలో పాల్గొనే వ్యక్తి మొదట బకెట్ వద్ద నుంచి బయలుదేరి మొదటి బంతివద్దకు పోయి దానిని తీసుకొని వెనుకకు వచ్చి ‘బకెట్లో వేయాలి. తరువాత తిరిగి బకెట్ నుంచి బయలుదేరి రెండవ బంతి వద్దకు పోయి దానిని తీసుకొని వచ్చి బకెట్లో వేయాలి. ఈ విధంగా అన్ని బంతులను బకెట్లో వేయవలెనన్న ఆ వ్యక్తి పరిగెత్తవలసిన మొత్తం దూరం ఎంత ? (సూచన : మొదటి, రెండవ బంతులను తీసుకొని రావడానికి ఆట ఆడే వ్యక్తి పరిగెత్తవలసిన దూరము వరుసగా 2 × 5 + 2 × (5 + 3)]

సాధన.

ప్రతి బంతి తీసుకురావడానికి వ్యక్తి ప్రయాణించిన దూరాల జాబితా 10, 16, 22, 28, …………….. 10 పదాలు.
ఇది A.P. లో కలదు.
a = 10; 4 = 16 – 10 = 6, n = 10.
∴ వ్యక్తి పరుగెత్తిన మొత్తం దూరం 10 + 16 + 22 + 28 + ……….. + 10 పదాలు.
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2 × 10 + (10 – 1) × 6] = 5[20 + 54] = 5 × 74
S₁₀ = 370
∴ వ్యక్తి పరుగెత్తిన మొత్తం దూరం = 370 మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 1.
మొదటి పదము a, సామాన్య భేదము d, nవ పదము a, అయిన క్రింది పట్టికను పూరింపుము. – AS,, AS,,

సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింది వానిని కనుగొనుము.
(i) 10, 7, 4, …… అంకశ్రేణిలో 30వ పదము.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P. = 10, 7, 4, …………….
a₁ = 10;
d = a₂ – a₁ = 7 – 10 = – 3,
n= 30
a_n = a + (n – 1)
a₃₀ = 10 + (30 – 1) (- 3)
= 10 + 29 (- 3)
= 10 – 87 = – 77
∴ a₃₀ = – 77.

(ii) – 3, \(-\frac{1}{2}\), – 2, ………….. అంకశ్రేణిలో 11వ పదము.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P. = – 3, \(-\frac{1}{2}\), – 2, …………..
a = – 3; d = a₂ – a₁ = 3 – 3)
= \(-\frac{1}{2}\) + 3 = 2\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
n = 11
∴ a_n = a + (n – 1) d
a₁₁ = – 3 + (11 – 1) (\(\frac{5}{2}\))
= – 3 + 10(\(\frac{5}{2}\))
= – 3 + 25 = 22
∴ a₁₁ = 22.

ప్రశ్న 3.
క్రింది వానిని కనుగొనుము.
(i) a₁ = 2; a₃ = 26, అయిన a₂ ను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₁ = a = 2
a₃ = 26
a_n = a + (n – 1) d
a₃ = 2 + (3 – 1) 4
= 2d= 26 – 2 = 24
d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ a₂ = a + d = 2 + 12 = 14.

రెండవ పద్ధతి :
a₁, a₂, a₃ లు A.P. లో కలవు అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం a₁ = 2, a₃ = 26
∴ 2, a₂, 26 లు A.P. లో కలవు.
a₂ – 2 = 26 – a₂
∴ a₂ + a₂ = 26 + 2
2a₂ = 28
∴ a₂ = \(\frac{28}{2}\) = 14.

మూడవ పద్ధతి :
a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\)
2, a₂, 26 లు A.P. లో కలవు.
∴ a₂ = \(\frac{2+26}{2}\) = \(\frac{28}{2}\) = 14.

(ii) a₂ = 13; a₄ = 3 అయిన a₁, a₃ లను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₂ = a + d = 13 …….. (1)
a₄ = a + 3d = 3 …….. (2)
(1), (2) సమీకరణములు సాధించగా,

⇒ d = \(-\frac{10}{2}\) = – 5
a₁ = a₂ – d = 13 – (-5) = 13 + 5 = 18
a₃ = a₂ + d = 13 + (- 5) = 8
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

రెండవ పద్ధతి :
a₁, a₂, a₃, a₄ లు A.P. లో కలవు అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము a₂ = 13, a₄ = 3
∴ a₁, 13, a₃, 3 లు A.P. లో కలవు
∴ 13 – a₁ = a₃ – 13 ……. (1) మరియు
a₃ – 13 = 3 – a₃ ……….. (2)
(2) ⇒ 2a₃ = 16
a₃ = \(\frac{16}{2}\) = 8
a₃ = 8 ని (1) లో రాయగా,
13 – a₁ = 8 – 13
– a₁ = – 5 – 13 = – 18
∴ a₁ = 18
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

మూడవ పద్ధతి :
a₁, 13, a₃, 3 లు A.P. లో కలవు.
∴ 13, a₃, 3 లు A.P. లో మూడు వరుస పదాలు.
∴ a₃ = \(\frac{13+3}{2}=\frac{16}{2}\) = 8
[a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\))
∴ సామాన్య భేదం d = a₃ – a₂ = 8 – 13 = – 5
∴ a₁ = a₂ – d = 13 – (- 5) = 13 + 5 = 18.
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

(iii) a₁ = 5, a₄ = 91/2 అయిన a₂, a₃ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₁ = a = 5.
a_n = a + (n – 1) d
a₄ = 5 + 3d = 9\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{19}{2}\)
3d = \(\frac{19}{2}\) – 5 = \(\frac{19-10}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
∴ d = \(\frac{9}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{3}{2}\)
∴ a₂ = a + d
= 5 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)
a₃ = a₂ + d
= \(\frac{13}{2}\) + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{16}{2}\) = 8

(iv) a₁ = – 4; a₆ = 6, అయిన a₂, a₃, a₄, a₅ లను కనుగొనుము. .
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₁ = a = – 4
a₆ = a + 5d = 6
(- 4) + 5d = 6
⇒ 5d = 6 + 4 = 10
⇒ d = \(\frac{10}{5}\) = 2
∴ a₂ = – 4 + 2 = – 2
a₃ = – 2 + 2 = 0
a₄ = 0 + 2 = 2
a₅ = 2 + 2 = 4

రెండవ పద్దతి :
ఒక అంకశ్రేణిలో nవ పదం a_n, mవ పదం a_m అయిన సామాన్యభేదం
d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}\)
a₁ = – 4, a₆ = 6, n = 1; m = 6
d = \(\frac{6-(-4)}{6-1}=\frac{10}{5}\) = 2
∴ a₂ = a₁ + d = – 4 + 2 = – 2
a₃ = – 2 + 2 = 0
a₄ = 0 + 2 = 2
a₅ = 2 + 2 = 4.

(v) a₂ = 38; a₆ = – 22, అయిన a₁, a₃, a₄, a₅ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₂ = a + d = 38 ……………. (1)
a₆ = a + 5d = -22 …………… (2)
(2) – (1)

∴ a₁ = a₂ – d = 38 – (- 15) = 38 + 15 = 53
a₃ = a₂ + 4 = 38 + (-15) = 23
a₄ = 23 + (- 15) = 8
a₅ = 8 + (- 15) = – 7.

ప్రశ్న 4.
3, 8, 13, 18, … అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 78 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి : 3, 8, 13, 18, ……. 78 –
a = 3; d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5,
a_n = 78
a_n = a + (n – 1) 4 = 78 .
⇒ 3 + (n – 1) (5) = 78
⇒ 3 + 5n – 5 = 78
⇒ 5n – 2 = 78
⇒ 5n = 78 + 2 = 80
⇒ n = \(\frac{80}{5}\) = 16
∴ 16 వ పదము 78 అవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇవ్వబడిన అంకశ్రేఢులలోని పదాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
(i) 7, 13, 19, . . . , 205
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P : 7, 13, 19, …………, 205
a = 7; d = a₂ – a₁ = 13 – 7 = 6,
a_n = 205
a_n = a + (n – 1) d = 205
7 + (n – 1) 6 = 205
7 + 6n – 6 = 205
6n + 1 = 205
6n = 205 – 1 = 204
⇒ n = \(\frac{204}{6}\) = 34
ఇచ్చిన A.P లో 34 పదాలు ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి:
d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)
a₁ = 7, a_n = 1, a_m = 205 అనుకొనుము.
d = 13 – 7 = 6
6 = \(\frac{205-7}{n-1}\)
⇒ n – 1 = \(\frac{198}{6}\) = 33
∴ n = 33 + 1 = 34.

(ii) 18, 15\(\frac{1}{2}\), 13, ………, – 47
సాధన. మొదటి పద్ధతి : –
ఇచ్చిన A.P: 18, 15\(\frac{1}{2}\), 1.3 ………….. – 47
a = 18, d = a₂ – a₁
= 15\(\frac{1}{2}\) – 18
= – 2\(\frac{1}{2}\) = – \(\frac{5}{2}\)
a_n = – 47
a_n = a + (n – 1) d = – 47
= 18 + (n – 1) × (- \(\frac{5}{2}\)) = – 47
(n – 1) (- \(\frac{5}{2}\)) = – 47 – 18 = – 65
\(\frac{-5 n+5}{2}\) = – 65
– 5n + 5 = – 130
– 5n = – 130 – 5 = – 135
5n = 135
⇒ n = \(\frac{135}{5}\) = 27
ఇచ్చిన A.P లో 27 పదాలు ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి :
a_m = 18, d = 35; a_n = – 47
d = \(\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)

⇒ \(\frac{-5}{2}=\frac{-47-18}{n-1}\)

⇒ \(\frac{-5}{2}=\frac{-65}{n-1}\)

⇒ \(\frac{5}{2}=\frac{65}{n-1}\)
n – 1 = 65 × \(\frac{2}{5}\)
∴ n = 26 + 1 = 27.

ప్రశ్న 6.
11, 8, 5, 2… అంకశ్రేణిలో ‘- 150’ ఒక పదంగా ఉంటుందో లేదో పరిశీలించుము కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి 11, 8, 5, 2, …… లో n వ పదం – 150 అనుకుందాము.
అప్పుడు, a = 11, d = a₂ – a₁ = 8 – 11 = – 3 మరియు a_n = – 150
a_n = a + (n – 1) d = – 150
⇒ 11 + (n – 1)X (- 3) = – 150
⇒ 11 – 3n + 3 = – 150
⇒ – 3n = – 150 – 14
⇒ – 3n = – 164
⇒ 3n = 164
⇒ n = \(\frac{164}{3}\) ………… (2)
అంకశ్రేణిలోని పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడూ ఒక సహజ సంఖ్య.
కాని n = \(\frac{164}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు.
కావున 11, 8, 5, 2, ……. అంకశ్రేణిలో – 150 ఒక పదంగా ఉండదు.

ప్రశ్న 7.
ఒక అంకశ్రేణిలో 11వ పదము 38 మరియు 16వ పదము 78 అయిన 31వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
a₁₁ = 38 మరియు a₁₆ = 73, a₃₁ = ?
::. a_n = a + (n – 1) d
a₁₁ = a + 10d = 38 …………. (1)
a₁₆ = a + 15d = 73 ,
(2) – (1)

d = 7 ను (1) లో రా యగా,
a + 70 = 38
⇒ a = 38 – 70 = – 32
31వ పదం a₃₁ = a + 30d
= – 32 + 30 (7)
= – 32 + 210 = 178
∴ 31వ పదం a_n = 178.

ప్రశ్న 8.
ఒక అంకశ్రేఢిలో 3వ, 9వ పదాలు వరుసగా 4, – 8 అయిన ఎన్నవ పదము ” (సున్న) అవుతుంది ?
సాధన.
ఒక A.P లో 3వ పదం
a₃ = a + 2d = 4 ……….(1)
9వ పదం a₉ = a + 8d = – 8 …………(2)
(2) – (1) ⇒

⇒ d = \(\frac{12}{6}\) = – 2
⇒ d = – 2 …………. (3)
∴ 4వ పదం a₄ = a₃ + d = 4 + (- 2) = 2
a₅ = a₄ + d = 2 + (- 2) = 0
∴ 5వ పదం సున్న (0) అవుతుంది.

(లేదా)

(3) ⇒ d = – 2 ను (1) లో రాయగా,
a + 2(- 2) = 4
⇒ a – 4 = 4
⇒ a = 8
a_n = 0 అయ్యేటట్లు n విలువ కనుగొనాలి.
a_n = a + (n – 1) d = 0
8 + (n – 1) (- 2) = 0
8 – 2n + 2 = 0
10 = 2n
⇒ \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ n = 5
కావున 5వ పదం ‘0’ (సున్న) అవుతుంది.

ప్రశ్న 9.
ఒక అంకశ్రేణిలో 17వ పదము 10వ పదం కంటే 7 ఎక్కువ. అయిన సామాన్య భేదం ఎంత ?
సాధన.
ఒక A.P లో 17వ పదం a₁₇ = a + 16d
10వ పదం a₁₀ = a + 9d
లెక్క ప్రకారం, a₁₇ = a₁₀ + 7
a + 16d = (a + 9d) + 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
⇒ d = \(\frac{7}{7}\) = 1
∴ సామాన్యభేదం d = 1. .

ప్రశ్న 10.
రెండు అంకశ్రేఢుల సామాన్య భేదం సమానము. వాని 100వ పదాల మధ్య భేదం 100 అయిన వాని 1000వ పదాల మధ్య భేదమెంత ?
సాధన.
మొదటి అంకశ్రేణి మొదటి పదం = a
రెండవ అంకశ్రేణి మొదటి పదం = b
రెండు శ్రేఢుల యొక్క సామాన్యభేదం = d అనుకొనుము.
మొదటిశ్రేఢి 100వ పదం a₁₀₀ = a + 99d
రెండవశ్రేణి 100వ పదం b₁₀₀ = b + 99d
లెక్కప్రకారం, a₁₀₀ – b₁₀₀ = 100
(a + 99d) – (b + 99d) = 100
a – b = 100 ………….. (1)
ఇప్పుడు,
మొదటిశ్రేఢి 1000వ పదం a₁₀₀₀ = a + 999d
రెండవశ్రేణి’ 1000వ పదం b₁₀₀₀₀ = b + 999d
a₁₀₀₀ – b₁₀₀₀ = (a + 999d) – (b + 999d)
= a – b = 100 ((1) నుండి)
∴ 1000వ పదాల మధ్య తేడా 100.

ప్రశ్న 11.
7 చే భాగించబడే మూడంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని కలవు?
సాధన.
మొదటి పద్దతి’:
7 చే భాగింపబడే మూడంకెల సంఖ్యల జాబితా 105, 112, 119, 126, …………., 994 ఈ జాబితా అంకశ్రేణి అవుతుంది.
a = 105; d = a₂ – a₁ = 112 – 105 = 7;
a_n = 994
∴ a_n = a + (n – 1) d = 994
= 105 + (n – 1) 7 = 994
105 + 7n – 7 = 994
7n + 98 = 994
7n = 994 – 98 = 896
n = \(\frac{896}{7}\) = 128
∴ 7 చే భాగింపబడే మూడంకెల సంఖ్యలు 128 కలవు.

రెండవ పద్దతి :
d = \(\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)
a₁ = 105, a_n = 994, d = 7, m = 1
7 = \(\frac{994-105}{n-1}=\frac{896}{n-1}\)
n – 1 = \(\frac{889}{7}\) = 127
∴ n = 127 +1 = 128.

ప్రశ్న 12.
10 మరియు 250 ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
10 మరియు 250 ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల జాబితా 12, 16, 20, ……… 248.
ఈ జాబితా A.P లో కలదు.
∴ a = 12, d = a₂ – a₁ = 16 – 12 = 4,
a_n = 248
a_n = a + (n – 1) d = 248 .
= 12 + (n- 1) 4 = 248
= 12 + 4n – 4 = 248
4n = 248 – 8 = 240
n = \(\frac{240}{4}\) = 60
∴ 10 మరియు 250 ల మధ్యగల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్య = 60.

ప్రశ్న 13.
63, 65, 67, …. మరియు 3, 10, 17, ….. అంకశ్రేఢుల nవ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి A.P = 63, 65, 67, ……………..
a = 63, d = a₂ – a₁ = 65 – 63 = 2
∴ nవ పదం a_n = a + (n-1) d
= 63 + (n – 1) 2
= 63 + 2n – 2
nవ పదం a_n = 2n + 61 ………….. (1)
రెండవ A.P. = 3, 10, 17, ……………….
a = 3, d = a₂ – a₁ = 10 – 3 = 7
nవ పదం a_n = 3 + (n -1 ) 7
= 3 + 7n – 7
nవ పదం a_n = 7n – 4 ………… (2)
కాని లెక్క ప్రకారం రెండు అంకశ్రేఢుల పదాలు సమానము.
∴ 7n – 4 = 2n + 61
7n – 2n = 61 + 4
5n = 65
n = \(\frac{65}{5}\) = 13
∴ n = 13.

ప్రశ్న 14.
3వ పదము 167; 7వ పదము, 5వ పదము కంటే 12 ఎక్కువగా గల ఒక అంకశ్రేఢిని కనుగొనుము.
సాధన.
A.P లో 3వ పదం a₃ = a + 2d = 16 ….. (1)
5వ పదం a₅ = a + 4d
7వ పదం a₇ = a + 6d
లెక్క ప్రకారం 7వ పదము, 5వ పదము కంటే 12 ఎక్కువ.
a + 6d = (a + 4d) + 12
a + 6d – a – 4d = 12
2d = 12 ⇒ d = \(\frac{12}{2}\) = 6
d = 6 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 2(6) = 16
a + 12 = 16
a = 16 – 12 = 4
a = 4 మరియు d = 6
∴ అంకశ్రేణి 4, 10, 16, 22, …………….

ప్రశ్న 15.
3, 8, 13, ….., 253 అంకశ్రేణి యొక్క చివరి నుంచి 20వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P = 3, 8, 13, ………., 253
ఇక్కడ a = 3, d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5,
⇒a_n = 253
⇒ a_n = a + (n – 1) 4 = 253.
⇒ 3 + (n- 1) 5 = 253
⇒ 3 + 5n – 5 = 253
⇒ 5n = 253 + 2 = 255
⇒ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
ఇచ్చిన A.P లో 51 పదాలు కలవు.
∴ చివరి నుండి 20వ పదం, మొదటి నుండి (51 – 20) + 1 = 32వ పదం అవుతుంది.
∴ 32వ పదం a₃₂ = 3 + (32 – 1) (5)
= 3 + 31 (5)
a₃₂ = 3 + 155 = 158
చివరి నుండి 20వ పదం = 158

2వ పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P = 3, 8, 13, ….., 253
ఇక్కడ d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5
ఇచ్చిన శ్రేణిని త్రిప్పి రాయగా వచ్చే 20వ పదమే ఇచ్చిన శ్రేఢి యొక్క చివరి నుండి 20వ పదం అవుతుంది. 253, 248, 243, ………., 13, 8, 3
ఈ శ్రేణిలో a = 253, d = a₂ – a₁
= 248 – 253 = – 5
a_n = 3
a_n = a + (n – 1) d = 3
253 + (n – 1) (- 5) = 3
253 – 5n + 5 = 3
258 – 5n = 3
– 5n = 3 – 258 = – 255
5n = 255
⇒ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
∴ 20వ పదం a₂₀ = 253 + (20 – 1) (- 5)
= 253 – 95
a_n = 158
∴ 3, 8, 13, …………. 253 అంకశ్రేఢి యొక్క చివరి నుండి 20వ పదము = 158.

ప్రశ్న 16.
ఒక అంకశ్రేణిలో 4వ మరియు 8వ పదాల మొత్తము 24 మరియు 6వ, 10వ పదాల మొత్తము 44 అయిన మొదటి మూడు పదాలను కనుగొనుము.
సాధన.
A.P లో 4వ పదం = a + 3d
8వ పదం = a + 7d
లెక్క ప్రకారం 4వ, 8వ పదాల ,మొత్తం = 24
(a + 3d) + (a + 7d) = 24
= 2a + 10d = 24
2 (a + 5d) = 24
a + 5d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ a + 5d = 12 ………….. (1)
ఇలాగే, 6వ పదం = a + 5d
10వ పదం = a + 9d
6వ మరియు 10వ పదాల మొత్తం 44
(a + 5d) + (a + 9d) = 44
2a + 140 = 44
2 (a + 7d) = 44
a + 7d = \(\frac{44}{2}\) = 22
a + 7d = 22 ………… (2)
(2) – (1)

d = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ d = 2
d = 5ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 5(5) = 12 ⇒ a = 12 – 25 = – 13
∴ కావలసిన అంకశ్రేణిలోని మొదటి మూడు పదాలు
మొదటి పదం a₁ = a = – 13
రెండవ పదం a₂ = – 13 + 5 = – 8
మూడవ పదం a₃ = 3 – 8 + 5 = – 3

ప్రశ్న 17.
సుబ్బారావు 1995వ సం||లో నెలకు ₹ 5000 జీతంతో ఉద్యోగంలో చేరాడు. అతని జీతము సం||మునకు ₹ 200 పెరిగిన అతని జీతము ఏ సం||ములో ₹ 7000 అవుతుంది ?
సాధన.

జీతం యొక్క జాబితా
5000, 5200, 5400, 5600, ………….
ఈ జాబితా A.P లో కలదు.
∴ a = 5000, d = a₂ – a₁ = 5200 – 5000 = 200
a_n = 7000
a_n = a + (n – 1) 4 = 7000
= 5000 + (n – 1) 200 = 7000
= 5000 + 200 n – 200 = 7000
200 n = 7000 – 4800 = 2200
∴ n = \(\frac{2200}{200}\) = 11.
జాబితాలో 7000 11వ పదం అవుతుంది.
అనగా ,సుబ్బారావు ఉద్యోగంలో చేరినప్పటి నుండి 11వ సం||లో అతని జీతం ₹ 7000 అవుతుంది. (1995ను కూడా కలుపుకోవాలి)
∴ 2005 వ సం||లో సుబ్బారావు జీతం ₹ 7000 అవుతుంది.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సంఘటనలలో ఏ సంఘటనలో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేఢి అవుతుంది ? ఎందుకు ?
(i) ఒక టాక్సీకి మొదటి గంట ప్రయాణానికి ₹ 20 చొప్పున తరువాత ప్రతి గంటకు ₹ 8 చొప్పున చెల్లించవలసి ఉన్న ప్రతి కిలోమీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
(ఇచ్చిన సమస్య స్పష్టంగా లేదు. టాక్సీ అద్దె గంటలకు ఇవ్వబడినది. కాని చెల్లించాల్సిన సొమ్మును కిలో మీటరుకు ఇవ్వడం జరిగినది).
సరైన సమస్య : ఒక టాక్సీ మొదటి కిలోమీటరు ప్రయాణానికి ₹ 20 లు చొప్పున తరువాత ప్రతి కిలోమీటరుకు ₹8 లు చొప్పున చెల్లించవలసి వున్న ప్రతి కిలోమీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
సాధన.

సంఖ్యల జాబితా : 20, 28, 36, 44, 52, 60

సామాన్యభేదము

ప్రతి సందర్భంలోను సామాన్యభేదం సమానము. కావున ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.

(ii) ఒక వాక్యూమ్ పంపు సిలిండరులో ఉండే గాలి నుంచి 1/4 వంతు తీసివేయును. అయిన ప్రతిసారీ సిలెండరులో మిగిలి వుండే గాలి పరిమాణము.
సాధన.
సిలెండరులో గల గాలి పరిమాణము = 1 అనుకొందాం.

సంఖ్యల జాబితా 1, \(\frac{3}{4}\), \(\frac{9}{16}\), \(\frac{27}{64}\), …………..

సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = \(\frac{3}{4}\) – 1
= \(\frac{3-4}{4}=-\frac{1}{4}\)

= a₃ – a₂ = \(\frac{9}{16}\) – \(\frac{3}{4}\)
= \(\frac{9-12}{16}=\frac{-3}{16}\)
అన్ని సందర్భాలలో సామాన్యభేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(iii) ఒక బావిని తవ్వడానికి మొదట మీటరుకు ₹ 150 వంతున ఆపై ప్రతి మీటరుకు ₹ 50 వంతున చెల్లించాలి. అయిన ప్రతి మీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
సాధన.

సంఖ్యల జాబితా 150, 200, 250, 300, 350,

సామాన్యభేదం

అన్ని సందర్భాలలోను సామాన్య భేదం సమానము. కావున ఈ సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేఢి (A.P.) అవుతుంది.

(iv) ఒక బ్యాంకులో ₹ 10000 లను సంవత్సరానికి 8 శాతం చక్రవడ్డీ ప్రకారం పొదుపు చేసిన ప్రతి సంవత్సరము చివరలో ఖాతాలో ఉండే సొమ్ము.
సాధన.
ప్రారంభంలో ఖాతాలో గల సొమ్ము (P) = ₹10,000 వడ్డీరేటు (R) = 8%.

సంఖ్యల జాబితా 10,000, 10,800, 11,664, 12597.12, …………….
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = 10,800 – 10,000 = 800
a₃ – a₂ = 11,664 – 10,800 = 864
a₄ – a₃ = 12,597.12 – 11,664 = 933.12
అన్ని సందర్భాలలోనూ సామాన్య భేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

ప్రశ్న 2.
అంకశ్రేఢుల యొక్క మొదటి పదము a మరియు సామాన్యభేదం d. విలువలు క్రింద ఇవ్వబడినవి. అయిన శ్రేణిలోని మొదటి నాలుగు పదాలను కనుగొనుము.
(i) a = 10, d = 10
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = 10
రెండవ పదం a₂ = 10 + 10 = 20
మూడవ పదం a₃ = 20 + 10 = 30
నాల్గవ పదం a₄ = 30 + 10 = 40

(ii) a = – 2, d = 0
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = – 2
రెండవ పదం a₂ = – 2 + 0 = – 2
మూడవ పదం a₃ = – 2 + 0 = – 2
నాల్గవ పదం a₄ = – 2 + 0 = – 2

(iii) a = 4, d = – 3
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = 4
రెండవ పదం a₂ = 4 + (- 3) = 1
మూడవ పదం a₃ = 1 + (- 3) = – 2
నాల్గవ పదం a₄ = – 2 + (- 3) = – 5

(iv) a = – 1, d = 1/2
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = – 1
రెండవ పదం a₂ = – 1 + \(\frac{1}{2}\) = \(-\frac{1}{2}\)
మూడవ పదం a₃ = – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
నాల్గవ పదం a₄ = 0 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)

(v) a = – 1.25, d = – 0.25
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = – 1.25
రెండవ పదం a₂ = – 1.25 + (- 0.25) = – 1.50
మూడవ పదం a₃ = (- 1.50) + (- 0.25) = – 1.75
నాల్గవ పదం a₄ = (- 1.75) + (- 0.25) = – 2.00 = – 2

ప్రశ్న 3.
క్రింద ఇవ్వబడిన అంకశ్రేఢులకు మొదటి పదమును, సామాన్య భేదంను కనుగొనుము.
(i) 3, 1, -1, -3, . . .
సాధన.
మొదటి పదం a = 3
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = – 2
[∵ d = a_k+1 – a_k]

(ii) – 5, – 1, 3, 7,…
సాధన.
మొదటి పదం a = – 5
సామాన్య భేదం d = a₂ – a₁ = (- 1) – (- 5)
= – 1 + 5 = 4.

(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{9}{3}\), \(\frac{13}{3}\), …………
సాధన.
మొదటి పదం a = \(\frac{1}{3}\)
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁
= \(\frac{5}{3}\) – \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{4}{3}\)

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ………….
సాధన.
మొదటి పదం a = 0.6
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁
= 1.7 – 0.6 = 1.1.

ప్రశ్న 4.
క్రింది జాబితాలలో ఏవి అంకశ్రేఢులు ? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయిన సామాన్య భేదం dను, తరువాత వచ్చే మూడు పదాలను కనుగొనుము.
(i) 2, 4, 8, 16, ……….
సాధన.
a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4
a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8
…………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …………………..
సాధన.
a₂ – a₁ = \(\frac{5}{2}\) – 2
= \(\frac{5-4}{2}=\frac{1}{2}\)

a₃ – a₂ = 3 – \(\frac{5}{2}\)
= \(\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}\)

a₄ – a₃ = \(\frac{7}{2}\) – 3
= \(\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2}\)
…………………………………………………………………………………
సామాన్యభేదం ప్రతి సందర్భంలోను సమానం. కావున ఈ జాబితా, అంకశ్రేడి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = \(\frac{1}{2}\)
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
\(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) = 4

4 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{8+1}{2}=\frac{9}{2}\)

\(\frac{9}{2}+\frac{1}{2}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5

(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, ………….
సాధన.
a₂ – a₁ = (- 3.2) – (- 1.2) = – 3.2 + 1.2 = – 2
a₃ – a₂ = (- 5.2) – (- 3.2) = – 5.2 + 3.2 = -2
a₄ – a₃ = (- 7.2) – (- 5.2) = – 7.2 + 5.2 = – 2
సామాన్యభేదం అన్ని సందర్భాలలో సమానము.
కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేఢి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్య భేదం d = – 2
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 7.2 + (- 2) = – 9.2
(- 9.2) + (- 2) = – 11.2
– 11.2 + (-2) = – 13.2.

(iv) – 10, – 6, – 2, 2, …………..
సాధన.
a₂ – a₁ = – 6 – (- 10) = – 6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = – 2 -(- 6) = – 2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానము.
కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి (A.P) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = 4
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
2 + 4 = 6
6 + 4 = 10
10 + 4 = 14.

(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2 ……….
సాధన.
a₂ – a₁ = 3 + √2 – 3 = √2
a₃ – a₂ = 3 + 2√2 – (3 + √2)
= 3 + 2√2 – 3 – √2 = √2
a₄ – a₃ = 3 + 2√2 – (3 – 2√2)
= 3 + 3√2 – 3 – 2√2 = √2
…………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానము. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి (A.P) అవుతుంది. సామాన్యభేదం
d = √2
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 3 + 3√2 + √2 = 3 + 4√2
3 + 4√2 + √2 = 3 + 5√2
3 + 5√2 +√2 = 3 + 6√2.

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………………
సాధన.
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P) ని సూచించదు.

(vii) 0, – 4, – 8, – 12, ……….
సాధన.
a₂ – a₁ = – 4 – 0 = – 4
a₃ – a₂ = – 8 – (- 4) = – 8 + 4 = -4
a₄ – a₃ = – 12 – (- 8) = – 12 + 8 = – 4
………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k, సమానము,
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = – 4
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 12 + (- 4) = – 16
– 16 + (- 4) = – 20
– 20 + (- 4) = – 24.

(viii) \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), …………
సాధన.
a₂ – a₁ = \(-\frac{1}{2}\) – (\(-\frac{1}{2}\)) = 0
a₃ – a₂ = 0
a₄ – a₃ = 0
……………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను a_k+1 – a_k, సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = 0
∴ తరువాత వచ్చే మూడు మాసాలు \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), …………

(ix) 1, 3, 9, 27, ……………..
సాధన.
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k, సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) కాదు.

(x) a, 2a, 3a, 4a, ……………….
సాధన.
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a-2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
……………………………………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A.P.) అవుతుంది. సామాన్యభేదం d = a
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు 5a, 6a, 7a.

(xi) a, a², a³, a⁴ ………..
సాధన.
a₂ – a₁ = a² – a = a (a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a² (a – 1)
a₄ – a₃ = a⁴ – a³ = a³ (a – 1)
……………………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణిని (A.P.) కాదు.

(xii) √2, √8, √18, √32, ……………….
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₂ – a₁ = √8 – √2 = 2√2 – √2 = √2
a₃ – a₂ = √18 – √8 = 3√2 – 2√2 = √2
[∵ √8 = √4 × √2 = 2√2
√18 = √9 × √2 = 3√2
√32 = √16 × √2 = 4√2]
a₄ – a₃ = √32 – √18 = 4√2 – 3√2 = √2
………………………………………………………
∵ ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము. కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = √2
∴ తరువాత మూడు పదాలు √32 + √2 = 4√2
= 5√2 = \(\sqrt{25 \times 2}\) = √50
√50 + √2 = 5√2 + √2
= 6√2 = \(\sqrt{36 \times 2}\) = √72
√72 + √2 = 6√2 + √2
= 7√2 = \(\sqrt{49 \times 2}\) = √98.

రెండవ పద్ధతి :
ఇచ్చిన జాబితా √2, √8, √18, √32, …………….
= √2, 2√2, 3√2, 4√2 …………….
√8 = \(\sqrt{4 \times 2}\) = 2√2
√18 = \(\sqrt{9 \times 2}\) = 3√2
√32 = \(\sqrt{16 \times 2}\) = 4√2
∴ a₂ – a₁ = 2√2 – √2 = √2
a₃ – a₂ = 3√2 – 2√2 = √2
a₄ – a₃ = 4√2 – 3√2 = √2
అన్ని సందర్భాలలోను a_{k + 1} – a_k సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = √2
తరువాత మూడు పదాలు 4√2 + √2 = 5√2 = \(\sqrt{25 \times 2}\) =√50
5√2 + √2 = 6√2 = \(\sqrt{36 \times 2}\)2 = √72
6√2 + √2 = 7√2 = \(\sqrt{49 \times 2}\) =√98 .

(xiii) √3, √6, √9, √12, ………….
సాధన.
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3(3√3 – √2)
a₄ – a₃ = √12 – √9 = √3(2 – 3√3)
అన్ని సందర్భాలలోను a_{k + 1} – a_k సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A. P.) కాదు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలో, కాదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 102)
(i) x² – 6x – 4 = 0
సాధన.
x² – 6x – 4 = 0
అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

(ii) x³ – 6x² + 2x – 1 = 0
సాధన.
x² – 6x² + 2x – 1 = 0
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా దీని పరిమాణము 3.

(iii) 7x = 2x²
సాధన.
7x = 2x² అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

(iv) x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
సాధన.
x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
⇒ \(\) = 2
⇒ x⁴ – 2x² + 1 = 0
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా పరిమాణము 4.

v) (2x + 1) (3x + 1) = b(x – 1) (x – 2)
సాధన. (2x + 1) (3x + 1) = b(x – 1) (x – 2)
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా
ఇరువైపులా x- గుణకము

(vi) 3y² = 192.
సాధన.
3y² = 192
అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
1 మరియు \(\frac{3}{2}\) లు 2x² – 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 2x² – 5x + 3 = 0
x = 1 ⇒ 2(1)² – 5(1) + 3 = 0.
2 – 5 + 3 = 0
5 – 5 = 0
0 = 0.
x = \(\frac{3}{2}\) ⇒ 2 (\(\frac{3}{2}\))² – 5 (\(\frac{3}{2}\)) + 3 = 0
⇒ 2(\(\frac{9}{4}\)) – \(\frac{15}{2}\) + 3 = 0
⇒ \(\frac{9-15+6}{2}\) = 0
⇒ \(\frac{0}{2}\) = 0
⇒ 0 = 0
∴ x = 1 మరియు x = \(\frac{3}{2}\) వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరుస్తున్నాయి. కావున మూలాలు అవుతాయి.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా క్రింది వర్గ సమీకరణాలను సాధించుము. (పేజీ నెం. 113)
(i) x² – 10x + 9 = 0
సాధన.
x² – 10x + 9 = 0.
x² – 10x = – 9
x² – 2.x.5 = – 9
x² – 2.x.5 + 5² = – 9 + 5²
(ఇరువైపులా 5² కలుపగా)
(x – 5)² = – 9 + 25
[∵ a² – 2ab + b² = (a – b)²]
(x – 5)² = 16
∴ x – 5 = √16 = ± 4
x – 5 = 4 లేదా x – 5 = – 4
x = 4 + 5 = 9 లేదా x = – 4 + 5 = 1
x = 9 లేదా 1.

(ii) x² – 5x + 5 = 0
సాధన.
x² – 5x + 5 = 0
x² – 5x = – 5
x² – 2.x.\(\frac{5}{2}\) + (\(\frac{5}{2}\))² = – 5 + (\(\frac{5}{2}\))²
(ఇరువైపులా (\(\frac{5}{2}\))² ను కలుపగా)

(iii) x² + 7x – 630
సాధన.
x² + 7x – 6 = 0
x² + 7x = 6
x² + 2. \(\frac{1}{2}\).x.7 = 6
x² + 2.x.\(\frac{7}{2}\) + (\(\frac{7}{2}\))² = 6 + (\(\frac{7}{2}\))²
(ఇరువైపులా (\(\frac{7}{2}\))² ను కలుపగా,

అలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించుటకు పై మూడు పద్ధతులలో నీవు ఏ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తావు ? (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
సందర్భాన్ని బట్టి వర్గ సమీకరణ సాధనకు ఇచ్చిన మూడు పద్ధతులలో ఏదో ఒక దానిని ఎన్నుకొంటాను.
సందర్భం -1:
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 లోని మధ్య పదంలోని x గుణకం b ని p + q = b మరియు p × q = a × c గా రాయగలిగినప్పుడు కారణాంక పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

సందర్భం – 2:
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 కచ్చిత వర్గంగా రాయగల సందర్భంలో వర్గం పూర్తి చేయు పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

సందర్భం – 3:
పై రెండు సందర్భాలు సాధ్యం కానప్పుడు లేదా ఎలాంటి వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించే సందర్భంలోనైనా వర్గ సూత్ర పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించటానికి ముందు దాని యొక్క విచక్షణిని కనుగొనటం వల్ల కలిగే లాభం ఏమిటో వివరించండి. దీని విలువ ఎందుకు ముఖ్యమైనది ? (పేజీ నెం. 122)
సాధన.ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించుటానికి ముందు దాని యొక్క విచక్షణి (D = b² – 4ac) ని కనుగొనటం వలన ఆ వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు వాస్తవాలా, కాదా నిర్ణయించగలము. అలాగే మూలాలు వాస్తవాలైతే సమానాలా, విభిన్నాలా అని తెలుసుకొనగలము.

ఈ విచక్షణి విలువ ఆధారంగా ఇచ్చిన సమస్యల సాధన సందర్భంలో వాస్తవ మూలాలు లేనిచో సమస్యకు వాస్తవ సాధనలు లేవని నిర్ణయిస్తాము.
విచక్షణి D = b² – 4ac విలువపై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఆధారపడి ఉంటాయి. కావున దీని విలువ వర్గ సమీకరణ సాధనలో చాలా ముఖ్యమైనది.

ప్రశ్న 2.
మూడు వేరువేరు .వర్గ సమీకరణాలను తయారు చేయుము. అందులో ఒకటి రెండు వేరువేరు వాస్తవ మూలాలను, మరియొకటి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలను, ఇంకొకటి వాస్తవ మూలాలను కలిగిలేని విధంగా ఉండాలి. (పేజీ నెం. 122)
సాధన.
(1) x² + 2x – 3 = 0,
b² – 4ac = 2² – 4.1. (- 3)
= 4 + 12 = 16 > 0 .

(2) x² + 2x + 1 = 0 .
b² – 4ac = 2² – 4 (1) (1) = 4 – 4 = 0

(3) x² + 2x + 3 = 0
b² – 4ac = 2² – 4 (3) (1)
= 4 – 12 = – 8 < 0
(1) మూలాలు వాస్తవాలు, విభిన్నాలు.
(2) మూలాలు వాస్తవాలు, సమానాలు.
(3) మూలాలు సంకీర్ణాలు.

ఉదాహరణలు :

ప్రశ్న 1.
రాణి వద్ద ఒక చతురస్రాకారపు లోహపు రేకు గలదు పటంలో చూపిన విధంగా దీని నాలుగు మూలం నుంచి 9 సెం.మీ. భుజంగల చతురస్రాలను తొలగించి మిగిలిన భాగంతో ఒక మూతలేని పెట్టెను తయారుచేసింది ఇలా తయారైన పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణము 144 ఘ. సెం.మీ. అయిన మొదట తీసుకున్న లోహపు రేకు యొక్క భుజం పొడవును కనుగొనగలమా ? (పేజీ నెం. 101)
సాధన.
చతురస్రాకారపు లోహపు రేకు భుజం పొడవు x సెం.మీ. అనుకొనిన తయారుచేయబడిన పెట్టె యొక కొలతలు 9 సెం.మీ. × (x – 18) సెం.మీ. × (x – 18) సెం.మీ.
పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణము 144 సెం.మీ
కనుక 9 (x – 18) (x – 18) = 144
(x – 18)² = 16
x² – 36x + 308 = 0

అనగా పై సమీకరణమును తృప్తిపరచే ‘x’ విలువే మొదట తీసుకున్న లోహపు రేకు యొక్క భుజం అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానికి సరియగు సమీకరణాలను రాయుము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 103)
(i) రాజు మరియు రాజేందర్ ఇద్దరి వద్ద కలిపి 45 గోళీలు కలవు. అయితే ఇద్దరూ చెరి 5 గోళీలను పోగొట్టుకున్నారు. ఇద్దరి వద్ద మిగిలిన గోళీల సంఖ్య యొక్క లబ్దము 124 అయిన ఇద్దరి వద్ద మొదట వున్న గోళీల సంఖ్యను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే సమీకరణమును కనుగొనుము/ రాయుము.
(ii) ఒక లంబకోణ త్రిభుజము యొక్క కర్ణము 25 సెం.మీ. మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవుల భేదము 5 సెం.మీ. అని ఇవ్వబడింది. అయిన మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే సమీకరణమును రాయుము.
సాధన.
1) రాజు వద్ద గల గోళీల సంఖ్య ‘x’ అనుకొనిన రాజేందర్ వద్ద గల గోళీల సంఖ్య = 45 – x
5 గోళీలను పొగొట్టుకున్న తరువాత రాజు వద్ద వుండే గోళీల సంఖ్య = x – 5
అదే విధంగా రాజేందర్ వద్ద వుండే గోళీల సంఖ్య = (45 – x) – 5 = 40 – x
∴ ఇద్దరి వద్ద మిగిలిన గోళీల సంఖ్య యొక్క లబ్దం = 124
(x – 5) (40 – x) = 124
40x – x² – 200 + 5x = 124
– x² + 45x – 200 – 124 = 0
– x² + 45x – 324 = 0
∴ x² – 45x + 324 = 0 (∵’ ఇరువైపులా ‘- 1’ చే గుణించగా)
అనగా x² – 45x + 324 = 0 సమీకరణాన్ని గోళీల సంఖ్యను ఇస్తుంది.
కావలసిన గణిత సమీకరణం x² – 45x + 324 = 0

(ii) చిన్న భుజము యొక్క పొడవును x సెం.మీ. అనుకొనిన పెద్ద భుజం పొడవు = (x + 5) సెం.మీ.
ఇవ్వబడిన కర్ణము యొక్క పొడవు = 25 సెం.మీ.
లంబకోణ త్రిభుజములో (భుజము)² + (భుజము)² = (కర్ణము)²
x² + (x + 5)² = (25)²
x² + x² + 10x + 25 = 625
2x² + 10x – 600 = 0 .
2(x² + 5x – 300) = 0
∴ x² + 5x – 300 = 0 పై సమీకరణంను సాధించుట ద్వారా పొందే x విలువ ఆధారంగా లంబకోణ త్రిభుజంలోని మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను గణించవచ్చు.

ప్రశ్న 3.
క్రిందివి వర్గ సమీకరణాలేమో పరిశీలించండి.
(i) (x – 2)² + 1 = 2x – 3
(ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2)
(iii) x(2x + 3) = x2+1 0
(iv) (x + 2)³ = x³ – 4 (పేజీ నెం. 104)
సాధన.
(i) (x – 2)² + 1 = 2x – 3
(x² – 4x + 4) + 1 = 2x – 3.
[∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
x² – 4x + 5 = 2x – 3
x² – 6x + 8 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం.

(ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2) .
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
x² + x + 8 = x² – 4
x² + x + 8 – x² + 4 = 0
∴ x + 12 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(iii) x (2x + 3) = x² + 1
2x² + 3x = x² + 1
2x² + 3x – x² – 1 = 0
x² + 3x – 1 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది. ఒక వర్గ సమీకరణం.

(iv) (x + 2)³ = x³ – 4.
x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ – 4
x³ + 6x² + 12x + 8 – x³ + 4 = 0
∴ 6x² + 12x + 12 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం.

ప్రశ్న 4.
కారణాంక పద్దతిని 2x² – 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం 2x² – 5x + 3 = 0

2x² – 2x – 3x + 3 = 0
2x (x – 1) – 3(x – 1) = 0
(x – 1) (2x – 3) = 0
x – 1 = 0
x = 1
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac{3}{2}\)

ఇచ్చిన వర్గ ‘సమీకరణం యొక్క మూలాలు = 1 మరియు \(\frac{3}{2}\).

ప్రశ్న 5.
x – \(\frac{1}{3 x}\) = \(\frac{1}{6}\) వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x – \(\frac{1}{3 x}\) = \(\frac{1}{6}\)
⇒ \(\frac{3 x^{2}-1}{3 x}=\frac{1}{6}\) (అడ్డ గుణకారం చేయగా)

⇒ 6(3x² – 1) = 1 × 3x
⇒ 18x² – 3x – 6 = 0
⇒ 3(6x² – x – 2) = 0
∴ 6x² – x – 2 = 0
⇒ 6x² – 4x + 3x – 2 = 0
⇒ 2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0
⇒ (3x – 2) (2x + 1) = 0
3x – 2 = 0
3x = 2
x = \(\frac{2}{3}\)
2x + 1 = 0. . . – –
2x = – 1
x = \(-\frac{1}{2}\)
∴ 6x² – x – 2 = 0 యొక్క మూలాలు \(\frac{2}{3}\) మరియు \(-\frac{1}{2}\).

ప్రశ్న 6.
శీర్షిక 5,1 లో చర్చించిన సమస్యలోని ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 108)
చర్చించిన సమస్య :
కస్పా పురపాలక పాఠశాల క్రీడల కమిటీ పాఠశాల ఆవరణలో 29మీ. × 16మీ. కొలతలతో ఒక ఖో-ఖో కోర్టును నిర్మించాలని భావించింది. ఇందుకుగాను వారికి 558 చ.మీ. వైశాల్యం గల ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం అందుబాటులో ఉంది. అందువల్ల వారు ఖో-ఖో కోర్టు చుట్టూ ప్రేక్షకుల కొరకు కొంత ఖాళీ స్థలమును కూడా వదలాలని భావించారు. అయితే వదిలే ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు కోర్టు చుట్టూ ఒకే విధంగా వుండేటట్లు వదిలితే దాని వెడల్పు ఎంత వుండాలి ?
సాధన.
శీర్షికలో 5.1 చర్చించిన సమస్యలోని ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు x మీ. అనుకొనిన అది 2x² + 45x – 47 = 0 ను తృప్తిపరిచే ఒక విలువ. కారణాంక పద్ధతిని ఈ సమీకరణంనకు అనువర్తింపచేసిన
2x² – 2x + 47x – 47 = 0
2x (x – 1) + 47 (x – 1) = 0
i.e., (x – 1) (2x + 47) = 0
అనగా x = 1 మరియు x = \(-\frac{47}{2}\), లు 2x² – 2x + 47x – 47 = 0 యొక్క మూలాలు.
అయితే x అనేది ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు కనుక దీని విలువ ఋణాత్మకం కాజాలదు.
∴ ఖాళీ స్థలం యొక్క వెడల్పు = x = 1 మీ.

ప్రశ్న 7.
వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా వర్గ సమీకరణమును – సాధించే పద్ధతి ద్వారా 5x² – 6x – 2 = 0 ను సాధించుము. (పేజీ నెం. 112)
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణము 5x² – 6x – 2 = 0
⇒ x² – \(\frac{6}{5}\)x – \(\frac{2}{5}\) = 0 (ఇరువైపులా 5 చే భాగించగా)
⇒ x² – 2.\(\frac{1}{2}\) x.\(\frac{6}{5}\) = \(\frac{2}{5}\)
(ఇరువైపులా (3)² ను కలుపగా)
x² – 2.\(\frac{3}{5}\) + (\(\frac{3}{5}\))² = \(\frac{2}{5}\) + (\(\frac{3}{5}\))²
(x – \(\frac{3}{2}\) )² = \(\frac{2}{5}+\frac{9}{25}\)
[∵ a² – 2ab + b² = (a – b)²]
x – \(\frac{3}{5}\) = \(\pm \sqrt{\frac{19}{25}}=\frac{\pm \sqrt{19}}{5}\)

∴ x = \(\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{19}}{5}\) లేదా x = \(\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{19}}{5}\)

x = \(\frac{3+\sqrt{19}}{5}\) లేదా x = \(\frac{3-\sqrt{19}}{5}\)

ప్రశ్న 8.
4x² + 3x + 5 = 0 ను వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా సాధించుము.(పేజీ నెం. 112)
సాధన.
4x² + 3x + 5 = 0 (ఇరువైపులా 4 చే భాగించగా)

ఒక వాస్తవ సంఖ్య యొక్క వర్గం ఎల్లప్పుడు ఋణాత్మకం కాదు. కావున x యొక్క ఏ వాస్తవ విలువ పై సమీకరణాన్ని తృప్తి పరచదు. కనుక ఇచ్చిన సమీకరణానికి వాస్తవ మూలాలు లేవు.

ప్రశ్న 9.
అభ్యాసము 5.1 లోని 2(i) వ ప్రశ్నను పై సూత్రమును 1 ఉపయోగించి సాధించుము. (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం యొక్క వెడల్పు ‘x’ మీ.
అనుకొనిన దాని పొడవు = (2x + 1) మీ.
లెక్క ప్రకారం దాని వైశాల్యము 528 చ.మీ.
∴ x(2x + 1) = 528
2x² + x – 528 = 0.
ఇది ax² + bx + c = 0రూపంలో కలదు.
ఇచ్చట a = 2, b = 1, c = – 528.
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2}-4(2)(-528)}}{2.2}\)

= \(\frac{-1 \pm \sqrt{1+4224}}{4}=\frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4}\)

x = \(\frac{-1 \pm 65}{4}\)

∴ x = \(\frac{-1+65}{4}=\frac{64}{4}\) = 16

x = \(\frac{-1-65}{4}=\frac{-66}{4}=\frac{-33}{2}\)

దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క కొలతలు రుణాత్మకం కాదు.
కావున వెడల్పు x = 16 మరియు
పొడవు = 2x + 1
= 2(16) + 1 = 32 + 1 = 33 మీ.

సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 16 × 33 = 528 చ.మీ.

ప్రశ్న 10.
రెండు వరుసధన బేసిసంఖ్యల మొత్తము 290 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
మొదటి బేసి సంఖ్య = ‘x’ అనుకొనిన
రెండవ బేసి సంఖ్య (x + 2)
రెండు వరుస ధన బేసి సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 290.
∴ x² + (x + 2)² = 290
x² + x² + 4x + 4 = 290
2x² + 4x + 4 – 290 = 0
2x² + 4x – 286 = 0
2(x² + 2x – 143) = 0
∴ x² + 2x – 143 = 0 (∵ 2 ≠ 0)
వర్గ సూత్రం ప్రకారం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(-143)}}{2(1)}\)

= \(\frac{-2 \pm \sqrt{4+572}}{2}\)

= \(\frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2}=\frac{-2 \pm 24}{2}\)

∴ x = \(\frac{-2+24}{2}\) లేదా x = \(\frac{-2-24}{2}\)

x = \(\frac{22}{2}\) = 11 లేదా x = \(-\frac{26}{2}\) = – 13
కాని x ఒక ధన బేసి సంఖ్య. ∴ x = 11
రెండవ బేసి సంఖ్య = x + 2 = 11 + 2 = 13

సరిచూసుకోవడం :
112 + 132 = 121 + 169 = 290.

ప్రశ్న 11.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు తయారుచేయ బడుతుంది. దీని వెడల్పు, పొడవు కంటే 3 మీ. తక్కువ. దీని వైశాల్యము, దీని వెడల్పుకు సమానమైన భూమి మరియు 12 మీ. ఎత్తు గల ఒక సమద్విబహు త్రిభుజ వైశాల్యం కంటే 4 చ.మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు యొక్క పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 116)
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు = x మీ. అనుకొనిన
వెడల్పు పొడవు కన్నా 3 మీ . తక్కువ.
వెడల్పు = (x – 3) మీ.”
∴ దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యము = x(x – 3) చ.యూ.
త్రిభుజ భూమి = x – 3; త్రిభుజ ఎత్తు = 12 మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × (x – 3) × 12 = 6 (x – 3)

కాని లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం త్రిభుజ ∴వైశాల్యము కన్నా 4 యూనిట్లు ఎక్కువ.
∴ x(x – 3) = 6 (x – 3) + 4
x² – 3x = 6x – 18 + 4
x² – 3x – 6x + 18 – 4 = 0
x – 9x + 14 = 0
వర్గ సూత్రం నుండి x = \(\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^{2}-4 \cdot(1)(14)}}{2 \cdot(1)}\)

= \(\frac{9 \pm \sqrt{81-56}}{2}\)

x = \(\frac{9 \pm \sqrt{25}}{2}=\frac{9 \pm 5}{2}\)

x = \(\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 లేదా x = \(\frac{9-5}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
పొడవు x = 7 మీ. అయిన వెడల్పు = x – 3 = 7 – 3 = 4 మీ.
పొడవు x = 2 మీ. అయిన వెడల్పు x – 3 = 2 – 3 = – 1 మీ.
ఇది సాధ్యం కాదు కాబట్టి
∴. దీర్ఘ చతురస్ర కొలతలు పొడవు = 7 మీ.
వెడల్పు = 4 మీ.

సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 7 × 4 = 28 చ.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × 4 × 12 = 24 చ.మీ.

ప్రశ్న 12.
క్రింది వర్గ సమీకరణాలకు మూలాలు వుంటే వానిని సూత్రము ద్వారా కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 116)
(i) x² + 4x + 5 = 0
(ii) 2x² – 2√2x + 1 = 0
సాధన.
(i) x² + 4x + 5 = 0,
-ఇక్కడ a = 1, b = 4, c = 5
b² – 4ac = (4)² – 4(1)(5)
= 16 – 20 = – 4 < 0
b² – 4ac < 0 కావున వాస్తవ మూలాలు లేవు.

(ii) 2x² – 2√2 x + 1 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = 2/2 , c = 1.
b² – 4ac = (-2√2)² – 4.2.1 .
= 8 – 8 = 0
b² – 4ac = 0 కావున మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు.
మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-2 \sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)}\)

= \(\frac{2 \sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ మూలాలు \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 13.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.

(i) x + \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-2}\) = 3, x ≠ 0, 2.
సాధన.
(i) x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = 3
∴ x² + 1 = 3x
x² – 3x + 1 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 3, c = 1
b² – 4ac = (- 3)² – 4(1) (1)
= 9 -4 = 5 > 0
మూలాలు వాస్తవాలు.

మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)

∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

(ii) \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-2}\) = 3, x ≠ 0, 2

⇒ \(\frac{(x-2)-x}{x(x-2)}\) = 3

⇒ \(\frac{x-2-x}{x^{2}-2 x}\) = 3

⇒ \(\frac{-2}{x^{2}-2 x}\) = 3
⇒ 3(x² – 2x) = – 2
3x² – 6x + 2 = 0
ఇక్కడ a = 3, b = – 6, c = 2.
b² – 4ac = (- 6)² – 4(3) (2)
= 36 – 24 = 12 > 0
మూలాలు వాస్తవాలు.
x = \(\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(3)}\)

= \(\frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}=\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}\)
[∵ \(\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=2 \sqrt{3}\)]

= \(\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{6}\)

= \(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}\)

∴ మూలాలు = \(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\) మరియి \(\frac{3-\sqrt{3}}{3}\).

ప్రశ్న 14.
నిశ్చల నీటిలో ఒక మోటారు బోటు యొక్క వేగము గంటకు 18 కి.మీ. నీటి ప్రవాహమునకు ఎదురుగా 24 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలము, తిరిగి బయలుదేరిన స్థానమునకు వచ్చుటకు పట్టే కాలం కంటే 1 గంట ఎక్కువ. అయిన నీటి వేగమెంత ? (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
నిశ్చల నీటిలో బోటు వేగము = 18 కి.మీ./గం.
నీటి ప్రవాహ వేగము = x కి. మీ./గం. అనుకొందాం.
నీటి ప్రవాహానికి ఎదురుగా బోటు వేగం = (18 – x) కి.మీ./గం.
తిరుగు ప్రయాణంలో (ప్రవాహ దిశలో) బోటు వేగం = (18 + x) కి.మీ./గం.
నీటి ప్రవాహానికి ఎదురుగా 24 కి.మీ. పోవుటకు పట్టే కాలం =
తిరుగు ప్రయాణానికి (ప్రవాహ దిశలో) పట్టే కాలం = \(\)
లెక్క ప్రకారం
\(\frac{24}{18-x}=\frac{24}{18+x}+1\)

⇒ \(\frac{24}{18-x}-\frac{24}{18+x}\) = 1

\(\frac{24(18+x)-24(18-x)}{(18-x)(18+x)}\) = 1

24 × 18 + 24x – 24 × 18 + 24x = (18 – x) (18 + x)
48x = 18² – x²
∴ x² + 48x – 324 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 48, c = – 324
b² – 4ac = 48² – 4(1)(- 324)
= 2304 + 1296 = 3600
వర్గ సూత్రం నుండి x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2(1)}\)

= \(\frac{-48 \pm 60}{2}\)

మూలాలు x = \(\frac{-48+60}{2}=\frac{12}{2}\) = 6

x = \(\frac{-48-60}{2}=\frac{-108}{2}\) = – 54
ప్రవాహ వేగం ఋణాత్మకం కాదు కావున x = 6.
∴ నీటి ప్రవాహము యొక్క వేగము = 6 కి.మీ/గం.

ప్రశ్న 15.
2x² – 4x + 3 = 0 యొక్క విచక్షణిని కనుగొని తద్వారా మూలాల స్వభావమును చర్చించుము. (పేజీ నెం. 121)
సాధన.
2x²న – 4x + 3 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 4, c = 3. విచక్షణి b² – 4ac = (- 4)² – (4 × 2 × 3) .
= 16.- 24 = – 8 < 0.
ఇచ్చిన సమీకరణం వాస్తవ మూలాలను కలిగి వుండదు.

ప్రశ్న 16.
18 సెం.మీ. వ్యాసం గల ఒక వృత్తాకార పార్కు సరిహద్దు మీద ఒక స్తంభమును ఏర్పాటు చేయాలని అనుకున్నారు. పార్కు యొక్క సరిహద్దు మీద ఎదురెదురుగా అనగా ఒక వ్యాసం యొక్క చివరి బిందువుల వద్ద ఏర్పాటు చేయబడిన A మరియు B అనే రెండు గేట్ల నుంచి ఈ స్తంభము వరకూ గల దూరాల భేదము 7 మీ. వుండునట్లు స్తంభమును ఏర్పాటు చేయగలమా ? ఒకవేళ చేయగలిగితే రెండు గేట్ల నుంచి ఈ స్తంభం ఎంత దూరంలో ఉంటుంది ? (పేజీ నెం. 121)
సాధన.
క్రింది పటంలో A మరియు B లు రెండు గేట్లు మరియు ఏర్పాటు చేయవలసిన స్తంభము P అనుకొందాము.

B గేటు నుండి P కి గల దూరం = x మీ అనుకుందాం.
BP = x మీ.
AP = (x + 7) మీ.
[∵ AP, BPల మధ్య భేదము 7 మీ.]
AB = 13 మీ.
(లెక్క ప్రకారం AB వ్యాసం = 13 మీ.)
∆ ABP లో ∠P = 90°. [∵ అర్థ వృత్తంలోని కోణము]
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారము –
AP² + BP² = AB²
(x + 7)² + x²2 = 13²
x² + 14x + 49 + x² = 169
2x² + 14x + 49 + x² – 169 = 0
2x² + 141 – 120 = 0
2(x² +7x – 60) = 0
x² + 7x – 60 = 0 ను తృప్తి పరిచే x విలువ B గేటు నుండి P కు గల దూరం అవుతుంది.
కావున x² + 7x – 60 = 0 కు వాస్తవ మూలాలు. ఉన్నప్పుడే స్తంభం ఏర్పాటు చేయగలము.
∴ విచక్షణి b² – 4ac = 7² – 4 (1) (- 60)
= 49 + 240
= 289 > 0.
వర్గ సమీకరణంకు రెండు విభిన్న వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి. కాబట్టి స్తంభాన్ని ఇచ్చిన షరతులకు అనుగుణంగా ఏర్పాటు చేయగలము.
వర్గ సూత్రం నుంచి x =\(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2(1)}=\frac{-7 \pm 17}{2}\)

∴ x = \(\frac{-7+17}{2}=\frac{10}{2}\) = 5 లేదా

x = \(\frac{-7-17}{2}=\frac{-24}{2}\) = – 12

దూరము రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 5.
∴ B నుంచి స్తంభమునకు దూరం x = 5 మీ.
A నుంచి P స్తంభమునకు దూరం. x + 7 = 5 + 7 = 12 మీ.

ప్రశ్న 17.
3x² – 2x + \(\frac{1}{3}\) = 0 యొక్క విచక్షణిని కనుగొనుము. తద్వారా మూలాల స్వభావమును తెలుపుము. ఒకవేళ మూలాలు వాస్తవ సంఖ్యలైతే వానిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చట a = 3, b = – 2 మరియు c = \(\frac{1}{3}\)
విచక్షణి b² – 4ac = (- 2)² – 4 × 3 × \(\frac{1}{3}\)
= 4 – 4 = 0.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణంకు రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు వుంటాయి.
అవి \(\frac{-b}{2 a}\), \(\frac{-b}{2 a}\)

⇒ \(\frac{2}{6}\), \(\frac{2}{6}\)

⇒ \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\).

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
ఒక తలంలో కొన్ని బిందువులు గుర్తించబడినవి. ప్రతి బిందువు మిగిలిన అన్ని బిందువులతో రేఖండాలచే కలుపబడింది. ఈ విధంగా చేయటం వల్ల మొత్తం 10 రేఖాఖండాలు ఏర్పడితే మొత్తం బిందువులు ఎన్ని ? (గమనిక: సమస్యలో ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాని కొన్ని బిందువులు గుర్తించబడ్డాయి. అని ఇవ్వాలి.)
సాధన.
ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాని n బిందువులలో ప్రతి బిందువును మిగిలిన అన్ని బిందువులతో కలుపగా ఏర్పడే రేఖాఖండాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) n(n – 1)
కాని లెక్క ప్రకారం రేఖా ఖండాల సంఖ్య = 10

\(\frac{1}{2}\) n(n – 1) = 10
n(n – 1) = 20
n² – n – 20 = 0
n² – 5n + 4n – 20 = 0
n(n – 5) + 4(n – 5) = 0
(n – 5) (n + 4) = 0
n – 5 = 0 లేదా n + 4 = 0
n = 5 లేదా n = – 4
బిందువుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు కావున n = 5
∴ బిందువుల సంఖ్య n = 5
సరిచూచుట :

A, B, C, D, E లు ఏ మూడు సరేఖీయాలు కొని 5 బిందువులు వీటితో ఏర్పడే రేఖాఖండాలు AB, BC, CD, DE, EA, AC, AD, BE, BD, CE మొత్తం 10 రేఖాఖండాలు కలవు.

ప్రశ్న 2.
ఒక రెండంకెల సంఖ్యలో అంకెల లబ్ధం &. ఈ సంఖ్యకు – . 18 కలిపిన వచ్చే సంఖ్య మొదటి సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య ఒక్కటే. అయిన మొదటి సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = x
పదుల స్థానంలోని అంకె = y అనుకొందాం.

లెక్క ప్రకారం అంకెల లబ్ధం = 8
∴ xy = 8
⇒ y = \(\frac{8}{x}\) ………… (1)
మరియు సంఖ్యకు 18 కలిపిన వచ్చే సంఖ్య = ఆ సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య
(10y + x) + 18 = 10x + y
10y + x + 18 – 10x – y = 0
9y – 9x + 18 = 0
9(y – x + 2) = 0
∴ y – x + 2 = 0 లో (1)ని ప్రతిక్షేపించగా

\(\frac{8}{x}\) – x + 2 = 0

\(\frac{8-x^{2}+2 x}{x}\) = 0
8 – x² + 2x = 0
⇒ x² – 2x – 8 = 0
x² – 4x + 2x – 8 = 0
x(x – 4) + 2 (x – 4) = 0
(x – 4) (x + 2) = 0
x – 4 = 0
x = 4
x + 2 = 0
x = – 2
సంఖ్యలోని అంకె రుణాత్మకం కాదు. ఒకట్ల స్థానం x = 4 –
పదుల స్థానం y = \(\frac{8}{4}\) = 2 (∵ (1) నుండి)
∴ కావలసిన సంఖ్య = 24.

సరిచూచుట :
24 + 18 = 42 .

ప్రశ్న 3.
8 మీ. పొడవు వున్న తీగను రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించారు. ప్రతి ముక్కను తిరిగి ఒక చతురస్రాకారంగా వంచారు. ఇలా ఏర్పడిన రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తం 2 చ.మీ. కావలెనన్న ప్రతి ముక్క పొడవు ఎంత వుండాలి ?
[x + y = 8, \(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{y}{4}\right)^{2}\) = 2
⇒ \(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{8-x}{4}\right)^{2}\) = 2]
సాధన.

మొదటి ముక్క పొడవు = x మీ.
రెండవ ముక్క పొడవు = y మీ. అనుకొనుము.
x + y = 8
y = 8 – x ……… (1)
ప్రతి ముక్కను ఒక చతురస్రంగా వంచిన మొదటి ముక్క యొక్క చతురస్ర చుట్టుకొలత = x మీ
భుజము = \(\frac{x}{4}\) మీ.
వైశాల్యం = (\(\frac{x}{4}\))² చ.మీ.
రెండవ ముక్క యొక్క చతురస్ర చుట్టుకొలత = y మీ.
భుజము = \(\frac{y}{4}\) మీ.
వైశాల్యం = (\(\frac{x}{4}\))² = \(\frac{(8-x)^{2}}{4}\) (∵ (1) నుండి)
కాని లెక్క ప్రకారం వైశాల్యం మొత్తం = 2 చ.మీ.
\(\left(\frac{x}{4}\right)^{2}+\left(\frac{8-x}{4}\right)^{2}\) = 2

\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{(8-x)^{2}}{16}\) = 2

\(\frac{x^{2}+64-16 x+x^{2}}{16}\) = 2
2x² – 16x + 64 = 32
2x² – 16x + 64 – 32 = 0
2x² – 16x + 32 = 0
2(x² – 8x + 16) = 0
x² – 8x + 16 = 0
x² – 2. x . 4 + 4² = 0.
(x – 4)² = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
x – 4 = 0
x = 4
∴ మొదటి ముక్క పొడవు x = 4 మీ.
రెండవ ముక్క పొడవు y = 8 – 4 = 4 మీ. [∵ (1) నుండి]

సరిచూచుట :
చతురస్ర భుజాలు 1 మీ. మరియు 1 మీ. వైశాల్యా ల మొత్తం 1² + 1² = 1 + 1 = 2 చ.మీ.

ప్రశ్న 4.
వినయ్ మరియు ప్రవీళ్లు కలసి ఒక ఇంటికి రంగులు వేసే పనిని 6 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు. వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని ప్రవీణ్ కంటే 5 రోజులు ముందుగా పూర్తి చేయగలడు. అయిన వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజులలో పూర్తి చేయగలడు ?
సాధన.
ప్రవీణ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం = x రోజులు అనుకొనుము.
వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం = (x – 5) రోజులు.
ప్రవీణ్ ఒక్కడే ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{x-5}\)
వినయ్ ఒక్కడే ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{6}\)
లెక్క ప్రకారం ప్రవీణ్ మరియు వినయ్ లు కలసి ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{(x-5)+x}{x(x-5)}=\frac{1}{6}\) \(\frac{2 x-5}{x^{2}-5 x}=\frac{1}{6}\)

∴ x² – 5x = 6(2x – 5)
x² – 5x = 12x – 30
x² – 5x – 12x + 30 = 0
x² – 17x + 30 = 0

x² – 15x – 2x + 30 = 0
x(x – 15) – 2(x – 15) = 0
(x – 15) (x – 2) = 0.
x – 15 = 0 లేదా x – 2 = 0
x = 15 లేదా x = 2
x = 15 అయిన x – 5 = 10
x = 2 ⇒ x – 5 = – 3
రోజుల సంఖ్య ఋణాత్మకం కాదు. కావున x ≠ 2.
వినయ్ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టే కాలం x – 5 = 10 రోజులు

సరిచూచుట :
వినయ్ మరియు ప్రవీలు కలసి ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)
∴ ఇద్దరూ కలసి ఆ పనిని 6 రోజులలో పూర్తి చేస్తారు.

ప్రశ్న 5.
ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మొత్తం : అని చూపుము.
సాధన.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు α, β అనుకొందాం.
వర్గ సూత్రం నుంచి
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
మూలాలు α = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) మరియు β = \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

మూలాల మొత్తం

మూలాల మొత్తం α + β = \(-\frac{b}{a}\)
∴ ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాల మొత్తం = \(-\frac{b}{a}\).

ప్రశ్న 6.
ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క మూల చూపుము.
సాధన.
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 మూలాలు
α = \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) మరియు β = \(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
మూలాల లబ్దం

మూలాల లబ్ధం αβ = \(\frac{c}{a}\)
∴ ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాల లబ్ధం = \(\frac{c}{a}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక భిన్నములో హారము, లవము యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒకటి ఎక్కువ. ఆ భిన్నము మరియు దాని వుత్రమాల మొత్తము 2\(\frac{16}{21}\) అయిన ఆ భిన్నమును కనుగొనుము.
సాధన.
లవము = x అనుకొనిన
హారము = 2x + 1 (∵ హారము, లవము యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒకటి ఎక్కువ)
భిన్నము = \(\frac{x}{2 x+1}\)
భిన్నము యొక్క వ్యుత్తమము = \(\frac{2 x+1}{x}\)
లెక్క ప్రకారం భిన్నము మరియు దాని వ్యుత్ర్కమాల మొత్తం = 2\(\frac{16}{21}\) = \(\frac{58}{21}\)

\(\frac{x}{2 x+1}+\frac{2 x+1}{x}=\frac{58}{21}\) \(\frac{x^{2}+(2 x+1)^{2}}{(2 x+1) x}=\frac{58}{21}\) \(\frac{x^{2}+4 x^{2}+4 x+1}{2 x^{2}+x}=\frac{58}{21}\)

58 (2x² + x) = 21 (5x² + 4x + 1) (అడ్డగుణకారం చేయగా)
116x² + 58 x = 105x² + 84x + 21
116x² + 58 x – 105x² – 84x – 21 = 0
11x² – 26x – 21 = 0 …………… (1)
a = 11, b = – 26, c = -21
b² – 4ac = (- 26)² – 4 (11) (- 21)
= 676 + 924 = 1600
∴ వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-26) \pm \sqrt{1600}}{2(11)}=\frac{26 \pm 40}{22}\)

x = \(\frac{26+40}{22}=\frac{66}{22}=3\) లేదా

x = \(\frac{26-40}{22}=\frac{-14}{22}=\frac{-7}{11}\)
భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు పూర్ణ సంఖ్యలు. కావున
∴ x = 3.
లవము x = 3
హారము 2x + 1 = 7
కావలసిన భిన్నము = \(\frac{3}{7}\)

సరిచూచుట :
భిన్నము. + వ్యుత్రమం = \(\frac{3}{7}+\frac{7}{3}=\frac{9+49}{21}=\frac{58}{21}=2 \frac{16}{21}\)

(లేదా)

(1) ⇒ 11x² – 26x – 21 = 0

11x² – 33x + 7x – 21 = 0
11x (x – 3) + 7 (x – 3) = 0
(x – 3) (11x + 7) = 0
11 x (- 21) = – 231

3 × 7 × 11 = 231
x – 3 = 0
x = 3
11x + 7 = 0
11x = – 7
x = \(\frac{-7}{11}\)
భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు మళ్ళీ భిన్నాలు కాదు. కావున
x = 3
లవము x = 3
హారము 2x + 1 =7
∴ కావలసిన భిన్నము = \(\frac{3}{7}\)

ప్రశ్న 8.
29.4 మీ. ఎత్తుగల భవనం పైభాగం నుంచి 24.5 మీ/ – సేక. శాలి వేగుతో ఒక బంతి పైవైపుకు విసిరి వేయబడింది. ‘1 సెకనుల తరువాత భూమట్టం నుండి బంతి యొక్క ఎత్తు H = 29.4 + 24.5 t – 4.9 t² అయితే ఆ బంతి భూమిని ఎన్ని సెకనుల తరువాత . తాకుతుంది ?
సాధన.

తొలివేగం ‘U’ = 24.5
భూమట్టం నుండి బంతి యొక్క ఎత్తు H = 29.4 + 24.5 t- 4.9 t²
బంతి భూమట్టాన్ని, ‘t’ సెకనులలో చేరింది. అనగా భూమట్టం నుండి ఎత్తు H = 0
కనుక 29.4 + 24.5t – 4.9t² = 0 = H
⇒ 4.9 t² – 24.5t – 29.4 = 0
⇒ 4.9 [t² – 5t – 6] = 0
∴ t² – 5t – 6 = 0
⇒ t² – 6t + 1 – 6 = 0
⇒ t(t – 6) + 1(t – 6) = 0
(t- 6) (t + 1) = 0
⇒ t – 6 = 0
∴ t = 6
లేదా t + 1 = 0 ⇒ t = – 1 కాని ‘t’ ఋణాత్మకం కాదు.
కనుక t = 6
∴ బంతి భూమిని తాకిన కాలము = t = 6 సెకనులు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల మూలాల స్వభావమును తెలుపుము. ఒకవేళ వాస్తవ మూలాలు ఉంటే కనుగొనుము.

(i) 2x² – 3x + 5 = 0
సాధన.
2x² – 3x + 5 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 3, c = 5
విచక్షణి b² – 4ac = (- 3)² – 4(2) (5)
= 9 – 40
= – 31 < 0.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణ మూలాలు, వాస్తవ సంఖ్యలు కావు, సంకీర్ణ సంఖ్యలు అవుతాయి.

(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
సాధన.
3x² – 4√3 x + 4 = 0 .
a = 3, b = – 4/3, c = 4
విచక్షణి b² – 4ac = (- 4√3)² – 4(3) (4) = 48 – 48 = 0
కావున ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు. –
∴ మూలాలు x = \(\frac{-b}{2 a}\), \(\frac{-b}{2 a}\)
x = \(\frac{-(-4 \sqrt{3})}{2(3)}=\frac{4 \sqrt{3}}{6}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
మూలాలు \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) మరియు \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).

(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
సాధన.
2x² – 6x + 3 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 6, c = 3
విచక్షణి b² – 4ac = (- 6)² – 4(2) (3)
= 36 -24 = 12 > 0.
కావున మూలాలు రెండు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
∴ వర్గ సూత్రం నుండి
మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)}\)

= \(\frac{6 \pm \sqrt{12}}{4}\)

= \(\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{4}=\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వర్గ సమీకరణాలలో రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు వుంటే k విలువను కనుగొనుము.
(i) 2x² + kx + 3 = 0 –
సాధన.
2x² + kx + 3 = 0 వర్గ సమీకరణానికి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ఉంటే
విచక్షణి b² – 4ac = 0
a = 2, b = k, c = 3
b² – 4ac = (k)² – 4(2) (3) = 0
k² – 24 = 0
k² = 24
k = \(\sqrt{24}\) = ± 2√6
\(\sqrt{24}=\sqrt{4 \times 6}=\sqrt{2} \times \sqrt{6}\) = ± 2√6.

(ii) kx (x – 2) + 6 = 0
సాధన.
kx (x – 2) + 6 = 0
kx² – 2kx + 6 = 0
ఇక్కడ a = k, b = – 2k, c = 6
వర్గ సమీకరణం రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటే
విచక్షణి b² – 4ac = 0
(- 2k)² – 4(k) (6) = 0
4k² – 24k = 0
4k(k – 6) = 0
4k = 0
⇒ k = 0
k – 6 = 0 =
⇒ k = 6.
k = 0 అయితే kx(x – 2) + 6 = 0 వర్గ – సమీకరణాన్ని సూచించదు. కావున k ≠ 0.
∴ k = 6.

ప్రశ్న 3.
మామిడి పండ్లను నిల్వచేయుటకు 800 చ.మీ. వైశాల్యం వుంటూ, పొడవు వెడల్పు కంటే రెండు రెట్లు ఉండే విధంగా ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలమును ఏర్పాటు చేయగలమా ? చేయగలిగితే దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం వెడల్పు = x మీ.
వెడల్పు = 21 మీ. అనుకొనుము.
(∵ లెక్క ప్రకారం పొడవు వెడల్పుకు 2 రెట్లు)

కాని లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం వైశాల్యం = 800 చ.మీ.
2x . x = 800
2x² = 800
x² = 400 ………… (1)
x = 400 = ± 20.
x విలువ వాస్తవ సంఖ్య అవుతున్నది. కావున దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం ఏర్పాటు చేయగలము.
మరియు వెడల్పు × రుణాత్మకం కాదు. కావున
వెడల్పు x = 20 మీ.
∴ పొడవు 2x = 40 మీ.
(లేదా)
(1) ⇒ x² = 400
⇒ x² – 400 = 0
ఇది వర్గ సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది. మరియు దీనిని తృప్తిపరిచే X విలువ దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థల వెడల్పు అవుతుంది.
a = 1, b = 0, c = – 400
విచక్షణి b² – 4ac = (0)² – 4(1) (- 400) = 1600-> 0
∴ మూలాలు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
కావున దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలాన్ని ఏర్పాటు చేయవచ్చును. వర్గ సూత్రం నుంచి మూలాలు
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{(0) \pm \sqrt{1600}}{2(1)}=\frac{\pm 40}{2}\)

x = \(\frac{40}{2}\) = 20 లేదా x = \(\frac{-40}{2}\) = – 20

వెడల్పు రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 20
పొడవు x = 20 మీ.
వెడల్పు 2x = 40 మీ.

ప్రశ్న 4.
ఇద్దరి మిత్రుల వయస్సుల మొత్తం 20 సం||లు. నాలుగు సంవత్సరాల క్రితం వారి వయస్సుల లబ్దం 48. ఇది సాధ్యమేనా ? ఒకవేళ సాధ్యమైతే వారి వయస్సులను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇద్దరి మిత్రులలో : మొదటి వ్యక్తి వయస్సు = x సం||లు అనుకొందాం.

లెక్క ప్రకారం .4 సం||ల క్రితం వారి వయస్సుల లబ్ధం = 48
(x – 4) (16 – x) = 480
16x – x² – 64 + 4x = 48
x² – 20x + 112 = 0.
పై వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే x విలువ మొదటి వ్యక్తి వయస్సు అవుతుంది. ఇది వాస్తవం అవుతుందో, కాదో చూద్దాం
a = 1, b = – 20, c = 112
విచక్షణి b – 4ac = (- 20) – 4(1) (112).
= 400 – 448 = – 48 < 0
కావున ఈ వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలు కాదు. అందువలన ఇచ్చిన షరతులకు అనుగుణంగా వారి వయస్సులు ఉండుట అసాధ్యము.

ప్రశ్న 5.
చుట్టుకొలత 80మీ., వైశాల్యము 400 చ.మీ ఉండునట్లు ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కును తయారు చేయగలమా? చేయగలిగితే దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు = x మీ. ; వెడల్పు = y మీ. అనుకొనుము.

లెక్క ప్రకారం దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కు చుట్టుకొలత = 80 మీ.
∴ 2(x +.y) = 80
⇒ x + y = 40
y= 40 – x ………… (1)
మరియు వైశాల్యము = 400 చ.మీ.
∴ x. y = 400 లో (1) ని ప్రతిక్షేపించగా
x(40 -x) = 400
40x – x² = 400 –
– x² + 40x – 400 = 0
⇒ x² – 40x + 400 = 0.
పై వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే x విలువ దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు అవుతుంది. ఇది వాస్తవం అవుతుందో, కాదో చూద్దాం
a = 1, b = – 40, c = 400
విచక్షణి b² – 4ac = (- 40)² – 4(1) (400)
= 1600 – 1600= 0
మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు.
∴ x = \(\frac{-b}{2 a}=\frac{-(-40)}{2(1)}=\frac{40}{2}\)
∴ పొడవు x = 20 మీ.
∴ వెడల్పు y = 40 – 20 = 20 మీ. ((1) నుండి)
∴ పార్కు చతురస్రాకారంలో ఉంటుంది.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలకు మూలాలు వుండే వానిని వర్గంను పూర్తి చేయుట ద్వారా కనుగొనుము.

(i) 2x² + x – 4 = 0
సాధన.
\(\frac{2 x^{2}}{2}+\frac{x}{2}-\frac{4}{2}=\frac{0}{2}\) (ఇరువైపులా (1) కలుపగా)
x² + \(\frac{x}{2}\) – 2 = 0
x² + \(\frac{x}{2}\) = 2
x² + 2.\(\frac{1}{2}\).\(\frac{x}{2}\) = 2
[∵ \(\frac{x}{2}\) = 2.\(\frac{1}{2}\).\(\frac{x}{2}\)]
x² + 2.x.\(\frac{1}{4}\) + (\(\frac{1}{4}\))² = 2 + (\(\frac{1}{4}\))²
(x + \(\frac{1}{4}\))² = 2 + \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{32+1}{16}\)
(x + \(\frac{1}{4}\))² = \(\frac{33}{16}\)
⇒ x + \(\frac{1}{4}\) = \(\sqrt{\frac{33}{16}}=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}\)
మూలాలు x = – \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)
లేదా x = – \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)
x = \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) లేదా x = \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

(ii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
సాధన.
4x² + 4√3 x+ 3 = 0
x² + \(\frac{4 \sqrt{3} x}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{0}{4}\)
(ఇరువైపులా 4 తో భాగించగా)
x² + √3x = – \(\frac{3}{4}\)
x² + 2.\(\frac{1}{2}\).√3x = – \(\frac{3}{4}\)
x² + 2.x.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{-3}{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\)
ఇరువైపులా \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) కలుపగా

\(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{-3}{4}+\frac{3}{4}\)

\(\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) = 0

∴ x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0
⇒ x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
∴ మూలాలు – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

2వ పద్దతి :
4x² + 4 √3x + 3 = 0
(2x)² + 2 . 2x . √3 + (√3)² = 0
a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ (2x + √3)² = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానము.
2x + √3 = 0
2x = – √3
⇒ x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ మూలాలు – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

(iii) 5x² – 7x – 6 = 0
సాధన.
5x² – 7x – 6 = 0
ఇరువైపులా 5 తో భాగించగా
x² – \(\frac{7}{5}\) x – \(\frac{6}{5}\) = 0
x² – \(\frac{7}{5}\) x = \(\frac{6}{5}\)
x² – 2 . \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{7}{5}\)x = \(\frac{6}{5}\)
x² – 2.x.\(\frac{7}{10}\) + (\(\frac{7}{10}\))² = \(\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}\)
ఇరువైపులా (\(\frac{7}{10}\))² కలుపగా

∴ మూలాలు 2 లేదా – \(\frac{3}{5}\)

(iv) x² + 5 = 6x
సాధన.
x² + 5 = – 6x
x² + 6x + 5 = 0
x² + 6x = -5
x² + 2.\(\frac{1}{2}\).6x = – 5
∴ ఇరువైపులా (3)² ను కలుపగా
x² + 2.x.3 + 3² = – 5 + 3²
(x + 3)² = 4
x + 3 = √4 = ± 2
x + 3 = 2
x + 3 = – 2
x = 2 – 3
x = -1
x = – 2 – 3
x = – 5
మూలాలు – 1 మరియు – 5.

ప్రశ్న 2.
సూత్రమును ఉపయోగించి 1వ ప్రశ్నలోని సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) 2x² + x – 4 = 0
సాధన.
2x² + x – 4 = 0,
a = 2, b = 1, c = – 4
b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (- 4)
= 1 + 32 = 33
వర్గ సూత్రం x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
= \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2(2)}\)
= \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\)
∴ x = \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) లేదా \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)
∴ మూలాలు \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) మరియు \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

(ii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
సాధన.
4x² + 4√3 x + 3 = 0
a = a, b = 4√3, c = 3
b² – 4ac = (4√3)² – 4 (4) (3)
= 48 – 48 = 0
ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానాలు. వర్గ సూత్రం నుండి ,
x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
= \(\frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)}\)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\), మరియు \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\).

(iii) 5x² – 7x – 6 = 0
సాధన.
5x² – 7x – 6 = 0
a = 5, b = – 7, c = – 6
b² – 4ac = (- 7)² – 4 (5) (- 6)
= 49 + 120 = 169
వర్గ సూత్రం

∴ మూలాలు 2 మరియు \(-\frac{3}{5}\)

(iv) x² + 5 = – 6x
సాధన.
x² + 5 = – 6x
x² + 6x + 5 = 0
a = 1; b = 6; c = 5
b² – 4ac = (6)² – 4 (1) (5)
= 36 – 20 = 16
వర్గ సూత్రం x = – \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2(1)}=\frac{-6 \pm 4}{2}\)

∴ x = \(\frac{-6+4}{2}=\frac{-2}{2}\) = – 1 లేదా
x = \(\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}\) = – 5
∴ మూలాలు – 1 మరియు – 5.

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) x – \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
సాధన.
x – \(\frac{1}{x}\) = 3
\frac{x^{2}-1}{x}\(\) = 3
x² – 1 = 3x
x² – 3x – 1 = 0
a = 1, b = – 3, c = –
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 1)
= 9 + 4 = 13
వర్గ సూత్రం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)

x = \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) లేదా x = \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\)

∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\)

(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ – 4, 7
సాధన.

అడ్డగుణకారం చేయగా
(x + 4) (x – 7) = – 30
– x² – 7x + 4x – 28 = – 30
x² – 3x – 28 + 30 = 0
x² – 3x + 2 = 0
a = 1, b = – 3, c = 2
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (2)
= 9 – 8 = 1
వర్గ సూత్రం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3 \pm 1}{2}\)

∴ x = \(\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}\) = 2 లేదా \(\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}\) = 1

∴ మూలాలు 2 మరియు 1.
గమనిక :
సమీకరణం (1) ని కారణాంక. విభజన పద్దతితో కూడా సాధించవచ్చును.

x² = 2
x² – 3x + 2 = 0
x² – 2x – x + 2 = 0
x(x – 2) – 1 (x – 2) = 0
(x – 2) (x – 1) = 0
x – 2 = 0
x = 2
x – 1 = 0.
x = 1
x = 2 లేదా 1.

ప్రశ్న 4.
3 సం||ల క్రితము రహమాన్ వయస్సు యొక్క వ్యుత్రమము, 5 సం||ల తరువాత అతని వయస్సు యొక్క వ్యుత్తమముల మొత్తము , అయిన అతని – – ప్రస్తుత వయస్సు ఎంత ?
సాధన.
రహమాన్ ప్రస్తుత వయస్సు = x సం||లు అనుకొందాం.

లెక్క ప్రకారం \(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)

\(\frac{(x+5)+(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\) \(\frac{2 x+2}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\)

అడ్డగుణకారం చేయగా
(x – 3) (x + 5) = 3 (2x + 2)
x² + 5x – 3x – 15 = 6x + 6
x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
x² – 4x – 21 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 4, c = – 21
b² – 4ac = (- 4)² – 4 (1) (- 21)
= 16 + 84 = 100
వర్గ సూత్రం .. .
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-4) \pm \sqrt{100}}{2(1)}\)

= \(\frac{4 \pm 10}{2}\)

x = \(\frac{4+10}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 లేదా

x = \(\frac{4-10}{2}=\frac{-6}{2}\) = – 3.

వయస్సు రుణాత్మకం కాదు.
∴ x = 7. అనగా రహమాన్ ప్రస్తుత వయస్సు = 7 సం||.

సరిచూచుట :
3 సం|| క్రితం రహమాన్ వయస్సు = 7 – 3 = 4 ప్యమం
వ్యుత్కమం = \(\frac{1}{4}\)
5 సం|| తర్వాత రహమాన్ వయస్సు = 7 + 5 = 12
ద్యుతమం = \(\frac{1}{12}\)
వృత్కమాల మొత్తం = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{12}\)
= \(\frac{3+1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 5.
మౌళికకు గణితములో మరియు ఇంగ్లీషులో వచ్చిన మార్కుల మొత్తము 30. ఆమెకు ఒకవేళ గణితంలో 2 మార్కులు ఎక్కువగా, ఇంగ్లీషులో 3 మార్కులు తక్కువగా వచ్చి వుంటే ఆ’ రెండింటి యొక్క లబ్ధము 210 అయివుండేది. అయిన ఆమెకు రెండు సబ్జెక్టులలో వచ్చిన మార్కులను కనుగొనుము.
సాధన.
మౌళికకు గణితంలో వచ్చిన మార్కులు = x అనుకొనిన
ఇంగ్లీషులో వచ్చిన మార్కులు = 30 – x (∵ గణితం మరియు ఇంగ్లీషులలో వచ్చిన మార్కుల మొత్తం 30)
ఒకవేళ గణితంలో రెండు మార్కులు ఎక్కువగా వచ్చినచో వచ్చే మార్కులు = x + 2 .
ఇంగ్లీషులో మూడు మార్కులు తక్కువగా వచ్చినచో వచ్చే మార్కులు = (30 – x) – 3 = 27 – x.
లెక్క ప్రకారం పై రెండు మార్కుల లబ్దం = 210
∴ (x + 2) (27 – x) = 210
27 x – x² + 54 – 2x = 210
– x² + 25x + 54 – 210 = 0
– x² + 25x – 156 = 0
x² – 25x + 156 = 0
(∵ – 1 తో ఇరువైపులా గుణించగా)
ఇక్కడ a = 1, b = – 25, c = 156
b² – 4ac = (- 25)² – 4 (1) (156)
= 625 – 624 = 1
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-25) \pm \sqrt{1}}{2(1)}=\frac{25 \pm 1}{2}\)

x = \(\frac{25+1}{2}=\frac{26}{2}\) లేదా x = \(\frac{25-1}{2}=\frac{24}{2}\) = 12
x = 13 అయిన గణితంలో మార్కులు = 13
ఇంగ్లీషులో మార్కులు = 30 – 13 = 17

సరిచూచుట :
(13 + 2) (17 – 3) = 15 × 14 = 210
x = 12 అయిన
గణితంలో మార్కులు = 12
ఇంగ్లీషులో మార్కులు = 30 – 12 = 18

సరిచూచుట (12 + 2) (18 – 3)
= 14 × 15 = 210

ప్రశ్న 6.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము యొక్క కర్ణము దాని వెడల్పు కంటే 60 మీ. ఎక్కువ. మరియు పొడవు, వెడల్పు కంటే 30 మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము యొక్క కొలతలను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు = x మీ. అనుకొనుము. ‘
కర్ణము = (x + 60) మీ.
పొడవు = (x + 30) మీ. అవుతాయి.
∆ ABC లంబకోణ త్రిభుజము

∴ పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రక రం
AB² + BC² = AC²
(x + 30)² + x² = (x + 60)²
x² + 60x + 900 + x² = x² + 120x + 3600
2x² + 60x + 900 – x² – 120x – 3600 = 0
x² – 60x – 2700 = 0 ఇక్కడ a = 1, b = – 60, c = – 2700
b² – 4ac = (- 60)² – 4 (1) (- 2700)
= 3600 + 10800 = 14400
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-60) \pm \sqrt{14400}}{2(1)}=\frac{60 \pm 120}{2}\)

∴ x = \(\frac{60+120}{2}=\frac{180}{2}\) = 90 లేదా

x = \(\frac{60-120}{2}=\frac{-60}{2}\) = – 30

దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు ఋణాత్మకం కాదు.
కావున x = 90.
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు x = 90 మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు (x + 30) = 120 మీ.
కర్ణం (x + 60) = 150 మీ.

సరిచూచుట :
AB² + BC² = (120)² + (90)²
= 14400 + 8100
= 22500 = AC^2.

ప్రశ్న 7.
రెండు సంఖ్యల వర్గాల భేదము 180. చిన్న సంఖ్య యొక్క వర్గము, పెద్దదానికి 8 రెట్లు అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
పెద్ద సంఖ్య = x
చిన్న సంఖ్య = y అనుకొందాం.
రెండు సంఖ్యల వర్గాల భేదము 180.
x² – y² = 180 …………. (1)
మరియు చిన్న సంఖ్య యొక్క వర్గము పెద్ద సంఖ్యకు 8 రెట్లు
y² = 8x ……….. (2)
(2) ను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x – 180 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 8, c = – 180
b² – 4ac = (- 8)² – 4 (1) (- 180)
= 64 + 720 = 784
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-8) \pm \sqrt{784}}{2(1)}=\frac{8 \pm 28}{2}\)

x = \(\frac{8+28}{2}=\frac{36}{2}\) =18 లేదా x = \(\frac{8-28}{2}=\frac{-20}{2}\) = – 10
x = 18 అయిన
y² = 8 x 18 = 144
y = \(\sqrt(144)\) = ± 12
y = 12 లేదా – 12
x = – 10 అయిన
y² = 8 (- 10) = – 80
కాని ఇది అసాధ్యము (వర్గం రుణాత్మకం కాదు)
పెద్ద సంఖ్య 18
చిన్న సంఖ్య 12 లేదా – 12

సరిచూచుట :
18, 12 అయిన వర్గాల తేడా
18² – 12² = 324 – 144 = 180
18, – 12 అయిన వర్గాల తేడా
18² – (-12)² = 324 – 144 = 180.

ప్రశ్న 8.
ఒక రైలు 360 కి.మీ. దూరమును ఏకరీతి వేగముతో ప్రయాణించును. దీని వేగము గంటకు 5 కి.మీ. పెరిగిన అదే దూరమును ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలము 1 గంట తగ్గును. అయిన రైలు వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
రైలు వేగము = x కి.మీ./గం. అనుకొందాం.
రైలు ప్రయాణించే దూరం = 360 కి.మీ. –
దూరం 360 రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం =
రైలు వేగము గంటకు 5 కి.మీ. పెరిగినప్పుడు రైలు వేగం = (x + 5) కి.మీ./గం.
360 ఇప్పుడు రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{x+5}\) గం.
లెక్క ప్రకారం \(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}\) = 1

360 \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}\right)\) = 1

360 \(\left(\frac{x+5-x}{x(x+5)}\right)\) = 1

\(\frac{5}{x^{2}+5 x}=\frac{1}{360}\)

x² + 5x = 360×5
x² + 5x = 1800
∴ x² + 5x – 1800 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 5, c = – 1800
b² – 4ac = 5² – 4 (1) (- 1800)
= 25 + 7200 = 7225
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2(1)}=\frac{-5 \pm 85}{2}\)

∴ x = \(\frac{-5+85}{2}=\frac{80}{2}\)= 40 లేదా

x = \(\frac{-5-85}{2}=\frac{-90}{2}\) = 45
రైలు వేగం రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 40
∴ రైలు వేగం = 40 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
40 కి.మీ/గం. వేగంతో 360 కి.మీ ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{40}\) = 9 గం.
(40 + 5) = 45 కి.మీ/గం.
వేగంతో 360 కి.మీ ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{360}{45}\) = 8 గం.

ప్రశ్న 9.
రెండు కుళాయిలు కలిసి ఒక నీళ్ల ట్యాంకును 9\(\frac{3}{8}\) గం||లలో నింపును. ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి ఒక్కటే, తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నింపే సమయమునకు 10 గం|| తక్కువ సమయంలో నింపును. అయితే ఒక్కొక్క కుళాయి విడివిడిగా ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలమును కనుగొనుము.
సాధన.
తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళ ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = x గం|| అనుకొంటే
తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x}\)
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి ట్యాంకు నింపేందుకు పట్టే కాలం = (x – 10) గం||
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x-10}\)
రెండు కుళాయిలు కలిసి 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-10}\)
లెక్క ప్రకారం రెండు కుళాయిలు కలిసి నీళ్ళ ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = 9\(\frac{3}{8}\) గం. = \(\frac{75}{8}\) గం.
రెండు కుళాయిలు కలసి 1 ‘గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{\frac{75}{8}}=\frac{8}{75}\)
కావున \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{8}{75}\)

\(\frac{x-10+x}{x(x-10)}=\frac{8}{75}\)

\(\frac{2 x-10}{x(x-10)}=\frac{8}{75}\)
అడ్డగుణకారం చేయగా
8x (x – 10) = 75 (2x – 10)
8x² – 80x = 150x – 750
8x² – 80x – 150 x + 750 = 0
8x² – 230x + 750 = 0
ఇక్కడ a = 8, b = – 230, c = 750
b² – 4ac = (- 230)² – 4 (8) (750)
= 52900 – 24000 = 28900
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-230) \pm \sqrt{28900}}{2(8)}\)

28900 = 289 × 100
= 17 × 17 × 10 × 10
= (17 × 10)²
= (170)²
= \(\frac{230 \pm 170}{16}\)
x = \(\frac{230+170}{16}=\frac{400}{16}\) = 25 లేదా
x = \(\frac{230-170}{16}=\frac{60}{16}=3 \frac{3}{4}\)
x = 25 అయిన x – 10 = 25 – 10 = 15
∴ తక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళట్యాంకు నింపుటకు పట్టే కాలం = 25 గం.
ఎక్కువ వ్యాసమున్న కుళాయి నీళ్ళట్యాంకు నింపుటకు పట్టే కాలం = 15 గం.
x = 3\(\frac{3}{4}\)
x – 10 = 3\(\frac{3}{4}\) – 10
ఇది రుణాత్మకం. ఇది అసాధ్యము.

సరిచూచుట :
రెండు కుళాయిలు కలిసి తొట్టిని 1 గంటలో నింపే భాగం = \(\frac{1}{25}+\frac{1}{15}=\frac{3+5}{75}=\frac{8}{75}\)
రెండు కుళాయిలు ట్యాంకును నింపుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{75}{8}\) గం. = \(\frac{3}{8}\) గం.

ప్రశ్న 10.
మైసూరు, బెంగళూరు మధ్య 132 కి.మీ. దూరమును ప్రయాణించుటకు ఒక ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు, ప్యాసింజర్ రైలు కంటే 1 గంట సమయము తక్కువ తీసుకొంటుంది. (మధ్యలో ఆగే సమయాలను లెక్కలోకి తీసుకోలేదు) ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు సగటు వేగము, ప్యాసింజర్ రైలు వేగం కంటే 11కి.మీ/గ్రంట ఎక్కువ అయిన రెండు రైళ్ల వేగాలను కనుగొనుము.
సాధన.
ప్యాసింజర్ రైలు సగటు వేగం = x కి.మీ/గం.
అనుకొంటే ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు సగటు వేగం = (x + 11) కి.మీ./గం.
మైసూర్, బెంగళూరుల మధ్య దూరం = 132 కి.మీ.
మైసూర్, బెంగళూరుల మధ్య ప్రయాణానికి ప్యాసింజర్ రైలుకు పట్టే కాలం = \(\frac{132}{x}\) గం.
132 ఎక్స్ ప్రెస్ రైలుకు పట్టే కాలం = \(\frac{132}{x+11}\) గం.
లెక్క ప్రకారం ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు, ప్యాసింజర్ రైలుకన్నా 1 గం. సమయం తక్కువ తీసుకుంటుంది.
\(\frac{132}{x+11}=\frac{132}{x}-1\)

\(\frac{132}{x+11}-\frac{132}{x}\) = – 1

\(\frac{132 x-132(x+11)}{x(x+11)}\) = – 1

132x – 132x – 1452 = -x (x + 11)
– 1452 = – x² – 11 x
– x² + 11 x – 1452 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 11, c = – 1452
∴ b² – 4ac = (11)² – 4 (1) (- 1452)
= 121 – 5808 = 5929
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-11 \pm \sqrt{5929}}{2(1)}\)

x = \(\frac{-11 \pm 77}{2}\)

5929 = 11 × 11 × 7 × 7
= (11 × 7)² = (77)²
∴ x = \(\frac{-11+77}{2}=\frac{66}{2}\) = 33 లేదా

x = \(\frac{-11-77}{2}=\frac{-88}{2}\) = – 44

రైలు వేగము రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 33.
∴ ప్యాసింజర్ రైలు వేగం x = 33 కి.మీ./గం.
ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు వేగం = (x + 11)
= 33 + 11 = 44 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
ప్యాసింజర్ రైలు ప్రయాణ కాలం = \(\frac{132}{33}\) = 4 గం.
ఎక్స్ ప్రెస్ రైలు ప్రయాణ కాలం = \(\frac{132}{44}\) = 3 గం.

ప్రశ్న 11.
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తం 468 చ.మీ వాని చుట్టుకొలతల భేదము 24 మీ. అయిన ఆ రెండు చతురస్రాల భుజాలను కనుగొనుము.
సాధన.
రెండు చతురస్రాల యొక్క భుజాలు వరుసగా x మీ., y మీ అనుకొందాం.
వైశాల్యం = y²
చుట్టుకొలత = 4y
వైశాల్యం = x²
చుట్టుకొలత = 4x
లెక్క ప్రకారం,
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాలు మొత్తం = 468 చ.మీ.
x² + y² = 468 ……….. (1)
మరియు వాటి చుట్టుకొలతల భేదం = 24 మీ.
4x – 4y = 24
4(x – y) = 24
x – y = \(\frac{24}{4}\) = 6.
x – 6 = y ను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా
x² + (x – 6)² = 468
x² + x² – 12x + 36 = 468
2x² – 12x + 36 – 468 = 0
2x² – 12x – 432 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 12, c = – 432
b² – 4ac = (- 12)² – 4 (2) (-432)
= 144 + 3456 = 3600
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-(-12) \pm \sqrt{3600}}{2(2)}\)

x = \(\frac{12 \pm 60}{4}\)

x = \(\frac{12+60}{4}=\frac{72}{4}\) లేదా

x = \(\frac{12-60}{4}=\frac{-48}{4}\)
చతురస్ర భుజం కొలత ఋణాత్మకం కాదు. కావున x = 18 ,
18 – 6 = y
y = 12
రెండు చతురస్రాల భుజాలు 18 మీ. మరియు 12మీ.

సరిచూచుట :
రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల భేదం = 18² – 12²
= 324 – 144 = 180.

ప్రశ్న 12.
‘n’ భుజాలు గల ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య \(\frac{1}{2}\) n (n – 3). అయితే 65 కర్ణాలు గల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య ఎంత ? 50 కర్ణాలు గల బహుభుజి వ్యవస్థితమౌతుందా ?
సాధన.
n భుజాలు గల బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) n(n – 3)
లెక్క ప్రకారం బహుభుజి యొక్క కర్ణాల సంఖ్య = 65
∴ \(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 65
n² – 3n = 130
n² – 3n – 130 = 0
ఇది n లో వర్గ సమీకరణము.
a = 1, b = – 3, c = – 130
∴ b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (-130)
= 9 + 520 = 529
వర్గ సూత్రం n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

n = \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{529}}{2(1)}=\frac{3 \pm 23}{2}\)

n = \(\frac{3+23}{2}=\frac{26}{2}\) = 13

n = \(\frac{3-23}{2}=\frac{-20}{2}\) = – 10
భుజాల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు. కావున
∴ n = 13
∴ కర్ణాల సంఖ్య 65 గల బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య n = 13

(ii) కర్ణాల సంఖ్య 50 అయితే
\(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 50
n (n – 3) = 100
n² – 31 – 100 = 0
ఇది n లో వర్గ సమీకరణము ……….. (1)
a = 1, b = – 3, c = – 100
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 100)
= 9 + 400 = 409
వర్గ సూత్రం n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
n = \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{409}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{409}}{2}\)
409 ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య కాదు. అనగా దీని వర్గమూలం పూర్ణసంఖ్య కాదు. కావున n విలువ పూర్ణ సంఖ్య కాదు.
కావున కర్ణాల సంఖ్య 50 గా గల బహుభుజి వ్యవస్థితం కాదు.

2వ పద్ధతి :
\(\frac{1}{2}\) n (n – 3) = 50
∴ n² – 3n = 100
n² – 3n – 100 = 0
a = 1, b = – 3, c = – 100
b² – 4ac = (- 3)² – 4 (1) (- 100)
= 9 + 400 = 409

b² – 4ac > 0 మరియు ఖచ్ఛిత వర్గ సంఖ్య కాదు. కావున వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలై కరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయి. అంటే n విలువ కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. కాని బహుభుజి భుజాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు 3 కన్నా పెద్దదైన సహజ సంఖ్య. కావున కర్ణాల సంఖ్య 50 గా గల బహుభుజి వ్యవస్థితం కాదు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 1.
కారణాంక పద్ధతిన క్రింది వర్గ సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.
(i) x² – 3x – 10 = 0
సాధన.
x² – 3x – 10 = 0

x² – 5x + 2x – 10 = 0
x (x – 5) + 2(x – 5) = 0
(x – 5) (x + 2) = 0
x – 5 = 0
x = 5
x + 2 = 0
x = – 2.
∴ మూలాలు 5 మరియు – 2.

(ii) 2x²2 + x – 6 = 0
సాధన.
2x² + x – 6 = 0

2x² – 3x + 4x – 6 = 0
x (2x – 3) + 2(2x – 3) = 0
(2x – 3) (x + 2) = 0
2x – 3 = 0
2x = 3
x + 2 = 0
x = – 2
∴ మూలాలు , మరియు – 2.

(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
సాధన.
√2 x² + 7x + 5√2 = 0

√2 x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
x(√2 x + 5) + √2 (√2 x + 5) = 0
(√2 x + 5) (x + √2) = 0
√2x + 5 = 0
√2x = – 5
x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\)

x + √2 = 0
x = – √2
∴ మూలాలు \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\), మరియు – √2.

(iv) 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
సాధన.
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0

\(\frac{16 x^{2}-8 x+1}{8}\) = 0
∴ 16x² – 4x + 4x + 1 = 0
4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0.
(4x – 1)(4x – 1) = 0
4x – 1 = 0
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)

4x – 1 = 0
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)

∴ మూలాలు \(\frac{1}{4}\), మరియు \(\frac{1}{4}\)

(v) 100x² – 20x + 1 = 0
సాధన.
100x² – 20x + 1 = 0

100x² – 10x – 10x + 1 = 0
10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0
(10x – 1) (10x – 1) = 0
(10x – 1)² = 0
10x – 1 = 0
10x = 1
x = \(\frac{1}{10}\) ఈ సందర్భంలో మూలాలు సమానం.
∴ మూలాలు \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{10}\).

(vi) x(x + 4) = 12
సాధన.
x(x + 4) = 12

x² + 4x = 12
x² + 4x – 12 = 0
x² – 2x + 6x – 12 = 0
x(x – 2) + 6(x – 2) = 0
(x – 2) (x + 6) = 0
x – 2 = 0
x = 2

x + 6 = 0
x = – 6
∴ మూలాలు 2 మరియు – 6.

(vii) 3x² – 5x + 2 = 0
సాధన.
3×2 – 5x + 2 = 0

3x² – 2x – 3x + 2 = 0
x (3x – 2) – 1(3x – 2) = 0
(3x – 2) (x – 1) = 0
3x – 2 = 0
3x = 2
x = \(\frac{2}{3}\)

x – 1 = 0
x = 1
∴ మూలాలు \(\frac{2}{3}\), మరియు 1.

(viii) x – \(\frac{3}{x}\) = 2
సాధన.
x – \(\frac{3}{x}\) = 2

\(\frac{x^{2}-3}{x}\) = 2
x² – 3 = 2x
x² – 2x – 3 = 0
x² – 3x + x – 3 = 0 –
x (x – 3) + 1(5 – 3) = 0.
(x – 3) (x + 1) = 0
x – 3 = 0
x = 3
x + 1 = 0
x = – 1
∴ మూలాలు 3 మరియు – 1.

(ix) 3(x – 4)² – 5(x – 4) = 12
సాధన.
3(x – 4)² – 5(x – 4) = 12
x – 4 = t అనుకొంటే

3t² – 5t = 12.
3t² – 5t – 12 = 0
3t² – 9t + 4t – 12 = 0.
3t (t – 3) + 4(t – 3) = 0
(t – 3) (3t + 4) = 0
t – 3 = 0
t = 3
3t + 4 = 0
3 t = – 4
3 t = \(\frac{-4}{3}\)
కాని x – 4 = t
x – 4 = 3
x = 3 + 4 = 7
x – 4 = \(\frac{-4}{3}\)
x = \(\frac{-4}{3}\) + 4
x = \(\frac{-4+12}{3}\)
x = \(\frac{8}{3}\)
∴ మూలాలు 7 మరియు \(\frac{8}{3}\).

ప్రశ్న 2.
మొత్తము 27, లబ్ధము 182 అయ్యే విధంగా రెండు సంఖ్యలను – కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక సంఖ్య = x అనుకొందాం.
రెండవ సంఖ్య = 27 – x
(∵ రెండు సంఖ్యల మొత్తం 27)
లెక్క ప్రకారం రెండు సంఖ్యల లబ్దం = 182

x(27 – x) = 182
27x – x² = 182
– x² + 27x – 182 = 0
x² – 27x + 182 = 0
x² – 13x – 14x + 182 = 0
x(x – 13) – 14(x – 13) = 0
(x – 13) (x – 14) = 0
x – 13 = 0
x = 13
x – 14 = 0
x = 14
ఒక సంఖ్య x = 13 అయిన రెండవ సంఖ్య = 27 – x = 27 – 13 = 14
ఒక సంఖ్య x = 14 అయిన రెండవ సంఖ్య = 27 – x = 27 – 14 = 13
∴ కావలసిన సంఖ్యలు 13, 14

సరిచూసుకోవడం :
13 × 14 = 182

ప్రశ్న 3.
రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తము 613 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి సంఖ్య = x అనుకొందాం.
రెండవ సంఖ్య = x + 1
(∵ రెండు సంఖ్యలు వరుస ధనపూర్ణ సంఖ్యలు)
రెండు వరుస ధనపూర్ణ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = 613
x² + (x + 1)² = 613

x² + x² + 2x + 1 = 613
2x² +2x + 1 – 613 = 0
2x² + 2x – 612 = 0
2(x² + x – 306) = 0
x² + x – 306 = 0
x² – 17x + 18x – 306 = 0
x(x – 17) + 18(x – 17) = 0
(x – 17) (x + 18) = 0
x – 17 = 0
x = 17
x + 18 = 0
x = – 18
∴ x = – 18 ధనపూర్ణ సంఖ్య కాదు.
∴ x = 17 ధనపూర్ణ సంఖ్య
మొదటి సంఖ్య x = 17 .
రెండవ సంఖ్య = x + 1 = 17 + 1 = 18

సరిచూసుకోవడం :
17² + 18² = 289 + 324 = 613.

ప్రశ్న 4.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు దాని భూమి కంటే 7 సెం.మీ. తక్కువ. కర్ణము పొడవు 13 సెం.మీ. అయిన మిగిలిన రెండు భుజాలను కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భూమి = x సెం.మీ. . అనుకొనుము.
ఎత్తు = (x – 7) సెం.మీ.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం భుజము 2 + భుజము 2 = కర్ణము?
x² + (x – 7)² = 132
x² + x² – 14x + 49 = 169
2x² – 14x + 49 – 169 = 0
2x² – 14x – 120 = 0
2(x² – 7x – 60) = 0
x² – 7x – 60 = 0

x² – 12x + 5x – 60 = 0
(x – 12) + 5(x – 12) = 0
(x – 12) (x + 5) = 0
x – 12 = 0
x = 12
x + 5 = 0
x = – 5 త్రిభుజ భుజం కొలత రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 12 భూమి = 12 సెం.మీ.
ఎత్తు = x – 7 = 12 – 7 = 5 సెం.మీ.

సరిచూచుట :
భూమి 2 + ఎత్తు = 122 + 52
= 144 + 25 = 169
= (13)² = కర్ణం².

ప్రశ్న 5.
ఒక కుటీర పరిశ్రమలో ప్రతిరోజు ఒక నియమిత సంఖ్యలో వస్తువులను తయారు చేస్తారు. ఒక రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు (రూపాయిలలో) ఆ రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్యకు రెట్టింపు కంటే -3 ఎక్కువ. ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల ఖరీదు ₹ 90 అయిన ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల సంఖ్య మరియు ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్య = x అనుకొందాం.
ఆ రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు = 2x + 3
(∵ ఆ రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్యకు రెట్టింపు కంటే 3 ఎక్కువ).
ఆ రోజు తయారైన మొత్తం వస్తువుల ఖరీదు = ₹ 90
x(2x + 3) = 90
2x² + 3x = 90

2x² + 3x – 90 = 0.
2x² – 12x + 15x – 90 = 0
2x (x – 6) + 15 (x – 6) = 0
(x – 6) (2x + 15) = 0
2x + 15 = 0
2x = – 15
x = \(\frac{-15}{2}\)
x – 6 = 0
x = 6
వస్తువుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు.
కావున ఒక రోజు తయారైన వస్తువుల సంఖ్య = 6
ఆ రోజు తయారైన ఒక్కొక్క వస్తువు ఖరీదు = 2 × (6) + 3 = 12 + 3 = ₹ 15

సరిచూచుకోవడం :
మొత్తం ఖరీదు 6 × 15 = 90

ప్రశ్న 6.
ఒక దీర్ఘచతురస్రము యొక్క చుట్టుకొలత 28 మీ. మరియు దాని వైశాల్యం 40 చ.మీ. అయిన దీర్ఘచతురస్రము యొక్క కొలతలను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర పొడవు = x మీ.
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు = y మీ. అనుకొనుము.

లెక్క ప్రకారం దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత = 28 మీ.
2 (x + y) = 28
⇒ x + y = \(\frac{28}{2}\) = 14
⇒ y = 14 – x …………. (1)
మరియు దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 40 చ.మీ.
x . y = 40 ………… (2)
(1) & (2) ల నుండి
x (14 – x) = 40
14x – x² = 40
– x² + 14x – 40 = 0
x² – 14x + 40 = 0
x² – 10x – 4x + 40 = 0
x(x – 10) – 4(x – 10) = 0
(x – 10) (x – 4) = 0
x – 10 = 0
x = 10
x – 4 = 0
x = 4
పొడవు x = 10 మీ. అయితే ఈ వెడల్పు 14 – x = 14 -10 = 4 మీ.
పొడవు 4 మీ. అయితే వెడల్పు 14 – 4 = 10 మీ.
∴ దీర్ఘచతురస్ర కొలతలు 10 మరియు 4.

ప్రశ్న 7.
ఒక త్రిభుజము యొక్క భూమి, దాని ఎత్తు కంటే 4 సెం.మీ. ఎక్కువ. ఈ త్రిభుజ వైశాల్యము 48 చ.సెం.మీ. అయిన దాని భూమిని, ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
త్రిభుజము యొక్క ఎత్తు = x సెం.మీ. అనుకొనిన
భూమి = (x + 4) సెం.మీ.
లెక్క ప్రకారం త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యము = 48 చ.సెం.మీ.
\(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు = 48
\(\frac{1}{2}\) × (x + 4) x = 48
\(\frac{1}{2}\) × (x² + 4x) = 48

x² + 4x = 96
x² + 4x-96 = 0
x² – 8x + 12x – 96 = 0
x(x – 8) + 12(x – 8) = 0
(x – 8) (x + 12) = 0
x – 8 = 0
x = 8
x + 12 = 0
x= – 12
త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 8.
∴ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు x = 8 సెం.మీ.

సరిచూచుకోవడం :
భూమి x + 4 = 8 + 4 = 12 సెం.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 12 = 48 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 8.
రెండు రైళ్లు ఒక స్టేషన్ నుంచి ఒకే సమయంలో ఒకటి పడమరకు, మరియొకటి ఉత్తరం వైపుకు బయలుదేరును. మొదటి రైలు, రెండవ రైలు కంటే 5 కి.మీ./గంట ఎక్కువ వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. అవి బయలుదేరిన రెండు గంటల తరువాత ఒకదానికొకటి 50 కి.మీ. దూరంలో వున్న ఒక్కొక్క రైలు సగటు వేగం ఎంత ?
సాధన.
రెండవ రైలు వేగం = x కి.మీ./గం. అనుకొనిన ,
మొదటి రైలు వేగం = (x + 5) కి.మీ/గం.
రెండు రైళ్ళు B వద్ద బయలుదేరాయి అనుకొంటే
దూరం = కాలం × వేగం
2 గంటలలో మొదటి రైలు ప్రయాణించిన దూరం BC = 2(x + 5) = 2x + 10
రెండవ రైలు ప్రయాణించిన దూరం BA = 2x

ABC లంబకోణ త్రిభుజము AB² + BC² = AC (∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం) ,
(2x)² + (2x + 10)² = 50²
4x² + (2x)² + 2.2x. 10 + 10² = 2500
4x² + 4x² + 40x + 100 = 2500
8x² + 40x + 100 – 2500 = 0
8x² + 40x – 2400 = 0
8(x² + 5x – 300) = 0
x² + 5x – 300 = 0

x² – 15x + 20x – 300 = 0
x(x – 15) + 20(x – 15) = 0
(x – 15) (x + 20) = 0
x – 15 = 0
x = 15
x + 20 = 0
x = – 20
వేగము రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 15.
∴ రెండవ రైలు వేగం x = 15 కి.మీ/గం.
మొదటి రైలు వేగం x + 5 = 15 + 5 = 20 కి.మీ/గం.

ప్రశ్న 9.
60 మంది విద్యార్థులు గల తరగతిలో ప్రతి అబ్బాయి, అమ్మాయిల సంఖ్యకు సమానమైన సొమ్మును, ప్రతి అమ్మాయి అబ్బాయిల సంఖ్యకు సమానమైన సొమ్మును చందాగా ఇచ్చారు. మొత్తం వసూలైన సొమ్ము ₹ 1600 అయిన తరగతిలో ఎంత మంది అబ్బాయిలు గలరు ?
సాధన.
తరగతిలోని అబ్బాయిల సంఖ్య = x
అనుకొనిన అమ్మాయిల సంఖ్య = 60 – x
(∵ తరగతిలో విద్యార్థులు 60 మంది)
తరగతిలోని ప్రతి అబ్బాయి చెల్లించే చందా = x (60 – x)
అబ్బాయిల చందా = x (60 – x) = 60x – x²
తరగతిలోని ప్రతి అమ్మాయి చెల్లించే చందా = x
అమ్మా యిల చందా = (60 – x)x = 60x – x²
మొత్తం వసూలైన సొమ్ము = ₹ 1600.
అబ్బాయిల చందా + అమ్మాయిల చందా= 1600.
60x – x² + 60x – x² = 1600
120x – 2x² = 1600

– 2x² + 120x – 1600 = 0
– 2(x² – 60x + 800) = 0
∴ x² – 60x + 800 = 0
x² – 20x – 40x + 800 = 0
x(x – 20) – 40 (x – 20) = 0
(x – 20) (x – 40) = 0
x – 20 = 0
x = 20.
x – 40 = 0
x = 40
తరగతిలోని అబ్బాయిల సంఖ్య x = 20 లేదా 40.
తరగతిలోని అమ్మాయిల సంఖ్య x = 40 లేదా 20.

ప్రశ్న 10.
గంటకు 3 కి.మీ వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న ఒక నదిలో ఒక మోటారు బోటు 24 కి.మీ. దూరము ప్రయాణించి తిరిగి బయలుదేరిన స్థానానికి రావడానికి పట్టిన కాలం 6 గంటలైన బోటు స్థిరవేగంతో ప్రయాణించినదని భావించి దాని వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
నది ప్రవాహ వేగం = 3 కి.మీ./గం.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = x కి.మీ/గం. అనుకొనుము.
ప్రవాహ దిశలో పడవ వేగం = (x + 3) కి.మీ/గం||
24 కి.మీ ప్రయాణించుటకు పటుకాలం = దూరం/వేగం = 24/x + 3 గం.
ప్రవాహ దిశకు ఎదురుగా పడవ వేగం = (x – 3) కి.మీ/గం.
24 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలం = \(\frac{24}{x-3}\) కి.మీ/గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలము = 6గం.
∴ \(\frac{24}{x+3}+\frac{24}{x-3}\) = 6

\(\frac{24(x-3)+24(x+3)}{(x+3)(x-3)}\) = 6

\(\frac{24 x-72+24 x+72}{x^{2}-9}\) = 6

\(\frac{48 x}{x^{2}-9}\) = 48x

6(x² – 9) = 48x
6x² – 54 = 48x
6x² – 48x – 54 = 0

6x² – 54x + 6x – 54 = 0
6x (x – 9) + 6(x – 9) = 0
(x – 9) (6x + 6) = 0
x – 9 = 0
6x + 6 = 0
6x = – 6
x = \(\frac{-6}{6}\)
x = – 1
పడవ వేగం రుణాత్మకం కాదు, కావున x = 9.
∴ నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం x = 9 కి.మీ./గం.

సరిచూసుకోవడం :
ప్రవాహ దిశలో ప్రయాణ కాలం = \(\frac{24}{9+3}=\frac{24}{12}\) = 2 గం.
= \(\frac{24}{9-3}=\frac{24}{6}\) = 4 గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలం = 2 + 4 = 6 గం.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.1

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలు అవునో, కాదో నిర్ణయించండి.

(i) (x + 1)² = 2(x – 3)
సాధన.
(x + 1)² = 2(x – 3),
[: (a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
⇒ x² + 7 = 0
⇒ x² + 0. x + 7 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0, b= 0, రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(ii) x² – 2x = – 2(3 – x)
సాధన.
x² – 2x = (- 2) (3 – x)
⇒ x² – 2x = – 6 + 2x
⇒ x² – 2x + 6 – 2x = 0.
⇒ x² – 4x + 6 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
సాధన.
(x – 2) (x + 1) = (x – 1)(x + 3)
⇒ x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
⇒ x² – x – 2 = x² + 2x – 3
⇒ x² – x – 2 – x² – 2x + 3
⇒ – 3x + 1 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax2 + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
సాధన.
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
⇒ 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0
⇒ x² – 10x – 3 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
సాధన.
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 – x² – 4x + 5 = 0
⇒ x² – 11x + 8 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
సాధన.
x² + 3x + 1 = (x – 2)²
[:: (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4
⇒ x² + 3x + 1 – x² + 4x – 4 = 0
⇒ 7x – 3 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(vii) (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
సాధన.
(x + 2)³ = 2x (x² – 1)
[∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)]
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ – 2x
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 – 2x³ + 2x = 0
⇒ – x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
దీని పరిమాణం 3. ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
సాధన.
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
[∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 6×2 + 12x – 8
⇒ x³ – 4x² – x + 1 – x³ + 6x² – 12x + 8
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణము.

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానికి సరియగు వర్గ సమీకరణాలను కనుగొనుము.
i) ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలము యొక్క వైశాల్యము 528 చ.మీ. దీని పొడవు, వెడల్పు యొక్క రెట్టింపు కంటే ఒక మీటరు ఎక్కువ. అయిన దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుటకు అవసరమైన వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు x మీ. అనుకొనిన
‘పొడవు = 2x + 1.
లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 528 చ.మీ.
పొడవు × వెడల్పు = 528.
(2x + 1) (x) = 528
2x² + x = 528
2x² + x – 528 = 0
∴ పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో సాధ్యమైన విలువ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వెడల్పు అవుతుంది. వెడల్పు సహాయంతో పొడవును కనుగొనవచ్చును.

(ii) రెండు వరుస ధన పూర్ణ సంఖ్యల లబ్దము 306. అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము/రాయుము.
సాధన.
రెండు వరుస ధన పూర్ణసంఖ్యలు x, x + 1 అనుకొందాం.
లెక్క ప్రకారం రెండు వరుస ధనసంఖ్యల లబ్దం = 306
x(x + 1) = 306
x² + x = 306
∴ x² + x – 306 = 0
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలోని ధన విలువ చిన్న సంఖ్య అవుతుంది. దాని నుండి రెండవ సంఖ్యను కనుగొనవచ్చును..

(iii) రోహన్ తల్లి, రోహన్ కంటే 26 సం||లు పెద్దది. 3సం||లు తరువాత వారిద్దరి వయస్సుల లబ్దం 360. అయిన రోహన్ యొక్క ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే వర్గసమీకరణమును రాయుము.
సాధన.
రోహన్ ప్రస్తుత వయస్సు = x సం||లు అనుకొంటే

లెక్క ప్రకారం 3 సం||ల తర్వాత వారిద్దరి వయస్సుల లబ్దం = 360
(x + 3) (x + 29) = 360
= x ²+ 29x + 3x + 87 = 360
= x² + 32x + 87-360 = 0
= x² + 32x – 273 = 0
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలోని ధన విలువ రోహన్ యొక్క వయస్సు అవుతుంది.

(iv) 480 కి.మీ. దూరమును ఒక రైలు ఏకరీతి వేగముతో ప్రయాణిస్తుంది. ఒకవేళ ఇదే రైలు ఇప్పటి వేగం కంటే 8కి.మీ తక్కువ వేగముతో ప్రయాణిస్తే గమ్యం చేరుటకు పట్టే కాలం 3 గం||లు పెరుగుతుంది. అయిన రైలు వేగమును కనుగొనుటకు కావలసిన వర్గ సమీకరణమును కనుగొనుము.
సాధన.
రైలు వేగం = x కి.మీ. | గం|| అనుకొంటే
480 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{480}{x}\) గం||.
రైలు వేగం 8 కి.మీ. | గం|| తగ్గిన తర్వాత రైలు వేగం = (x – 8) కి.మీ. గం||.
రైలు 480 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{480}{x-8}\) గం॥..
లెక్క ప్రకారం \(\frac{480}{x-8}=\frac{480}{x}+3\)
∴ \(\frac{480}{x-8}=\frac{480}{x}\) = 3
\(\left[\frac{x(480)-(x-8)(480)}{x(x-8)}\right]\)
⇒ 3840 = 3(x² – 8x)
⇒ 3x² – 24x = 3840
⇒ 3x² – 24x – 3840 = 0
⇒ 3(x² – 8x – 1280) = 0
⇒ x² – 8x – 1280 = 0.
పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో ఒకటి రైలు యొక్క వేగము అవుతుంది.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది సమీకరణాల వ్యవస్థను సాధించండి. (పేజీ నెం. 79)
(i) x – 2y = 0; 3x + 4y = 20
(ii) x + y = 2; 2x + 2y = 4
(iii) 2x – y = 4; 4x – 2y = 6
సాధన.
(i) x – 2y = 0; 3x + 4y = 20
x – 2y = 0
– 2y = – x
2y = x
y = \(\frac{x}{2}\)

3x + 4y = 20
4y = 20 – 3x
y = \(\frac{20-3 x}{4}\)

∴ సాధన ఇచ్చిన సమీకరణాల సాధన జత ఖండనరేఖలు.
(x, y) = (4, 2)
x = 4, y = 2.

(ii) x + y = 2;
2x + 2y = 4
సాధన.
x + y = 2
y = 2 – x

2x + 2y = 4
2y = 4 – 2x
⇒ y = \(\frac{4-2 x}{2}\)

ఇచ్చిన సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు. కావున అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

(iii) 2x – y = 4
4x – 2y = 6
సాధన.
2x – y = 4
– y = 4 – 2x
y = 2x – 4

4x – 2y = 6
– 2y = 6 – 4x
⇒ 2y = 4x – 6
⇒ y = \(\frac{4 x-6}{2}\)

∴ ఇచ్చిన సమీకరణాల జత అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలు. కావున సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 2.
x + 2y – 4 = 0 మరియు 2x + 4y – 12 = 0 సమీకరణాలను గ్రాఫ్ ద్వారా సూచించండి. వ్యాఖ్యానించండి. (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
x + 2y – 4 = 0 ……………….(1)
2x + 4y – 12 = 0 …………….. (2)
x + 2y – 4 = 0
2x + 4y – 12 = 0
2y = 4 – x
y = \(\frac{4-x}{2}\)

2x + 4y – 12 = 0
4y = 12 – 2x
y = \(\frac{12-2 x}{4}\)

పై గ్రాఫ్ నుండి, ఈ రెండు రేఖీయ సమీకరణాలు అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలని తెలుస్తుంది. అనగా సమాంతరాలు, ఖండన బిందువులు లేవు, ఉమ్మడి సాధన లేదు.

ప్రశ్న 3.
కింది సమీకరణాల జతలకు ఏకైక సాధన, అనంత సాధనలా లేక సాధనలు లేవో సరిచూడండి. వాటిని గ్రాఫ్ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
(i) 2x + 3y = 1
3x – y = 7

(ii) x + 2y = 6
2x + 4y = 12

(iii) 3x + 2y = 6
6x + 4y = 18 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
(i) 2x + 3y = 1, 3x – y = 7
2x + 3y = 1 ⇒ 2x + 3y – 1 = 0 ………. (1)
3x – y = 7 ⇒ 3x – y – 7 = 0 ………. (2)
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = – 1
a₂ = 3, b₂ = – 1, c₂ = – 7
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}\),

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{-1}\) = – 3

\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\) కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకైక సాధనను కలిగి ఉంటుంది. వీటి రేఖాచిత్రము ఖండన రేఖలు అవుతాయి. 2x + 3y = 1

2x + 3y = 1
3y = 1 – 2x
y = \(\frac{1-2 x}{3}\)

3x – y = 7
– y = 7 – 3x
y = 3x – 7

(ii) x + 2y = 6
* 2x + 4y = 12
సాధన.
x + 2y – 6 = 0 … ……. (1)
a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ = – 6
2x + 4y – 12 = 0 ………. (2)
a₂ = 2, b₂ = 4, c₂ = – 12

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత పరస్పరాధారిత రేఖల జత అవుతుంది. వీటికి అనంత సాధనలు సమకరణాల జత పర సాధనలు ఉంటాయి, మరియు వీటి గ్రాఫ్ ఏకీభవించే రేఖలు.
x + 2y = 6
2y = 6 – x
y = \(\frac{6-x}{2}\)

2x + 4y = 12
4y = 12 – 2x
y = \(\frac{12-2 x}{4}\)

సాధన రేఖపై గల అన్ని బిందువులు సాధనలు అవుతాయి.

(iii) 3x + 2y = 6
6x + 4y = 18
సాధన.
3x+2y – 6 = 0
⇒ a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 6

6x+4y – 18 = 0
⇒ a₂ = 6, b₂ = 4, c₂ = 18

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\).
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలు అసంగత సమీకరణాలు అవుతాయి. కావున వీటికి a b2 C2 సాధన ఉండదు. వీటి రేఖాచిత్రం సమాంతర రేఖలు
3x + 2y = 6
2y = 6 – 3x
y = \(\frac{6-3 x}{2}\)

6x + 4y = 18
4y = 18 – 6x
y = \(\frac{18-6 x}{4}\)

ప్రయత్నించండి:
ఈ కింది ప్రశ్నలకు సరియైన సమాధానాన్ని గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 75, 76)

ప్రశ్న 1.
ఈ కింది సమీకరణాలలో ఏది రేఖీయ సమీకరణం కాదు ?
a) 5 + 4x = y + 3
b) x + 2y = y – x
c) 3 – x = y² + 4
d) x + y = 0
సాధన.
c) 3 – x = y² + 4

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది వాటిలో ఏది ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణము ?
a) 2x + 1 = y – 3
b) 2t – 1 = 2t + 5
c) 2x – 1 = x²
d) x² – x + 1 = 0
సాధన.
b) 2t – 1 = 2t + 5

ప్రశ్న 3.
క్రింది సంఖ్యలలో ఏది 2(x + 3) = 18 అనే సమీకరణానికి సాధన ?
a) 5
b) 6
c) 13
d) 21
సాధన.
b) 6

ప్రశ్న 4.
2x – (4 – x) = 5 – x అనే సమీకరణాన్ని తృప్తిపరచే x విలువ
a) 4.5
b) 3
c) 2.25
d) 0.5
సాధన.
c) 2.25

ప్రశ్న 5.
x – 4y = 5 అనే సమీకరణానికి
a) సాధనలేదు
b) ఒకే ఒక సాధన
c) రెండు సాధనలు
d) అనంతమైన సాధనలు
సాధన.
d) అనంతమైన సాధనలు

ప్రశ్న 6.
ఎమ్.కె. నగర్ ఉన్నత పాఠశాల క్రికెట్ జట్టు శిక్షకుడు 3 బ్యా ట్లు మరియు 6 బంతులను ₹ 3900 లకు కొనెను. తరువాత అతడు మరియొక బ్యాట్ మరియు 2 బంతులను ₹ 1300 లకు కొనెను. ప్రతీ బ్యాటు మరియు ప్రతీ బంతి వెలను మీరు కనుగొనగలరా ? (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
బ్యాటు మరియు బంతి యొక్క కచ్చితమైన వెలను కనుగొనలేము.

ప్రశ్న 7.
కింది సమీకరణాల జతకు ‘p’ యొక్క ఏ విలువకు ఏకైక సాధన ఉంటుందో కనుగొనండి. 2x + py = – 5 మరియు 3x + 3y = – 6 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
2x + py = – 5
⇒ 2x + py + 5 = 0

3x + 3y = – 6
⇒ 3x + 3y + 6 = 0

రేఖీయ సమీకరణాలకు ఏకైక సాధన ఉంటే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\) కావాలి.
∴ p యొక్క విలువ 2 తప్ప మిగిలిన అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలకు ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకైక సాధనను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 8.
2x – ky + 3 = 0, 4x + 6y – 5 = 0 సమీకరణాల జతకు, ఓ యొక్క ఏ విలువకు అవి సమాంతర రేఖలవుతాయో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
2x – ky + 3 = 0
4x + 6y – 5 = 0 లు సమాంతర రేఖలు అయితే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)
∴ \(\frac{2}{4}=\frac{-k}{6}\)

⇒ – 4k = 12

∴ k = \(\frac{12}{-4}\) = – 3
k = – 3 కి ఇచ్చిన రేఖలు సమాంతరాలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 9.
‘k’ యొక్క ఏ విలువకు, 3x + 4y + 2 = 0 మరియు 9x + 12y + k= 0 రేఖా సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలవుతాయో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
3x + 4y + 2 = 0
9x + 12y + k = 0
రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏకీభవించే రేఖలు అయితే \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

\(\frac{3}{9}=\frac{4}{12}=\frac{2}{k}\) \(\frac{4}{12}=\frac{2}{k}\)

⇒ \(\frac{1}{3}=\frac{2}{k}\)

k = 6.

k = 6 కి ఇచ్చిన రేఖలు ఏకీభవించే రేఖలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 10.
‘p’ యొక్క ఏ ధనవిలువలకు కింది సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలుంటాయో కనుగొనండి. px + 3y – (p- 3) = 0 12x + py – p = 0 (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
px + 3y – (p – 3) = 0
12x + py – p = 0
సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలుంటే ఇవి పరస్పరాధారిత రేఖల జత అవుతుంది. కావున \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

∴ \(\frac{p}{12}=\frac{3}{p}=\frac{-(p-3)}{-p}\)

∴ \(\frac{\mathrm{p}}{12}=\frac{3}{\mathrm{p}}\)

⇒ p² = 36
⇒ p = √36 = 6
∴ p = 6

(లేదా)

\(\frac{p}{12}=\frac{-(p-3)}{-p}\)
p² = 12(p – 3)
p² – 12p + 36 = 0
p² = 12p – 36
(p – 6)² = 0
p – 6 = 0
∴ p = 6.

(లేదా)

\(\frac{3}{p}=\frac{-(p-3)}{-p}\)
(p – 3) = 3p
p² – 3p = 3p
p² – 6p = 0
p (p – 6) = 0
p = 0 లేదా p = 6
p ధనవిలువ కావాలి.
∴ p = 6.
p = 6 అయినప్పుడు ఇచ్చిన రేఖలకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ కింద రెండు సందర్భాలు ఇవ్వబడ్డాయి.
(i) 1 కిలో బంగాళదుంపలు మరియు 2 కిలోల టమాటాల. మొత్తము వెల ₹ 30. రెండు రోజుల తరువాత, 2 కిలోల బంగాళదుంపలు మరియు 4 కిలోల టమాటాల మొత్తము వెల ₹ 66.
(ii) ఎమ్.కె.నగర్ ఉన్నత పాఠశాల క్రికెట్ జట్టు శిక్షకుడు 3 బ్యాట్లు మరియు 6 బంతులను ₹ 3,900 లకు కొనెను. తరువాత అతడు మరియొక బ్యాట్ మరియు 2 బంతులను ₹ 1,300 లకు కొనెను.
పై ప్రతీ సందర్భంలో అవ్యక్తరాశులను గుర్తించండి. ప్రతీ సందర్భంలో రెండు చరరాశులు ఉండటాన్ని మనం గమనించవచ్చును. (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
అవ్యక్త రాశులు
(i) కిలో బంగాళదుంపల వెల మరియు కిలో టమాటాల వెల. .
(ii) ఒక బ్యాట్ వెల మరియు ఒక బంతి వెల.

ప్రశ్న 2.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడూ సంగత జత అవుతుందా ? ఎందుకు అవుతుంది (లేదా) ఎందుకు కాదు ? కారణాన్ని వివరించండి. (పేజీ నెం. 79)
సాధన.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడు సంగత జత అవుతుంది.
పరస్పరాధారిత జత సాధనలను కలిగి ఉంటుంది. కావున సంగత జత అవుతుంది.
ఎందుకనగా \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద యిచ్చిన ప్రతీ జత సమీకరణాలను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వా రా సాధించండి. (పేజీ నెం. 88)

1) 3x – 5y = – 1
x – y = – 1
సాధన.
3x – 5y = – 1 ………… (1)
x-y=-1 ……….. (2)
(2) ⇒ – y = – x – 1
⇒ y = x + 1
y = x + 1 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా.
3x – 5(x + 1) = – 1
3x – 5x – 5 = – 1
– 2x = – 1 + 5
– 2x = 4
⇒ 2x = – 4
⇒ x = \(\frac{-4}{2}\) = – 2
x = – 2 ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
– 2 – y = – 1.
– y = – 1 + 2
⇒ – y = 1
⇒ y = – 1
∴ సాధన x = – 2, y = – 12

సరిచూడటం :
x = – 2, y = – 1 లను (1)లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(- 2) – 5 (- 1) = – 1
– 6 + 5 = – 1
-1 = – 1.

ప్రశ్న 2.
x + 2y = – 1
2x – 3y = 12
సాధన.
x + 2y = – 1 ………….(1)
2x – 3y = 12 …………….(2)
(1) ⇒ x = – 1 – 2y ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2 (- 1 – 2y) – 3y = 12
– 2 – 4y – 3y = 12
– 7y = 12 + 2
⇒ – 7y = 14
⇒ 7y = – 14
∴ y = \(\frac{-14}{7}\) = – 2
y = – 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
x + 2 (- 2) = – 1
x – 4 = – 1
⇒ x = – 1 + 4 = 1
∴ సాధన x = 3, y = – 2.

సరిచూడటం :
x = 3, y = – 2ను (2)లో రాయగా.
2(3) – 3(- 2) = 12
6 + 6 = 12
⇒ 12 = 12 .

ప్రశ్న 3.
2x + 3y = 9; 3x + 4y = 5
సాధన.
2x + 3y = 9 …………….(1)
3x + 4y = 5 …………… (2)
(1) ⇒ 3y = 9 – 2x
y = \(\frac{9-2 x}{3}\) ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా.
3x + 4(\(\frac{9-2 x}{3}\)) = 5

3x + \(\frac{36-8 x}{3}\) = 5

\(\frac{9 x+36-8 x}{3}\) = 5

x + 36 = 15 ⇒ x = 15
x = – 21
x = – 21 ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2(- 21) + 3y = 9
42 + 3y = 9
⇒ 3y = 9 + 42
⇒ 3y = 51
⇒ y = \(\frac{51}{3}\) = 17
సాధన x = – 21, y = 17

సరిచూడటం :
x = – 21, y = 17 లను (2) లో రాయగా
3(- 21) + 4(17) = 5
– 63 + 68 = 5.

ప్రశ్న 4.
x + \(\frac{6}{y}\) = 6;
3x – \(\frac{8}{y}\) = 5
సాధన.
x + \(\frac{6}{y}\) = 6 ………..(1)
3x – \(\frac{8}{y}\) = 1 ………….(2)
(1) ⇒ x = 6 2 ని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(6 – \(\frac{6}{y}\)) – \(\frac{8}{y}\) = 5
18 – \(\frac{18}{y}\) – \(\frac{8}{y}\) = 5
\(\frac{-26}{y}\) = 5 – 18
⇒ \(\frac{-26}{y}\) = – 13
⇒ \(\frac{26}{y}\) = 13
⇒ 13 y = 26
⇒ y = \(\frac{26}{13}\) = 2
y = 2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
3x – \(\frac{8}{2}\) = 5
⇒ 3x – 4 = 5
⇒ 3x = 5 + 4 = 9
⇒ x = 3, y = 2.

(లేదా)

x + \(\frac{6}{y}\) = 6 ………….(1)
3x – \(\frac{8}{y}\) = 5 ………..(2)
(1) ⇒ \(\frac{6}{y}\) = 6 – x
\(\frac{1}{y}=\frac{6-x}{6}\)ని (2) లో రాయగా,
3x – 8(\(\frac{6-x}{6}\)) = 5
3x – (\(\frac{48-8 x}{6}\)) = 5
\(\frac{18 x-48+8 x}{6}\) = 5
26x – 48 = 30
26x = 30 + 48 = 78
x = \(\frac{78}{26}\) = 3
x = 3ను (1) లో రాయగా,
3 + \(\frac{6}{y}\) = 6
⇒ \(\frac{6}{y}\) = 6 – 3 = 3
3y = 6
⇒ y = \(\frac{6}{3}\) = 2
∴ సాధన. x = 3, y = 2

సరిచూడటం :
x = 3, y = 2 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) – \(\frac{8}{2}\) = 5
⇒ 9 – 4 = 5
5 = 5.

ప్రశ్న 5.
0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
సాధన.
0.2x + 0.3y = 1.3 ……………..(1)
0.4x + 0.5 y = 2.3 …………….(2)
(1) × 10 = 2x + 3y = 13
(2) × 10 = 4x + 5y = 23
(3) ⇒ 3y = 13 – 2x
y = \(\frac{13-2 x}{3}\) ని (4) లో ప్రతిక్షేపించగా,
4x + 5 (\(\frac{13-2 x}{3}\)) = 23
4x + \(\frac{65-10 x}{3}\) = 23
\(\frac{12 x+65-10 x}{3}\) = 23
2x + 65 = 69
⇒ 2x = 69 – 65 = 4
⇒ x = \(\frac{4}{2}\) = 2
x = 2 ను (4) లో ప్రతిక్షేపించగా.
4(2) + 5y = 23
⇒ 8 + 5y = 23
⇒ 5y = 15
⇒ y = \(\frac{15}{5}\) = 3
∴ సాధన. x = 2, y = 3.

సరిచూడటం : x = 2, y = 3ను (1) లో రాయం
0.2 (2) + 0.3 (3) = 1.3
0.4 + 0.9 = 1.3
1.3 = 1.3

ప్రశ్న 6.
√2x + √3y = 0;
√3x – √8y = 0
సాధన.
√2x + √3y = 0 ………… (1)
√3x – √8y = 0 ………… (2)
(1) ⇒ √3y = – √2x
y = \(\frac{-\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}\) (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
√3x – √8(\(\frac{-\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}\)) = 0
√3x – \(\frac{\sqrt{16} x}{\sqrt{3}}\) = 0
√3x – \(\frac{4}{\sqrt{3}}\) = 0 కావున
x = 0 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా, √2(0) + √3y = 0
√3y = 0 ⇒ y = 0
సాధన. x = 0, y = 0

సూచన :
ax + by + c₁ = 0
ax + by + c₂ = 0,
c₁ = c₂ = 0 అయితే
x = 0, y = 0 సాధన అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
క్రింది ప్రతీజత రేఖీయ సమీకరణాలను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సాధించండి. (పేజీ నెం. 89)

1. 8x + 5y = 9; 3x + 2y = 4 .
సాధన.
8x + 5y = 9 ……….. (1)
3x + 2y = 4 ……….. (2)

x = – 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
8(- 2) + 5y = 9
– 16 + 5y = 9
⇒ 5y = 9 + 16 = 25
⇒ y = \(\frac{25}{5}\) = 5
సాధన x = – 2, y = 5.

సరిచూడటం :
x = – 2, y = 5ను (2)లో ప్రతిక్షేపించగా.
3(- 2) + 2(5) = 4
– 6 + 10 = 4
4 = 4

2. 2x + 3y = 8; 4x + 6y =7
సాధన.
2x + 3y = 8 ⇒ 2x + 3y – 8 = 0
4x + 6y – 7 = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-8}{-7}=\frac{8}{7}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత అసంగత రేఖీయ సమీకరణాలు. కావున సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
3x + 4y = 25; 5x – 6y = – 9
సాధన.
3x + 4y = 25 ………… (1)
5x – 6y = – 9 ………… (2)

x = 3ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) + 4y = 25
9 + 4y = 25
4y = 25 – 9 = 16
y = \(\frac{16}{4}\) = 4
∴ సాధన. x = 3, y = 4.
సరిచూడటం :
x = 3, y = 4ను (2)లో ప్రతిక్షేపించగా,
5(3) – 6(4) = – 9
15 – 24 = – 9
– 9 = – 9

ప్రశ్న 8.
ఒక పోటీ పరీక్షలో, ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు. ఈ పరీక్షలో మధు 40 మార్కులు సంపాదించెను. ప్రతి సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేసి, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి అయిన ఆ పరీక్షలో ఉన్న మొత్తము ప్రశ్నలు ఎన్ని ? (మధు పరీక్ష పత్రములోని అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాసెను) ఈ సమస్యను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతిలో సాధించండి. (పేజీ నెం. 91)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణములు 3x – y = 40 …………… (1)
4x – 2y = 50 …………….. (2)

∴ x = \(\frac{30}{2}\) = 15
x = 15 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(15) – y = 40
45 – y = 40
⇒ – y = 40 – 45 = – 5
⇒ y = 5
∴ సాధన x = 15, y = 5.
పరీక్షలోని మొత్తం ప్రశ్నల సంఖ్య = 15 + 5 = 20

ప్రశ్న 9.
మేరి తన కూతురితో ఇలా చెప్పింది. “7 సంవత్సరముల . క్రితం నా వయస్సు అప్పటి నీ వయస్సుకు 7 రెట్లు. అలాగే యిప్పటి నుండి 3 సంవత్సరముల తరువాత నా వయస్సు నీ వయస్సుకు మూడు రెట్లు ఉంటుంది” అయిన మేరి మరియు ఆమె కూతురి ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 92) ఈ సమస్యను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సాధించండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణములు
x – 7y + 42 = 0 ………….(1)
x – 3y – 6 = 0 …………(2)
(1) ⇒ x = 7y – 42
⇒ x = 7y – 42 ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
7y – 42 – 3y = 6
4y = 6 + 42
⇒ 4y = 48
⇒ y = \(\frac{48}{4}\) = 12
y = 12 ను (1) లో రా యగా,
x – 7 (12) = – 42,
x – 84 = – 42
x = – 42 + 84
⇒ x = 42
సాధన x = 42, y = 12.
మేరి ప్రస్తుత వయస్సు = 42 సంవత్సరాలు
ఆమె కూతురి వయస్సు = 12 సంవత్సరాలు.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలు జతను సాధించండి.
(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b
(a + b) (x + y) = a² + b²
సాధన.
(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b² …………..(1)
(a + b) (x + y) = a² + b² ………………(2)
⇒ (a + b)x + (a + b)y = a² + b²
(1) – (2);

[(a – b) – (a + b)] x = – 2b (a + b).
(a – b – a – b) x = – 2b (a + b)
– 2b x = – 2b (a + b)
x = \(\frac{-2 b}{-2 b}\) (a + b)
x = a + b
x = a + bని (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
(a + b)(a + b) + (a + b) y = a² + b²
a² + 2ab + b² + (a + b) y = a² + b²
(a + b) y = a² + b² – a² – 2ab – b²
(a + b) y = – 2ab
y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)
సాధన.
x = a + b, y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)

సరిచూడటం:
x = a + b, y = \(\frac{-2 a b}{a+b}\)ని (1)లో ప్రతిక్షేపించగా.
(a – b)(a + b) + (a + b)\(\frac{-2 a b}{a+b}\) = a² – 2ab – b²
a² – b² – 2ab = a² – 2ab – b²
a² – 2ab – b² = a² – 2ab – b².

ఉదాహరణలు.

ప్రశ్న 1.
కింది సమీకరణాల జత ఖండనరేఖలా, సమాంతర రేఖలా లేదా ఏకీభవించే రేఖలా సరిచూడండి. ఆ సమీకరణాలు సంగతము అయిన వాటి సాధనను కనుగొనుము.
2x + y -5 = 0, 3x – 2y – 4 = 0 (పేజీ నెం. 80)
సాధన.
2x + y -5 = 0 ……….. (1)
3x – 2y – 4 = 0 ………..(2),
a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = – 5
a₂ = 3, b₂ = – 2, c₂ = – 4
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-4}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) కావున అవి ఖండన రేఖలు. అనగా సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత.

2x + y – 5 = 0
y = 5 – 2x

3x – 2y -4 = 0
– 2y = 4 – 3x
⇒ 2y = 3x – 4
y = \(\frac{3 x-4}{2}\)

ఇచ్చిన రేఖలు ఖండన రేఖలు సాధన (x, y) = (2, 1)
x = 2, y = 1

ప్రశ్న 2.
కింది సమీకరణాల జత సంగత జత అవునో, కాదో సరిచూడండి.
3x + 4y = 2 మరియు 6x + 3y = 4 గ్రాఫ్ గీయడం ద్వారా మీ జవాబును సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 81)
సాధన.
3x + 4y = 2 మరియు 6x + 8y = 4
3x + 4y = 2 ⇒ 3x + 4y – 2 = 0 …………… (1)
6x + 8y = 4 ⇒ 6x + 8y – 4 = 0 ……………(2)
⇒ a₁ = 3, b₁ = 4, c₁ = – 2;
a₂ = 6, b₂ = 8, c₂ = – 4

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\);

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) కావున అవి ఏకీభవించే రేఖలు. కావున ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జత సంగతం అవుతూ పరస్పరాధారిత సమీకరణాల జత అవుతుంది.

3x + 4y = 2
⇒ 4y = 2 – 3x
⇒ y = \(\frac{2-3 x}{4}\)

6x + 8y – 4
⇒ 8y = 4 – 6x
⇒ y = \(\frac{4-6 x}{8}\)

∴ ఇచ్చిన రేఖలు ఏకీభవిస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 3.
4x – 6y = 15 మరియు 2x – 3y = 5 సమీకరణాలు సంగత సమీకరణాలేమో సరిచూడండి. ఇంకా వాటికి గ్రాఫ్ గీయండి. (పేజీ నెం. 82)
సాధన.
4x – 6y = 15
⇒ 4x – 6y – 15 = 0 …………….(1)
2x – 3y = 5
⇒ 2x – 3y – 5 = 0 …………… (2)
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{4}{2}\) = 2;

\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-6}{-3}\) = 2;

\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-15}{-5}\) = 3

∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
కావున ఇది అసంగత సమీకరణాలు. వీటికి సాధన లేదు మరియు వీటి రేఖాచిత్రము (గ్రాఫ్) సమాంతర రేఖలు.
4x – 6y = 15
6y = 15 – 4x
6y = 4x – 15
y = \(\frac{4 x-15}{6}\)

2x – 3y = 5
-3y = 5 – 2x
3y = 2x – 5
y = \(\frac{2 x-5}{3}\)

ప్రశ్న 4.
ఒక తోటలో కొన్ని తుమ్మెదలు మరియు పువ్వులు కలవు. ప్రతీ పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలినపుడు ఒక తుమ్మెద ,  మిగిలిపోతుంది. ప్రతీ పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే ఒక పువ్వు మిగిలిపోతుంది. అయిన పువ్వులెన్ని ? తుమ్మెదలెన్ని? (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
తుమ్మెదల సంఖ్య = x,
పువ్వుల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
ప్రతీ పువ్వుపై ఒక తుమ్మెద వాలిన, ఒక తుమ్మెద మిగిలిపోతుంది
∴ x = y + 1
⇒ x – y – 1 = 0 …………….(1)
ప్రతీ పువ్వుపై రెండు తుమ్మెదలు వాలితే, ఒక పువ్వు మిగిలిపోతుంది,
కావున x = 2(y – 1)
⇒ x = 2y – 2
⇒ x – 2y + 2 = 0 …………..(2)
x – y – 1 = 0
– y = 1 – x
y = x – 1

x – 2y + 2 = 0
– 2y = – x – 2
2y = x + 2
y = \(\frac{x+2}{2}\)

సాధన (x, y) = (4, 3)
x = 4, y = 3
తుమ్మెదల సంఖ్య – 4
పువ్వుల సంఖ్య – 3

ప్రశ్న 5.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలము చుట్టుకొలత 32 మీ. దాని పొడవును 2 మీ పెంచి, వెడల్పును 1 మీ తగ్గించగా దాని వైశాల్యములో ఏ మార్పూ లేక యథాతథంగా ఉండును. అయిన ఆ స్థలము పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 84)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలము పొడవు = 1 మీ.
వెడల్పు = b మీ. అనుకొందాం.
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = l × b = lb చ||మీ.
చుట్టుకొలత = 2 (l + b) = 32
⇒ l + b = 16
∴ l + b – 16 = 0 …………… (1)
పొడవును 2 మీ. పెంచి, వెడల్పును 1 మీ తగ్గించినపుడు , కొత్త పొడవు = 1 + 2 మీ., కొత్త వెడల్పు = b – 1 మీ
కొత్త వైశాల్యం = (l + 2) (b – 1) చ||మీ.
= lb – 1 + 2b – 2
వైశాల్యములో మార్పులేదు కాబట్టి,
lb – 1 + 2b – 2 = lb
⇒ lb – 1 + 2b – 2 – lb = 0
⇒ – l + 2b – 2 = 0
∴ l – 2b + 2 = 0 ………… (2)

l + b – 16 = 0
b = 16 – l

l – 2b + 2 = 0
– 2b = – l – 2
2b = l + 2
b = \(\frac{l+2}{2}\)

సాధన (l, b) = (10, 6)
l = 10, b = 6
పొడవు = 10 మీ
వెడల్పు = 6 మీ.

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన సమీకరణాల జతను ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి ద్వారా సాధించుము. (పేజీ నెం. 87)
2x – y = 5
3x + 2y = 11
సాధన.
2x – y = 5 ……………..(1)
3x + 2y = 11 ……………. (2)
(1)వ సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రాయవచ్చును
y = 2x – 5 (సోపానము 1)
దీనిని (2)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
3x + 2(2x – 5) = 11 (సోపానము 2)
3x + 4x – 10 = 11
7x = 11 + 10 = 21
x = 21/7 = 3. (సోపానము 3)
x = 3ని సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
2(3) – y = 5 (సోపానము 4)
y = 6 – 5 = 1
x, y ల విలువలు (2)లో ప్రతిక్షేపించగా,
3(3) + 2(1) = 9 + 2 = 11
కాబట్టి, కావలసిన సాధన x = 3 మరియు y = 1.
ఇచ్చిన, రెండు సమీకరణాలను x = 3 మరియు y = 1 సంతృప్తి పరుస్తాయి (సోపానము 5)

ప్రశ్న 7.
క్రింద ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల జతను చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సాధించండి. 3x + 2y = 11 . 2x + 3y = 4 (పేజీ నెం. 88)
సాధన.
3x + 2y = 11 ……… (1)
2x + 3y = 4 ……… (2) (సోపానము 1)
ఇచ్చిన సమీకరణాల నుండి చరరాశి ‘y’ని తొలగించాలనుకొనుము. రెండు సమీకరణాలలో ‘y’ గుణకాలు వరుసగా 2 మరియు 3. వాటి క.సా.గు. 6. కావున సమీకరణము (1) ని 3 చే, సమీకరణము (2) ని 2 చే గుణించాలి.

x = 5 విలువను సమీకరణం (1) లో వ్రాయగా,
3(5) + 2y = 11
2y = 11 – 15 = – 4 (సోపానము. 5)
కావున కావలసిన సాధన x = 5, y = – 2.

ప్రశ్న 8.
రుబీనా బ్యాంకు నుండి ₹ 2000 తీసుకొనదలచినది. ఆమె క్యాషియర్‌ను ఆ మొత్తానికి ₹ 50 మరియు ₹ 100 నోట్లు మాత్రమే ఇవ్వమని కోరినది. మొత్తము ఆమెకు 25 నోట్లు వచ్చిన, ఆమెకు ఎన్ని ₹ 50 నోట్లు, ఎన్ని ₹ 100 నోట్లు వచ్చినవో చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం. 89)
సాధన.
ఆమెకు వచ్చిన ₹ 50 నోట్ల సంఖ్యను x అని, ₹ 100
నోట్ల సంఖ్యను y అని అనుకొనుము.
అపుడు, x + y = 25 ………. (1) మరియు
50x + 100y = 2000 …….. (2)
వీనిని ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిలో సాధించిన;
(1) వ సమీకరణము నుండి x = 25 – y
(2) వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా,
50 (25 – y) + 100y = 2000
1250 – 50y + 100y = 2000
50y = 2000 – 1250 = 750
y = \(\frac{750}{50}\) = 15
x = 25 – 15 = 10
కావున, రుబీనా పది ₹ 50 నోట్లను, పదిహేను ₹ 100 నోట్లను తీసుకొన్నది.
శ్వేత చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి ద్వారా దీనిని సాధించినది.
సమీకరణాలలో, గుణకాలు వరుసగా 1 మరియు 50 కావున,

ఒకే గుర్తు కావున సమీకరణాన్ని తీసివేయగా,

y = \(\frac{-750}{-50}\) = 15

(1)వ సమీకరణంలో y విలువను ప్రతిక్షేపించగా
x + 15 = 25
⇒ x = 25 – 15 = 10
కావున ఆమె పది ₹ 50 నోట్లను, పదిహేను ₹ 100. నోట్లను తీసుకొన్నది.

ప్రశ్న 9.
ఒక పోటీ, పరీక్షలో, ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు. ఈ పరీక్షలో మధు 40 మార్కులు సంపాదించెను. కాని ప్రతి సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేసి, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి అయిన ఆ పరీక్షలో ఉన్న మొత్తము ప్రశ్నలు ఎన్ని ? (మధు పరీక్ష పత్రములోని అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాసెను) (పేజీ నెం. 90)
సాధన.
సరియైన సమాధానముల సంఖ్య x;
తప్పు సమాధానముల సంఖ్య y అనుకొనుము.
ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 3 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 1 మార్కు తగ్గించెదరు.
అపుడు అతనికి వచ్చిన మార్కులు 40.
3x – y = 40 …………. (1)
ప్రతీ సరియైన సమాధానానికి 4 మార్కులు వేయగా, ప్రతీ తప్పు సమాధానానికి 2 మార్కులు తగ్గించిన అతనికి 50 మార్కులు వచ్చి ఉండేవి.
4x – 2y = 50………… (2)
ప్రతిక్షేపణ పద్దతి :
(1)వ సమీకరణము నుండి, y = 3x – 40
(2)వ సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించగా
4x – 2 (3x – 40) = 50
4x – 6x + 80 = 50
– 2x = 50 – 80 = – 30
⇒ x = \(\frac{-30}{-2}\) = 15
x విలువను (1)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
3(15) – y = 40
45 -y = 40
⇒ y = 45 – 40 = 5
కావున పరీక్ష పత్రములోని మొత్తము ప్రశ్నల సంఖ్య = 15 + 5 = 20.

ప్రశ్న 10.
మేరి తన కూతురితో ఇలా చెప్పింది. “7 సంవత్సరముల క్రితం నా వయస్సు అప్పటి నీ వయస్సుకు 7 రెట్లు. అలాగే యిప్పటి నుండి 3 సంవత్సరముల తరువాత నా వయస్సు నీ వయస్సుకు మూడు రెట్లు ఉంటుంది” అయిన మేరి మరియు ఆమె కూతురి ప్రస్తుత వయస్సును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 91)
సాధన.
మేరి ప్రస్తుత వయస్సు x సంవత్సరములు;
ఆమె కూతురి వయస్సు y సంవత్సరములు అనుకొనుము.
7 సంవత్సరముల క్రితం, మేరి వయస్సు (x – 7) సం||. ఆమె కూతురి వయస్సు (y – 7) సం||
x – 7 = 7(y – 7)
x – 7 = 7y – 49
x – 7y + 42 = 0 ……………. (1)
3 సంవత్సరముల తరువాత, మేరి వయస్సు x + 3 మరియు ఆమె కూతురి వయస్సు y + 3
x + 3 = 3(y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x – 3y – 6 = 0 ………………..(2)

చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి :

x పదానికి ఒకే గుర్తు కావున సమీకరణం (1) నుండి సమీకరణం (2) ను తీసివేయగా

y = \(\frac{-48}{-4}\)
ఈ, y విలువను (2) వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
x – 3 (12) – 6 = 0
x = 36 + 6 = 42
కావున మేరి ప్రస్తుత వయస్సు 42 సంవత్సరములు మరియు ఆమె కూతురి వయస్సు 12 సంవత్సరములు.

ప్రశ్న 11.
ఒక ప్రచురణ కర్త, క్రొత్త పాఠ్యపుస్తకాన్ని సిద్ధం చేశాడు. వాటి స్థిర ధర (పునర్విమర్శ, ముద్రణ, టైపింగ్ ఖర్చులు మొదలైనవి) ఒక్కొక్క పుస్తకానికి ₹ 31.25. ఇవి కాక అదనంగా అతడు ఒక పుస్తకము ముద్రణకై ₹ 320000 ఖర్చు చేసెను. ఆ పుస్తకము టోకు ధర పుస్తకానికి ₹ 48.75 (ప్రచురణ కర్తకు వచ్చు సొమ్ము) ఆ ప్రచురణ కర్త ఖర్చులు, రాబడి సమానం కావాలంటే సమతుల్య స్థానం చేరవలెనంటే ఎన్ని పుస్తకాలను అమ్మాలి ? (పేజీ నెం. 92)
వస్తువు ఉత్పాదకతకు అయిన ఖర్చు, వాటి అమ్మకాల ద్వారా వచ్చిన రాబడి సమానంగా ఉండే స్థానాన్ని సమతుల్యతా స్థానము అంటారు.
సాధన.
ప్రచురణ కర్త సమతుల్యతా స్థానం చేరాలంటే ఖర్చులు, రాబడి సమానం కావాలి.
ముద్రణ అయి అమ్మకమయిన పుస్తకాల సంఖ్య x, సమతుల్యతా స్థానము y అనుకొనుము.
అపుడు ఆ ప్రచురణ కర్తకు పుస్తకముద్రణ ఖర్చు, రాబడిల సమీకరణాలు ,
ముద్రణ సమీకరణం y = 320000 + 31.25x ………… (1)
రాబడి సమీకరణం y = 43.75x ……….. (2)
రెండవ సమీకరణము నుండి y విలువను ఒకటవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
43.75x = 3,20,000 + 31.25x
12.5x = 3,20,000
x = \(\frac{3,20,000}{12.5}\) = 25,600
25,600 పుస్తకాలను ముద్రించి అమ్మిన అతడు సమతుల్యతా స్థానము చేరును.

ప్రశ్న 12.
క్రింది సమీకరణాల జతను సాధించండి. (పేజీ నెం. 93)
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13
\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణాల జతను పరిశీలించండి. అవి రేఖీయ సమీకరణాలు కావు. మనకు ఇచ్చిన సమీకరణాలు
2(\(\frac{1}{x}\)) + 3(\(\frac{1}{y}\)) = 13 …………..(1)

5(\(\frac{1}{x}\)) – 4(\(\frac{1}{y}\)) = – 2 …………. (2)
మనం \(\frac{1}{x}\) = p మరియు \(\frac{1}{y}\) = q ప్రతిక్షేపించగా

క్రింది రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏర్పడుతుంది
2p + 3q = 13 ………..(3)
5p – 4q = – 2 ……….. (4)
q గుణకాలు 3, 4 మరియు వాటి క.సా.గు 12 చరరాశిని తొలగించే పద్ధతి ద్వారా సమీకరణం

q’ పదములకు వేరువేరు గుర్తులున్నాయి. కావున ఆ సమీకరణాలను కలుపగా
p = \(\frac{46}{23}\) = 2
p విలువను సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
2(2) + 3q = 13
3q = 13 – 4 = 9
కాని, \(\frac{1}{x}\) = p = 2
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{y}\) = q = 3
⇒ y = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 13.
కవిత తన ఇంటిలో మరి రెండు గదులను నిర్మించాలనుకొంది. ఆమె గృహనిర్మాణ కూలీల గురించి ఆరా తీయగా 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు కలిసి ఆ పనిని 14 రోజులలో పూర్తి చేయగలరని తెలిసింది. కాని ఆమెకు తన ఇంటిలోని గదుల నిర్మాణ పని 10 రోజులలోనే పూర్తికావాలి. 8మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు కలిసి ఆ పనిని 10 రోజులలో పూర్తి చేయగలరని తెలుసుకొంది. పురుషుడు లేదా స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయాలంటే ఎంత కాలం పడుతుందో ? కనుక్కోండి.(పేజీ నెం. 94)
సాధన.
పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = x రోజులు అనుకొనుము.
పురుషుడు ఒక్కడే ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{x}\) రోజులు అవుతుంది..
స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = y రోజులు అనుకొనిన
స్త్రీ ఒక్కరే ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{y}\) అవుతుంది.
8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఆ పనిని 10 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు.
అనగా 8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{1}{10}\) ……… (1)
8 మంది పురుషులు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని 8 × \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{8}{x}\)
అదే విధంగా 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో 12 చేయగలిగిన పని 12 × \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{12}{y}\)
8 మంది పురుషులు మరియు 12 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన మొత్తము పని = \(\frac{8}{x}\) + \(\frac{12}{y}\) ……….. (2)
(1), (2) సమీకరణాల నుండి,
\(\left(\frac{8}{x}+\frac{12}{y}\right)=\frac{1}{10}\)

10 \(\left(\frac{8}{x}+\frac{12}{y}\right)\) = 1

⇒ \(\frac{80}{x}+\frac{120}{y}\) = 1 ………. (3)
అలాగే, 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు ఆ పనిని 14 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు. 6 గురు పురుషులు మరియు 8 మంది స్త్రీలు ఒక రోజులో చేయగలిగిన పని = \(\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\frac{1}{14}\)

⇒ 14 \(\left(\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\right)\) = 1
⇒ \(\left(\frac{84}{x}+\frac{112}{y}\right)\) = 1 …………. (4)
(3), (4) సమీకరణాలను పరిశీలించండి. అవి రేఖీయ సమీకరణాలేనా?
వాటి సాధన మనం ఎలా కనుగొంటాము? \(\frac{1}{x}\) = u మరియు \(\frac{1}{y}\) = 1
ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా వాటిని మనం రేఖీయ సమీకరణాలుగా మార్చవచ్చును.
(3) వ సమీకరణాన్ని రేఖీయ సమీకరణంలా మార్చగా
80u + 120v = 1 ……….. (5)
(4) వ సమీకరణాన్ని రేఖీయ సమీకరణంలా మార్చగా
84u + 112v = 1 ……….. (6)
80 మరియు 84 ల క.సా.గు. 1680. చరరాశిని తొలగించు పద్ధతి ద్వారా,
సమీకరణం (3) × 21;
(21 × 80)u + (21 × 120)v = 21
సమీకరణం (4) × 20;
(20 × 84)u + (20 × 112)v = 20

u కు ఒకే గుర్తు కావున తీసివేయగా v = \(\frac{1}{280}\)
సమీకరణం (5) లో ప్రతిక్షేపించగా
80u + 120 x \(\frac{1}{280}\) = 1
80u = 1 – \(\frac{3}{7}\) = \(\frac{7-3}{7}=\frac{4}{7}\)
u = \(\frac{4}{7}\) × \(\frac{1}{80}\)
= \(\frac{1}{140}\)
కావున పురుషుడొక్కడే ఆ పనిని 140 రోజులలో, స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని 280 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు.

ప్రశ్న 14.
ఒక వ్యక్తి 370 కి.మీ. దూరాన్ని కొంత దూరం రైలులో, కొంతదూరం కారులో ప్రయాణించాడు. అతను 250కి.మీ దూరాన్ని రైలులో, మిగిలిన దూరాన్ని కారులో ప్రయాణించగా అతనికి 4 గంటలు పట్టినది. అదే అతను 130 కి.మీ దూరం రైలులో, మిగిలిన దూరం కారులో ప్రయాణిస్తే అతనికి 18 నిమిషాల కాలం ఎక్కువ పట్టేది. రైలు మరియు కారుల వేగాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 96)
సాధన.
రైలు వేగం x కి.మీ/గం., కారు వేగం 5 కి.మీ/గం. అనుకొనుము.

అని మనకు తెలుసు.
1వ సందర్భంలో, రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{250}{x}\) గం.
కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{140}{y}\) గం.
మొత్తం కాలం = రైలు ప్రయాణానికి పట్టినకాలం + కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{250}{x}\) + \(\frac{140}{y}\)
కాని మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం 4 గంటలు కావున
\(\frac{250}{x}\) + \(\frac{140}{y}\) = 4

⇒ \(\frac{125}{x}+\frac{60}{y}\) = 2
మరల 130 కి.మీ దూరం రైలులో మిగిలిన దూరం కారులో ప్రయాణించినపుడు 130 కి.మీ రైలు

ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{130}{x}\) గం.
240 కి.మీ (370 – 130) కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{240}{y}\) గం.
మొత్తం కాలం = \(\frac{130}{x}+\frac{240}{y} \)
కాని ప్రయాణానికి పట్టిన మొత్తం. కాలం 4 గంటల 18 నిమిషాలు 4\(\frac{18}{60}\) = 4\(\frac{3}{10}\) గం.
అనగా, \(\frac{130}{x}+\frac{240}{y}=\frac{43}{10}\) …………..(2)
(1) (2) సమీకరణాలలో \(\frac{1}{x}\) = a మరియు \(\frac{1}{y}\) = b ప్రతిక్షేపించగా
125a + 60b = 2 ……………(3)
130a+ 240b = 7 …………. (4)
60, 240 ల క.సా.గు. 240. చరరాశిని తొలగించే పద్ధతిని ఉపయోగించగా,

a = \(\frac{1}{100}\) ను సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
(125 × \(\frac{1}{100}\)) + 60b = 2
60b = 2 – \(\frac{5}{4}\)
= \(\frac{8-5}{4}=\frac{3}{4}\)

b = \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{60}\) = \(\frac{1}{80}\)
కావున a = \(\frac{1}{100}\) మరియు b = \(\frac{1}{80}\)
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{100}\) మరియు \(\frac{1}{y}=\frac{1}{80}\)
x = 100 కి.మీ/గం. మరియు y = 80 కి.మీ/గం కావున రైలు వేగం 100 కి.మీ/గం. మరియు కారు వేగం 80 కి.మీ/గం.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలను సాధించండి :
(i) \(\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2;
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 4
సాధన.
1వ పద్ధతి :
\(\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2 …………….. (1);
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 4……………….. (2)

x = 2a ని (2) లో రాయగా,
\(\frac{2 a}{a}-\frac{y}{b}\) = 4
⇒ – \(\frac{y}{b}\) = 4 – 2
⇒ – \(\frac{y}{b}\) = 2 =
⇒ – y = 2b
∴ y = – 2b
సాధన x= 2a, y = – 2b.

2వ పద్ధతి :
(1) ⇒ \(\frac{y}{b}\) = 2 – \(\frac{2 x}{a}\) (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
\(\frac{x}{a}\) – (2 – \(\frac{2 x}{a}\))
⇒ \(\frac{x}{a}\) – 2 + \(\frac{2 x}{a}\) – 4
⇒ \(\frac{3 x}{a}\) = 4 + 2 = 6
⇒ x = 6 × \(\frac{a}{3}\) = 2a
x = 2a ను (2) లో రాయగా,
\(\frac{2 a}{a}\) – \(\frac{y}{b}\) = 4
⇒ – \(\frac{y}{b}\) = 4
2 = 2
⇒ – y = 2b
y = – 2b
సాధన x = 2a, y = – 2b

3వ పద్ధతి :
\(\frac{2 x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2 …………….. (1)

\(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\) = 4 …………….. (2)

(1) ⇒ \(\frac{2 b x+a y}{a b}\) = 2
⇒ 2bx + ay = 2ab ………… (3)
(2) ⇒ \(\frac{b x-a y}{a b}\) = 4
⇒ bx – ay = 4ab …………..(4)

x = 2a ని (3) లో రా3యగా,
2b (2a) + ay = 2ab
⇒ 4ab + ay = 2ab
⇒ ay = 2ab – 4ab = – 2ab
y = \(\frac{-2 \mathrm{ab}}{\mathrm{a}}\) = – 2b
సాధన x = 2a, y = 2b

సరిచూచుట :
x = 2a, y = – 2b ని (2) లో రాయగా
\(\frac{-2 \not a}{\not a}\) – (- \(\frac{-2 \not b}{\not b}\)) = 4
⇒ 2 + 2
⇒ 4= 4 = 4.

(ii) \(\frac{x+1}{2}+\frac{y-1}{3}\) = 8

\(\frac{x-1}{3}+\frac{y+1}{2}\) = 9
సాధన.
\(\frac{x+1}{2}+\frac{y-1}{3}\) = 8 ……………..(1)

\(\frac{x-1}{3}+\frac{y+1}{2}\) = 9 ……………..(2)
(1) ⇒ \(\frac{3(x+1)+2(y-1)}{6}\) = 8
3x + 3 + 2y – 2 = 48
3x + 2y = 48 – 10
3x + 2y = 47 …………… (4)
(2) ⇒ \(\frac{2(x-1)+3(y+1)}{6}\) = 9
2x – 2 + 3y + 3 = 54
2x + 3y = 54 – 15
2x + 3y = 53 …………… (4)

x = 7 ను (3) లో రాయగా,
3 (7) + 2y = 47
⇒ 2y = 47 – 21
⇒ 2y = 26
⇒ y = \(\frac{26}{2}\) = 13
సాధన x = 7, y = 13.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా,
\(\frac{7+1}{2}+\frac{13-1}{3}\) = 8
\(\frac{8}{2}+\frac{12}{3}\) = 8
⇒ 4 + 4 = 8
⇒ 8 = 8.

(iii) \(\frac{x}{7}+\frac{y}{3}\) = 5;
\(\frac{x}{2}-\frac{y}{9}\) = 6
సాధన.
1వ పద్ధతి
\(\frac{x}{7}+\frac{y}{3}\) = 5 ……………(1)

\(\frac{x}{2}-\frac{y}{9}\) = 6 …………….(2)

(1) ⇒ \(\frac{3 x+7 y}{21}\) = 5
⇒ 3x + 7y = 105 …………….. (3)
\(\frac{9 x-2 y}{18}\) = 6
9x – 2y = 108 ………….. (4)

y = 9 ని (4) లో రాయగా
9x – 2(9) = 108
9x – 18 = 108
9x = 108 + 18 = 126
x = \(\frac{120}{9}\) = 14
సాధన x = 14, y = 9

2వ పద్దతి :
\(\frac{x}{7}+\frac{y}{3}\) = 5 …………..(1)

\(\frac{x}{2}-\frac{y}{9}\) …………… (2)

x = 14 ని (1) లో రాయగా

\(\frac{14}{7}+\frac{y}{3}\) = 5

⇒ 2 + \(\frac{y}{3}\) = 5
⇒ \(\frac{y}{3}\) = 5 – 2 = 3
⇒ y = 9 .
సాధన x = 14, y = 9.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా,
\(\frac{14}{7}+\frac{9}{3}\) = 5
2 + 3 = 5
5 = 5

(iv) √3x – √2y = √3; √5x + √3y =√3
సాధన.
√3x – √2y = √3 …………. (1) .
√5x + √3y = √3 ……….. (2)
1వ పద్ధతి :
(1) ⇒ – √2y = √3 – √3x
√2y = √3x – √3
y = \(\frac{\sqrt{3} x-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,

√5x + √3(\(\frac{\sqrt{3} x-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)) = √3

√5x + \(\frac{3 x-3}{\sqrt{2}}\) = √3

\(\frac{\sqrt{10} x+3 x-3}{\sqrt{2}}\) = √3

x(√10 + 3) – 3 = √6
x(3 + √10) = 3 + √6
x = \(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\)
x విలువను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
√5 (\(\)) + √3y = √3

\(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\) + √3y = √3

√3y = √3 – \(\frac{3 \sqrt{5}+\sqrt{30}}{3+\sqrt{10}}\)

2వ పద్ధతి:
√3x – √2y = √3 …………(1)
√5x + √3y = √3 ……….. (2)

x = \(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\)

√10y + 3y = 3 – √15
y(3 + √10) = 3 – √15
⇒ y = \(\frac{3-\sqrt{15}}{3+\sqrt{10}}\)
∴ సాధన. x = \(\frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{10}}\) , y = \(\frac{3-\sqrt{15}}{3+\sqrt{10}}\).

(v) \(\frac{a x}{b}-\frac{b y}{a}\) = a + b; ax – by = 2ab
సాధన.
\(\frac{a x}{b}-\frac{b y}{a}\) = a +b; …………….(1)
ax – by = 2ab …….. (2)
(1) ⇒ \(\frac{a^{2} x-b^{2} y}{a b}\) = a + b
a²x – b²y = ab (a + b)
a²x – b²y = a²b + ab² ……….. (3)
(2) × b = abx – b²y = 2ab² …………… (4)

x = \(\frac{a^{2} b-a b^{2}}{a^{2}-a b}\)
⇒ x = \(\frac{a b(a-b)}{a(a-b)}\)
⇒ x = b
x = b ని (2) లో రాయగా
ab – by = 2ab
– by = 2ab – ab = ab
⇒ by = – ab
⇒ y = \(\frac{-a b}{b}\) = – a
⇒ y = – a

సరిచూడటం:
x, y విలువలను (2) లో రాయగా,
a(b) – b (- a) = 2ab
⇒ ab + ab = 2ab
⇒ 2ab = 2ab.

(vi) 2^x + 3^y = 17; 2^{x + 2} – 3^{y + 1} = 5
సాధన.
2^x + 3^y = 17 …………. (1)
2^{x + 2} – 3^{y + 1} = 5 ………… (2)
(2) ⇒ 2^x × 2² – 3^y × 3 = 5
(∵ a^{m + n} = a^m × aⁿ)
4 × 2^x – 3 × 3^y = 5 ………. (3)
(1) మరియు (3)లలో 2^x = p, 3^y = q అనుకొనుము.
(1) ⇒ p+ q = 17 ………. (4)
(3) ⇒ 4p- 3q = 5 ………. (5)
(4) ⇒ q= 17 – pని (5) లో ప్రతిక్షేపించగా,
4p – 3 (17 – p) = 5
4p -51 + 3p = 5
7p = 5 + 51 = 56
⇒ p = \(\frac{56}{7}\) = 8
p = 8ని (4) లో రాయగా,
8 + q = 17
⇒ q = 17 – 8 = 9
p = 8, q = 9
కాని, 2^x = p = 8
2^x = 2³
⇒ x = 3,
3^y = q = 9
3^y = 3²
⇒ y = 2
సాధన x = 3, y = 2.

సరిచూడటం :
x, y విలువలు (1) లో రాయగా,
2³ + 3² = 17
⇒ 8 + 9 = 17
⇒ 17 = 17

ప్రశ్న 2.
ఒక ప్రయోగంలో జంతువులకు నిర్దేశించిన ఆహారాన్ని ఇవ్వాలి. ప్రతీ జంతువుకు మిగిలిన వాటితోపాటు 20 గ్రాముల ప్రోటీన్లు, 6 గ్రాముల క్రొవ్వు ఇవ్వాలి. ఆ ప్రయోగశాల పరిశీలకులు A, B అనే రెండు రకాల ఆహార మిశ్రమాలను కొన్నారు. మిశ్రమం Aలో 10% ప్రోటీన్లు మరియు 6% క్రొవ్వువున్నాయి. మిశ్రమం Bలో 20% ప్రోటీన్లు, 2% క్రొవ్వు ఉన్నాయి. అయిన వారు ప్రతీ మిశ్రమానికి ఎన్ని గ్రాములు ఉపయోగించాలి ?
సాధన.
జంతువులకు ఇవ్వవలసిన ఆహారంలో 20 గ్రాముల ప్రోటీన్లు ఉండుట కొరకు A మిశ్రమాన్ని x గ్రాములు, Bమిశ్రమాన్ని 5 గ్రాములు ఉపయోగించాలి అనుకుందాం.
లెక్క ప్రకారం ఆహారంలోని ప్రోటీన్లు = 20 గ్రా.
అనగా A మిశ్రమంలోని ప్రోటీన్లు + B మిశ్రమంలోని ప్రోటీన్లు = 20 గ్రా.
\(x \times \frac{10}{100}+y \times \frac{20}{100}\) = 20

\(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}\) = 20
⇒ x + 2y = 200 ……… (1)
ఆహారంలోని కొవ్వు = 6 గ్రాములు.
అనగా A మిశ్రమంలోని కొవ్వు + B మిశ్రమంలోని కొవ్వు = 6 గ్రాములు

3x + y = 300 ………. (2)
(2) ⇒ y = 30 – 3x ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా.
x + 2 (300 – 3x) = 200
x + 600 – 6x = 200
5x = 200 – 600 = – 400 .
5x = 400
⇒ x = \(\frac{400}{5}\) = 80
⇒ x = 80
x = 80 ని (2) లో రాయగా,
3 (80) + y = 300
⇒ 240 + y = 300
⇒ y = 300 – 240 = 60
∴ సాధన x = 80, y = 60..
∴ A మిశ్రమాన్ని 80 గ్రాములు, B మిశ్రమాన్ని 60 గ్రాములు ఉపయోగించాలి.

సరిచూసుకోవడం :
A మిశ్రమం 80 గ్రా. గల ప్రోటీన్లు (10%) = 80 × \(\frac{10}{100}\) = 8 గ్రా.

A మిశ్రమం 60 గ్రా. గల ప్రోటీన్లు (20%) = 60 × \(\frac{20}{100}\) = 12 గ్రా
మొత్తం ప్రోటీన్లు = 20 గ్రా.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 4 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత Exercise 4.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల జతలను, రేఖీయ సమీకరణాల ‘ జతలుగా మార్చడం ద్వారా వాటికి సాధన కనుగొనండి.

(i) \(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2
\(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}\) = 1
సాధన.
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2 ……………(1)
\(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}\) = 1 …………….(2)
(1) మరియు (2) లలో \(\frac{1}{x-1}\) = p \(\frac{`1}{y-2}\) = q అనుకొనుము.
(1) ⇒ 5p + q = 2 ………….. (3)
(2) ⇒ 6p – 3q = 1 ………….. (4)
(3) ⇒ q = 2 – 5p ని (4) లో ప్రతిక్షేపించగా,
6p – 3 (2 – 5p) = 1
6p – 6 + 15p = 1
21p = 1 + 6 = 7
⇒ p = \(\frac{7}{21}\) = \(\frac{1}{3}\)
p = \(\frac{1}{3}\) ని (4) లో రాయగా,
6 (\(\frac{1}{3}\)) – 3q = 1
– 3q = 1 – 2 = – 1
⇒ 3q = 1
⇒ q = \(\frac{1}{3}\)
p = \(\frac{1}{3}\), q = \(\frac{1}{3}\)
కానీ \(\frac{1}{x-1}\) = p = \(\frac{1}{3}\)
x – 1 = 3 ⇒ x = 3 + 1 = 4 1
\(\frac{1}{y-2}\) = q = \(\frac{1}{3}\)
y – 2 = 3 ⇒ y = 3 + 2 = 5
∴ సాధన x = 4, y = 5.

సరిచూచుట :
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2
x = 4, y = 5 విలువలను రాయగా,
\(\frac{5}{4-1}+\frac{1}{5-2}\) = 2
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\)
\(\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\) = 2
⇒ \(\frac{6}{3}\) = 2
⇒ 2 = 2

(ii) \(\frac{x+y}{x y}\) = 2;
\(\frac{x-y}{x y}\) = 6
సాధన.
\(\frac{x+y}{x y}\) = 2 ………….(1)
\(\frac{x-y}{x y}\) = 6 …………(2)

(1) ⇒ \(\frac{x}{x y}+\frac{y}{x y}\) = 2

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\) = 2

(2) ⇒ \(\frac{x}{x y}-\frac{y}{x y}\) = 6

\(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\) = 6 ……………(4)

\(\frac{1}{x}\) = q, \(\frac{1}{y}\) = p అనుకుంటే,
(3) ⇒ p + q = 2 ………….. (5)
(4) ⇒ p – q = 6 ………….. (6)
p + q = 2
p – q = 6
(5) + (6) ⇒ 2p = 8
⇒ p = \(\frac{8}{2}\) = 4
p = 4 ను (5) లో రా యగా,
4 + q = 2
⇒ q = 2 – 4 = – 2
p = 4, q = – 2
కానీ, \(\frac{1}{y}\) = p = 4

y = \(\frac{1}{4}\)

⇒ q = – 2 ⇒ x = – \(\frac{1}{2}\)
∴ సాధన x = – \(\frac{1}{2}\) , y = \(\frac{1}{4}\)

సరిచూచుట :
\(\frac{x+y}{x y}\) = 2

x, y విలువలను రాయగా, \(\frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{\frac{-1}{2} \times \frac{1}{4}}\) = 2

(iii) \(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2

\(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}\) = – 1
సాధన.
\(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2 ………….(1)

\(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}\) = – 1 ………….(2)
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) = p, \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 2p + 3q = 2 ………….. (3)
(2) ⇒ 4p – 9q = – 1 …………. (4)

p = \(\frac{1}{2}\) ను (3) లో రాయగా,
2(\(\frac{1}{2}\)) + 3q = 2
3q = 2 -1 = 1
⇒ q = \(\frac{1}{3}\)
కానీ \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) = p = \(\frac{1}{2}\)
⇒ √x = 2
⇒ x = 4
\(\frac{1}{\sqrt{y}}\) = q = \(\frac{1}{3}\)
⇒ √y = 3
⇒ y = 9
∴ సాధన x = 4, y = 9.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా, \(\frac{2}{\sqrt{4}}+\frac{3}{\sqrt{9}}\) = 2
⇒ \(\frac{2}{2}+\frac{3}{3}\) = 2
⇒ 1 + 1 = 2
⇒ 2 = 2

(iv) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
సాధన.
6x + 3y = 6xy ……….. (1)
2x + 4y = 5x………… (2)
(1) ⇒ \(\frac{6 x}{x y}+\frac{3 y}{x y}\) = 6 (∵ ఇరువైపులా xy తో భాగించగా)
\(\frac{6}{y}+\frac{3}{x}\) = 6 ………..(3)

(2) ⇒ \(\frac{2 x}{x y}+\frac{4 y}{x y}\) = 5
\(\frac{2}{y}+\frac{4}{x}\) = 5 …………….(4)

\(\frac{1}{y}\) = P, \(\frac{1}{x}\) = q అనుకుందాం.
(3) ⇒ 6p + 3q = 6 …………. (5)
⇒ 2p + 4q = 5 ………….. (6)

p = \(\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\)
p = \(\frac{1}{2}\) ను (5) లో ప్రతిక్షేపించగా,
6(\(\frac{1}{2}\)) + 3q = 6
3q = 6 – 3
q = \(\frac{3}{3}\) = 1
కానీ \(\frac{1}{y}\) = p = \(\frac{1}{2}\)
⇒ y = 2
\(\frac{1}{x}\) = q = 1
⇒ x = 1
∴ సాధన x = 1, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో రాయగా,
6 (1) + 3 (2) = 6 (1) (2)
6 + 6 = 12
12 = 12

(v) \(\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}\) = – 1
\(\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}\) = 10 x ≠ 0, y ≠ 0 అయిన
సాధన.
\(\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}\) = – 1 …………… (1)
\(\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}\) = 10 …………. (2)

\(\frac{1}{x+y}\) = p, \(\frac{1}{x-y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 5p – 2q = – 1 …………. (3)
(2) ⇒ 15p + 7q = 10 ………. (4)

p = \(\frac{1}{5}\) ను (3) లో రాయగా,
5(\(\frac{4}{4}\)) – 2q = – 1
1 – 2q = -1
– 2q = – 1 – 1
2q = 2
q = \(\frac{2}{2}\) = 1
p = \(\frac{1}{5}\), q = 1

కానీ, \(\frac{1}{x+y}\) = P = \(\frac{1}{5}\)
⇒ x + y = 5 ………… (5)
\(\frac{1}{x-y}\) = q = 1
⇒ x – y = 1 …… (6)
(5) మరియు (6) లను సాధించగా,

x = 3ను (5) లో రాయగా,
3 + y = 5
y = 5 – 3 = 2
∴ సాధన x = 3, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (2) లో రాయగా,
\(\frac{15}{3+2}+\frac{7}{3-2}\) = 10
\(\frac{15}{5}+\frac{7}{1}\) = 10
3 + 7 = 10
10 = 10

(vi) \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13
\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2 x ≠ 0, y ≠ 0 అయిన
సాధన.
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13 …………… (1)

\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2 …………… (2)

\(\frac{1}{x}\) = p, \(\frac{1}{y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 2p+ 3q = 13 ………….(3)
(2) ⇒ 5p – 4q = – 2 ………..(4)

p = 2 ను (3) లో రాయగా,
2(2) + 3q = 13
4 + 3q = 13
3q = 13 – 4 = 9
⇒ q = \(\frac{9}{3}\) = 3
p = 2, q = 3
కానీ, \(\frac{1}{x}\) = p = 2
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{y}\) = q = 3
⇒ y = \(\frac{1}{3}\)
∴సాధన x = \(\frac{1}{2}\), y = \(\frac{1}{3}\)

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{2}{\frac{1}{2}}+\frac{3}{\frac{1}{3}}\) = 13
⇒ 2 × \(\frac{2}{1}\) + 3 × \(\frac{3}{1}\) = 13
⇒ 4 + 9 = 13
⇒ 13 = 13

(vii) \(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 4
\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}\) = – 2
సాధన.
\(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 4 ………. (1)

\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}\) = – 2 ………….. (2)

\(\frac{1}{x+y}\) = p, \(\frac{1}{x-y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 10p + 2q = 4 ………….. (3)
(2) ⇒ 15p – 5q = – 2…………… (4)

p = \(\frac{1}{5}\) ను (3) లో రాయగా,
10(\(\frac{1}{5}\)) + 2q = 4
2 + 2q = 4
⇒ 2q = 4 – 2
⇒ 2q = 2
q = \(\frac{2}{2}\) = 1, p = \(\frac{1}{5}\), q = 1
కానీ, \(\frac{1}{x+y}\) = p = \(\frac{1}{5}\)
⇒ x + y = 5 …………….. (5)
\(\frac{1}{x+y}\) = q = 1
⇒ x – y = 1 …………….. (6)
(5), (6) లను సాధించగా,

x = 3 ను (5) లో రాయగా,
3 + y = 5
⇒ y = 5 – 3 = 2
∴ సాధన, x = 3, y = 2.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{10}{3+2}+\frac{2}{3-2}\) = 4

⇒ \(\frac{10}{5}+\frac{2}{1}\) = 4
2 + 2 = 4
4 = 4

(viii) \(\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=\frac{-1}{8}\)
సాధన.
\(\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}\) …………….(1)

\(\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=\frac{-1}{8}\) ………. (2)
(2) ⇒ \(\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}\right]=\frac{-1}{8}\)

⇒ \(\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}=\frac{-2}{8}\)

⇒ \(\frac{1}{3 x+y}-\frac{1}{3 x-y}=\frac{-1}{4}\) ………………(3)
(1) & (3) లలో \(\frac{1}{3 x+y}\) = p, \(\frac{1}{3 x-y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ p + q = \(\frac{3}{4}\) …………. (4)
(3) ⇒ p – q = \(\frac{1}{4}\) ……….. (5)
(4) + (5) ⇒

p = \(\frac{1}{4}\) ను (4) లో రాయగా,
\(\frac{1}{4}\) + q = \(\frac{3}{4}\)

q = \(\frac{3}{4}\) – \(\frac{1}{4}\)
= \(\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

p = \(\frac{1}{4}\), q = \(\frac{1}{2}\)

కానీ, \(\frac{1}{3 x+y}\) = p = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 3x + y = 4 …………(6)

\(\frac{1}{3 x-y}\) = q = \(\frac{1}{2}\)
⇒ 3x – y = 2 ……. (7)
(6), (7) లను సాధించగా.

x = 1 ని (6) లో రా యగా,
3 (1) + y = 4 ⇒ y = 4 – 3 = 1
సాధన x = 1, y = 1.

సరిచూచుట :
x, y విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{1}{3(1)+1}+\frac{1}{3(1)-1}=\frac{3}{4}\)

\(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\) \(\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమస్యలకు సమీకరణాల జతలను వ్రాసి వాటికి సాధన కనుగొనండి.
(i) ఒక పడవ నీటిలో ప్రవాహమునకు అభిముఖముగా 30 కి.మీ దూరమును మరియు ప్రవాహపువాలులో 44 కి.మీ. దూరము ప్రయాణించుటకు 10 గంటలు పట్టును. అదే పడవకు 40 కి.మీ అభిముఖముగా, 55 కి.మీ. ప్రవాహపు వాలులో ప్రయాణించుటకు 13 గంటలు కాలము పట్టును. అయిన ప్రవాహవేగమును, నిలకడ నీటిలో పడవ వేగమును కనుగొనుము.
సాధన.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = x కి.మీ./గం.
ప్రవాహ వేగము = y కి.మీ./ గం. అనుకొనుము
ప్రవాహ అభిముఖంగా పడవ వేగం = (x – y) కి.మీ./గం.
ప్రవాహవాలు (ప్రవాహ దిశలో) గా పడవవేగం = (x + y) కి.మీ./గం. దూరం

సందర్భం -1:
ప్రవాహ అభిముఖంగా 30 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{30}{x-y}\) గం.
ప్రవాహవాలుగా 44 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే 44 కాలం = \(\frac{44}{x+y}\) గం.
మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = 10 గం.

\(\frac{30}{x-y}+\frac{44}{x+y}\) = 10 …… (1)

సందర్భం – 2:
ప్రవాహ అభిముఖంగా 40 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{40}{x-y}\) గం
ప్రవాహ వాలులో 55 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలం = \(\frac{55}{x+y}\) గం.
మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = 13 గం.

\(\frac{40}{x-y}+\frac{55}{x+y}\) = 13 ……….. (2)
\(\frac{1}{x-y}\) = p మరియు \(\frac{1}{x+y}\) = q అనుకొంటే
(1) ⇒ 30p + 44q = 10 ………… (3)
(2) ⇒ 40p + 55q = 13 ………… (4)
30, 40 ల క.సా.గు = 120,

q = \(\frac{1}{11}\)
q = \(\frac{1}{11}\) ని (3) లో రాయగా
30p + 44 (\(\frac{1}{11}\)) = 10
30p + 4 = 10
30p = 10 – 4 = 6
⇒ p = \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\)
కానీ, \(\frac{1}{x-y}\) = p = \(\frac{1}{5}\)
⇒ x – y = 5 ……………..(5)
\(\frac{1}{x+y}\) = q = \(\frac{1}{11}\)
⇒ x + y =11 ……………….(6)

x = 8ని (6) లో రాయగా,
8 + y = 11
y = 11 – 8 = 3
∴ సాధన x = 8, y = 3.
నిలకడ నీటిలో పడవ వేగం = 8 కి. మీ./గం,
ప్రవాహ వేగము = 3 కి. మీ./గం.

సరిచూచుట :
అభిముఖంగా 30 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలము = \(\frac{30}{8-3}=\frac{30}{5}\) = 6 గం.
ప్రవాహవాలుగా 40 కి.మీ. ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{40}{8+2}=\frac{40}{10}\) = 4 గం.
మొత్తం ప్రయాణకాలం = 6 + 4 = 10 గం.

(ii) రహీమ్ తన యింటికి పోవుటకు 600 కి.మీ దూరములో, కొంత దూరము రైలులో మరియు కొంత దూరము కారులో ప్రయాణించును. 120 కి.మీ. దూరము రైలులో, మిగిలిన దూరము కారులో ప్రయాణమునకు అతనికి 8 గంటలు పట్టును. అదే 200కి.మీ. దూరము రైలులో, మిగిలిన దూరము కారులో ప్రయాణము చేసిన అతనికి 20 నిమిషాల కాలము ఎక్కువ పట్టును. అయిన కారు మరియు రైలుల వేగములను కనుగొనండి. సాధన.
రైలు వేగము = x కి.మీ./గం.
కారు వేగము = y కి.మీ./గం. అనుకుందాం.

సందర్భం – 1:
120 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{120}{x}\) గం
600 – 120 = 480 కి.మీ. ‘కారు ప్రయాణానికి
పట్టిన కాలం = \(\frac{480}{y}\) గం
మొత్తం ప్రయాణకాలం = 8 గం.
\(\frac{120}{x}+\frac{480}{y}\) = 8 …………….. (1)

సందర్భం – 2:
200 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{200}{x}\) గం.
600 – 200 = 400 కి.మీ. కారు ప్రయాణానికి పట్టిన కాలం = \(\frac{400}{y}\) గం.
మొత్తం ప్రయాణ కాలం = 8 గం. + 20 ని.
\(\frac{200}{x}+\frac{400}{y}=8 \frac{20}{60}\) గం. = \(\frac{25}{3}\) గం.
∴ \(\frac{200}{x}+\frac{400}{y}=\frac{25}{3}\) …………….(2)
\(\frac{1}{x}\) = p, \(\frac{1}{y}\) = q అనుకుంటే,
(1) ⇒ 120p + 480q = 8 ………………… (3)
(2) ⇒ 200p + 400q = \(\frac{25}{3}\) ……………. (4)

q = \(\frac{1}{80}\) = ని (3) లో రాయగా,
120p + 480(\(\frac{1}{80}\)) = 8
⇒ 120p = 8 – 6 = 2
⇒ p = \(\frac{2}{120}\)
⇒ p = \(\frac{1}{60}\)
∴ p = \(\frac{1}{60}\), q = \(\frac{1}{80}\)
కానీ, \(\frac{1}{x}\) = p = \(\frac{1}{60}\)
⇒ x = 60
\(\frac{1}{y}\) = q = \(\frac{1}{80}\)
⇒ y = 80
∴ సాధన x = 60, y = 80.
రైలు వేగం = 60 కి.మీ./గం.
కారు వేగం = 80 కి.మీ./గం.

సరిచూచుట :
120 కి.మీ. రైలు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{120}{60}\) = 2 గం.
480 కి.మీ. కారు ప్రయాణానికి పట్టే కాలం = \(\frac{480}{80}\) = 6 గం.

మొత్తం ప్రయాణకాలం = 2 + 6 = 8 గం.

(iii) ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5గురు పురుషులు ఒక కుట్టుపనిని 4 రోజులలో చేయగా, ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6గురు పురుషులు దానిని 3 రోజులలో చేసెదరు. స్త్రీ ఒక్కరే లేదా పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలమును కనుగొనుము.
సాధన.
స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = x రోజులు
పురుషుడు ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = y రోజులు అనుకుందాం.
స్త్రీ ఒక్కరే 1 రోజు చేయు పని = \(\frac{1}{x}\)
పురుషుడు ఒక్కడే 1 రోజు చేయు పని = \(\frac{1}{y}\)

సందర్భం -1:
ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5 గురు పురుషులు ఆ పనిని 4 రోజులలో చేయుదురు.
కావున, ఇద్దరు స్త్రీలు మరియు 5 గురు పురుషులు ఒక రోజులో చేయు పని = \(\frac{1}{4}\)

∴ \(\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\)
[∵ ఇద్దరు స్త్రీలు ఒకరోజులో చేయు పని = 2 × \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{2}{x}\)
5 గురు పురుషులు ఒక రోజులో చేయు పని = 5 × \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{5}{y}\)]

∴ \(\frac{8}{x}+\frac{20}{y}\) = 1 ……………. (1)

సందర్భం – 2:
ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6 గురు పురుషులు ఆ పనిని 3 రోజులలో చేసెదరు.
∴ ముగ్గురు స్త్రీలు మరియు 6 గురు పురుషులు ఒక రోజు చేయు పని = \(\frac{1}{3}\)
\(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}\)

⇒ \(\frac{9}{x}+\frac{18}{y}\) = 1 ………… (2)

p = \(\frac{1}{x}\), q = \(\frac{1}{y}\) అనుకుంటే,

(1) ⇒ 8p + 20q = 1 ………….. (3)
(2) ⇒ 9p + 18q = 1 ………….. (4)

q = \(\frac{1}{36}\) ను (4) లో రాయగా,
9p + 18(\(\frac{1}{36}\)) = 1
⇒ 9p + \(\frac{1}{2}\) = 1
⇒ 9p = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ p = \(\frac{1}{18}\)
⇒ p = \(\frac{1}{18}\), q = \(\frac{1}{36}\)
కానీ \(\frac{1}{x}\) = p = \(\frac{1}{18}\)
⇒ x = 18
\(\frac{1}{y}\) = q = \(\frac{1}{36}\)
⇒ y = 36
‘స్త్రీ ఒక్కరే ఆ పని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = 18 రోజులు
‘పురుషుడు ఒక్కరే ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలం = 36 రోజులు.

సరిచూచుట :
x = 18, y = 36 ని (2) లో రాయగా,
\(\frac{9}{18}+\frac{18}{36}\) = 1
⇒ \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 1
⇒ \(\frac{2}{2}\) = 1