AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.4

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో p(x) బహుపదిని g(x) బహుపదిచే భాగించి భాగఫలాన్ని, శేషాన్ని కనుగొనండి.
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
సాధన.
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4 1

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{3}}{x^{2}}\) = x

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-3 x^{2}}{x^{2}}\) = – 3
భాగఫలం q(x) = x – 3
శేషం r (x) = 7x – 9

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

2వ పద్ధతి :
p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3,
g(x) = x2 – 2 = x2 + 0x – 2

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4 2

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{3}}{x^{2}}\) = x

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-3 x^{2}}{x^{2}}\) = – 3
భాగఫలం q(x) = x – 3
శేషము r(x) = 7x – 9

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5,
g(x) = x2 + 1 – x
సాధారణ రూపంలో p(x) = x4 + 0x3 – 3x2 + 4x + 5
అవరోహణ క్రమంలో g(x) = x2 – x + 1

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4 3

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{4}}{x^{2}}\) = x

భాగఫలంలో రెండవ పదం =\(\frac{x^{3}}{x^{2}}\) = x

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{-3 x^{2}}{x^{2}}\) = – 3

భాగఫలం q(x) = x2 + x – 3
శేషం r (x) = 8.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
సాధారణ రూపంలో
p(x) = x4 + 0x3 + 0x2 – 5x + 6
సాధారణ రూపంలో g(x) = – x2 + 0x + 2

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4 4

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{4}}{-x^{2}}\) = – x2

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{2 x^{2}}{-x^{2}}\) = – 2

భాగఫలం q(x) = – x2 – 2;
శేషం r (x) = – 5x + 10.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

ప్రశ్న 2.
కింది బహుపదులలో రెండవ బహుపదిని, మొదటి బహుపదిచే భాగించి ప్రతి సందర్భంలో మొదటి బహుపది కారణాంకం అగునో, కాదో సరిచూడండి.
(i) t3 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
సాధన.
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t- 12

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4 5

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{2 t^{4}}{t^{2}}\) = 2t2

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{3 \mathrm{t}^{3}}{\mathrm{t}^{2}}\) = 3t

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{4 \mathrm{t}^{2}}{\mathrm{t}^{2}}\) = 4

శేషం r (x) = 0
∴ t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 కు కారణాంకము అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4 6

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{3 x^{4}}{x^{2}}\) = 3 x2

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}\) = – 4 x

బాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{2 x^{2}}{x^{2}}\) = 2
శేషం r (x) = 0
∴ x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 కారణాంకము అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4 7

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{5}}{x^{3}}\) = x2

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-x^{3}}{x^{3}}\) = – 1
శేషం r (x) = 2
∴ x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 కు కారణాంకము కాదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

ప్రశ్న 3.
3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 అను బహుపదికి రెండు శూన్యాలను \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) మరియు – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) అయిన మిగిలిన రెండు శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5
అయిన మిగిలిన రెండు
p(x) = \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) మరియు – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) లు రెండు శూన్య విలువలు కావున (x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) (x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\))
= x2 – \(\frac{5}{3}\) p(x) కు ఒక కారణాంకం అవుతుంది.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4 8

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{3 x^{4}}{x^{2}}\) = 3x2

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{6 x^{3}}{x^{2}}\) = 6x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{3 x^{2}}{x^{2}}\) = 3

భాగహార అల్ గారిథమ్ ప్రకారం
3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5
= (x2 – \(\frac{5}{3}\)) (3x2 + 6x + 3) + 0
= (x2 – \(\frac{5}{3}\)) (3x2 + 6x + 3)
p(x) = 0 అయిన
(x2 – \(\frac{5}{3}\)) (3x2 + 6x + 3) = 0
x2 – \(\frac{5}{3}\) = 0 లేదా 3x2 + 6x + 3 = 0
x2 = \(\frac{5}{3}\) లేదా 3(x2 + 2x + 1) = 0
x = ± \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) లేదా 3(x + 1)2 = 0
(x + 1)2 = 0
x + 1 = 0
∴ x = – 1
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు \(\sqrt{\frac{5}{3}}\), – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) మరియు – 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

2వ పద్గతి:
p(x) = 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) మరియు – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) లు p(x) యొక్క రెండు శూన్య విలువలు.
(x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) (x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) = x2 – \(\frac{5}{3}\)
= \(\frac{3 x^{2}-5}{3}\)
= \(\frac{1}{3}\) (3x2 – 5), p(x) కు కారణాంకం అవుతుంది. కాబట్టి p(x) కు 3x – 5 కారణాంకము

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4 9

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{3 x^{4}}{3 x^{2}}\) = x2

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{6 x^{3}}{3 x^{2}}\) = 2x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}\) = 1

భాగహార అల్గారిథమ్ ప్రకారం p(x) = 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5
= (3x2 – 5) (x2 + 2x + 1) + 0
∴ p(x) = (3x2 – 5) (x2 + 2x + 1)
p(x) = 0 అయిన (3x2 – 5) (x2 + 2x + 1) = 0
3x2 – 5 = 0 లేదా x2 + 2x + 1 = 0
3x2 = 5 లేదా (x + 1)2 = 0
x2 = , లేదా x + 1 = 0
x = ±\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) లేదా x = – 1
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు \(\sqrt{\frac{5}{3}}\), – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) మరియు – 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

ప్రశ్న 4.
x3 – 3x2 + x + 2 అను బహుపదిని g(x) అనే బహుపదిచే భాగిస్తే భాగఫలము x – 2 మరియు శేషము – 2x + 4 అయిన g(x) ను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x3 – 3x2 + x + 2
g(x) = ?
q(x) = x – 2
r(x) = – 2x + 4
భాగహార అల్ గారిథమ్ నుండి
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) – r(x) = g(x) . q(x)
x3 – 3x2 + x + 2 – (- 2x + 4) = g(x) (x – 2)
x3 – 3x2 + x + 2 + 2x – 4 = g(x) (x – 2)
x3 – 3x2 + 3x – 2 = g(x) (x – 2)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4 10

భాగఫలంలో మొదటి పదం = \(\frac{x^{3}}{x}\) = x2

భాగఫలంలో రెండవ పదం = \(\frac{-x^{2}}{x}\) = – x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = \(\frac{x}{x}\) = 1
∴ g(x) = x = x + 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

ప్రశ్న 5.
భాగహార నియమము మరియు దిగువ ఇవ్వబడిన నియమాలను తృప్తిపరిచే విధంగా p(x), g(x), q{x) మరియు r(x) బహుపదులకు తగిన ఉదాహరణలను ఇవ్వండి.
(i) p(x) పరిమాణము = q(x) పరిమాణము
(ii) q(x) పరిమాణము = r(x) పరిమాణము
(iii) r(x) పరిమాణము = 0
సాధన.
(i) p(x) పరిమాణం = q(x) పరిమాణం భాగహార అల్గారిథమ్
p(x) = g(x) q(x) + r(x)
ఉదా – 1: p(x) పరిమాణం = q(x) పరిమాణం కావాలంటే g(x) యొక్క పరిమాణం శూన్యం కావాలి అనగా g(x) స్థిర బహుపది.
3x3 – 15x2 + 9x + 12
= 3(x3 – 5x2 + 3x + 4) + 0
p(x) = 3x3 – 15x2 + 9x + 12
g(x) = 3
q(x) = x3 – 5x2 + 3x + 4
r(x) = 0

ఉదా – 2 : 15x2 + 8x + 10
= 5 (3x2 + \(\frac{8}{5}\) x + 2) + 0
p(x) = 15x2 + 8x + 10
g(x) = 5
q(x) = 3x2 + \(\frac{8}{5}\) x + 2
r(x) = 0

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

(ii) q(x) పరిమాణం = r(x) పరిమాణం భాగహార అల్ గారిథమ్ p(x) = g(x) q(x) + r(x) లెక్క ప్రకారం
q(x) పరిమాణం = r(x) పరిమాణం
r(x) పరిమాణం < g(x) పరిమాణము అని మనకు తెలుసు.
∴ q(x) పరిమాణం < g(x) పరిమాణం కావాలి

ఉదా -1 : p(x) = (x2 + 5x + 6) (x + 3) + x – 4
= x3 + 5x2 + 6x + 3x2 + 15x + 18 + x – 4
p(x) = x3 + 8x + 22x + 14
g(x) = x2 + 5x + 6
q(x) = x + 3
r(x) = x – 4

ఉదా – 2: p(x) = (3x3 – 4x + 5) (x2 – 2) + x2 + 2x + 5
= 3x5 – 4x3 + 5x2 – 6x3 + 8x – 10 + x2 + 2x + 5
p(x) = 3x5 – 10x3 + 6x2 + 10x – 5
g(x) = 3x3 – 4x + 5
q(x) = x2 – 2
r(x) = x2 + 2x + 5

AP Board 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.4

(iii) r(x) పరిమాణం = 0
r(x) పరిమాణం = 0 అనగా f(x) స్థిర బహుపది అవుతుంది.
ఉదా – 1: r(x) = 5
g(x) = x + 5
q(x) = x + 5x + 7
భాగహార అల్ గారిథమ్
p(x) = g(x) . q(x) + r(x) .
= (x + 5) (x2 + 5x + 7) + 5
p(x) = x3 + 5x2 + 7x + 5x2 + 25x + 35 + 5
p(x) = x3 + 10x2 + 32x + 40.

ఉదా – 2:
r(x) = 8
g(x) = x – 3
q(x) = x + 3
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) = (x – 3) (x + 3) +8
p(x) = x2 – 9 + 8
p(x) = x2 – 1