AP Inter 2nd Year Maths 2A Formulas Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Formulas

→ ప్రాథమిక సూత్రం: ఒక పని W₁ ను ‘m’ విభిన్న విధాలుగానూ, మరొక పని W₂ ను ‘n’ విభిన్న విధాలుగానూ చేయగలిగితే, ఈ రెండు పనులునూ ఒకేసారి ‘mn’ విభిన్న విధాలుగా చేయవచ్చు.

→ n అనేది ఋణేతర పూర్ణాంకం అయిన (i) 0! = 1 (ii) n! = n(n – 1)!

→ ఇచ్చిన వస్తువుల నుంచి (ఒకే విధంగా లేక విభిన్లు) కొన్ని లేదా అన్నీ ఎంచుకొని ఒక వరసలో (సరళరేఖలో) అమర్చడాన్ని ఒక ‘రేఖీయ ప్రస్తారం’ లేదా ‘ప్రస్తారం’ అంటాం.

→ n, r లు ధన పూర్ణాంకాలు, r ≤ n అయినప్పుడు ‘n’ విభిన్న వస్తువుల నుంచి ఒక్కొక్కసారి ‘r’ వస్తువుల చొప్పున తీసుకొంటే వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను ⁿP_r తో సూచిస్తాం.
ⁿP_r = \(\frac{n !}{(n-r) !}\), 0 ≤ r ≤ n

→ n, r లు ధన పూర్ణాంకాలు, r ≤ n అయిన

• ⁿP_r = n . ^(n-1)P_(r-1), r ≥ 1
• ⁿP_r = (n) . (n – 1) ^(n-2)P_(r-1), r ≥ 2
• ⁿP_r = ^(n-1)P_r + r . ^(n-1)P_(r-1)

→ n అసరూప వస్తువుల నుంచి ‘r’ వస్తువుల చొప్పున తీసుకొంటే వచ్చే ప్రసారాలలో

• నిర్దేశించిన ఒక వస్తువు ఉండే ప్రస్తారాల సంఖ్య (r) ^(n-1)P_(r-1)
• నిర్దేశించిన ఒక వస్తువు లేని ప్రస్తారాల సంఖ్య ^(n-1)P_r
• నిర్దేశించిన ఒక వస్తువు నిర్ధేశించిన స్థానంలో ఉండే ప్రస్తారాల సంఖ్య = ^(n-1)P_(r-1)

→ A లో వున్న విభిన్న మూలకాల సంఖ్య n(A); B లో వున్న విభిన్న మూలకాల సంఖ్య n(B) అయితే n(A) ≤ n(B) అయినపుడు A నుండి B కు గల విభిన్న అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్య ^n(B)P_n(A)

→ n(A) = n(B) అయినపుడు A నుండి B కు గల ద్విగుణప్రమేయాల సంఖ్య n(A)!

→ A నుండి B కు గల ప్రమేయాల సంఖ్య [n(B)]^n(A)

→ పునరావృతాన్ని అనుమతించినపుడు n విభిన్న వస్తువులతో, r వస్తువులుండేటట్లు ఏర్పరచగల ప్రస్తారాల సంఖ్య n^r.

→ n విభిన్న శూన్యేతర 1, 2, 3, ……, 9 అంకెలను ఉపయోగించి పునరావృతం లేకుండా ఏర్పరచగల r స్థానాలు గల సంఖ్యల మొత్తం ^(n-1)P_(r-1) × (దత్త అంకెల మొత్తం) × (111…. r సార్లు).

→ పైన చెప్పిన అంశంలోని n విభిన్న పూర్ణాంకాలలో ‘0’ కూడా ఉన్నప్పుడు ఏర్పరచగల 7 స్థానాలున్న సంఖ్యల మొత్తం = ^(n-1)P_(r-1) × దత్త అంకెల మొత్తం × (111……. r సార్లు) ^(n-2)P_(r-2) × (దత్త అంకెలమొత్తం × (111 – (r – 1) సార్లు)

→ n విభిన్న వస్తువుల నుంచి వచ్చే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = (n – 1)!

→ n విభిన్న వస్తువులతో ఏర్పడే పువ్వుల దండలు, పూసల గొలుసులు వంటి వేలాడే రకం వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{1}{2}\) (n – 1)!

→ ఇచ్చిన n వస్తువులలో p వస్తువులు ఒక రకంగానూ, q వస్తువులు మరొక రకంగానూ, r వస్తువులు వేరొక రకంగానూ ఉంటూ మిగిలిన వస్తువులు విభిన్నంగా ఉంటే, ఈ n వస్తువులను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{n !}{p ! q ! r !}\)

→ n విభిన్న వస్తువుల నుండి ‘r’ వస్తువుల వంతున తీసుకొంటే వచ్చే సంయోగాల సంఖ్యను ⁿC_r తో సూచిస్తాం. మరియు ⁿC_r = \(\frac{n !}{(n-r) ! r !}\), 0 ≤ r ≤ n

→ n, r లు ధన పూర్ణాంకాలు, 0 ≤ r ≤ n అయితే ⁿC_r = ⁿC_(n-r)

→ n, r, s ధన పూర్ణాంకాలు 0 ≤ r ≤ n, 0 ≤ s ≤ n మరియు ⁿC_r = ⁿC_s అయితే r = s లేదా r + s = n అవుతుంది.

→ (m ≠ n) అయినపుడు (m + n) విభిన్న వస్తువుల నుండి m, n వస్తువులు ఉన్న రెండు భాగాలుగా విభజించే విధానాల సంఖ్య ^{(m + n)}C_m = ^{(m + n)}C_n = \(\frac{(m+n) !}{m ! n !}\)

→ ఇట్లే m, n, p లు విభిన్న ధన పూర్ణాంకాలయినప్పుడు (m + n + p) వస్తువులను m, n, p వస్తువులున్న 3 భాగాలుగా విభజించే విధానాల సంఖ్య \(\frac{(m+n+p) !}{m ! n ! p !}\)

→ ‘mn’ విభిన్న వస్తువులను ‘m’ సమభాగాలుగా (ఒక్కొక్క భాగంలో n వస్తువులుండే విధంగా) విభజించే విధాల సంఖ్య \(\frac{(m n) !}{(n !)^m m !}\)

→ (mn) విభిన్న వస్తువులను m వ్యక్తులకు సమానంగా పంచే విధాల సంఖ్య \(\frac{(m n) !}{(n !)^n}\)

→ ఒక రకం సరూప వస్తువులు p, మరొక రకం సరూప వస్తువులు q, వేరొక రకం సరూప వస్తువులు r ఇచ్చినపుడు వాటి నుంచి ఒకటి లేదా అంత కంటే ఎక్కువ వస్తువులను ఎంచుకొనే విధానాల సంఖ్య (p + 1) (q + 1) (r + 1) – 1.

→ m ధన పూర్ణాంకాం మరియు \(p_1^{\alpha_i} \cdot p_2^{\alpha_2} \ldots \ldots p_k^{\alpha_k}\) అవుతూ, p₁, p₂, ……., p_k లు విభిన్న ప్రధాన సంఖ్యలు α₁, α₂, ….., α_k ధన పూర్ణాంకాలు అయినపుడు m కు గల ధన భాజకాల సంఖ్య (α₁ + 1) (α₂ + 1) …… (α_k + 1), (1, m లతో కలిపి)

→ n విభిన్న వస్తువుల నుండి 0, 1, 2,…… లేదా n వస్తువులతో ఏర్పడే సంయోగాల సంఖ్య ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + …… + ⁿC_r = 2ⁿ

→ n విభిన్న వస్తువుల నుండి ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వస్తువులతో ఏర్పడే సంయోగాల సంఖ్య = 2ⁿ – 1

→ n భుజాలున్న బహుభుజిలో కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{n(n-3)}{2}\)