Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 మాత్రికలు Exercise 3(b)
I.
Question 1.
క్రింది లబ్దాలు సాధ్యమైనప్పుడల్లా కనుక్కోండి.
సూచన: (1 × 3) by (3 × 1) = 1 × 1
Solution:
మొదటి మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య, రెండవ మాత్రికలోని అడ్డు వరుసల సంఖ్యకు సమానం కాదు. అందువల్ల మాత్రికా లబ్ధము నిర్వచితము కాదు.
మొదటి మాత్రికలో నిలువు వరుసల సంఖ్య 1 ≠ రెండవ మాత్రికలో అడ్డు వరుసల సంఖ్య 2 కనుక మాత్రిక లబ్ధం నిర్వచితం కాదు.
Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 5
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 5 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) అయితే AB, BA లు నిర్వచితమా? అయితే లబ్ద మాత్రికలు కనుక్కోండి. A, B లు గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయమవుతాయా?
Solution:
AB ≠ BA
∴ A, B లు గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయము కావు.
Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 2 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A2 ను కనుక్కోండి.
Solution:
Question 4.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
i & 0 \\
0 & i
\end{array}\right]\) అయితే A2 ను కనుక్కోండి.
Solution:
Question 5.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{i} & 0 \\
0 & -\mathbf{i}
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{0} & \mathbf{i} \\
\mathbf{i} & \mathbf{0}
\end{array}\right]\) అయితే
(i) A2 = B2 = C2 = -I [Mar. ’08]
(ii) AB = -BA = -C, (i2 = -1) అని చూపండి.
(I అనేది రెండో తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:
Question 6.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{array}\right]\) అయితే, AB ని కనుక్కోండి. BA ని నిర్వచితమైతే కనుక్కోండి.
Solution:
మాత్రిక B లో నిలువు వరుసల సంఖ్య A లో అడ్డు వరుసల సంఖ్య. అందువల్ల BA నిర్వచితం కాదు.
Question 7.
A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]\), A2 = O అయితే k విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’14, ’05]
Solution:
A2 = O
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & k
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
4-4 & 8+4 k \\
-2-k & -4+k^2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
⇒ 8 + 4k = 0
⇒ 4k = -8
⇒ k = -2
II.
Question 1.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right]\), అయితే A4 ని కనుక్కోండి.
సూచన : A వికర్ణ మాత్రిక.
Solution:
Question 2.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -1 & -3
\end{array}\right]\), అయితే A3 ను కనుక్కోండి.
Solution:
Question 3.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
3 & -1 & 1
\end{array}\right]\) అయితే A3 – 3A2 – A – 3I విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
(ఇక్కడ I ఒక 3వ తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:
Question 4.
I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\), E = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) అయితే (aI + bE)3 = a3I + 3a2bЕ అని చూపండి. [(AP) Mar. ’15, May ’05]
(ఇక్కడ I ఒక 3వ తరగతి యూనిట్ మాత్రిక)
Solution:
III.
Question 1.
A = diag [a1, a2, a3), n ≥ 1 ఒక పూర్ణాంకం అయితే An = \(\left[a_1^n, a_2^n, a_3^n\right]\) అని చూపండి.
Solution:
n = k + 1 కి ఇది నిజం.
గణితానుగమన సిద్ధాంతం ద్వారా ప్రతి n ∈ N కు P(n) నిజమవుతుంది.
Question 2.
θ – φ = \(\frac{\pi}{2}\) అయితే \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\
\cos \theta \sin \theta & \sin ^2 \theta
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \phi & \cos \phi \sin \phi \\
\cos \phi \sin \phi & \sin ^2 \phi
\end{array}\right]\) = 0 అని చూపండి. [May ’11; Mar. ’04]
Solution:
θ – φ = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{2}\) + φ
Question 3.
n ధన పూర్ణాంకం, A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -4 \\
1 & -1
\end{array}\right]\) అయితే An = \(\left[\begin{array}{cc}
1+2 n & -4 n \\
n & 1-2 n
\end{array}\right]\) అని చూపండి.
Solution:
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం ఋజువు చేద్దాం.
∴ n = k + 1 కు నిజం.
గణితానుగమన నియమం ప్రకారం n యొక్క అన్ని పూర్ణాంకాలకు నిజం.
Question 4.
A, B లు ఒకే తరగతి చతురస్ర మాత్రికలైతే AB = 0, BA ≠ 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
Solution:
Question 5.
ఒక సహాయనిధికి చెందిన రూ.30,000 లను రెండు రకాల బాండ్లలో మదుపు చేయాలి. మొదటి రకం బాందు సంవత్సరానికి 5% వడ్డీని, రెండవ రకం బాండు సంవత్సరానికి 7% వడ్డీని ఇస్తాయి. మాత్రికల గుణకాన్ని ఉపయోగించి ఈ మొత్తాన్ని ఏవిధంగా విభజిస్తే వడ్డీ (a) రూ.1800 (b) రూ.2000 వస్తుంది.
Solution:
మొదటి బాండును ‘x’ అనుకొనుము.
రెండవ బాండును 30,000 – x అనుకొనుము.
వడ్డీ శాతం 0.05 మరియు 0.07 అనుకొనుము.
(a) [x, 30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [1800]
[0.05x + 0.07(30,000 – x)] = 1800
\(\frac{5}{100} x+\frac{7}{100}\) (30,000 – x) = 1800
5x + 21,0000 – 7x = 1,80,000
-2x = 1,80,000 – 2,10,000 = -30,000
x = 15,000
∴ మొదటి బాండ్ = 15,000
రెండవ బాండ్ = 30,000 – 15,000 = 15,000
(b) [x 30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [2000]
[0.05x + 0.07(30,000 – x)] = [2000]
\(\frac{5}{100} x+\frac{7}{100}\) (30,000 – x) = 2000
5x + 2,10,000 – 7x = 2,00,000
-2x = 2,00,000 – 2,10,000
-2x = -10,000
x = 5,000
∴ మొదటి బాండ్ = 5000
రెండవ బాండ్ = 30,000 – 5000 = 25,000