# AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Ex 9(a)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(a) will help students to clear their doubts quickly.

## AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(a)

అభ్యాసం – 9 (ఎ)

I. క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) $$\sqrt{x}$$ + $$2 x^{\frac{3}{4}}$$ + $$3 x^{\frac{5}{6}}$$ (x > 0)
సాధన:
y = $$\sqrt{x}$$ + $$2 x^{\frac{3}{4}}$$ + $$3 x^{\frac{5}{6}}$$ (x > 0)
$$\frac{d y}{d x}$$ = $$\frac{1}{2} \cdot x^{-1 / 2}$$ + 2. $$\frac{3}{2}$$ . x-1/4 + 3. $$\frac{3}{2}$$ . x-1/6]

ii) $$\sqrt{2 x-3}$$ + $$\sqrt{7-3 x}$$ (T.S Mar. ’15)
సాధన:

iii) (x2 – 3) (4x3 + 1)
సాధన:
y = (x2 – 3) (4x3 + 1)
$$\frac{d y}{d x}$$ = (x2 – 3) – (4x3 + 1)
$$\frac{d y}{d x}$$ = (x2 – 3) $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$(4x3 + 1) + (4x3 + 1)$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$(x2 – 3)
= (x2 – 3) (12x2) + (4x3 + 1) (2x)
= 12x4 – 36x2 + 8x4 + 2x
= 20x4 – 36x2 + 2x

iv) ($$\sqrt{x}$$ – 3x) (x + $$\frac{1}{x}$$)
సాధన:

v) ($$\sqrt{x}$$ + 1)(x2 – 4x + 2)(x > 0)
సాధన:
y = ($$\sqrt{x}$$ + 1) (x2 – 4x + 2) (x > 0)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

vi) (ax + b)n (cx + d)m.
సాధన:

vii) 5 sin x + ex log.x
సాధన:
y = 5 sin x + ex. log x
$$\frac{d y}{d x}$$ = 5 cos x + ex. $$\frac{d}{d x}(\log x)$$ + log x $$\frac{d}{d x}\left(e^x\right)$$
= 5 cos x + ex . $$\frac{1}{x}$$ + (log x) (ex)

viii) 5x + log x + x3 ex
సాధన:
y = 5x + log x + x3 ex
$$\frac{d y}{d x}$$ = 5x . log 5 + $$\frac{1}{x}$$ + x3.ex + ex.3x2
= 5x.l0g 5 + $$\frac{1}{x}$$ + x3 ex + 3x2 ex

ix) ex + sin x cos x
సాధన:
y = ex + sin x. cos x
$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx}}$$ = $$\frac{d}{d x}$$(ex) + $$\frac{d}{d x}$$(sin x. cos x)
= ex + sin x $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$ (cos x) + cos x $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$ (sin x)
= ex – sin2 x + cos2 x
= ex + cos 2x

x)
$$\frac{\mathbf{p} x^2+\mathbf{q} x+\mathbf{r}}{\mathbf{a x}+\mathbf{b}}$$(|a| + |b| ≠ 0)
సాధన:

xi) log7 (log x) (x > 0)
సాధన:
y = log7 (log x) (x > 0)
$$\frac{d y}{d x}$$ = $$\frac{1}{\log _7} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$$
= $$\frac{1}{x(\log x)\left(\log _e^7\right)}$$ = $$\frac{\log _7{ }^e}{x \log _e x}$$

xii)
$$\frac{1}{a x^2+b x+c}$$ (|a| + |b| + |c| ≠ 0)
సాధన:

xiii) e2x log (3x + 4) (x > $$\frac{-4}{3}$$) (May ’13)
సాధన:
y = e2x. log (3x + 4) (x > –$$\frac{4}{3}$$)
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

xiv) (4 + x2) e2x
సాధన:
$$\frac{d y}{d x}$$ = (4 + x2) $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$(e2x) + e2x$$\frac{d}{d x}$$(4 + x2)
= (4 + x2). 2e2x + e2x (0 + 2x)
= 2e2x (4 + x2 + x]
= 2e2x (x2 + x + 4)

xv) $$\frac{a x+b}{c x+d}$$ [|c| + |d| ≠ 0] (May 12)
సాధన:
y = $$\frac{a x+b}{c x+d}$$ [|c| + |d| ≠ 0]
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా

xvi) ax. ex2
సాధన:
y = ax. ex2
x దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా,

ప్రశ్న 2.
f(x) = 1 + x + x2 + …. + x1oo, అయితే f'(1) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = 1 + 2x + 3x2……… + 100 x99
f'(1) = 1 + 2 + 3 …….. + 100
= $$\frac{100 \times 101}{2}$$ = 5050 (Σx = $$\frac{x(x+1)}{2}$$)

ప్రశ్న 3.
f(x) = 2x2 + 3x – 5 అయితే f'(0) + 3f'(-1) = 0 అని చూపండి.
సాధన:
f'(x) = 4x + 3
f'(0) = 0 + 3 = 3
f'(-1) = – 4 + 3 = -1
f(0) + 3f'(-1) 3 + 3(-1) = 3 – 3 = 0

II.

ప్రశ్న 1.
అవకలజం ప్రాథమిక సూత్రం నుంచి కింది ప్రమేయాలు అవకలజాలను కనుక్కోండి. (T.S Mar. ’15)

i) x3
సాధన:

ii) x2 + 4
సాధన:
f(x) = x2 + 4
f(x + h) – f(x) = ((x + h)4 + 4) – (x4 + 4)
= ((x + h)4 + 4 – x4 – 4
= x4 + 4x3h + 6x2h2 + 4xh3 + h4 – x4

iii) ax2 + bx + c
సాధన:
f(x) = ax2 + bx + c
f(x + h) = a(x + h)2 + b(x + h) + c
= a(x2 + 2hx + h2) + b(x + h) + c
= ax2 + 2ahx + ah2 + bx + bh + c
f(x + h) – f(x) = ax2 + 2ahx + ah2 + bx + bh + c – ax2 – bx – c
= h[2ax + ah + b]

iv) $$\sqrt{x+1}$$
సాధన:

v) sin 2x (May ’13)
సాధన:
f(x) = sin 2x = f(x + h) – f(x)
= sin 2(x + h) – sin 2x
= 2cos $$\frac{2 x+2 h+2 x}{2}$$ . sin $$\frac{2 x+2 h-2 x}{2}$$
= 2. cos (2x + h). sin h

vi) cos ax (Mar. ’13, ’11)
సాధన:

vii) tan 2x
సాధన:

viii) cot x
సాధన:
f(x) = cot x
f(x + h) – f(x) = cot (x + h) – cot x

ix) sec 3x
సాధన:
f(x) = sec 3x
f(x + h) − f(x) = sec 3(x + h) – sec 3x

x) x sin x
సాధన:
f(x) = x sin x.
f(x + h) – f(x) = (x + h) sin (x + h) – x sin x
= x (sin (x + h) – sin x) + h. sin (x + h)
= x[2 cos$$\frac{x+h+x}{2}$$.sin $$\frac{x+h-x}{2}$$) + h. sin(x + h)

xi) cos2 x
సాధన:
f(x) = cos2 x
f(x + h) f(x) = cos2 (x + h) – cos2 x
= -(cos2 x – cos2 (x + h))
= -sin (x + h + x) sin (x + h – x)

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రమేయాలకు అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) $$\frac{1-x \sqrt{x}}{1+x \sqrt{x}}$$ (x > 0)
సాధన:

ii) xn. nx. log (nx) (x > 0, n ∈ N)
సాధన:

iii) ax2n. log x + bxn e-x
సాధన:
y = ax2n. log x + bxn e-x

iv) ($$\frac{1}{x}$$ – x)3. ex
సాధన:

ప్రశ్న 3.
ప్రమేయం f(x) = |x| + |x – 1], x ∈ R, 0, 1ల వద్ద తప్ప అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద అవకలనీయం అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = │x| + |x – 1| ∀ x ∈ R
f(x) = x + x − 1 = 2x − 1, x ≥ 1
= x – (x − 1) = x – x + 1, = 1, 0 < x < 1
= -x – (x – 1) = -x – x + 1 = 1 – 2x, x ≤ 0
∴ f(x) = 2x – 1, x ≥ 1
= 1, 0 < x < 1 = 1 – 2x, x ≤ 0 x > 1, అయితే f(x)= 2x – 1 = x2 లో బహుపది
f(x) అన్ని x > 1 లకు అవకలనీయము.
0 < x < 1, అయితే f(x) = 1
∴ f(x), 0 < x < 1 కు అవకలనీయము.
x < 1, అయితే f(x) = 1 – 2x = x లో బహుపది
∴ f(x) అన్ని x < 1 వద్ద అవకలనీయము
సందర్భం i) : x = 0

∴ f'(0) వ్యవస్థితం కాదు.
f(x) అవకలనీయము కాదు x = 0 వద్ద
సందర్భం ii) : x = 1

f(x), x = 1 వద్ద అవకలనీయము కాదు.
∴ f(x), 0, 1 వద్ద తప్ప x వాస్తవ విలువలన్నింటి వద్ద అవకలనీయము

ప్రశ్న 4.
క్రింది ప్రమేయం 1, 3 ల వద్ద అవకలనీయమేమో చూపండి.

సాధన:
సందర్భం i) : x = 1

f(x), x = 1 వద్ద x = 1 అవకలనీయం కాదు
సందర్భం ii) : x = 3

f(x) వద్ద x = 3 అవకలనీయం కాదు

ప్రశ్న 5.
క్రింది ప్రమేయం 2 వద్ద అవకలనీయమా ? సరి చూడండి.

సాధన:

f'(2-) ≠ f'(2+) ; f(x) ప్రమేయం x = 2 వద్ద ఆవకలనీయం కాదు.