Inter 2nd Year

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు

ప్రశ్న 1.
ఒక పాచికను దొర్లించారు. దాని ముఖంపై కనబడే సంఖ్య X యొక్క అంకమధ్యమం, విస్తృతులను కనుక్కోండి.
సాధన:
శాంపిల్ ఆవరణ S, దీనితో అనుబంధమయ్యే యాద్టచ్చిక చలరాశిని X అనుకుందాం. P(x) క్రింది పట్టిక ద్వారా ఇవ్వబడింది.

ప్రశ్న 2.
ఒక యూదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా ఎఖాజనం క్రింద ఇవ్వడమైనది.

k విలువను, X డొక్క అంకమధ్యమం, విస్తృతులను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\sum_{i=1}^5 P\left(X=x_i\right)=1\)

ప్రశ్న 3.
P(X = K) = \(\frac{(k+1) c}{2^k}\), (k = 0, 1, 2, 3,..) సంభాప్యతా విఖాజనంతో x యాద్లచ్చిక చలరాశి అయితే, c ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
P(X=-2)=P(X=-1)=P(X=2)=P(X=1)=\(\frac{1}{6}\), P(X=0)=\(\frac{1}{3}\) ను తృప్తిపరిచేటట్ల X యాదృచ్ఛిక చలరాశి అంకమధ్యమం, వస్తృతులను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
రెండు పాచికలను యాద్చ్చికంగా ణొర్లంచారు. రండింటి పై కనణడే సంఖ్యల మొత్తానికి సంభావ్యతా విభాజనాన్ని కనుక్కోండి. యాద్చ్ళిక చలరాశి అంక మధ్ళమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు పాచికలను దొర్లించనప్పుడు శాంపల్ ఆవరణ S నందు 6 × 6 = 36 శాంపుల్ బిందువులు ఉంటాయి. అవి :
S = {(1,1),(1,2) …………….. (1,6),(2,1),(2,2) ………….. (2,6) …………… (6,6)}
రెండు పాచికలపై కనబడే సంఖ్యల మొత్తాన్ని X తో సూచిద్దాం. అప్పుడు X వ్యాప్తి ={2,3,4, ……………… 12} X కు సంభావ్యతా విభాజనాన్ని ఈ క్రింద ఇవ్వడమైనది.

ప్రశ్న 6.
8 నాణేలను ఏకకాలంలో ఎగరవేశారు. కనీసం 6 బొమ్మలు పడటానికి గల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
బొమ్మ రావటానికి సంభావ్యత =\(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంకమాధ్లమం, విస్తృతి వరుసగా 4, 3. ఆ విభాజనాన్ని సంధానించి, P(X ≥1) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
ద్విపద విభాజనానికి అంకమధ్యమం = np = 4

ప్రశ్న 8.
యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక వ్యక్తికి ఎడమచేతి వాటం (రాయడానికి సంబంధించి) ఉండే సంభావ్యత 0.1. 10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఎడమ చేతి వాటం టండే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చట n=10
p=0.1
q=1-p=1-0.1=0.9
10 మందిలో ఒకరికి ఎడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్త
\(P(X=1)={ }^{10} C_1(0.1)^1(0.9)^{10-1}\)
= 10 × 0.1 × (0.9)⁹
= 1 × (0.9)⁹
= (0.9)⁹

ప్రశ్న 9.
450 పేజీల ఉన్న ఒక పె్తకంలో 400 ముద్రణ లోపాలు ఉన్నాయి. ఒక పేజీలోని డోషాల సంఖ్ల పాయిజాన్ న్యాయాన్న్ అసుసరిస్తుందనుకొని, 5 పేజీల యాదృచ్ఛిక శాంపుల్, ముద్రణ దోషాలను ఏమీ కలిగి ఉండని సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఈ పుస్తకంలోని ఒక పేజీకి. గం సగటు దోషాల సంఖ్య

ప్రశ్న 10.
రక్తంలోని ఎర్కణాల లోటును, రక్రం నమూనాను మైక్రోస్కోస్తో పరీక్షించి నిర్ధాఠిస్తారు. ఆరోగ్రాంతకడికి ఒక నిర్డిష్ట పరిమాణ నమానాలో సగటున 20 ఎక్ర కణాలు ఉంటాయనుకుందాం. పాయిజాన్ విఖాజనాన్ని ఉపమోగించి, అరోగ్యవంతుడి నుంచి తీసుకున్న ఒక రక్త నమూనాలో 15 కంటే తక్కువ ఎగ్ర కణాలను కలిగి ఉండే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట λ =20
ఒక ఆరోగ్యవంతుడ నుంచి తీసుకున్న నమూనాలో r ఎ(ర్ర
కణాలు ఉండగల సంభావ్యత P (X=r).

ప్రశ్న 11.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X=1)=P(X=2) ను తృృప్తిపరుగ్తుంది. P(X = 5) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 9 సంభావ్యత which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 9 సంభావ్యత

ప్రశ్న 1
రెండు పాచికలను ఒకే తడవ దార్లంచినప్ణుడు ఆ పాచికల ముఖాలపై ఒకే సంఖ్ల రావడానికి గల సంఖావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు పాచికల ముఖాలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటనను ‘E’ అనుకొందాం.
‘E’ జరగడానికి దోహదం చేసే సందర్భాల సంఖ్య = 6 శాంపిల్ ఆవరణంలోని మొత్తం లఘు ఘటనల సంఖ్య

ప్రశ్న 2.
1 నుంచి 20 వరకు గల 20 సంఖ్లల నుంచి ఒక సంఖ్యను ఎన్నుకొన్నాం. ఆ సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
శాంపుల్ ఆవరణ S లో 20 మూలకాలున్నాయి. ఎన్నుకన్న సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే ఘటన E అనుకోండి. అప్పుడు

ప్రశ్న 3.
ఒక సంచిలో 4 ఎర్రని, 5 నల్లని, 6 నీలం రంగును కలిగిన ఐంతులున్నాయి. యాదృచ్చింగా ఏకకాలంలో ఎన్నుకొన్న రెండు బంతులలో ఒకట ఎర్రది అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు బంతులను ఒకసారి తీసినపుడు ఒకటి నల్ల బంతి, ఒకటి ఎర్రబంతి వచ్చే ఫుటన ‘E’ మరియు ‘S’ అనేది శాంపుల్ ఆవరణం. నంచిలోని వెుత్తం బంతుల నంఖ్ = 4+5+6 = 15

ప్రశ్న 4.
పది పాచికలను ఒకే తడవ దొర్లించినప్పుడు అందుల ఏ పాచికా 1 చూపకపోవడానికి గల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఏ పాచిక 1 చూపని ఘటనను A అనుకొందాం.

ప్రశ్న 5.
{1,2,3, ………… 100} నుంచి ఒక సంఖ్య x ను యాదృచ్ఛికంగా తీయడంజరిగింది. \(\left(x+\frac{100}{x}\right)\)> 29 అయ్యే సంఖావ్యత ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 100.
{1,2,3, ………….. 100} లో నుంచి ఎన్నుకొన్న సంఖ్య x
అనేది \({x}+\frac{100}{\mathrm{x}}\) > 29 ని ధ్రువపరిచే ఘటనను A అనుకొందాం.
అప్పుడు x+ \(\frac{100}{\mathrm{x}}\) >29
⇔ x² -29 x+100 > 0
⇔ (x-4)(x-25) > 0
⇔ x < 4 లేదా x > 25
⇔ x ∈ {1,2,3,26,27, ………………….. 100} = A (అనుకొందాం)
∴ A అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య 78
∴ కావలసిన సంభావ్యత = P(A) = \(\frac{78}{100}\) = 0.78

ప్రశ్న 6.
ఒక చదరంగం బల్లపై రెండు చతురస్రాలను యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొన్నారు. వాటికి ఉమ్మడి భుం ఉండటానికి గల సంభావ్యత \(\frac{1}{18}\) అని చూపండి.
సాధన:
మొదటి చతురస్సాన్ని 64 విధాలుగా, రెండోదాన్ని 63 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
కాబట్టి రెండు చతురస్సాలను ఎన్నుకొనే విధాలు 64× 63
ఈ చతురస్రాలు ఒక ఉమ్మడి భుజాన్ని కలిగిఉండే ఘటన E అనుకొందాం.
ఇప్పుడు E అనుకూల ఫలితాల సంఖ్యను కనుక్కొందాం. మొదటగా ఎగ్నుకొన్న చతురస్రం మూలనున్న నాలుగు చతురస్సాల్లో ఒకటి అయితే రెండో చతురస్సాన్ని (ఉమ్మడి భుజం ఉండేటట్లు) రెండు రకాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
మొదటిగా ఎన్నుకొన్న చతురస్సం చదరంగం ఐల్ల భుజం వెంబడి గల (మూలల వద్ద ఉన్నవాటిని మినహాయిస్తే) 24 చదరాల్లో ఒకటి అయితే, రెండో చతురప్రాన్ని 3 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
మొదటిగా ఎన్నుక్న్న చతురక్సం మిగిలిన 36 చతురస్సాల్లో ఒకటి అయితే రెండోదాన్ని 4 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
కాబట్టి అనుకూల ఫలితాల సంఖ్
(4 × 2)+(24 × 3)+(36 × 4)=224
∴ కావలసిన సంభావ్యత = \(\frac{224}{64 \times 63}=\frac{1}{18}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక నిష్బాక్షక నాణేన్ని 200 సార్లు ఎగరవేశారు. జేసి సంఖ్యలో (అన్నిసార్ల) ణొమ్మహడే సంఖావ్యత కనుక్కోండి.
సాధన:
మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 2²⁰⁰
బేసి సంఖ్యలో దొమ్మపడే ఘటనను E అనుకొందాం.
E కి అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య

ప్రశ్న 8.
యాదృచ్ఛికంగా ఒక గుండ్రని ణల్ల చుట్టా కూర్చన్న 20 మంది వ్యక్తలలో A, Bలు ఉన్నారు. A, Bల మధ్య ఎవరైనా ఆరుగురు వ్యక్తులండే సంఖావ్యత కనుక్రోండి.
సాధన:
గుండ్రటి బల్లచుట్టూ ఏ ఆసనం పైనెనా ‘A’ కూర్చోవచ్చు. అప్పుడు Bకి అందుబాటులో ఉన్న ఆసనాల సంఖ్ 19. కాని A, Bల మధ్య ఆరుగురు వ్యక్తులు ఉండాలంటే Bకి గల అవకాశాలు రెండే.
∴ కావలసిన సంభావ్యత \(\frac{2}{19}\).

ప్రశ్న 9.
30 వరస హార్ణాంకాల నుంచి రెండింటిని యాదృచ్కంగా ఎన్నకకొన్నారు. వాటి మొత్తం జేసససంఖ్య అజ్యే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
30 సంఖ్యల నుంచి 2 సంఖ్యలను ఎన్నుకొనే విధాలు ³⁰C₂. ఈ 30 సంఖ్లల్లో 15 సంఖ్యలు జేసి కాగా 15 సంఖ్యలు సరి సంఖ్యలు. ఎన్నుకొన్న రెండు సంఖ్యల మొత్తం బేసిసంఖ్య కావాలంటే అందులో ఒకటి సరిసంఖ్య మరాకటి దేసిపంఖ్య కావాలి. కాబట్టి అనుకూల ఫలిజాల సంఖ్య = ¹⁵C₁ x ¹⁵C₁
∴ కావలసిన సంభావ్యత

ప్రశ్న 10.
పుట్టిన పిల్లలు 1,00,000 మందిలో 20 సంవత్సరాల వయస్సు వచ్చే వరకు జీవించేవారి సంఖ్య 77,181. ఇప్పుడు పుట్టిన ఐిడ్డ 20 సంవత్సరాల వరకు జీవించగల సంఖావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ m=77,181
n=1,00,000
కావలసిన సంభావ్యత = \(\frac{m}{n} = \frac{77,181}{1,00,000}\)
= 0.77181

ప్రశ్న 11.
సంఖావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతం.
సాధన:
ప్రవచనం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂ ఏవైనా రెండు ఘటనలు, P సంభావ్యతా ప్రమేయం అయితే

ప్రశ్న 12.
రెండు పాణికలతో మొత్తం స్కోరు 7 దొర్లించే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చిన (పయోగం శాంపిల్ ఆవరణం
S={(1,1),(1,2), ……………… (1,6),
(2,1),(2,2), …………….. ,(2,6),
..
..
..
..
(6,1,(6,2), …………….. ,(6,6)}
ఏదైనా ఒక మూలకంలోని మొదటి నిరూపకం మొదటి పాచికపై స్కోరును, రెండో నిరూపకం రెండో పాచికపై స్కరును సూచిస్తాయి. Sలో మొత్తం 36 మూలకాలున్నాయి. S లోని మూలకాలన్నీ సమసంభవాలు.
మొత్తం స్కోరు 7 పొందే ఘటనను E అనుకోండి. అప్పుడు
E={(1,6),(2,5),(3,400),(4,3),(5,2), (6,1)}, E లో మొత్తం 6 మూలకాలున్నాయి.
∴ P(E) = \(\frac{6}{36}\) = \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 13.
మాడు నాణేలను ఎగరవేసినప్పండు రెండు ణొరుసులు, ఒక జొమ్ము పొందే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
మూడు నాణేలను ఎగరవేసే ప్రయోగం శాంపిల్ ఆవరణం S = {H H H, H H T, H T H, H T T, T H H, T H T, T T H,TT T}
n(S)=, 8
రెండు బొరుసులు, ఒక దొమ్మ పడే ఘటనను E అనుకోండి.
అప్పుడు E = {H TT, T H T, TT H}
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
∴ P(E) \(\frac{3}{8}\)

ప్రశ్న 14.
200 పేజీలు గల ఒక పుస్తకంలో నుంచి ఒక పేజీని యాదృచ్చికంగా తెరిచారు. పేజీ సంఖ్య సంపూర్ద వర్గమయ్యే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
పై సమస్యలోని ప్రయోగపు శాంపిల్ ఆవరణం
S = {1,2,3, ………………… , n(S) = 200
తెరిచిన పేజీపై సంఖ్య సంపూర్ణ వర్గమయ్యే ఘటన E అనుకోండి. అప్పుడు
E = {1,4,9, ………………….. 196}, n(E)=14
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{14}{200}=\frac{7}{100}=0.07\)

ప్రశ్న 15.
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసు గాని, ఇన్పేటి గాని అహ్యే సంఖావ్యత ఎంత? గమనిక : పేక ముక్కల కట్ట అంటే 52 కార్కులు ఉన్న పేక ముక్కల కట్ట అని అర్థం. అందులో 26 ఎర్రనివి, 26 నల్లనివి. ఈ 52 కార్డును నాలుగు సెట్లుగా విభజిస్తూ వీటిని ఆఠీను, కళావరు, డైమండ్, స్పేడ్ (ఇస్పేటు) అనే పేర్లతో పిలుస్తారు. ప్రతి సెట్లోనూ 13 కార్డులుంటాయి. అవి A, 2,3,4,5,6,7,8,9,10, K, Q, J
( A= ఆసు, K= రాజు, Q= రాణి, J = జాకీ)
సాధన:
తీసిన ముక్క ఇస్పేటు అయ్యే ఘటన E₁, ఆసు అయ్యే ఘటన E₂ అనుకోండి. E₁, E₂ లు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు కావని గమనించండి. P(E₁ ∪ E₂) ని కనుక్కోవాలి.

ప్రశ్న 16.
A, B లు రెండు ఘటనలైతే
(i) P(A∩B^c)=P(A) – P(A∩B),
(ii) A, B లలో ఒక్కటి మాత్రమే జరిగే సంభావ్యత P(A)+P(B) – 2P(A∩B) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
A, B ఫటనలల P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B) = 0.3 అయ్యేటట్లు ఉన్నాయనుకోండ.
i) A జరగకపోవడానికి
ii) A కానీ, B కానీ (A, B లు రెండూ) జరగకపోవడానికి సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) A జరగకపోమే ఘటన A^c; A కానీ, B కానీ జరగకపోయే ఘటన P(A∪B)^c , అని మనకు తెలుసు.
∴ P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – 0.5 = 0.5

ii) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
కాబట్టి P(A∪B) = 0.5 + 0.4 – 0.3
= 0.6
∴ P[(A∪B)^c ] = 1 P(A∪B)
= 1 – 0.6 = 0.4

ప్రశ్న 18.
A, B, C లు మాడు ఘటనలైతే, P(A∪B∪C) P(A) + P(B) + P(C)  – P(A∩B) – P(B∩C) – p(C∩A) + P(A∩B∩C) అని చూపండి.
సాధన:
B∪C = D అని వ్రాస్తే P(A∪B∪C) = P(A∪D)
P(A∪D) = P(A) + P(D) – P(A∩D)

ప్రశ్న 19.
సంభావ్యతకం గుణాన సిద్ధాంతం.
సాధన:
ప్రవచనం : P(A)>0, P(B) > 0 తో A, B లు ఒక యాద్చిక (పయోగపు ఘటనలు అయితే,
P(A∩B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B)
ఉపపత్తి : యాద్యచ్చక (పయోగంతో సాహచర్యమైన శాంపల్ ఆవరణాన్ని S అనుకొందాం.
P(A) > 0, P(B) > 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లు S లో ఘటనలు. అప్పుడు షరతు సంభావ్యత నిర్వచనం నుంచి,
\(P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
∴ P(B∩A) = P(A).P(B|A)
P(B) > 0 కాబట్టి పై సమీకరణంలో A, B లను తారుమారు (వినియమం) చేస్తాం.
P(A∩B)=P(B∩A)=P(B).P(A|B)

ప్రశ్న 20.
ఒక పాచిక ఆ యుగ్మాన్ని దార్లించారు. పాచికలపై సంఖ్యల మొత్తం 6 అయినప్పుడు వాటిలో ఏదో ఒకట 2ను చూపే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
రెండు పాచికలను దొర్లంచినప్పుడు, ఏదైనా ఒక పాచికపై 2 వచ్చే ఘటన ‘A’, పాచికలపై సంఖ్యల మొత్తం 6 అయ్యే ఘటన ‘B’ అనుకొందాం.
A = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}
n(A) = 11
P(A) = \(\frac{11}{36}\)
B = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2)(5,1)}
n(B)=5
P(B)= \(\frac{5}{36}\)
A∩B = {(2,4),(4,2)}

ప్రశ్న 21.
ఒక పెట్టెలో 4 పనిచేయని, 6 పనిచేసే బల్టలి ఉన్నాయి. దీని నుంచి తీసిన బల్బాను తిరి భర్తీచేయని రీతిలో రెండు ఐల్బులను తీశారు. తీసిన రెండు బల్బులు పనిచేసే ఐల్కాలు అమ్యే సంభావ్యతను కనుక్రోండి.
సాధన:
పది బంతులలో 6 బంతులు ఎర్రటివి కాబట్టి ముందుగా తీసిన బంతి ఎర్రటిదయ్యే సంభావ్యత ‘A’ రెండోసారి తీస్తే ఎర్రటిదయ్యే సంభావ్యత ‘B’, మరియు ‘S’ అనేది శాంపిల్ల ఆవరణం అనుకొందాం.

ప్రశ్న 22.
ఒక తరగతిలో పన్నెండుమంది బాలురు, నలుగురు బాలికలున్నారు. ఒకరి తరువాత ఒకరిని వరుసగా ముగ్గురు పిల్లలను ఎన్నుకొంటే, ఆ ముగ్గురూ బాలురు ఆయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
iవ ప్రయత్నంలో బాలుడిని ఎన్నుకొనే ఘటన E_i  అనుకొందాం.
అప్పుడు కనుక్కోవలసిన సంభావ్యత
(i = 1,2,3) P(E₁∩E₂∩E₃) లబ్ద సిద్ధాంతం నుంచి,
P(E₁∩E₂∩E₃) = P(E₁) P(E₂/E₁) P(E₃/E₁∩E₂)
\(=\frac{12}{16} \times \frac{11}{15} \times \frac{10}{14}=\frac{11}{28}\)

ప్రశ్న 23.
75 % సందర్భాలలో A నిజం మాట్లాడతాడు, B 80% సందర్భాలలో B నిజం మాట్లాడతాడు. ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించడానికి సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఒక సంఘటన గురించి A, B లు నిజం చెప్పే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకోండి. అప్పుడు

ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించే ఘటన E అనుకొండాం. ఇది రెండు విధాలుగా జరగవచ్చు.
i) A నిజం, B అబద్ధం చెబుతాడు.
ii) A అబద్ధం, B నిజం చెబుతాడు.

ప్రశ్న 24.
కలన గణితంలోని ఒక సమస్యను ఇద్దరు విద్యార్థులు A, Bలకు ఇస్తే వారు సమస్యను సాధించే సంభావ్యతలు వరుసగా \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\). వారిద్దరూ స్వతంత్గా సమస్యను సాధించడానికి (పయత్నిస్తే, ఆ సమస్ల సాధించగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
A, Bలతో సమస్య సాధించబడే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ లు అనుకుందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం
\(\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_1\right)=\frac{1}{3}, \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_2\right)=\frac{1}{4}\)
ఈ రెండు ఘటనలు, స్వతంత్త ఘటనలని గమనిద్దాం.
కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత

ప్రశ్న 25.
A, B లు ఒక్కొక్కరు ఒక నాణేన్ని 50 సార్లు ఏకకాలంలో ఎగరవేస్తారు. ఇద్దరికీ ఒకే ఎగరవేతలో దొరుసు పడక పోవటానికి సంభావ్యతను కనుక్రోండి.
సాధన:
A, B లు ఇద్దరికి ఒక ఎగరవేతలో దొరుసు పడకపోతే ఫటనను E తీసుకొందాం.
ప్రతి ఎగరవేతలో నాలుగు రకాల అవకాశాలున్నాయి.
i) A కి H రావడం, B కి H రావడం
ii) A కి T రావడం, B కి H రావడం
iii) A కి H రావడం, B కి T రావడం
iv) A కి T రావడం, B కి T రావడం
ఇక్కడ 50 యత్నలు.
కాబట్టి మొత్తం అవకాశాల సంఖ్య 4⁵⁰. పైన పేర్కొన్న నాలుగు సందర్భాల్లో, (i), (ii), (iii) లు మా(తమే ఘటన E కు అనుకూల సందర్భాలు. E కి (iv) అనుకూలం కాదు.
∴ \(\mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{3^{50}}{4^{50}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{50}\)

ప్రశ్న 26.
ఒక యాద్చ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలైతే A^c,B^c లూ రెండూ స్వతంత్ర ఘటలని చూపండి.
సాధన:
A; B స్వతంత్ర ఘటనలు కాబట్టి

ప్రశ్న 27.
ఒక సంచిలో 10 ఒకే మాదిరి బంతులున్నాయి. వీటిలో 4 నీలం రంగువి, 6 ఎర్ర రంగువి. ఒకదాని తరువాత ఒకటి మూడు బంతులను యాధృచ్ఛికంగా ఆ సంచి నుంచి తీస్తే ఆ మూడూ ఎర్రటి బంతులు అయ్యే సంభావ్యతను కనుకొందాం.
సాధన:
మొదట తీసినపుడు అది ఎర్రటి బంతి అడ్యేసంభావ్యత \(\frac{6}{10}\),
రెండోసారి తీసినపుడు ఎర్ర బంతి అమ్యే సంభావ్యత \(\frac{5}{9}\)
మూడోసారి తీసినపుడు ఎర్ర బంతి అమ్యే సంభావ్యత \(\frac{4}{8}\)
కాబట్టి గుణన సిద్ధాంతం నుంచి, కావలసిన సంభావ్యత
\( =\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8}=\frac{1}{6}\).

ప్రశ్న 28.
ఒక పాత్రలో 7 ఎర్రని, 3 నల్లని బంతులున్నాయి. తీసన ఐంతిని తిరిగి పాత్రలో పెట్టకంండా, రెండు బంతులను తీశారు. ముందుగా తీసన బంతి ఎర్రదని తెలిస్తే, రెండోబంతి ఎర్రనిదయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
మొదట తీసిన బంతి ఎర్రనిదడ్యే ఘటన R₁ రెండో బంతి ఎళ్రనిదమ్యే ఘటన R₂ అనుకాందాం.

ప్రశ్న 29.
A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలా
P(A)=0.2, P(B)=0.5
(i) \(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(ii) \(\mathrm{P}\left(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}\right)\)
(iii)P(A∩B)
(iv) P(A∪B) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినది P(A) = 0.2, P(B) = 0.5
మరియు A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలు.

ప్రశ్న 30.
సంచి B₁ లో 4 తెల్లటి, 2 నల్లటి బంతులున్నాయి. సంచి B₂ లో 3 తెల్లటి, 4 నల్లటి బంతులున్నాయి. ఒక సంచిని యాధృచ్ఛికంగా ఎంచుకొని, అందులో నుంచి ఒక బంతిని యాధృచ్ఛికంగా తీస్తే, అది తెల్లటి బంతి అయ్యే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
B₁, B₂ సంచులను ఎంచుకొనే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొందాం.

ప్రశ్న 31.
బేయీ సిద్ధాంతం.
సాధన:
ప్రవచనం : ఒక యాధృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂, ……………………. E_n లు n పరస్పర వివరిత, పూర్ణ ఘటనలు: P(E_i )≠ 0,


ప్రశ్న 32.
మూడు పెట్టెలు B_{1 ,} B₂, B₃ లలోని ఐంతులు క్రింద వివరించిన రంగులలో ఉన్నాయి.

ఒక పాచికను దొర్లించారు. పాచిక పై ముఖంపై 1 లేదా 2 వస్తే B₁ ను ఎన్నుకొంటారు ; 3 లేదా 4 వస్తే B₂ ను ఎన్నుకొంటారు ; 5 లేదా 6 వస్తే B₃ ను ఎన్నుకొంటారు. ఈ విధంగా ఒక పెట్టెను ఎన్నుకొన్నాక, అందులో నుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొన్నారు. అలా ఎన్నుకొన్న బంతి ఎర్రనిదైతే అది పెట్టె B₂ నుంచి వచ్చే సంభావ్త ఎంత ?
సాధన:
పెట్టె B_i ను ఎన్నుకొనే సంభావ్యత P(E_i)(i=1,2,3) అనుకొందాం. అప్పుడు
\(P\left(E_i\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} ; i=1,2,3\)
పెట్టె B_i ఎర్రనిదయ్యే సంభావ్యత P(R / E_i) అనుకొంటే

ప్రశ్న 33.
ఒక పార్రలో w తెల్లని b నల్లని బంతులున్నాయి. Q, R అనే ఇద్దరు ఆటగాళ్ళు పాత్ర నుంచి ఒకరి తరువాత ఒకరు, తీసిన బంతిని తిరిగి ఫర్తీ చేస్తూ, బంతులను తోస్తున్నారు. తెల్లటి బంతి ఎవరు ముందుగా తీస్తే వారు గెలిచినట్లు. Q ఆటను వైదలుపెడితే, Q గెలిచే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
తెల్లటి బంతిని తీసే ఘటన W తో, నల్లని బంతిని తీసే ఘటనను B తో సూచించామనుకోండి. అప్పుడు

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 1.
(2 a+3b)⁶ మొక్క విస్తరణను (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
(3 x-4 y)⁷ విస్తరణలో 5వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
(2 a+5 b)⁸ విస్తరణలో చివరి నుంచి 4వ పదం కనుక్హోండ.
సాధన:
దత్త విస్తరణలో 9 పదాలుంటాయి. కనుక చివరినుంచి 4వ పదం మొదటినుంచి లెక్కిస్తే 6వ పదం అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
క్రింది విస్తరణలో మధ్యపదం కనుక్రోండి.
(i) (3 a-5 b)⁶ (ii) (2 x+3 y)⁷
సాధన:
(i) ఇక్కడ n = 6 (సరిసంఖ్య)

(ii) ఇక్కడ n = 7 (బేసిసంఖ్య)

ప్రశ్న 5.
n ఒక ధన హూ్్ణాంకం అయితే
(i) C₀ + C₁ + C₂ +………………… + C_n = 2ⁿ

(ii) n సరిపూర్ణాంకం అయితే
(a) C₀ + C₂ + C₄ +………………… + C_n = 2^n-1
b) n బేసి హూర్ణాంకం అయితే C₀ + C₂ + C₄ +………………… + C_n-1 = 2^n-1

(iii)
(a) n సరిహ్ణాంకం అయితే C₁ + C₃ + C₅ +………………… + C_n-1 = 2^n-1
(b) n బేసి పూర్ణాంకం అయితే C₁ + C₃ + C₅ +………………… + C_n = 2^n-1
సాధన:

ప్రశ్న 6.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే C₀ + 3.C₃ + 5.C₂ +………………… +(2n +1) . C_n = (2n + 2) = 2^n-1 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
x= \(\frac{2}{3}\) అయినప్పుడు (1 – 5x)¹² విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గిష్ఠపదం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ n=12 మరియు X=-5x

ప్రశ్న 8.
\(x=\frac{3}{4}, y=\frac{2}{7}\), n=17 అయనప్పు (3 x-5 y)ⁿ విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్రపదం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం\(x=\frac{3}{4}, y=\frac{2}{7}\) మరియు n=17

ప్రశ్న 9.
కింది పదాల విస్తరణలో గరిష్య ద్విపద గుణకం (గుణకాలు) కనుక్కోండి.
(i) (1+x)¹⁹
(ii) (1+x)²⁴
సాధన:
(i) n=19 బేసి పూర్ణాంకం కనుక గరిష్ట గుణకాలు

(ii) n=24 సరి పూర్ణాంకం కనుక (1+x)²⁴ లో గరిష్ఠ ద్విపద గుణకం
\(={ }^n C_{\left(\frac{n}{2}\right)} \text { (i.e.) }{ }^{24} C_{12}\)

ప్రశ్న 10.
(1+x)²² విస్తరణలో గరిష్ఠ ద్విపద గుణకం ²²C_r అయితే ¹³C_r విలువ కనుక్కోండి
సాధన:
n = 22 సరీసంఖ్య. కనుక ఒకే గరిష్ఠ గుణకం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 11.
\(\left(\frac{4}{x^3}+\frac{x^2}{2}\right)^{14}\) విస్తరణలో 7వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\left(x^{-2 / 3}-\frac{3}{x^2}\right)^8\) విస్తరణలో చివరి నుండి 3వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
\(\left(2 x^2-\frac{1}{x}\right)^{20}\) విస్తరణలో x⁹, x¹⁰ ల గుణకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
\(\left(\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{2 x^{-2}}\right)^{10}\) విస్తరణలో x పై ఆధారపడని పదం (స్థిర పదం) కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\left(a x^2+\frac{1}{b x}\right)^{11}\) విస్తరణలో x¹⁰ గుణకం \(\left(a x-\frac{1}{b x^2}\right)^{11}\) విస్తరణలో x^-10 గుణకం సమానమైతే; a, b ల మధ్య సంబంధం కనుక్కోండి. (ఇక్కడ a, b లు వాస్తవ సంఖ్యలు)
సాధన:

ప్రశ్న 16.
\(\left(x^2-\frac{1}{2 x}\right)^{20}\) విస్తరణలో T_k మధ్యపదం అయితే  T_k+3
సాధన:

ప్రశ్న 17.
(1+x)¹⁸ విస్తరణలో (2 r+4),(r-2) పదాల గుణకాలు సమానం అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
‘n’ ధన హార్ణాంకం అయితే 2. C₀ + 7.C₁ + 12.C₂ +………………… +(5n +2) C_n = (5n + 4) = 2^n-1 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
(i) \(C_0+3 \cdot c_1+3^2 \cdot C_2+\ldots \ldots+3^n \cdot C_n=4^n\)
(ii) \(\frac{C_1}{C_0}+2 \cdot \frac{C_2}{C_1}+3 \cdot \frac{C_3}{C_2}+\ldots . .+n \cdot \frac{C_n}{C_{n-1}}=\frac{n(n+1)}{2}\) అని నిరాపించండి.
సాధన:


ప్రశ్న 20.
n = 0,1,2,3, …………………… 0

సాధన:

ప్రశ్న 21.
3.C₀ + 7.C²₁ + 11.C²₂ +………………… + (4n +2) C²_n = (2n + 3) = ²ⁿC_n ఆనిచూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
i) x= \(\frac{11}{8}\) యయనపుడ (2+3x)¹⁰ విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్ఠ పదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ii) x=8, y=3 అయినపుడు (3 x-4 y)¹⁴ విస్తరణలో సంఖ్యా పరంగా గరిష్డ పదాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
n ఒక ధన హార్ణాంకం అయితే 6²ⁿ-35 n-1 ను 1225 నిశ్ళేషంగా భాగిస్తుందని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
n ఒక ధన హూర్ణాంకం అయితే \((7+4 \sqrt{3})^n\) సంఖ్యకు హార్ణాంక భాగం, భిన్న భాగాలు వరుసగా I, F అయితే
(i) I ఒక బేసి హార్ణాంకం
(ii) (I+F) (1 – F) = 1 అని చూపండ
సాధన:

ప్రశ్న 25.
(3+2 x+x²)⁶ విస్తరణలో x⁶ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 26.
n ధన పూర్ణాంకం అయిన \(C_0+\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{3}+\ldots \ldots +\frac{C_n}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
n ఒక ధన హార్ణాంకం మరియు x ఏదేని శూన్యేతర వాస్తవ సంఖ్య అయిన,\(c_0+c_1 \frac{x}{2}+c_2 \cdot \frac{x^2}{3}+ C_3 \cdot \frac{x^3}{4}+\ldots . .+C_n \cdot \frac{x^n}{n+1}=\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 28.

సాధన:

ప్రశ్న 29.
క్రింది పదాలకు ద్విపద విస్తరణలు వ్యవస్థితం చేసే x ల సమితి E కనుక్కోండి.
(i) (3-4 x)^(3/4)
(ii) (2+5 x)^-1/2
(iii) (7-4 x)^-5
(iv) (4+9 x)^(-2/3)
(v) (a+b x)^r
సాధన:

ప్రశ్న 30.
క్రింద సూచించిన పదాలను కనుక్కోండి.
(i) \(\left(2+\frac{x}{3}\right)^{-5}\) విస్తరణలో 9వ పడం
(ii) \(\left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\) విస్తరణలో 10వ పడం
(iii) \(\left(1-\frac{5 x}{2}\right)^{-3 / 5}\) విస్తరణలో 8వ పడం
(iv) \(\left(3+\frac{2 x}{3}\right)^{3 / 2}\) విస్తరణలో 6వ పడం

(i) \(\left(2+\frac{x}{3}\right)^{-5}\) విస్తరణలో 9వ పడం
సాధన:

(ii) \(\left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\) విస్తరణలో 10వ పడం
సాధన:

(iii) \(\left(1-\frac{5 x}{2}\right)^{-3 / 5}\) విస్తరణలో 8వ పడం
సాధన:

(iv) \(\left(3+\frac{2 x}{3}\right)^{3 / 2}\) విస్తరణలో 6వ పడం
సాధన:

ప్రశ్న 31.
క్రింది విస్తరణలో మొదటి పదాలు వ్రాయండి.
(i) \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-5}\)
(ii) (3 + 4x)^-2/3
(iii) (4 –  5x)^-1/2

(i) \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-5}\)
సాధన:

(ii) (3 + 4x)^-2/3

సాధన:

(iii) (4 –  5x)^-1/2

సాధన:

ప్రశ్న 32.
క్రింది ద్విపద విస్తరణలో సాధారణ పదం కనుక్కోండి.
(i) \(\left(3+\frac{x}{2}\right)^{-2 / 3}\)
(ii) \(\left(2+\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\)
(iii) (1 – 4x)^-3
(iv) ( 2- 3x)^-2/3

(i) \(\left(3+\frac{x}{2}\right)^{-2 / 3}\)
సాధన:

(ii) \(\left(2+\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\)
సాధన:

(iii) (1 – 4x)^-3
సాధన:

(iv) ( 2- 3x)^-2/3
సాధన:

ప్రశ్న 33.
\(\frac{1+3 x}{(1-4 x)^4}\) విస్తరణలో x¹² గుణకం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 34.
(1 – 3x)^-2/5 విస్తరణలో x⁶ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 35.
క్రింది ఆనంతశేణ మొత్తం కనుక్కోండి.
\(1+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2.5}{3.6}\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{2.5 .8}{3.6 .9}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\ldots \ldots \infty\)
సాధన:

ప్రశ్న 36.
క్రింది ఆనంతశేణ మొత్తం కనుక్కోండి.
\(\frac{3.5}{5.10}+\frac{3.5 .7}{5.10 .15}+\frac{3.5 .7 .9}{5.10 .15 .20}+\ldots \ldots \infty\)
సాధన:

ప్రశ్న 37.
\(x=\frac{1}{5}+\frac{1.3}{5 \cdot 10}+\frac{1 \cdot 3.5}{5 \cdot 10.15}+\ldots \ldots \infty\) అయితే  3x² + 6x విలువ కనుక్కోండి
సాధన:

ప్రశ్న 38.
(i) \(\frac{1}{\sqrt[3]{999}}\)
(ii) (627)^1/4 మొక్క ఉజ్ణాయింప విలువలా దశాంశాలకు సవరించి కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 39.
x³ ఆపై  x ఘాతాలను ఉపేక్షించేంతగా |x| స్వల్పమైతే \(\frac{(4-7 x)^{1 / 2}}{(3+5 x)^3}\) ఉజ్ణాయింపు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 40.
\(\sqrt[6]{63}\) మొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను దశాంశాలకు సవరించి కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 41.
x³ ఆపై  x ఘాతాలను ఉపేక్షించేంతగా |x| స్వల్పమైతే \(\frac{\left(1+\frac{3 x}{2}\right)^{-4}(8+9 x)^{1 / 3}}{(1+2 x)^2}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 42.
x⁴ ఆపై  x ఘాతాలను వదిలివేసేంతగా |x| చిన్నదయితే \(\sqrt[4]{x^2+81}-\sqrt[4]{x^2+16}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 43.
x, y లు ధన వాస్తవ సంఖ్యలు. yతో పోలిస్తే విలావ చాలా చిన్నదయతే, \(\left(\frac{y}{y+x}\right)^{3 / 4}-\left(\frac{y}{y+x}\right)^{4 / 5}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 44.
\(5 \sqrt{5} \text { ను } \frac{4}{5}\) యొక్క ఆరోహణ ఘాతాలలో విస్తరించి ప్రాయండి.
సాధన:

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 4 సమీకరణ వాదం

ప్రశ్న 1.
2,3,6 లు మూలాలుగా గల 3 వ తరగతి ఏక బహంపది సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణ
(x-2)(x-3)(x-6) = 0
⇒ x³-11 x²+36 x-36=0

ప్రశ్న 2.
3x³-10x²+7 x+10=0 ఘన సమీకరణం యొక్క మాలాలు, గుణకాల మధ్య సంబంధాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
3x³-10x²+7x + 10 = 0 ……………. (1)
(1) ను ax³+bx²+c x+d=0 తో పోల్చగా

ప్రశ్న 3.
x⁴-2x³+4x²+6 x-21=0 ద్వివర్గ సమీకరణం యొక్క మాలాలు, గుణకాల మధ్య సంణంధాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం
x⁴-2x³+4x²+6 x-21=0
ax⁴+b x³+cx²+dx+e=0  తో పోల్చగా
a=1, b=-2, c=4, d=6, e=-21

ప్రశ్న 4.
x⁴+a x³+b x²+c x+d=0 సమీకరణం మొక్క మూలాలు 1, 2, 3, 4 బయితే a, b, c, d విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణ మూలాలు 1, 2, 3, 4
కనుక  x⁴+a x³+b x²+c x+d
≡ (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)=0
≡ x⁴-10x³+35x²– 50x+24=0
ఇరువైపుల పదాల గుణకాలను పోల్చగా
a=-10, b=35, c=-50, d=24

ప్రశ్న 5.
సమీకరణం x³-p x²+q x-r=0 మూలాలు a,b,c ల అయి, r ≠ 0 అయితే, అప్పుడు \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) ను p, q, r లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
a, b, c లు
x³-p x²+q x-r=0 కు మూలాలు
a+b+c=p, a b+b c+c a=q, a b c=r

ప్రశ్న 6.
x³-p x²+q x-r=0 సమీకరణ యొక్క మాలాల వర్గాల మొత్తాన్ని, ఘనాల మెత్తాన్ని p q r  లలో కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
x³+p₁ x²+p₂ x+p₃=0 సమీకరణం యొక్క మూలాల వర్గాలు మూలాలాగా ఉండే ఘన సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
x³+px²+qx+r =0 మాలాలు α, β, γ లు అయితే కింది వాటిని కనుక్కోండి.
(i) ∑ a²
(ii) ∑ \(\frac{1}{\alpha}\)
(iii) ∑ a³
(iv) ∑ β² γ²
(v) (α + β) (β + γ ) (γ + α )

(i) ∑ a²
సాధన:
α² + β² +  γ²
=(α+β+γ)² -2(αβ + βγ+ γ α)
p² – 2q

(ii) ∑ \(\frac{1}{\alpha}\)
సాధన:
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\beta \gamma+\gamma \alpha+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\frac{-q}{r}\)

(iii) ∑ α³
సాధన:
∑ α³ 
= (α+ β + γ) (a² + β² + γ² – αβ + βγ +γα)+3αβγ
= (- p)(p² -2q – q) – 3r
= – p(p²– 3q) – 3r
∴ ∑ α³ = – p³ + 3pq – 3r = 3pq – p³– 3r

(iv) ∑ β² γ²
సాధన:

(v) (α + β) (β + γ ) (γ + α )
సాధన:
α + β + γ = – p
⇒ α + β = – p – γ మరియు β + γ = – p – α
= γ + α = – p – β
∴ (α + β) (β + γ) (γ + α)
= ( – p – γ)( – p – α) ( – p – β)
=-p³-p² (α + β + γ) – p (αβ+βγ+γα)-αβγ
= -p³ + p³-pq + r = r – pq

ప్రశ్న 9.
x³+ax²+b x+c=0 మూలాలు α,β,γ లు అయితే ను కనుక్కోండి.
సాధన:
α,β,γ లు దత్త సమీకరణం యొక్క మూలాలు కనుక
α + β + γ = – α, αβ + βγ + γα = b, αβγ = c

ప్రశ్న 10.
α,β,γ లు x³+p²+q x+r=0 మూలాలు అయితన,  లు మూలాలుగా గల ఏక ఘన సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
x³-3x²-16 x+48=0 ను సాధించండి.
సాధన:
f(x)=x³-3 x²-16 x+48 అనుకోండి
యత్న – దోష పద్ధతిన f(3)=0
కనుక f(x)=0 కు 3 మూలం
f(x) ను (x-3) చే భాగించగా

ప్రశ్న 12.
x⁴-16 x³+86x²-176 x+105=0 యึక్క మాలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

∴ g(x) & =(x-3)(x²-12 x+35)
=(x-3)(x-5)(x-7)
∴ f(x) & =(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు 1,3,5,7

ప్రశ్న 13.
x³-7x²+36=0 సమీకరణం మొక్క ఒక మాలం మరో దానికి రెట్టింప అయితే, సమీంరాాన్ని సాధించండి.
సాధన:
x³-7x²+36=0 కు మూలాలు α, β, γ లు అనుకోండి.
β =2α అనుకుందాం
అయిన α + β + γ = 7
⇒ 3α + γ  =7 ………….. (1)

ప్రశ్న 14.
x³-6x²+3 x+10=0 సమీకరాానికి ఒక మూలం 2 అయితే, మిగిలిన మాలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x)=x³-6x²+3 x+10 అనుకానుము.
f(x)=0 కు 2 మూలం కనుక f(x) ను (x-2) చే భాగించగా

x³-6x²+3 x+10 = (x – 2)(x² – 4x – 5)
(x-2) (x+ 1) (x-5)

ప్రశ్న 15.
4x³+20x²-23 x+6=0 సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు సమానమైతే, సమీకరణం యొక్క మాలాలన్నింటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
α,β,γ లు  4x³+20x²-23 x+6=0  కు మూలాలు. రెండు మూలాలు సమానం కనుక α = β అనుకోండి.

పరిశీలనవల్ల
α = \(\frac{1}{2}\) దత్త సమీకరణానికి మూలం
(2) ⇒ γ = – 6
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు \(\frac{1}{2}, \frac{1}{2},-6\)

ప్రశ్న 16.
x⁴– 2x³+4x³+6 x-21=0 సమీకరణం మొక్కరెండు మూలాల మొత్తం సున్న అయితే, సమీకరణ మొక్క మూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
α, β, γ, δ లు దత్త సమీకరణ మూలాలు,
రెండు మూలాల మొత్తం సున్నీ కనుక
α + β = 0 అనుకొనుము.

ప్రశ్న 17.
4x³-24x²+23x+18=0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు అంకశేఢిలో ఉంటీ, సమీంరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
a – d, a, a + d లు దత్త సమీకరణ మూలాలు అనుకోండి మూలాల మొత్తం
a – d + a + a + d = \(\frac{24}{4}\)
3a = 6
a = 2

ప్రశ్న 18.
x³-7x²+14x-8=0, సమీకరణం మూలాలు గుణరీశేధిలో ఉంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం మూలాలు \(\frac{a}{r}\), a, అనుకుందాం. అప్పుడు

ప్రశ్న 19.
x⁴-5x³+5x³+5 x-6=0 సమీకరణం మొక్క రెండు మూలాల లబ్దం 3 అయితే ఆ సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
α, β, γ, δ లు మూలాలు అనుకుంటే.
వాటి లబ్దం αβγδ =-6
αβ=3 ( రెండు మూలాల లబ్దం 3)
∴ αβγδ = -6
γδ = – 2
α +β = p, γ, δ + q అనుకోండి
αβ లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x²-(α +β) x + αβ =0
x²-p x+3=0
γ ,δ లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x² – (γ + δ)x + γδ = 0
x² – qx – 2 = 0
x⁴ – 5x³ + 5x² + 5x – 6
= (x²-px-t- 3)(x²– qx – 2)
= x⁴ – (p + q) x³ + (1 + pq) x² +(2p-3q)x-6
సరిపదాల గుణకాలను పోల్చగా
p+q=5, 2p-3 q=5
∴ 2 p-3 q=5
3 p+3 q=15
5 p=20 ⇒ p=4
∴ q = 1
x² -4x+3=0 ⇒ (x-3)(x-1)=0
⇒ x=1,3
x²-x-2=0 ⇒ (x-2)(x+1)=0
⇒ x = -1,2
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు -1,2,1,3

ప్రశ్న 20.
x⁴+4x³-2x²-12x+9=0 సమీకరణానికి రంండు జతల సమాన మూలాలు ఉంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:

x² + 2x+p = 0 = x²+2x – 3 = 0
⇒ (x-1-3) (x – 1) = 0
⇒ x = – 3,1
దత్త సమీకరణం మూలాలు -3, – 3, 1 ,1

ప్రశ్న 21.
p³ – 4 p q+8 r=0 అయితేనే x⁴+px³+q x² + rx+s=0 మొక్క రెండు మాలాల మొత్తం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తానికి సమానమని నిరూపించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం రెండు మూలాల మొత్తం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తానికి సకానమని అనుకుందాం. α β γ δ అయ్యేటట్లు సమీకరణం మూలాలను α + β = γ + δ అనుకుందాం.

ప్రశ్న 22.
\(4+\sqrt{3}, 4-\sqrt{3}, 2+i, 2-i\) లను మాలాలుగా గల 4వ తరగతి ఏక ఱహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
\(4+\sqrt{3}, 4-\sqrt{3}\) లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
2+i, 2 – i లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x²-4 x+5=0
కావలసిన సమీకరణం
(x²-8 x+13)(x²-4 x+5)=0
∴ x⁴-12x³+50x²-92 x+65=0

ప్రశ్న 23.
6x⁴-13 x³-35 x²-x+3=0 సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం. \(2+\sqrt{3}\) అయితే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
x⁴-6 x³+7x²-2 x+1=0 సమీకరణం మొక్క మూలాల వ్యతిరేక గుర్తులతో మాలాలు గల నాలుగో తరగతి ణహబపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡  x⁴-6x³+7x²-2 x+1=0
కావలసిన సమీకరణం f(-x)=0
i.e., (-x)⁴-6(-x)³+7(-x)²-2(-x)+1=0
∴ x⁴+6x³+7x²+2x+1=0

ప్రశ్న 25.
6x⁴-7x³+8x²-7x+2=0 సమీకరణం మొక్క మాలాలకు 3 రెట్లున్న మాలాలు గల నాలుగో తరగతి బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡ 6x⁴-7x³+8x²-7 x+2=0

ప్రశ్న 26.
\(x^3+\frac{x^2}{4}-\frac{x}{16}+\frac{1}{72}\) = 0 సమీకరణ మూలాలకు m రెట్లున్న మూలాలు గల మూడో తరగతి సమీకరణాన్ని రూపొందించి, m = 12 సందర్భానికి సమీకరణాన్ని రాణట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
x⁵+4 x³-x²+11=0 సమీకరణ మూలాలు -3 తో మార్పు చెందగా వచ్చే విలువలను మూలాలుగా కలిగిన 5వ తరగతి ణహంపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f ≡ x⁵+4 x³-x²+11=0
కావలసిన సమీకరణం f(x+3)=0

ప్రశ్న 28.
4x⁴+32x³+83x²+76 x+21=0 మూలాలు 2 తో మార్పు చెందగా వచ్చే విలువలను మాలాలుగా గల 4 వ తరగతి బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) ≡ 4x⁴+32x³+83x²+76 x+21=0
కావలసిన సమీకరణం f(x-2)=0

ప్రశ్న 29.
x⁴+3x³-6 x²+2 x-4=0 సమీకరణ మాలాల వ్వత్కమ్మాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 30.
x³-x³+8 x-6=0 మాలాల వర్గాలు మాలాలుగా గల ఐహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 31.
2x³+5x²+5 x+2=0 ఒకటో కోవకు చెందిన వ్కత్రమ సమీకరణమని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం 2x³+5x²+5 x+2=0
P₀ =2, P₁ =5, P₂ =5, P₃ =2
ఇచ్చట P₀ = P₃, P₁ = P₂
∴ 2x³+5x²+5 x+2=0 సమీకరణం ఒకటో కోవకు చెందిన వ్యుత్రమ సమీకరణం.

ప్రశ్న 32.
సాధించండి : 4x³-13x²-13 x+4=0
సాధన:
4x³-13x²-13x+4=0
ఒకటో కోవకు చెందిన బేసి పరిమాణ వ్యుత్కమమ సమీకరణం కనుక -1 దీనికి ఒక మూలం

4x²-17 x+4=0 4x²-16 x-x+4=0
4x(x-4)-1(x-4)=0
(x-4)(4 x-1)=0
x=4 (లేదా) \(\frac{1}{4}\)
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు -1,4, \(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 33.
సాధించండి :
6x⁴-35x³+62x²-35 x+6=0
సాధన:
6x⁴-35x³+62x²-35 x+6=0

ప్రశ్న 34.
సాధించండ: :
x⁵-5x⁴+9x³-9x²+5 x-1=0
సాధన:
దత్త సమీకరణం
x⁵-5x⁴+9x³-9x²+5 x-1=0 రండో కోవకు చెందిన బేసి పరిమాణ వ్రుత్రమ సమీకరణం

ప్రశ్న 35.
సాధించండి :
6x⁶-25x⁵+31x⁴-31x²+25 x-6=0
సాధన:
దత్త సమీకరణం
6x⁶-25x⁵+3 x⁴-31x²+25 x-6=0 ఇది రెండవ కోవకు చెందిన సరి పరిమాణ వ్యుత్కమ సమీకరణం
∴ x² -1 అనేది

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

ప్రశ్న 1.
ⁿP₄  = 1680 అయిన n విలువ ఎంత ?
సాధన:
ⁿp₄  = 1680
= n(n – 1) (n – 2) (n – 3) = 8 x 7 x 6 x 5
∴ n = 8

ప్రశ్న 2.
¹²P_r  = 1320 అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
¹²P_r  = 1320
= 10 x 132 = 10 x 11 x 12
= 12 x 11 x 10 = ¹²P₃
∴ r = 3.

ప్రశ్న 3.
⁽ⁿ⁺¹⁾P₅ : ⁿP₅ = 3:2 అయితే n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
⁵⁶P_(r+6) : ⁵⁴P_(r+3) = 30800 : 1 అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
9 గణితశాస్త్ర పరీక్షాపత్రాలను, వాటిలో (శేష్ఠమయినది (the best), హీనమైనది (the worst)
(i) కలిసి ఉండేట్లుగా
(ii) వేరు వేరుగా ఉండేట్లు ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
సాధన:
(i) ఈ రెండు రకాలైన పేపర్లను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే మనకి మొత్తం 9-2+1=7+1=8 పేపర్లు ఉన్నాయి. వీటిని 8! విధాలుగా అమర్చవచ్చు, ఆ రెండు పేపర్లను 2! విధాలుగా వాటిలో వాటిని అమర్చవచ్చు. కనుక కావలసిన అమరికల సంఖ్య (ఆ రెండు పేపర్లు కలిసి ఉండేట్లుగా) 8! 2!.

ii) మొత్తం 9 పేపర్లను అమర్చే విధానాలు 9!.వీటిలో శేేష్రమైనది, హీనమైనది కలిసి ఉండేట్లుగా అమర్చే విధానాలు 8! 2!. కనుక, రెండు గణితశాస్త్ర పేపర్లు వేరు వేరుగా ఉండేట్లుగా అమర్చే విధానాలు
9! – 8! 2! (9-2)=8 ! × 7

ప్రశ్న 6.
ఆరుగురు బాలురు, ఆరుగురు బాలికలను ఒక వరసలో అమర్చగలిగే విధానాలెన్ని ? వాటిలో ఎన్నిటిలో
(i) బాలికలందరూ కలిసి ఉంటారు.
(ii) ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్క పక్కన రాకుండా ఉంటారు.
(iii) బాలారం, బాలికలా ఒకరిశరువాత ఒకరంగా ఉంటారా.
సాధన:
ఆరుగురు బాలురు, ఆరుగురు బాలికలు కలిపి మొత్తం 12 మంది వ్యక్తులున్నారు. కనుక వీరిని ఒక వరసలో అమర్చ గలిగే విధానాలు 12 !

(i) ఆరుగురు బాలికలను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, అప్పుడు ఆరుగురు బాలురు + ఒక బాలికల యూనిట్ ఉంటాయి. వాటిని ఒక వరసలో 7! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు, ఆరుగురు బాలికలను వారిలో వారిని 6! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక ఆరుగురు బాలికలు కలిసి ఉండేలా అమర్చగలిగే విధానాలు.
=7 ! × 6 !

(ii) ముందుగా ఆరుగురు బాలురను ఒక వరసలో 6 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. అప్పుడు బాలుర మధ్యలో మొదట, చివర మొత్తం.

7 ఖాళీలుంటాయి (పైన ఖాళీలను x తో సూచించాం).
ఈ 7 ఖాళీలలో ఆరుగురు బాలికలను అమర్చే విధానాలు ⁷P₆ కనుక ఏ ఇద్దరు బాలికలు పక్క పక్కన రాకుండా అమర్చే విధానాలు. 6! ×⁷P₆ =7.6 !. 6 !

(iii) వరస బాలుడు లేదా బాలికతో మొదలు కావచ్చు అంటే అవి 2 విధాలు ఉదాహరణకు బాలుడితో మొదలయిందను కొందాం. అప్పుడు బాలురు, బాలికలు ఏకాంతంగా రావాలంటే బాలురను బేసిసంఖ్య గల స్థానాల్లో బాలికలను సరిసంఖ్య గల స్థానాల్లో అమర్చాలి. కనుక ఆరుగురు బాలురను సరి సంఖ్యగల 6 స్థానాలలో అమర్చే విధానాలు = 6!
ఆరుగురు బాలికలను బేసి సంఖ్య గల 6 స్థానాలలో అమర్చే విధానాలు =6 !
కనుక కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య =2 ×6! × 6!

ప్రశ్న 7.
MIRACLE పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి 4 ఆక్షరాల పదాలు ఎన్ని తయారు చేయవచ్చు? వాటిలో ఎన్ని పదాలు
(i) అచ్చుతో మొదలవుతాయి ?
(ii) అచ్చుతో మొదలయి, అచ్చులో అంతమవుతాయి ?
(iii) హల్లుతో అంతమవుతాయి.
సాధన:
MIRACLE పదంలో 7 అక్షరాలున్నాయి. కనుక వీటిని ఉపయోగించి ఏర్పరిచే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్ర
⁷P₄ = 7 × 6 × 5 × 4 = 840
ఇప్పుడు నాలుగు ఖాళీ స్థానాలు తీసుకుందాం.

(i) మొదటి స్థానాన్ని ఇచ్చిన పదంలోని 3 అచ్చులలో {I, A,E} ఏదో ఒకదానితో 3 విధాలుగా నింపవచ్చు మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 6 అక్షరాలతో నింపే విధానాల సంఖ్య
=⁶P₃  =6 × 5 × 4 = 120
కనుక అచ్చుతో మొదలయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య
=3 × 120 = 360

(ii) ముందుగా మొదటి, చివరి స్థానాలను అచ్చులతో { I, A,E) నింపే విధానాల సంఖ్య ³P₂ 2= 3 × 2 = 6
మిగిలిన 2 స్థానాలను మిగిలిన 5 అక్షరాలలో నింపే విదానాల సంఖ్య ⁵P₂ = 5 × 4 = 20 కనుక అచ్చుతో మొదలయ్యి అచ్చుతో అంతమయ్యే 4 అక్షరాల పదాలు = 6 × 20=120

(iii) చివరి స్థానాన్ని 4 హల్లులలో ఒక దానితో నింపే విధానాలు = ⁴P₁ =4
మిగిలిన 3 స్థానాలు విగిలిన 6 అక్షరాలతో నింపే విధానాల సంఖ్య =  ⁶P₃=6 × 5 × 4=120
కనుక హల్లుతో అంతమయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య
= 4 × 120 = 480

ప్రశ్న 8.
PICTURE అనే పదంలోని అక్షాలన్నింటినీ ఉపహాగించి ఏర్పరిచే ప్రస్తారాలలో ఎన్నిటిలో
(i) అచ్చులన్నీ కలిసి ఉంటాయి
(ii) ఏ రండు అచ్చులు పక్క పక్కన లేకుండా ఉంటాయి?
(iii) అచ్చులు, హల్లులు సాపేక్ష స్థానాలు మారకుండా ఉంటాయి.
సాధన:
పదంలో 3 అచ్చులు (I, U, E), 4 హల్లులు (P, C, T, R) ఉన్నాయి.

(i) 3 అచ్చును ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, 4 హల్లులు + 1 యూనిట్ అచ్చులు మొత్తం 5 అవుతాయి. ఈ ఐదింటిని 5 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు 3 అచ్చులను వాటిలో వాటిని 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక ప్రాథమిక సూత్రం ప్రకారం, ఈ రెండు పనులను 5 ! × 3 ! విధాలుగా చేయవచ్చు. కనుక మూడు అచ్చులు కอిసి వుండే ప్రస్తారాల సంఖ్య
= 5! × 3 ! = 120 × 6 = 720

(ii) ముందుగా 4 హల్లులను.ఒక వరసలో 4 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇప్పుడు హల్లుల మధ్యలో మూడు, మొదట, చివర మొత్తం 5 ఖాళీ స్థానాలు ఉంటాయి వీటిని x తో సూచిందాం

ఈ 5 ఖాళీలలో 3 అచ్చులను ⁵P₃ విధాలుగా అమర్చవచ్చు
కనుక ఏ రెండు అచ్చులు పక్క పక్కన రాకుండా అమర్చే
విధానాలు
= 4! × ⁵P₃
=24 × 5 × 4 × 3 = 1440

(iii) మూడు హల్లలను వాటి సాపేక్ష స్థానాలలో 3 ! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. అదే విధంగా 4 అచ్చులను వాటి సాపేక్ష స్థానాలలో 4! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.

కనుక కావలసిన ప్రస్తారాలు సంఖ్య 3!  4! = 144

ప్రశ్న 9.
PRISON పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే, (పునరావృతం లేకండా) ఆ (క్రమంలో దాని మొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం
I  N  O P R S
నిఘంటువులో ముందుగా I తో మొదలయ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి. ఆతరువాత N తో మొదలయ్యేవి, O తో మొదలయ్యే పదాలు వస్తాయి. వీటి తరువాత P తో మొదలయ్యే పదాలు వస్తాయి. వీటిలోనే మనకు కాలసిన పదం PRISON ఉంది. కనుక వీటి నిఘంటువు క్రమాన్ని గమనిస్తే వీటిలో ముందుగా PI తో మొదలయ్యే, పదాలు తదుపరి PN తో, ఆ తరువాత PR తో మొదలయ్యేవి వస్తాయి. ఈ విధంగా PRISON అనే పదం వచ్చేంత వరకు లెక్కించాలి.

ముందుగా I తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్యను గణించ డానికి I ని మొదటి స్థానంలో ఉంచి మిగిలిన 5 అక్షరాలను రకరకాలుగా అమర్చాలి. ఈ రకమైన అమరికలు 5! ఉంటాయి. అంటే I మొదటి అక్షరంగా గల పదాల సంఖ్య 5! అన్నమాట, ఈ విధంగా PRISON అనే పదం వచ్చే వరకు కింది విధంగా గణిస్తాం.

కనుక PRISON అనే పదం కోటి
= 3 x 5! +3 x 4 + 2 x 2! +1+1
= 360 + 72 + 4 + 1 + 1 = 438

ప్రశ్న 10.
2,3,5,6,8 అంకెలనుపయోగించి పునరావృతం లేకుండా ఎన్ని 4 అంకెల సంఖ్లలు తయారు చేయవచ్చు? వాటిలో ఎన్ని
(i) 2
(ii) 3
(iii) 4
(iv) 5
(v) 25
సాధన:
2, 3, 5, 6, 8 అనే.5 అంకెలనుపయోగించి తయారు చేయగల 4 అంకెల సంఖ్లలు ⁵P₄ = 120.

(i) 2తో భాగించబడేవి : ఒక సంఖ్య 2తో భాగించబడటానికి దాని చివర (ఒకట్ల) స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉండాలి. అంటే ఈ స్థానాన్ని 2 లేదా 6 లేదా 8 తో నింపవచ్చు. ఇప్పుడు మిగిలిన 3 స్థానాలను.

మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక =3 x ⁴P₃ = 3 x 24=72

(ii) 3 తో భాగించబడేవి : ఒక సంఖ్య 3 తో భాగించబడటానికి ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3 తో భాగించబడాలి. మనకు ఇచ్చిన 5 అంకెల మొత్తం 24 కనుక వీటి నుంచి 4 అంకెలను ఆ అంకెల మొత్తం 3 తో భాగించబడే విధంగా 2 రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు,
(i) 2,5,6,8
(ii) 2,3,5,8

పైన చెప్పిన రెండు సందర్భాలలో ప్రతిసారి 4 అంకెలతో తయారు చేయగల 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య 4 ! (ఇవి అన్నీ 3 తో భాగించబడతాయి). కనుక 3 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య
2 × (4!)=2 × 24 = 48

(iii) 4 తో భాగించణడేవి : ఒక సంఖ్య 4 తో భాగించ బడాలంటే చివరి రెండు స్థానాల్లో అంటే పదులు, ఒకట్ల స్థానాల్లో ఉన్న రెండంకెల సంఖ్య 4తో భాగించబడాలి.
కనుక ఈ రెండు స్థానాలను 28,32,36,52,56 అనే సంఖ్యలతో నింపాలి.

అంటీ 5 విధాలుగా ఈ రెండు స్థానాలు నింపవచ్చు. ఇప్పుడు మిగిలిన రెండు స్థానాలను 3 అంకెలతో ³P₂ విధాలుగా సంఖ్.
= 5 × ³P₂=30.

(iv) 5 తో భాగించణడేవి : ఒక సంఖ్య 5 తో భాగించ బడాలంటే చివరి (ఒకట్ల) స్థానంలో 5 ఉండాలి. (‘0’ కూడా ఉండవచ్చు కాని దత్త అంకెలలో ‘0’ లేదు). కనుక ఒకట్ల స్థానంలో5ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 5 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్ల ⁴P₃ =24.

(v) 25 తో భాగించణడేవి : ఒక సంఖ్య 25 తో భాగించ బడాలంటే చివరి రెండు స్థానాలను 25 మాత్రమే నింపాలి (50 లేదా 00తో కూడా నింపవచ్చు కాని .దత్త అంకెలలో ‘ 0 ‘ లేదు) అంటే ఈ స్థానాలు ఒక విధంగా మాత్రమే నింపవచ్చు. ఇప్పుడు మిగిలిన 2 స్థానాలను మిగిలిన 3 అంకెలతో ³P₂ విధాలుగా నింపవచ్చు.

ప్రశ్న 11.
1, 3,5,7,9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
1,3,5,7,9 అనే 5 అంకెలతో ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్ల సంఖ్  ⁵P₄ = 120.
ఇప్పుడు ఈ 120 సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోవాలి. ముందుగా మనం ఈ 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కనుక్కొందాం. ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో  ⁴P₃  విధాలుగా నింపవచ్చు.

అంటే పైన చెప్పివ 120 నాలుగంకెల సంఖ్యలలో ⁴P₃ సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 1 వస్తుంది. ఇదేవిధంగా 3, 5, 7, 9 అంకెలు ఒక్కొక్కటి ⁴P₃ సార్లు ఒకట్ల స్థానంలో వస్తాయి. ఈ అంకెలన్నీ కలిపితే మనకు 120 సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలోని మొత్తం.
= ⁴P₃ x 1 + ⁴P₃ x 3 + ⁴P₃  x 5
= ⁴P₃ x 7 + ⁴P₃ x 9
= ⁴P₃ (1+3+5+7+9)
= ⁴P₃  (25)
ఇదే విధంగా ఈ 120 సంఖ్యల పదుల స్థానంలో కూడా పైన చెప్పిన అంకెలు మాత్రమే వస్తాయి. కనుక పదుల స్థానంలోని అంకెలు మొత్తం కూడా ⁴P₃ x 25 కాని ఇది పదుల స్థానంలోని మొత్తం కనుక దాని విలువ ⁴P₃ x 25 x 10. ఇలాగే వందల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం విలువ ⁴P₃ x 25 x 100  కనుక 1,3,5,7,9 అంకెలనుపయోగించి ఏర్పరిస్తే వచ్చే 4 అంకెల సంఖ్ల మొత్తం.

ప్రశ్న 12.
1,2,5,7,8,9 అంకెలలో ఎన్ని 4 అంకెల సంఖ్యలా సంఖ్యలు ఎన్ని?
సాధన:
1, 2, 5, 7, 8,9 అంకెలతో ఏర్పడే నాలుగు అంకెల సంఖ్యలు ⁴P₂ = 360 ఇప్వుడు మొదటి స్థినాన్ని 9తో, చివరిస్థానాన్ని 2 తో నింపే విధానాల సంఖ్య 1.⁴P₂ = 12.

ప్రశ్న 13.
5 మూలకాలున్న సమితి A నుంచి 7 మూలకాలున్న సమితి B క గల అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్య కనుక్కొండి.
సాధన:
A లోని మొదటి మూలకానికి ప్రతిబింబాన్ని B లోని 7 మూలకాలలో ఏదో ఒక మూలకంగా అంటే 7 విధాలుగా నిర్వచించవచ్చు.A లోని రెండవ మూలకానికి, (ప్రతిబింభాన్ని B లోని మిగిలిన 6 మూలకాలలో ఏదో ఒక మూల కంగా అంటే 6 విధాలుగా మాత్రమే నిర్వచించ గలం.
ఇలా చేసుకుంటూ పోతే A నుంచి B కి గల అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్ల = ⁷P₅
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2,520
గమనిక : సమితి A లోని m మూలకాలు, సమితి B లోని n మూలకాలుంటే A నుంచి B కి నిర్వచించగల అన్వేక (ప్రమేయాల సంఖ్య
= ⁿP_m m ≤ n అయితే
0, m ≤ n అయితే

ప్రశ్న 14.
ఉత్తరాలను వాటికి సంబంధించిన చిరునామాలు ఉన్న 4 కవర్లలో ఏ ఉత్తరమా దానికి సంబంధించిన కవరులోకి ఏోకుండా ఉండేలా, ఒక్కొక్క కవరులో ఒక్కొక్క ఉత్తరం ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా ఆమర్చవచ్చు.
సాధన:
కావలసిన అమరికల సంఖ్య \( = 4 !\left(\frac{1}{2 !}-\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}\right)\)
= 12 – 4 + 1 = 9

ప్రశ్న 15.
MIXTURE పదంలోని అక్షరాలతో, పునరావృతాన్ని అనుమతించినపడు, ఏర్పరచగల 5 ఆక్షరాల పదాలలో అచ్చుతో మొదలయ్యే పదాలెన్ని?
సాధన:
MIXTURE పదంలో 7 అక్షరాలున్నవి. అందు 3 అచ్చులు (I, U, E), 4హల్లలలు (M, X,T, R)

కనుక మొదటి స్థానాన్ని ఒక అచ్చుతో 3 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 4 స్థానాలలో ఒక్కొస్థానాన్ని 7 విధాలుగా నింపవచ్చు. (పునరావృతాన్ని అనుమతించాం కనుక)
∴  అచ్చుతో మొదలయ్యే 5 అక్షరాల పదాలు
= 3 × 7 × 7 × 7 × 7=3 × 7⁴

ప్రశ్న 16.
(a) m మూలకాలాన్న ఒక సమితి A నుండి n మాలకాలున్న సమితి B అన్ని (ప్రమేయాలు నిర్వచించవచ్చు ?
సాధన:
A = {a_1,a_2,………….. a_m}
B = {b_1,b_2,………….. b_m}
గా తీసుకొందాం. ముందుగా a₁ ప్రతిబింబానికి B లో ఒక మూలకం ఎంచుకోవాలి. దీనిని మనం n విధాలుగా ఎంచుకోవాలి. ఈ విధంగా A లో ఉన్న m మూలకాలలో ప్రతి మూలకం యొక్క (పతిబింబాన్ని n విధాలుగా నిర్వబించ వచ్చు. ఒక ప్రమేయాన్ని నిర్వచించినపుడు ఒకటి కన్నా ఎక్కువ మూలకాలకు ఒకే (పతిబింబం ఉండవచ్చు. కనుక A లోని m మూలకాల ప్రతిబింబాలను
n × n × …………….. x n (m సార్లు) = n^m
విధాలుగా నిర్వచించవచ్చు. కనుక A నుండి B కి గల ప్రమేయాల సంఖ్య n^m

(b) n మూలకాలున్న ఒక సమితి A నుంచి 2 మాలకాలున్న సమితి B కు ఎన్ని సంగ్రస్త ప్రమేయాలు నిర్వచించ వచ్చు ?
సాధన:
A = {a_1,a_2,………….. a_n} గా తీసుకొందాం. పై సమస్య ప్రకారం A నుండి B కి గల [ప్రమేయాల సంఖ్య 2ⁿ ఒక ప్రమేయం సంగ్రస్తం కావాలంటే B లోని రెండు మాలకాల x, y లు ప్రమేయం వ్యాప్తిలో ఉండాలి.కనుక (ప్రమేయం సంగ్రస్తం కాకుండా ఉండాలంటే హ్యాప్తిలో x (లేదా y) మాత్రమే ఉండేలా A లోని అన్ని మూలకాల (ప్రతిబింబాలు x (లేదా y) అ ్లేటటట్లు నిర్వచించాలి. ఈ విధమైన ప్రమేయాలు రెండు మాత్రమే ఉంటాయి. కనుక A నుండి B కి నిర్వచించగల 2ⁿ (ప్రేయాల్లో 2 ప్రమేయాలు సంగ్రస్తం కావు. అంటే A సుంచి B కి గల సంగ్రస్త ప్రమేయాల సంఖ్య 2ⁿ– 2.

ప్రశ్న 17.
ప్రావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు 1, 2, 3, 4, 5, 6 అంకెలలో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్లల సంఖ్యను కనుక్రోండి.
సాధన:
పునరావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు 4 స్థానాలను ఇచ్చిన 6 అంకెలతో నింపే విధానాలు
= 6 × 6 × 6 × 6=6⁴=1,296

ప్రశ్న 18.
పునరావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు 1,2,3,4,5,6 అంకెలతో ఏర్పరిచే 4 అంకెల సంఖ్యలలో ఎన్ని
(i) 2 (ii) 3 తో ఖాగించబడతాయి?
సాధన:
(i) 2 తో భాగించణడే సంఖ్లలు 4 ఖాళీస్థానాలు తీసుకొందాం. ఒక సంఖ్య 2 తో భాగించ బడాలంటే

ఒకట్ల స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉండాలి. కనుక ముందుగా ఒకట్ల స్థానాన్ని ఒక సరిసంఖ్య (2 లేదా 4 లేదా 6) తో ‘3’ విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 3 స్థానాలలో ఒక్కో స్థానాన్ని ఇచ్చిన 6 అంకెలలో దేనితోనైనా 6 విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 2 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య
= 3 × 6³=3 × 216 = 648

(ii) 3తో భాగించణడే సంఖ్యలు
మొదటి 3 స్థానాలలో ఒక్కో స్థానాన్ని 6 విధాలుగా, అంటే మొత్తం 6³ విధాలుగా నింపవచ్చు.

ఈ విధంగా మొదటి. మూడు స్థానాలు నింపాక ఒకట్ల స్థానం నింపడానికి 6 వరుస పూర్ణాంకాలున్నాయి. వీటితో ఒకట్ల స్థానాన్ని నింపితే 6 వరుస ధన సంఖ్యలు వస్తాయి. ప్రతి 3 వరుస ధనపూర్ణాంకాల్లో ఖచ్చితంగా ఒక సంఖ్య 3తో భాగింపబడుతుందని మనకు తెలుసు. కనుక పైన చెప్పిన 6 వరుస ధన పూర్ణాంకాల్లో ఖచ్చితంగా 2 మాత్రమే 3 తో భాగించబడతాయి. అంటే ఒకట్ల స్ధానాన్ని 2 విధాలుగా మాత్రమే నింపవచ్చు కనుక 3 తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య.
= 6³ × 2 = 216 × 2 = 432

ప్రశ్న 19.
ఫునరావృతాన్ని అనుమతించినపుడు EXPLAIN పదం లోని అక్షరాలతో మొదట, చివర అచ్చులు ఉండేటట్లు 5 అక్షరాల పదాలు ఎన్ని ఏర్చరచవచ్చు ?
సాధన:
EXPLAIN పదములో 7 అక్షరాలున్నవి అందులో 3 అచ్చులు (A,E,I) లు ఉన్నాయి. కనుక మొదటి, చివరి స్థానాలలోను అచ్చులతో ఒక్కోదాన్ని 3 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన మూడు స్థానాలలో ఒక్కోదాన్ని ఇచ్చిన పదంలోని 7 అక్షరాలలో ఏదో ఒక అక్షరంతో 7 విధాలుగా నింపవచ్చు.
కనుక మొదటి, చివిరి అచ్చులు ఉండే 5 అక్షరాల పదాల సంఖ్య.
=3 × 7 ×7 ×7 × 3
=9 × 343=3,087

ప్రశ్న 20.
SINGING పదంలోని అక్షరాలను
(i) Iతో మొదలయి, Iతో అంతమయ్యేలా
(ii) రెండు Gలుకలిసి ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
(iii) అచ్చులు, హల్లులు సాపేక్ష స్థానాలు మారకుండా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన.
SINGING పదంలో 2I లు, 2G లు, 2Nలు, ఒక S మొత్తం 7 అక్షాాలున్నవి.

(i) ముందుగా మొదటి,చివరి స్థానాలను రెండు Iలతో

నింపితే ఇంకా 5 స్థానాలు, 5 అక్షరాలు ఉంటాయి. కనుక వీటిని అమర్చే విధానాలు \(\frac{5 !}{2 ! 2 !}\) (రెండు N లు)
రెండు G లు ఉన్నాయి. కనుక I లు రెండూ ఒకే రకంగా ఉన్నందువల్ల వాటిలో వాటిని ఒక రకంగా మాత్రమే మార్చగలం.
కనుక కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{5 !}{2 ! ~ 2 !}\) = 30

(ii) రెండు ‘G’ లను.ఒక యూనిట్ గా భావిస్తే, విగిలిన 5 అక్షరాలు + 1 యూనిట్= 6 వీటిలో 2I లు, 2N లు ఉన్నాయి. కనుక
ఈ 6 అక్షరాలను అమర్చే విధానాలు \(\frac{6 !}{2 ! 2 !}=\frac{720}{2 \times 2}=180\)
ఇప్పుడు ఒక యూనిట్ లో ఉన్న G లను వాటిలో
కనుక రెండు G లు కలసి ఉండే పదాల సంఖ్ల = 180

(iii) SINGING పదంలో రెండు అచ్చులు (1,1). 5 హల్లులు (రెండు nలు, రెండు Gలు ఒక S) ఉన్నాయి. రెండు అచ్చులను వాటిలో వాటిని అమర్జే విధానాలు \(=\frac{2 !}{2 !}\) 1.5 హల్లులను వాటిలో వాటిని అమర్చే విధానాలు \(\frac{5 !}{2 ! 2 !}\) = 30
C V C C V C C (ఇక్కడ V ఒక అచ్చుని, C ఒక హల్లుని
∴ కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య = 130 x 30=30

ప్రశ్న 21.
a⁴, b³, c⁵ పదంలోని అక్షరాలను విస్తరించి రాసి వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే (ప్రస్తారాల సంఖ్లను కనుక్రోండి.
సాధన:
a⁴, b³, c⁵ విస్తరించి రాస్తే
aaaa bbb ccccc
దీనిలో 12 అక్షరాలున్నాయి. వాటిలో 4 ‘a’ లు, 3 ‘b’ లు, 5 ‘c’ లు. కనుక వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే (ప్రస్తారాల సంఖ్య
\(\frac{12 !}{4 ! 3 ! 5 !}\)

ప్రశ్న 22.
1,1,2,2,3 అనే అంకెలతో ఏర్పర్గగ 5 అంకెల సంఖ్లెన్ని ? వీటిలో సరిసంఖ్యలన్ని ?
సాధన:
1, 1, 2, 2, 3 అనే 5 అంకెలలో రెండు ‘1’ లు, రెండు ‘2’ లు ఉన్నాయి. కనుక వీటి నుంచి ఏర్పరచగల 5 అంకెల
సంఖ్య = \(\frac{5 !}{2 ! 2 !}\) = 30
ఇప్పుడు సరి సంఖ్యలు కనుక్కోవడానికి ఒకట్ల స్థానాన్ని 2 తో నింపుదాం.
మిగిలిన 4 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో (1,1,2,3) నింపే విధానాలు \(\frac{4 !}{2 !}=12\)
కనుక దత్త అంకెలతో ఏర్పరచగల 5 అంకెల సరి సంఖ్యల సంఖ్య =12

ప్రశ్న 23.
మూడు వేర్వేరు పుస్తకాలకు ఒక్రోదానికి నాలుగు ప్రతులున్నాయి. ఈ 12 పస్తకాలను ఒక అరలో ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన:
దత్తాంశం (ప్రకారం, ఇచ్చిన 12 పుస్తకాలలో 4 పుస్తకాలు ఒక రకంగా, 4 పుస్తకాలు రెండో రకంగా, 4 పుస్తకాలు మూడో రకంగా ఉన్నాయి. కనుక సిద్ధాంతం 5.5 .2 (ప్రకారం ఈ 12 పుస్తకాలను ఒక అరలో అమర్చే విధానాలు.
\(\frac{12 !}{4 ! 4 ! 4 !}\)

ప్రశ్న 24.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే, ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తపదం EAMCET లోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రడుం ACEEMT నిఘంటువులో ముందుగా A తో మొదలజ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి. కనుక మొదటిి స్థానాన్ని A తో నింపితే మిగిలిన 5 అక్షరాలను \(\frac{5 !}{2 !}\) విధాలుగా (2E’ లు ఉన్నవి కనుక) అమర్చవచ్చు. ఈ విధంగా చేసుకొంటూ EAMCET పదం వచ్చే వరకూ కింది విధంగా గణిస్తాం.

ప్రశ్న 25.
ఎనిమిదిమంది పురుషును, నలుగురు స్త్రీలను ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు ? వీటిలో ఎన్ని (ప్తస్తారాలలో
(i) స్త్రీలంతా ఒకేచోట ఉంటారు.
(ii) ఏ ఇద్దరు స్త్రీలు పక్క పక్కన రాకుండా ఉంటారు.
సాధన:
మొత్తం వ్యక్తుల సంఖ్య = 12 (ఎనిమిదిమంది పురుషులు + నలుగురు స్త్రీలు
కనుక వీరిని వృత్లాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలా = (11)!

(i) నలుగురు స్త్రీలను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, ఎనిమిది మంది పురుషులు ఎనిమిది యూనిట్లు అనుకుంటే ఈ తామ్మిది యూనిట్లను వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు= 8!
ఇప్పుడు నలుగురు స్త్రీలను వారిలో వారిని 4! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
∴ స్త్రీలంతా ఒకచోట ఉండేలా అమర్చగల విధానాల సoఖ్య = 8! × 4!

(ii) ముందుగా ఎనిమిది మంది పురుషులను ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు =(8-1)! = 7! వీరిలో ప్రతి ఇద్దరు పురుషుల మధ్య

ఒక్కో ఖాళీ చొప్పున మొత్తం 8 ఖాళీలు ఉంటాయి. (ఈ ఖాళీలను పైన పటంలో x అనే గుర్తుతో సూచించాం) ఇప్పుడు ఈ 8 ఖాళీలలో నలుగురు స్త్రీలను అమర్చే విధానాలు= ⁸P₄ కనుక ఏ ఇద్దరు స్త్రీలు పక్క పక్కన లేని వృత్తాకార ప్రస్తారాల సoఖ్య 7! × ⁸P₄.

ప్రశ్న 26.
అయిదురుగురు భారతీయులను, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులను, ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను ఒక వృత్తాకార ఐల్ల చుట్టా
(i) భారతీయులంతా ఒకే చోట కలిసి ఉండేలా
(ii) ఏ ఇద్దరు రష్యా దేశస్థులు పక్క పక్కన లేకుండా
(iii) ఒక దేతానికి చెందిన వారందరూ ఒకేచోట ఉండేలా ఎన్నిరకాలుగా అమర్చవచ్చు) ?
సాధన:
(i) అయిదుగురు భారీీయలను ఒక యూనిట్గా భావిస్తే, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులు, ముగ్గరు రష్యా దేశస్థులు. 1 యూనిట్ భారతీయులు అంటే 8 మంది వ్యక్తులుంటారు. వీరిని ఒక వృత్తారార బల్లచుట్టూ అమర్చే విధానాలు
= (8-1)! = 7 !
ఇప్పుడు అయిదుగురు భారతీయులను వారిలో వారిని 5! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక కావలసిన వృత్తాకార [ప్రస్తారాల సంఖ్య =7! × 5 !

(ii) ముందుగా ముగ్గరు రష్యా దేశస్థులను ఒక పక్కుగా ఉంచి, మిగిలిన 9 మంది వ్యక్తులను (అయిదుగురు భారతీయులు + నలుగురు అమెరికా దేశస్థులు) ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాలు =(9-1)!=8 ! ఇప్పుడు, ఈ 9 మంది వ్యక్తుల మధ్యలో ఖాళీలు 9 ఉంటాయి.
ఈ 9 ఖాళీలలో ముగ్నురు రష్లా దేశస్థులను అమర్చే విధానాలు ⁹P₃
కనుక కావలసిన వృత్తాకార (ప్రస్తారాల సంఖ్య 8! × ⁹P₃

(iii) అయిదుగురు భారతీయులను ఒక యూనిట్, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులను రెండ్ర యూనిట్గానూ ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను మూడో యూనిట్గాను భావిస్తే 3 యూనిట్లు అవుతాయి. ఈ మూడు యూనిట్లతో వచ్చే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్ =(3-1) !=2 !
ఇప్పుడు అయిదుగురు భారతీయులను వారిలో వారిని అమర్చే విధానాలు 5!. ఇదే విధంగా నలుగురు అమెరికా దేశస్కులను 4! విధాలుగానూ, ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను 3! విధాలుగానూ అమర్చవచ్చు, కనుక కావలసిన విధానాలు
=2! × 5! × 4! × 3!

ప్రశ్న 27.
విభిన్నమైన రంగుల హూసలతో ఏర్పరచగల పూసల గొలుసుల సంఖ్యను కనుక్రోండి.
సాధన:
n అసరూప వస్తువులతో ఏర్పరచగల వేలాడే రకం వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{1}{2}(n-1)\) ! అని మనకు తెలుసు.
కనుక ఇచ్చిన 7 పూసలతో ఏర్పరచగల దండల సంఖ్య
\(\frac{1}{2}(n-7) !=\frac{1}{2}(6 !)=360\)

ప్రశ్న 28.
7 విభిన్నమైన ఎర్ర గులాబీలు, 4 విభిన్నమైన పసుపు రంగు గులాబీలతో 3 రెండు పసుపు రంగు గులాబీలు పక్క పక్కన రాకుండా ఎన్ని రకాలుగా దండలు తయారు చేయవచ్చు?
సాధన:
ముందుగా 7 విభిన్నమైన ఎర్రగులాబీలతో ఏర్పరచగల వృత్తాకార (ప్తస్తారాల సంఖ్య =(7-1)!=6!
ఈ 7 ఎర్రగులాబీల మధ్యలో ఉన్న 7 ఖాళీలలో 4 పసుఫు రంగుగులాబీలను ⁷P₄ విధాలుగా అమర్చవచ్చు. కనుక మొత్తం వృత్తాకార (ప్రస్తారాల సంఖ్య = 6 ! × ⁷P₄
కాని పువ్వుల దండలు వేలాడే వృత్తాకార ప్రస్తారాల కోవలోకి వస్తాయి. కనుక కావలసిన (ప్రస్తారాల సంఖ్య
\(=\frac{1}{2}\left(6 ! \times{ }^7 P_4\right)\)

ప్రశ్న 29.
ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ 14మంది వ్యక్తులు కూర్చొని ఉన్నారు. వారిలో ఇద్దరు వ్యక్తలను (ప్కక్క పక్కన లేకుండా ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన. మనకు ఇచ్చిన 14 మంది వ్యక్తులు వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ a₁  a₂ …………………… a₁₄ క్రమంలో పటంలోలాగా కూర్చొని ఉన్నారనుకొందాం.
ఈ 14 మంది వ్యక్తుల నుంచి ఇద్దరిని ఎంచుకొనే విధానాలు = ¹⁴C₂ =91.

ఈ విధానాలలో ఎంచుకొన్న ఇద్దరు వ్యక్తులు పక్క పక్కనే ఉండే విధానాలు a_1, a₂, a₂, a₃, ……………….. a_13,a₁₄, a₁₄, a₁₅ అంటే 14 విధానాలు కనుక ఎంచుకొన్న ఇద్దరు వ్యక్తులు పక్కపక్కన లేని విధానాలు =91-14 = 77

ప్రశ్న 30.
ఎనిమిది మంది బాలురు, అయిదుగురు బాలికల నుంచి నలుగురు బాలురు, ముగ్నురు బాలికలు ఉండేలా ఎన్ని కమిటీలా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
ఇచ్చిన ఎనిమిది మంది బాలుర నుంచి నలుగురు బాలురను ఎంచుకొనే విధానాల సంఖ్య = ⁸C₄
ఇంకా అయిదుగురు బాలికల నుంచి ముగ్గురు బాలికలను ఎంచుకొనే విధానాలు = ⁵C₃
కనుక, ప్రాఠామిక సూత్రం ప్రకారం నలుగురు బాలురు, ముగ్గురు బాలికలను ఎంచుకొనే విధానాలు.
= ⁸C₄ × ⁵C₃ = 70 × 10 = 700

ప్రశ్న 31.
విభిన్నమైన 7 ఇంగ్లీష, 6 తెలుగు, 5 హిందీ పుస్తకాల నుంచి 4 ఇంగ్లీష, 3 తెలుగు, 2 హిందీ పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు ఎన్ని?
సాధన:
ముందుగా 7 ఇంగ్లీషు పుస్తకాల నుంచి 4 పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు = ⁷C₄
6 తెలుగు పుస్తకాల నుంచి 3 తెలుగు పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు = ⁶C₃
5 హిందీ పుస్తకాల నుంచి 2 హిందీ పుస్తకాలను ఎంచుకొనే విధానాలు = ⁵C₂
కనుక, కావలసిన విధానాలు
= ⁷C₄ x ⁶C₃ x ⁵C₂

ప్రశ్న 32.
ఆరుగురు బాలురు, నలుగురు బాలికలనుంచి కనీసం ఒక బాలిక ఉండేలా నలుగురు సభ్యలున్న కమిటీలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్బు ?
సాధన:
ఏ నిబంధనా లేకుండా మొత్తం 10 మంది వ్యక్తుల (ఆరుగురు బాలురు + నలుగురు బాలికలు) నుంచి నలుగురు సభ్యులున్న కమిటీని ఎంచుకొనే విధాలు ¹⁰C₄ వీటిలో అసలు బాలికలు లేకుండా బాలురు మాత్రమే ఉండేటట్లు కమిటీ ఎంచుకొనే విధాలు ⁶C₄ కనుక కనీసం ఒక బాలికైనా ఉండే కమిటీల సంఖ్య
= ¹⁰C₄  – ⁶C₄= 210 – 15 = 195.

ప్రశ్న 33.
ఏడుగురు బాట్స్మెన్, అరుగురు బౌలర్లు, ఇద్దరు వికెట్ కీపర్లు నుంచి కనీసం నలుగురు బౌలర్లు, ఒక వికెట్ కీపరు ఉండేలా 11 మంది ఆటగాళ్ళతో క్రికట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
కనీసం నలుగురు బౌలర్లు, ఉండాలంటే టీమును కింద చూపిన విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.

కనుక కోరిన విధంగా క్రికెట్ టిముని ఎంచుకొనె విధానాలు =315+210+35=560.

ప్రశ్న 34.
‘m’ సమాంతర రేఖలా మరాక ‘n’ సమాంతరరేఖలను (మొదటి రేఖలకు సమాంతరంగా లేని) ఖండిస్తే ఎన్ని సమాంతర చతుర్భుజాలేర్పడతాయి ?
సాధన:
ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడాలంటే మొదటి m సరళరీఖల నుంచి 2 సరళరేఖలు ఎంచుకోవాలి. ఈ విధానాలు ^mC₂ రెండో సమితిలోని n సరళ రేఖల నుంచి 2 సరళరేఖలు ఎంచుకోవాలి. ఈ విధానాల సంఖ్య ⁿC₂ కనుక, దత్త సరళరేఖలు ఖండించుకోవడం వల్ల ఏర్పడే సమాంతర చతుర్భుజాల సంఖ్య = ^mC₂ x ⁿC₂

ప్రశ్న 35.
ఒక తలంలో m బిందువులున్నాయి. వాటిలో p బిందువులు సరేఖీయాలు,మిగిలిన బిందువులలో 3 మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కాకపోతే, ఈ బిందువులను రేఖాఖండాల ద్వారా కలిపితే వచ్చే విఖిన్న
(i) రేఖా ఖండాలెన్ని?
(ii) త్రిభజాలెన్ని ?
సాధన.
(i) ఇచ్చిన m బిందువుల నుంచి రెండు బిందువులను ఎంచుకొని కలిపితే ఒక రేఖాఖండం వస్తుంది. కనుక ^mC₂ రేఖాఖండాలు రావాలి. కాని m బిందువులలో p బిందువులు సరేఖీలయాలు కనుక ఈ బిందువులను వాటిలో వాటిని రెండు బిందువుల చాప్పున కలిపితే ^pC₂ రేఖాఖండాలు రావడానికి బదులుగా 1 రేఖాఖండం మాత్రమే వస్తుంది. కనుక దత్త m బిందువులను కలపడం ద్వారా వచ్చే విభిన్న రేఖాఖండాల సంఖ్య = ^mC₂ – ^pC₂ +1

(ii) ఇచ్చిన m బిందువులను 3 బిందువుల చొప్పున కలిపితే తిిభుజాలు ఏర్పడతాయి. కనుక ^mC₃ తిిభుజాలు రావాలి.కాని ఈ m బిందువులలో P బిందువులు సరేఖీయాలు కనుక ఈ p బిందువుల నుంచి 3 బిందువుల చాప్పున ఎంచుకొని కలిపితే ^pC₃ (తిభుజాలు దావడానికి బదులుగా ఒక రేఖాఖండం వస్తుంది. (అంటే ఒక్క (యిభుజం కూడా రాదు.) కనుక ఇచ్చిన m బిందువులను కలపడం ద్వారా ఏర్పడే తి่భుజాల సంఖ్య = ^mC₃ – ^pC₃ 

ప్రశ్న 36.
ఒక ఉపాధ్యాయుడు పదిమంది విద్యార్థులను పార్కుకు తీసుకువెళ్ళాలి. ఒక్కొక్కసారి ముగ్నురు విద్యార్థుల చొప్పున తీసుకు వెళ్ళగలరు. కాని ఏ ముగ్గురు విద్యార్థుల బృందాన్నైనా ఒక్కసారి మాత్రమే తీసుకాని వెళ్ళాలి ?
(i) ప్రతీ విద్యార్థికి ఎన్ని సార్లు పార్కుకు వెళ్ళే అవకాశం ఉoది?
(ii) ఉపాధ్యాయుడు ఎన్నిసార్లు పార్కుకు వెళ్ళే అవకాశం ఉoది ?
సాధన:
(i) పదిమంది విద్యార్థులలో x ఒకరు అనుకొందాం. పార్కుకు x వెళ్ళే (పతిసారి ఇంకా ఇరువురు విద్యార్థులను మిగిలిన తొమ్మిది మంది విద్యార్థుల నుంచి ఎంచుకోవాలి. ఈ పనిని ⁹C₂ విధాలుగా చేయవచ్చు.అంటే
x పార్కుకు ⁹C₂ = 36 సార్లు వెళతాడు.

(ii) పదిమంది విద్యార్థుల నుంచి ముగ్గురు విద్యార్థును ఎంపిక చేసిన ప్రతిసారి ఉపాధ్లాయుడు పార్కుకు వెళ్తాడు. కనుక ఉపాధ్యాయుడు ¹⁰C₃ =120 సార్లు పార్కుకు వెళతాడు.

ప్రశ్న 37.
ఒక రెండంతస్తుల బస్సుకు కింది అంతస్తులో 8 సీట్లు, పై అంతస్తులో 10 సీట్లు ఉన్నాయి. ఈ బస్సులో (ప్రయాణించవలసిన 18 ప్రయాకులల్లో ముగ్గురు పిల్లలు పై అంతస్తులో మాత్రమే వెళ్ళాలి. ఇంకా నలుగురు వృద్దులు పైఅంతస్తుకు వెళ్ళలేరు అని ఇస్తే వారిని ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన:
ముగ్గురు పల్లలు పై అంతస్థులోనూ, నలుగురు వృద్ధులు కింది అంతస్తులోనూ ప్రయాణిస్తారనుకాంటే మిగిలిన ప్రయాణీకులు 11 మంది ప్రయాణీకులలో 7 కింది అంతస్తులో, 7 మంది పై అంతస్తులో ప్రయాణించాలి. కనుక 11 మంది 7 ఎంచుకొనే విదానాలు
¹¹C₇ కింది అంతస్తులోని 8 సీట్లలో 8! విధాలు గానూ, పై అంతస్థులోని 10 సీట్లలో (10)! విధాలుగానూ అమర్చవచ్చు. కనుక
మొత్తం విధానాల సంఖ్య = ¹¹C₇ × 10! × 8!

ప్రశ్న 38.
(i) \({ }^{10} C_3+{ }^{10} C_6={ }^{11} C_4\)
(ii) \({ }^{25} C_4+\sum_{r=0}^4{ }^{(29-r)} C_3={ }^{30} C_4\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 39.
(i) \({ }^{12} \mathrm{C}_{s+1}={ }^{12} \mathrm{C}_{2 \mathrm{~s}-5^{\prime}}\) అయితే s కనుక్కోండి.
(ii)\({ }^n C_{21}={ }^n C_{27} \text {, అయితే }{ }^{50} C_n\) విలువ కనుక్కోండి
సాధన:

ప్రశ్న 40.
ఒకే రకమైన 5 కలాలు, ఒకేరకమైన 6 పెన్సిళ్ళు, ఒకే రకమైన 7 రబ్బర్లు ఉన్నాయి. వాటి నుంచి ఎన్ని వస్తువులనైనా (కనీసం ఒకటి) ఎంచుకొనే విధానాలు సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఎంచుకొనే విధానాల సంఖ్య
= (5+1) (6+1) (7+1) -1 = 335

ప్రశ్న 41.
1080 సంఖ్యకు (1 సంఖ్యతో సహా) ధన భాజకాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన.
1080=2³ × 3³ × 5¹ (ప్రధాన అంకెల లబ్దం)
= (3+1) (3+1) (1+1)
= 4 × 4 × 2 = 32

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు

ప్రశ్న 1.
అవర్గీకృత దత్తాంశము 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు డుధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
దత్తాంశానికి అంకమధ్యమం.

ప్రశ్న 2.
అవర్గీకృత దత్తాంశము 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని గణించండి.
సాధన:
దత్తబిందువులను పరిమాణం పరంగా ఆరోహణక్రమంలో (వాయగా 4, 6, 7, 10, 12, 12, 13, 16
∴ మధ్యగతం = \(\frac{10+12}{2} = 11\)
పరమ మూల్ల విలువలు
|11-4|, |11-6|, |11-7|, |11-10|, |11-12|, |11-12|, |11-13|, |11-16|
= 7, 5, 4, 1, 1, 1, 2, 5
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{8}\) (7+5+4+1+1+1+2+5)
= \(\frac{26}{8}\) = 3.25

ప్రశ్న 3.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 4.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 5.
ఇచ్చిన దత్తాంశానికి మద్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 6.
క్రింది దత్తాంశానికి, మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 7.
క్రింది దత్తాయాానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 8.
క్రింది దత్తాంశానికి విస్తృతి, (ప్రామాణిక విచలనాలను కనుగొనుము 5,12,3,18,6,8,2,10
సాధన:

ప్రశ్న 9.
క్రింది దత్తాంశానికి విస్తృతి మరియు (ప్రామాణిక విచలనాన్ని కనుగొనుము.

సాధన:

ప్రశ్న 10.
ఈ క్రింది అవిచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విాజనానికి విస్తృతి ప్రామాణిక విచలనాన్ని గణించండి.

సాధన:
ఉహత్మక మధ్యమం A = 65 అనుకొనుము
అపుడు  \(y_i=\frac{x_i-65}{10}\)

ప్రశ్న 11.
ఒక తరగతికి చెందిన రెండు విభాగాలు A, B లలోని విద్యార్థులు, 100 మార్కులకు పెట్టిన ఒక పరీక్షలో క్రింది ఫలితాలను సాధించారు. వీరిలో ఏ విభాగంలోని విద్యార్థులు, వారి ఫలితాలలో ఎక్కువ విచలనాన్ని కలిగి ఉన్నారో కనుగొనుము.

సాధన:
విభాగం – A విద్యార్ధుల మార్కుల విభాజన విస్తృతి σ²₁ = 81
⇒ ప్రామాణిక విచలనం σ₁ =8
విభాగం – B విద్యార్థుల మార్కుల విభాజన విస్తృతి σ²₂ = 81
⇒ σ₂ = 9
రెండు విభాగాలలోని విద్యార్థుల సగటు మార్కులు ఒకటి (అంటి 45) కావున అధిక ప్రామాణిక విచలనం కలిగిన విభాగం ఎక్కువ విచలనాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
∴ విభాగం B వారి పనితనం అధిక విచలనాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 12.
ఒక సర్వేలో రాబట్టిన రెండు నమూనాల రఫ్రిజిరేటర్లు A, B ల మన్నిక కాలం ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వడమైనది. మీరు ఏ నమూనా రిఫ్రిజిరేటరును కొనవచ్చని సూచిస్తారు.

సాధన:
నమూనా A, నమూనా B రి్రిజిరేటర్ల మన్నిక కాలాలు మధ్యమం, విస్తృలిలను కనుక్కొవడానికి పట్టికను నిర్మిద్దాం.

నమూనా B విచలనాంకం నమూనా A విచలనాంకం కంటే తక్కువగా ఉన్నది.
నమూనా B కొనవచ్చునని సూచిస్తాం.

ప్రశ్న 13.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, (క్ంిది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.

సాధన:
ఉహత్మక మధ్యమం A = 35

ప్రశ్న 14.
ఈ క్రింది పట్టిక, ఒక కర్మాగారంలో పనివాళ్ళ రోజు వారీ జీతాలను తెలుపుతుంది.ఈ పనివాళ్ళ జీతాల ప్రామాణిక విచలనాన్ని, విచలనాంకంను గణనం చేయండి.

సాధన:
తరగతి అంతరాల మధ్యబిందువులు సంఖ్యాపరంగా పెద్దవి కనుక ఈ సమస్యను సోపాన విచలన పద్ధతినుపయోగించి సాధిస్తాము.
ఇక్కడ h=50
ఊహత్మక మధ్యమం A=300
అపుడు \( y_i=\frac{x_i-300}{50}\)

ప్రశ్న 15.
ఒకే రకం పంర్రమకు చెందిన .రండు సంస్థల A, Bలలోని పనివారికి ఇచ్చిన జీతాలను విశ్లేషణ చేసినప్పుడు ఈ క్రింది పట్టికలోని వివరాలు తెలిసాయి.

i) A లేదా B లో ఏ సంస్థ, ఆ పరిశ్రమలోని జీతాలలో ఎక్కువ విచరణ కలిగి ఉంది ?
ii) ఏ సంస్థ ఎక్కువ జీతం బిల్లును కలిగి ఉంది ?
సాధన:
i) ఇచ్చిన σ²_A= 81 ⇒ σ_A= 9
σ²_B = 100 ⇒ σ_B= 10
\(\bar{x}_A\) = 186 మరియు \(\bar{x}_B\) = 175
సంస్థ A జీతాల విభాజనపు విచలనాంకం = \(\frac{\sigma_A}{x_A} \times 100=\frac{9}{186} \times 100=4.84\)
సంస్థ B జీతాల విభాజనపు విచలనాంకం = \(\frac{\sigma_{\mathrm{B}}}{\mathrm{x}_{\mathrm{B}}} \times 100=\frac{10}{175} \times 100=5.71\)
∴ సంస్థ B కి విచలనాంకం, సంస్థ A విచలనాంకం పెద్దది కనుక, వ్యక్తిగత జీతాలకి సంబంధించి, సంస్థ B ఎక్కువ విచలనాన్ని కలిగినదని చెప్పగలం.

ii) సంస్థ A లోని పనివారికి చెల్లించిన మొత్తం జీతాలు= 500 ×186 = 93,000
సంస్థ B లోని పనివారికి చెల్లించిన మొత్తం జీతాలు =600 ×175 = 1,05,000
∴ సంస్థ B కి ఎక్కువ జీతం బిల్లు కలదని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 16.
20 పరిశీలనల విస్తృతి 5. (పతి పరిశీలసను 2 చే గుణించినప్పుడు వచ్చే పరిశీలనల విస్తృ)తిని కనుగొనుము.
సాధన:
దత్తపరిశీలనలను x₁, x₂,……………….. x₂₀ వాటి మధ్యమం \(\overline{\bar{x}}\) అనుకొనుము.
దత్తాంశం నుంచి n=20 మరియు విస్తృతతి = 5

∴ ఫలితంగా వచ్బే పరిశీలన విస్త్లృతి = \(\frac{1}{20}\) × 400 = 20 = 2² × 5

ప్రశ్న 17.
పరిశీలన x₁, x₂ ……………………….. x_n లలో (ప్రతిదాన్ని k కి పెంచితే లేదా కలిపితే (k ఒక ధనాత్మక లేదా రుణాత్మక సంఖ్య), వచ్చే పరిశీలనల విస్తృతి ఏమి మారదని చూపండి.
సాధన:
x₁, x₂ ……………………….. x_n ల మధ్యమం x అనుకొందాం.
అప్పుడు వాటి నిస్తృతి \(\sigma_1^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \)
ప్రతి పరిశీలనకు ఒక స్థిరరాశి k కలిపితే, వచ్చే కొత్త పరిశీలనలు y_i = x_i + k ………………. (1)

ప్రశ్న 18.
10 ఇన్నింగులలో A, Bఅనే ఇద్దరు క్రికెట్ అటగాళ్ళు స్కోరులు ఈ క్రింద ఇవ్వడమైనది. వీరిలో ఎక్కువ పరుగులు సాధించిన ఆటగాడో, ఎవరు ఎక్కువ నిలకడగల అటగాడో కనుగానుము.

సాధన:

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు

ప్రశ్న 1.
\(\frac{5 x+1}{(x+2)(x-1)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
\(\frac{2 x+3}{5(x+2)(2 x+1)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
\(\frac{13 x+43}{2 x^2+17 x+30}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
\(\frac{x^2+5 x+7}{(x-3)^3}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^2+13 x+15}{(2 x+3)(x+3)^2}\) ను పాక్షిక భిన్నాలు మొత్తంగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
\(\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\frac{x-1}{(x+1)(x-2)^2}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\frac{2 x^2+1}{x^3-1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
\(\frac{x^3+x^2+1}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+3\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
\(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\frac{x^4+24 x^2+28}{\left(x^2+1\right)^3}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
\(\frac{x+3}{(1-x)^2\left(1+x^2\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
\(\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 16.
\(\frac{3 x}{(x-2)(x+1)}\) ను x ఘాతకేణణిగా విస్తరించ గలిగే అంతరాన్ని తెలుపుతూ x⁴ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\frac{x}{(x-1)^2(x-2)}\) ను x ఘాతకేణణిగా విస్తరించ గలిగే  ప్రదేశాన్ని తెలుపుతూ, xⁿ గుణకాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(e) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(e)

అభ్యాసం 6(ఇ)

I. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫\(\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}\) dx
సాధన:

= ∫\(\left(1+\frac{2}{x-3}\right)\) dx – ∫\(\left(1+\frac{1}{x-2}\right)\) dx
= x + 2ln |x – 3| – x – ln |x – 2| + C
= 2log |x – 3| – log |x – 2| + C

ప్రశ్న 2.
∫\(\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}\) dx
సాధన:
\(\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}\) ≡ \(\frac{A}{x+1}\) + \(\frac{B}{x+2}\) + \(\frac{C}{(x+2)^2}\)
⇒ x² = A(x + 2)² + B(x + 1)(x + 2) + C (x + 1)
x = -2 లో (1)
(-2)² = A(0) + B(0) + C(-2 + 1) ⇒ C = -4
x = -1 లో (1)
(-1)² = A(-1 + 2)² + 8(0) + C(0)
⇒ A = 1
(1) లో x² గుణకాలను సమానం చేయండి.
1 = A + B
⇒ B = 1 – A = 1 – 1 = 0

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{x+3}{(x-1)\left(x^2+1\right)}\) (May 07)
సాధన:
\(\frac{x+3}{(x-1)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{\mathrm{Bx}+\mathrm{C}}{\mathrm{x}^2+1}\) అనుకొనుము
⇒ (x + 3) = A(x² + 1) + (Bx + C) (x – 1) – (1)
(1 ) లో x = 0 ప్రతిక్షేపించగా
3 = A(1) + C(-1)
⇒ A – C = 3 ⇒ C = A – 3 = 2 – 3 = 1
(1) లో x² గుణకాలను సమానం చేయండి.
0 = A + B
⇒ B = -A = -2

ప్రశ్న 4.
∫\(\frac{d x}{\left(x^2+a^2\right)\left(x^2+b^2\right)}\)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
∫\(\frac{d x}{e^x+e^{2 x}}\)
సాధన:

ప్రశ్న 6.
∫\(\frac{d x}{(x+1)(x+2)}\)
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫\(\frac{1}{e^x-1}\) dx
సాధన:

ప్రశ్న 8.
∫\(\frac{1}{(1-x)\left(4+x^2\right)}\) dx
సాధన:
∫\(\frac{1}{(1-x)\left(4+x^2\right)}\) = \(\frac{A}{1-x}\) + \(\frac{B x+C}{4+x^2}\) అనుకోండి
⇒ 1 = A(4 + x²) + (Bx + C)(1 – x) —- (1)
(1) లో x = 1 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(4 + 1) ⇒ A = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో x = 0 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(4) + C(1)
⇒ C = 1 – 4A = 1 – 4\(\left(\frac{1}{5}\right)\) = \(\frac{5-4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో x² గుణకాలను సమానం చేయగా
0 = A – B
⇒ B = A = \(\frac{1}{5}\)

ప్రశ్న 9.
∫\(\frac{2 x+3}{x^3+x^2-2 x}\) dx
సాధన:

⇒ (1) లో x = 0 ప్రతిక్షేపించగా
3 = A(2)(-1) + B(0) + C(0)
⇒ A = –\(\frac{3}{2}\)
(1) లో x = 1 ప్రతిక్షేపించగా
2 + 3 = A(0) + B(0) + C(1)(3)
⇒ C = \(\frac{5}{3}\)
(1) లో x = -2 ప్రతిక్షేపించగా
2(-2) + 3 = A(0) + B(-2)(-2 – 1) + C(0)
⇒ -1 = 6B ⇒ B = \(\frac{-1}{6}\)

II. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫\(\frac{d x}{6 x^2-5 x+1}\)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
∫\(\frac{d x}{x(x+1)(x+2)}\)
సాధన:
\(\frac{1}{x(x+1)(x+2)}\) ≡ \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}+1}\) + \(\frac{c}{x+2}\)
⇒ 1 ≡ A(x + 1)(x + 2) + B(x)(x + 2) + C(x)(x + 1)
x = 0 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(1) (2) + B(0) + C(0) ⇒ A = \(\frac{1}{2}\)
x = -1 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(0) + B(-1)(-1 + 2) + C(0)
⇒ 1 = -B ⇒ B = -1
x = -2 ప్రతిక్షేపించగా

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{3 x-2}{(x-1)(x+2)(x-3)}\) dx
సాధన:
\(\frac{3 x-2}{(x-1)(x+2)(x-3)}\) ≡ \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{B}{x+2}\) + \(\frac{c}{x-3}\)
⇒ 3x – 2 = A(x + 2) (x – 3) + B(x – 1)(x – 3) + C(x – 1)(x + 2)
x = 1 ప్రతిక్షేపించగా
3(1) – 2 = A(1 + 2)(1 – 3) + B(0) + C(0)
⇒ A = \(\frac{-1}{6}\)
x = 3 ప్రతిక్షేపించగా
3(3) – 2 = A(0) + B(0) + C (3 – 1) (3 + 2)
C = \(\frac{7}{10}\)
x = -2 ప్రతిక్షేపించగా
3(-2) – 2 = A(0) + B(-2-1)(-2-3) + C(0) – 8
= 15B ⇒ B = \(\frac{-8}{15}\)

ప్రశ్న 4.
∫\(\frac{7 x-4}{(x-1)^2(x+2)}\) dx
సాధన:
\(\frac{7 x-4}{(x-1)^2(x+2)}\) ≡ \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{B}{(x-1)^2}\) + \(\frac{c}{x+2}\)
⇒ 7x – 4 = A(x – 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x – 1)² —- (1)
x = 1 లో ప్రతిక్షేపించగా
7 – 4 = A(0) + B(1 + 2) ⇒ B = 1
x = -2 లో (1) ప్రతిక్షేపించగా
7(-2) – 4 = A(0) + B(0) + C(-2-1)²
⇒ -18 = 9C ⇒ C = -2

III. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫\(\frac{1}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) dx
సాధన:

x = b ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(0) + B(b – a) (b – c) + C(0)

ప్రశ్న 2.
∫\(\frac{2 x+3}{(x+3)\left(x^2+4\right)}\) dx
సాధన:
\(\frac{2 x+3}{(x+3)\left(x^2+4\right)}\) = \(\frac{A}{x+3}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+4}\) అనుకోండి
2x + 3 = A(x² + 4) + (Bx + C) (x + 3)
x = -3 ⇒ -3 = A(9 + 4) = 13 A
A = –\(\frac{3}{13}\)
x² గుణకాలు సమానం చేయగా
0 = A + B ⇒ B = -A = \(\frac{3}{13}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయగా
3 = 4A + 3C
3C = 3 – 4A = 3 + \(\frac{12}{13}\) = \(\frac{39+12}{13}\) = \(\frac{51}{13}\)

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{2 x^2+x+1}{(x+3)(x-2)^2}\) dx
సాధన:
\(\frac{2 x^2+x+1}{(x+3)(x-2)^2}\) = \(\frac{A}{x+3}\) + \(\frac{B}{x-2}\) + \(\frac{C}{(x-2)^2}\) అనుకోండి
2x² + x + 1 = A(x – 2)² + B(x + 3) (x – 2) + C(x + 3)
x = 2 ⇒ 8 + 2 + 1 = C(2 + 3) = 5C
⇒ C = \(\frac{11}{5}\)
x = -3 ⇒ 18 – 3 + 1
= A(-5)² = 25A ⇒ A = \(\frac{16}{25}\)
x² గుణకాలు సమానం చేయగా

ప్రశ్న 4.
∫\(\frac{d x}{x^3+1}\)
సాధన:

⇒ 1 = A(x² – x + 1) + (Bx + C)(x + 1) —– (1)
(1) లో x = -1 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(1 + 1 + 1) + (-B + C)(0)
⇒ 3A = 1 ⇒ A = \(\frac{1}{3}\)
(1) లో x = 0 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(1) + C(1)
⇒ C = 1 – A = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
x² గుణకాలు సమానం చేయగా
O = A + B ⇒ B = -A = –\(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 5.
∫\(\frac{\sin x \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) dx
సాధన:
cos x = t ⇒ – sin x dx = dt
∫\(\frac{\sin x \cdot \cos x d x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) = ∫\(\frac{-t d t}{t^2+3 t+2}\)

(2) లో t = -1 ప్రతిక్షేపించగా
-1 = A(-1 + 2) ⇒ A = -1
(2) లో t = -2 ప్రతిక్షేపించగా
-2 = B(-2 + 1) ⇒ B = 2

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year Physics Study Material 4th Lesson విద్యుత్ ఆవేశాలు, క్షేత్రాలు Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year Physics Study Material 4th Lesson విద్యుత్ ఆవేశాలు, క్షేత్రాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఆవేశం క్వాంటీకరణం చెందింది అనే ప్రవచనం అర్థం ఏమిటి?
జవాబు:
ఒక వస్తువు నుండి మరొక వస్తువుకు ప్రసారమగు కనీస ఆవేశం, ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశం (e = 1.602 × 10^-19C) కు సమానము. ఆవేశం ఎల్లప్పుడు ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశంనకు పూర్ణ గుణిజాలలో (q = ne) ఉండును. అప్పుడు ఆవేశం క్వాంటీకృతమైంది అంటారు.

ప్రశ్న 2.
ఆకర్షణ కంటే వికర్షణ ఏ ఆవేశానికి సరైన పరీక్ష, ఎందుకు?
జవాబు:
ఒక ఆవేశ వస్తువు, తటస్థ ఆవేశ వస్తువును మరియు వ్యతిరేక ఆవేశ వస్తువును ఆకర్షించును. కాని ఇది ఎల్లప్పుడు సజాతి ఆవేశ వస్తువును వికర్షించును. కావున విద్యుద్దీకరణకు ఆకర్షణకన్నా, వికర్షణ సరైన పరీక్ష.

ప్రశ్న 3.
1C ఆవేశం ఎన్ని ఎలక్ట్రాన్లతో ఏర్పడుతుంది?
జవాబు:

ప్రశ్న 4.
వస్తువును ధనావేశితం చేసినప్పుడు వస్తువు భారం ఏమవుతుంది?
జవాబు:
ఒక వస్తువును ధనావేశితం చేసినప్పుడు, అది కొన్ని ఎలక్ట్రాన్లను కోల్పోవును. కావున వస్తుభారం తగ్గును.

ప్రశ్న 5.
రెండు ఆవేశాల మధ్య దూరాన్ని a) సగానికి తగ్గిస్తే, b) రెట్టింపు చేస్తే వాటి మధ్య బలం ఏమవుతుంది?
జవాబు:
కూలుమ్ నియమము నుండి F ∝ \(\frac{1}{d^2}\)

ప్రశ్న 6.
విద్యుత్ బలరేఖలు (క్షేత్ర రేఖలు) పరస్పరం ఖండించుకోవు. ఎందుకు?
జవాబు:
విద్యుత్ బలరేఖలు (క్షేత్ర రేఖలు) ఖండించుకుంటే, ఖండన బిందువు, రెండు విద్యుత్ క్షేత్ర దిశలను తప్పక కలిగి ఉండాలి. ఇది అసంభవము. కావున విద్యుత్ బలరేఖలు ఖండించుకోవు.

ప్రశ్న 7.
ABC సమబాహు త్రిభుజంపై B, Cల వద్ద +q, -q ఆవేశాలు ఉన్నాయనుకోండి. ఈ వ్యవస్థకు మొత్తం ఆవేశం శూన్యం. కాని, B, C ల నుంచి సమదూరంలో ఉండే A వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం (తీవ్రత) శూన్యం కాదు. ఎందుకు?
జవాబు:
ఆవేశాలు అదిశలు. కాని విద్యుత్ తీవ్రతలు సదిశలు మరియు సదిశ సంకలనం చెందును.

ప్రశ్న 8.
స్థిర విద్యుత్ బల క్షేత్రరేఖలు సంవృత లూప్లను ఏర్పరచవు. ఒకవేళ సంవృత లూప్లను ఏర్పరిస్తే, సంవృత పథం వెంబడి ఆవేశాన్ని జరిపేందుకు చేసిన పని శూన్యం కాజాలదు. పై రెండు ప్రవచనాల నుంచి స్థిర విద్యుత్ బలం స్వభావాన్ని ఊహించగలరా?
జవాబు:
ఇది శక్తి నిత్యత్వ బలం.

ప్రశ్న 9.
స్థిర విద్యుత్ శాస్త్రంలోని గాస్ నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
గాస్ నియమము :
“సంవృత తలం ద్వారా పోవు మొత్తం విద్యుత్ అభివాహం తలం ఆవరించి ఉన్న నికర ఆవేశంకు \(\frac{1}{\varepsilon_0}\) రెట్లు ఉండును.

ప్రశ్న 10.
ఏయే సందర్భాల్లో విద్యుత్ అభివాహం రుణాత్మకం, ధనాత్మకం?
జవాబు:
విద్యుత్ అభివాహం Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{E}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) ల మధ్య కోణం 180° అయిన అభివాహం రుణ సంజ్ఞను కలిగి ఉండును. తలం నుండి అభివాహం వెలుపలకు ప్రవహిస్తే ధన మరియు అభివాహం తలంలోనికి ప్రవేశిస్తే రుణ సంజ్ఞను కలిగి ఉండును.

ప్రశ్న 11.
అనంతమైన పొడవు ఉండే ఆవేశిత తీగ నుంచి r త్రైజ్యా దూరంలో విద్యుత్ (క్షేత్ర) తీవ్రతకు సమాసాన్ని రాయండి.
జవాబు:
అనంతమైన పొడవు గల ఆవేశ తీగ వల్ల విద్యుత్ తీవ్రత E = \(\frac{\lambda}{2 \pi\varepsilon_0r}\), వాహకంనకు లంబంగా
λ = ఏకరీతి రేఖీయ ఆవేశ సాంద్రత
r = వాహకం నుండి బిందు దూరం

ప్రశ్న 12.
అనంతమైన వైశాల్యం గల ఆవేశిత పలకవల్ల ఏర్పడే విద్యుత్ (క్షేత్ర) తీవ్రతకు సమాసాన్ని రాయండి.
జవాబు:
అనంతమైన ఆవేశతలం పలక వల్ల విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత, E = \(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\)

ప్రశ్న 13.
ఆవేశిత వాహక గోళాకార కర్పరం వల్ల దాని వెలుపల, లోపల బిందువుల వద్ద ఏర్పడే విద్యుత్ (క్షేత్ర) తీవ్రతకు సమాసాలను రాయండి.
జవాబు:
a) ఆవేశ గోళాకార కర్పరం లోపల బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత శూన్యం.

b) ఆవేశ గోళాకార కర్పరం వెలుపలి బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత, E = \(\frac{1}{4 \pi\varepsilon_0}.\frac{q}{r^2}\)

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
విద్యుత్లోని కూలుమ్ విలోమవర్గ నియమాన్ని తెలిపి, వివరించండి. [TS. Mar.’17; Mar.’14]
జవాబు:
కూలుమ్ నియమము-నిర్వచనం:
“రెండు ఆవేశాల మధ్య బలం, ఆవేశాల లబ్దంనకు అనులోమానుపాతంలో మరియు వాని మధ్య దూరం వర్గంనకు విలోమానుపాతంలో ఉండును. బలం రెండు ఆవేశాలను కలిపే రేఖపై పనిచేయును.

వివరణ :
q₁ మరియు q₂ అను రెండు ఆవేశాలు దూరంలో వేరుచేయబడి ఉన్నాయని భావిద్దాం. అప్పుడు

ఇక్కడ ε యానకం పెర్మిటి విటీ.

ప్రశ్న 2.
ఒక బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రతను నిర్వచించండి. బిందు ఆవేశం వల్ల ఏర్పడే తీవ్రతకు సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి. [AP. Mar.’16]
జవాబు:
విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత (E) :
విద్యుత్ క్షేత్రంలో ఏదైనా బిందువు వద్ద ఉంచిన ప్రమాణ ధనావేశంపై పనిచేయు బలంను, ఆ బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రతగా నిర్వచిస్తారు.

సమాసము:

1. విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత ఒక సదిశ. దీని దిశ ప్రమాణ ధనావేశం కదిలే దిశలో ఉండును.
2. బిందు ఆవేశం q ను భావిద్దాం. ఆవేశం చుట్టు విద్యుత్ క్షేత్రం ఏర్పడును. ఆవేశం నుండి విద్యుత్ క్షేత్రంలో r దూరంలో బిందువు P ను భావిద్దాం. P వద్ద శోధన ఆవేశం q₀ ఉంచుదాము.
3. q వల్ల q₀ పై బలం F = \(\frac{1}{4 \pi\varepsilon_0}.\frac{qq_0}{r^2}\)
4. బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత, q₀ శోధన ఆవేశంపై పనిచేయు బలంనకు సమానం.
   విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత,
   

ప్రశ్న 3.
ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రంలోని విద్యుత్ డైపోల్పై పనిచేసే యుగ్మానికి లేదా టార్క్కు సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:

1. సమాన, వ్యతిరేక ఆవేశాల జంట స్వల్ప దూరంలో వేరుచేయబడితే, దానిని ద్విధ్రువం అంటారు.
2. −q మరియు+q కూలుమ్ ఆవేశాలను భావిద్దాం. వాటి మధ్యదూరం 2a.
3. ద్విధ్రువ భ్రామకం, P = q × 2a = 2a. ఇది ఒక సదిశ. దీని దిశ ద్విధ్రువ అక్షంపై – q నుండి + q వైపుకు.
4. పటంలో చూపినట్లు, ద్విధ్రువ అక్షం, క్షేత్రదిశలో 9 కోణము చేయునట్లు ఉంచామనుకుందాము.
5. విద్యుత్ క్షేత్రం వల్ల +q పై బలం F = +qE మరియు – q పై బలం
   F = -qE.
6. ఈ రెండు సమాన వ్యతిరేక బలాలు టార్క్ లేక యుగ్మ భ్రామకంను ఏర్పరుచును.
   i.e., టార్క్, τ = లంబదూరం × ఒక బలపరిమాణం
   ∴ τ (2a sin θ)qE = 2aqE sin θ = PE sin θ
   సదిశ రూపంలో, = \(\vec{\tau}=\overrightarrow{\mathrm{P}} \times \overrightarrow{\mathrm{E}}\)

ప్రశ్న 4.
విద్యుత్ డైపోల్ అక్షంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రతకు సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి. [TS. Mar.’16; AP. Mar.’17]
జవాబు:

ద్విధ్రువం అక్షంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద క్షేత్ర తీవ్రత :
1) ఒక విద్యుత్ ధృవంలో -q మరియు + q ఆవేశాలు గల ’24’ దూరంలో వేరుచేయబడినట్లు భావిద్దాం. ‘O’ కేంద్రం.

2) ద్విధ్రువం అక్షంపై OP = r దూరంలో P బిందువు వద్ద, విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత గణిద్దాం.

3) P వద్ద +q మరియు -q ఆవేశాల వల్ల విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రతలు E₁ మరియు E₂.

ప్రశ్న 5.
విద్యుత్ డైపోల్ మధ్య లంబ తలంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రతకు సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి. [AP. Mar.’15]
జవాబు:
విద్యుత్ డైపోల్ లంబ తలంపై ఒక బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత :
1) ఒక విద్యుత్ ద్విధ్రువంలో -q మరియు +q ఆవేశంలు ‘2a’ దూరంలో వేరు చేయబడినట్లు భావిద్దాం. ‘O’ కేంద్రం.
2) ద్విధ్రువం లంబ సమద్విఖండన రేఖపై OP = r దూరంలో P బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత గణిద్దాం.
3) +q మరియు -q ఆవేశాల వల్ల P వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రతలు E₁ మరియు E₂.
4) లంబ అంశాలు (E₁ sin θ మరియు E₂ sin θ) లు సమానం మరియు వ్యతిరేకం. కావున అవి రద్దుపరుచుకుంటాయి. సమాంతర అంశాలు (E₁ cos θ మరియు E₂ cos θ) లు ఒకే దిశలో ఉండును. కావున వాటిని కలుపవచ్చును.

7) r >> a, అయితే అప్పుడు, a² ను r²తో పోల్చినపుడు విస్మరించవచ్చును. అప్పుడు

ప్రశ్న 6.
స్థిర విద్యుత్ శాస్త్రంలోని గాస్ నియమాన్ని తెలిపి, దాని ప్రాముఖ్యతను వివరించండి. [TS. Mar.’15]
జవాబు:
గాస్ నియమము :
“ఏదైనా సంవృత తలం ద్వారా పోవు మొత్తం విద్యుత్ అభివాహం, తలం ఆవరించి ఉన్న నికర ఆవేశంనకు \(\frac{1}{\varepsilon_0}\) రెట్లు ఉండును.

ఇక్కడ S తలముచే ఆవరించబడిన మొత్తం ఆవేశం q, \(\oint_S\) సంవృత తలము యొక్క తల సమాకలనంను సూచించును.

ప్రాముఖ్యత :

1. సంవృత తలము నిర్మించుటకు వీలున్న లెక్కలలో విద్యుత్ క్షేత్రం తీవ్రతను గణించుటకు గాస్ నియమం ఉపయోగపడుతుంది.
2. పదార్థం లేకపోయినా, దాని ఆకారం మరియు పరిమాణం ఎలా ఉన్నా, ఏదైనా సంవృత తలంనకు గాస్ నియమమును వర్తింపచేయవచ్చును,
3. సౌష్టవతను భావించి, గాస్ నియమ అనువర్తనంతో ఎక్కువ లెక్కలను చాలా తేలికగా చేయవచ్చును.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
విద్యుత్ అభివాహాన్ని నిర్వచించండి. గాస్ నియమాన్ని అనువర్తించి అనంతమైన, తిన్నని పొడవాటి ఆవేశిత తీగ వల్ల కలిగే విద్యుత్ తీవ్రతకు సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి. (విద్యుత్ క్షేత్రం ప్రతి బిందువు వద్ద రేడియల్ క్షేత్రమని, తీగనుంచి బిందువు ఉండే త్రైజ్యా దూరం పైనే ఆధారపడుతుందని అనుకోండి).
జవాబు:
విద్యుత్ అభివాహం :
వైశాల్యంనకు లంబంగా పోవు విద్యుత్ బలరేఖల సంఖ్యను విద్యుత్ అభివాహం (Φ) అంటారు.
విద్యుత్ అభివాహం Φ = \(\overrightarrow{E}.\overrightarrow{A}\) అభివాహం ఒక సదిశ.

అనంతమైన, తిన్నని పొడవాటి ఆవేశిత తీగవల్ల విద్యుత్ తీవ్రతకు సమాసము :
1) ఒక అనంతమైన తిన్నని పొడవాటి ఆవేశ తీగ, ఏకరీతి రేఖీయ ఆవేశ సాంద్రత ”గా భావిద్దాం.

3) l పొడవు, r వ్యాసార్థము గల సహాక్ష స్థూపాకార గాసియన్ తలంను నిర్మిద్దాం. సౌష్టవము వల్ల విద్యుత్ క్షేత్రం, ఆవేశ తీగకు లంబంగా ఊహించవచ్చును.

4) AB మరియు CD సమతల తలాలు, తీగకు లంబంగా ఉండును. AB మరియు CD తలంపై ds,, మరియు ds చిన్న వైశాల్యాలు తీసుకుందాము. అవి \(\overrightarrow{E}\) కు లంబము. వాని నుండి వచ్చు అభివాహం శూన్యం.

ప్రశ్న 2.
స్థిర విద్యుత్ శాస్త్రంలోని గాస్ నియమాన్ని తెలపండి. గాస్ నియమాన్ని అనువర్తించి అనంత సమతల ఆవేశిత పలక వల్ల ఏర్పడే విద్యుత్ తీవ్రతకు సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
గాస్ నియమము :
“ఏదైనా సంవృత తలం ద్వారా పోవు మొత్తం విద్యుత్ అభివాహం, తలం ఆవరించి ఉన్న నికర ఆవేశంనకు \(\frac{1}{\varepsilon_0}\) రెట్లు ఉండును”.

అనంత సమతల ఆవేశ పలక వల్ల Eకు సమాసము :
1) అనంత సమతల ఆవేశ పలకను భావిద్దాం. ఆ తలంపై ఆవేశం ఏకరీతి వితరణ కలిగి ఉందని భావిద్దాం.
2) ఆ తలంపై ఏకరీతి ఆవేశ సాంద్రత σ = \(\frac{dq}{dS}\). ఇక్కడ dq చిన్న వైశాల్యం ds పై ఆవేశము.
3) 2. పొడవు ఉన్న ABCD క్షితిజ సమాంతర స్థూపాకార గాసియన్ ఉపరితలంను, అనంత సమతల ఆవేశిత తలంనకు లంబంగా నిర్మిద్దాం.
4) AD మరియు BC సమతలాలు పలక తలంనకు సమాంతరంగా మరియు తలం నుండి సమాన దూరంలో ఉండును.
5) ఈ ఉపరితలాల వైశాల్యాలు ds₁ మరియు ds₂. ఇవి \(\overrightarrow{E}\) కు సమాంతరము. ఈ రెండు ఉపరితలాల ద్వారా పోవు అభివాహం శ్రీ \(\oint \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{S}}=\oint \mathrm{EdS}=\mathrm{E}(\mathrm{S}+\mathrm{S})=2 \mathrm{ES}\) ఇక్కడ AD లేక BC సమతల తల వైశాల్యం S. రెండు వైశాల్యాలు మరియు తీవ్రతలు సమానం.
6) AB మరియు CD స్థూపాకార ఉపరితలంను భావిద్దాం. వానిపై చిన్న వైశాల్యాలు ds₃ మరియు ds₄ తీసుకుందాం. ఈ ఉపరితలాలు విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత E కు లంబము.

ప్రశ్న 3.
గాస్ నియమాన్ని అనువర్తించి ఆవేశిత వాహక గోళాకార కర్పరం వల్ల ఏర్పడే విద్యుత్ క్షేత్రానికి సమాసాలను
(i) కర్పరం వెలుపలి బిందువు వద్ద, (ii) కర్పరం ఉపరితలంపై గల బిందువు వద్ద, (iii) కర్పరం లోపల బిందువు వద్ద ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
ఆవేశ వాహక గోళాకార కర్పరం వల్ల E కు సమాసము:
1) ఏకరీతి ఆవేశ గోళాకార కర్పరంను భావిద్దాం. దానిపై ఆవేశం ‘q’ మరియు వ్యాసార్ధం R.

2) కర్పరంను ఏకరీతిగా ఆవేశపరిచినప్పుడు, ఏ బిందువు వద్దనైనా విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత ‘O’ నుండి రేడియల్ దూరం ‘I’ పై ఆధారపడును. E దిశ కేంద్రం నుండి వ్యాసార్థం వెంట దూరంగా ఉండును.

i) కర్పరం వెలుపల బిందువు వద్ద E :
1) గోళాకార కర్పరం వెలుపలఁదూరంలో ఉన్న బిందువుని భావిద్దాం. వ్యాసార్థంగల గాసియన్ ఉపరితలంను (r > R) నిర్మిద్దాం.

ii) కర్పరం ఉపరితలంపై బిందువు వద్ద E:

1) r = R వ్యాసార్థం ఉన్న గాసియన్ ఉపరితలంను నిర్మిద్దాం.
2) ఈ తలం ద్వారా పోవు మొత్తం అభివాహం.

3) ∴ గోళాకార కర్పరంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద తీవ్రత
E = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)

iii) కర్పరం లోపలి బిందువు వద్ద E :
1) కర్పరం లోపల ఒక బిందువును భావిద్దాం. r వ్యాసార్థం ఉన్న గాసియన్ ఉపరితలం (r < R) ను నిర్మిద్దాం. కర్పరము లోపల ఆవేశం శూన్యం.

2) ఆవేశ గోళాకార కర్పరం లోపలి ఏదైనా బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత శూన్యం.

అభ్యాసాలు Textual Exercises

ప్రశ్న 1.
ఒక్కొక్కటి 0.20g ద్రవ్యరాశి గల రెండు చిన్నవైన, సర్వసమానమైన బంతులు సమాన ఆవేశాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. వీటిని సమాన పొడవుగల రెండు దారాలతో వేలడదీశారు. దారాల మధ్య కోణం 60° ఉండే విధంగా ఆ బంతులు తమకుతామే సమతాస్థితిలోకి వచ్చాయి. బంతుల మధ్య దూరం 05 m అయితే బంతులపై ఉండే ఆవేశం ఎంత?
సాధన:
ఇచ్చినవి m = 0.20 g = 0.2 × 10^-3 kg; θ = 60°

∴ ప్రతి బంతిపై ఆవేశం, q = 1.79 × 10^-7 C.

ప్రశ్న 2.
ఒక్కొక్కటి q ఆవేశం గల అనంతమైన ఆవేశాలను X-అక్షంపై మూల బిందువు నుంచి 1, 2, 4, 8, ……………. మీటర్ దూరాల వద్ద ఉంచారు. మూల బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం ఎంత?
సాధన:
q₁ = q₂ = q₃ = q₄ = …………. = q గా తీసుకుందాము
r₁ = 1; r₂ = 2; r₃ = 4; r₄ = 8,
మూల బిందువు ‘O’ వద్ద ఫలిత విద్యుత్ క్షేత్రం

ప్రశ్న 3.
గడియారంలోని డయల్పై ఉండే అంకెల వద్ద -9, -24, -3q, ………… -12q ఆవేశాలను బిగించారు. బిందు ఆవేశాలు ఉత్పత్తి చేసే విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని గడియారంలోని ముల్లులు ఆటంకపరచవు. ఏ సమయం వద్ద గంటల ముల్లు డయల్ కేంద్రం వద్ద ఉండే విద్యుత్ క్షేత్ర దిశలో ఉంటుంది?
సాధన:
‘O’ వద్ద ఉన్న ప్రమాణ ఆవేశం నుండి ప్రతి ఆవేశం దూరం = r.
ఫలిత క్షేత్ర తీవ్రత, E = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{6 q}{r^2}\) [∵ -6q – (-12q)]
OX నిర్దేశ అక్షము. OX-అక్షంతో ఫలిత క్షేత్రాల కోణాలు పటంలో చూపబడినవి.


∴ గంటల ముల్లు డయల్ కేంద్రం వద్ద 9.30 చూపును.

ప్రశ్న 4.
E = 3 × 10³ N/C పరిమాణం గల ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని పరిగణించండి. (a) yz తలాన్ని సమాంతరంగా తలాన్ని కలిగి ఉండే భుజానికి 10 cm పొడవు గల చతురస్రం ద్వారా క్షేత్ర అభివాహం ఎంత? (b) చతురస్రం తలానికి గీచిన లంబం X అక్షంతో 60° కోణం చేసే విధంగా ఉంటే చతురస్రం ద్వారా అభివాహం ఎంత?
సాధన:

a) ఇచ్చినవి E = 3 × 10³ N/C
S = 10²cm²
= 10² x (10^-2m)² = 10²m²
θ = 0°
Φ = ES cos θ
= 3 × 10³ × 10^-2 × cos 0°
∴ Φ = 30 Nm²C^-1
60° Φ = ES cos θ
× 10³ × 10^-2 × cos 60°
∴ Φ = 15 Nm²C^-1

ప్రశ్న 5.
Qపరిమాణం గల 4 ఆవేశాలు కలవు. వీటిలో రెండు ధనాత్మకం, రెండు రుణాత్మకం. వీటిని ‘ L’ భుజంగాగల చతురస్రం శీర్షాల వద్ద ప్రతి మూల వద్ద ఒకటి ఉండేట్లు ప్రతి ఆవేశంపై పనిచేసే బల దిశ కేంద్రం వైపు ఉండే విధంగా అమర్చారు. ప్రతి ఆవేశం అనుభవించే నికర విద్యుత్ బల పరిమాణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
ఒక ప్రదేశంలోని విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని \(\overrightarrow{E}\) = \(a\hat{i}+b\hat{j}\) సూచిస్తుంది. ఇక్కడ a, b లు స్థిరాంకాలు, y zతలానికి సమాంతరంగా ఉండే L భుజంగా గల చతురస్ర వైశాల్యం ద్వారా పోయే నికర అభివాహాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
r వ్యాసార్థం గల బోలు గోళాకార కర్పరం ఆ ఏకరీతి ఆవేశ సాంద్రతను కలిగి ఉంది. కర్పరం కేంద్రం, ఘనం కేంద్రంతో ఏకీభవించే విధంగా దీన్ని 3 అంచుగల సమఘనంలో ఉంచారు. ఘనం తలం నుంచి బహిర్గతం అయ్యే విద్యుత్ అభివాహాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
గోళాకార కర్పరం, ఆవేశం = q అనుకుందాము.

ప్రశ్న 8.
ఒక విద్యుత్ డైపోల్ 2l దూరంలో ఉండే +Q, -Q అనే రెండు సమాన, వ్యతిరేక ఆవేశాలను కలిగి ఉంది. ఆవేశాలకు సరేఖీయంగా(collinear) P అనే బిందువు ఉంది. ధనావేశం నుంచి P దూరం, రుణావేశం నుంచి P ఉండే దూరంలో సగం అయితే P వద్ద విద్యుత్ తీవ్రత
సాధన:

ప్రశ్న 9.
λ, 2λ ఏకరీతి రేఖీయ ఆవేశ సాంద్రతలు గల రెండు అనంతమైన పొడవుతో ఉండే తిన్నని తీగలను r దూరంలో సమాంతరంగా అమర్చారు. రెండింటికి మధ్య దూరంలో ఉండే బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత,
సాధన:

రెండు సమాంతర, అనంతమైన పొడవు గల తిన్నని తీగల మధ్యదూరం = r
అనంత పొడవు గల తిన్నని తీగవల్ల విద్యుత్ క్షేత్రం E = \(\frac{\lambda}{2 \pi\varepsilon_0r}\)


∴ మధ్య బిందువు వద్ద విద్యుత్ తీవ్రత, E = E₂ – E₁ = 2E₁ – E₁ = E
∴ E = \(\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0r}\)

ప్రశ్న 10.
λ, 3λ. ఏకరీతి రేఖీయ ఆవేశ సాంద్రతలు గల రెండు అనంతమైన పొడవుతో ఉండే తిన్నని తీగలను దూరంలో సమాంతరంగా అమర్చారు. రెండింటికి మధ్య దూరంలో ఉండే బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత.
సాధన:
ఇచ్చినవి λ₁ =λ, λ₂ = 3λ.

ప్రశ్న 11.
m ద్రవ్యరాశి, ఆ ఆవేశం గల ఎలక్ట్రాన్ను తొలివేగంతో E క్షేత్ర తీవ్రత గల ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రానికి లంబంగా తుపాకీతో పేల్చారు. పేల్చిన దిశలోనే ఎలక్ట్రాన్ క్షేత్రంలో X దూరం ప్రయాణిస్తే, అది పొందే తిర్యక్ స్థానభ్రంశం y విలువ ఎంత?
సాధన:
ఇచ్చినవి m_e = m; q = e; d = x; u_x = u; u_y = 0
పలకల మధ్య విద్యుత్ క్షేత్రం = E

అదనపు అభ్యాసాలు Additional Exercises

ప్రశ్న 1.
2 × 10^-7 C, 3 × 10^-7 C ఆవేశాలు గల రెండు చిన్న గోళాలను గాలిలో 30 cm ఎడంతో ఉంచారు. వాటి మధ్య పనిచేసే బలం ఎంత?
సాధన:
q₁ = 2 × 10^-7 C; q₂ = 3 × 10^-7 C; r = 30 cm = 30 × 10^-2m; F = ?

∴ F = 6 × 10^-3 N.

ప్రశ్న 2.
0.4µC ఆవేశం గల చిన్న గోళంపై -0.8 C ఆవేశం గల మరొక గోళం గాలిలో కలగచేసే స్థిర విద్యుత్ బలం 0.2N.. అయితే (a) రెండు గోళాల మధ్య దూరం ఎంత? (b) రెండో గోళంపై మొదటి గోళం వల్ల కలిగే బలం ఎంత?
సాధన:
a) q₁ = 0.4 µc = 0.4 × 10^-6 C
r₂ = – 0.8 µc = 0.8 × 10^-6 C
F = 0.2 N; r = ?

మొదటి గోళం వల్ల రెండవ గోళంపై బలం అంతే ఉండును.
i.e., 0.2 N.

ప్రశ్న 3.
ke²/G m_em_p అనే నిష్పత్తికి మితులు లేవని సరిచూడండి. భౌతిక స్థిరాంకాల పట్టికను పరిశీలించి, ఈ నిష్పత్తి విలువను నిర్ణయించండి. నిష్పత్తి డేన్ని తెలియచేస్తుంది?
సాధన:

ఇచ్చిన నిష్పత్తి మితిరహితం.
K = 9 × 10⁹ Nm²c^-2, e = 1.6 × 10^-19 C;
G = 6.67 × 10^-11 N/m²/kg²
m_e = 9.1 × 10^-31 kg మరియు m_p = 1.66× 10^-27 kg
\(\frac{Ke^2}{Gm_em_p}\) = 2.29 × 10³⁹
ఇదియే ఎలక్ట్రాన్ మరియు ప్రోటాన్ ల మధ్య స్థిర విద్యుత్ బలం మరియు గురుత్వాకర్షణ బలంల మధ్య నిష్పత్తి.

ప్రశ్న 4.
a) ఒక వస్తువు విద్యుదావేశం క్వాంటీకరణం చెందింది అనే ప్రవచనం అర్థాన్ని వివరించండి.
b) స్థూల లేదా బృహధ్శాన ఆవేశాలతో వ్యవహరించేటప్పుడు క్వాంటీకరణాన్ని ఎందుకు ఉపేక్షిస్తారు ?
సాధన:
a) విద్యుత్ ఆవేశ వస్తువు క్వాంటీకృతమైనది అంటే ఆ వస్తువు ఆవేశం నిర్దిష్ట విలువలు కలిగి ఉండును. వస్తువుపై ఆవేశం ఎల్లప్పుడు ప్రాథమిక ఆవేశం అయిన ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశంనకు పూర్ణాంక గుణిజాలుగా ఉండును. వస్తువుపై ఆవేశంనుq = ± ne గా వ్యక్తపరుస్తారు. ఇక్కడ n = సరఫరా అయిన ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్యకు సమానం మరియు e = ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం. క్వాంటీకరణంనకు కారణం ఒక వస్తువు నుండి మరొక వస్తువుకు ఎలక్ట్రాన్లు పూర్ణాంక గుణిజాలుగా సరఫరా జరుగుటయే.

b) ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశము 1.6 × 10^-19 C. ఈ విలువ స్వల్పము, కావున స్థూల లేదా బృహద్మాన ఆవేశాలతో వ్యవహరించేటప్పుడు క్వాంటీకరణంను ఉపేక్షిస్తారు.

ప్రశ్న 5.
గాజు కడ్డీని సిల్క్ గుడ్డతో రుద్దినప్పుడు రెండింటిపై ఆవేశాలు కనిపిస్తాయి. ఇదే దృగ్విషయాన్ని ఇంకా ఎన్నో జతల వస్తువుల విషయంలోనూ గమనించడమైంది. ఈ పరిశీలన ఆవేశ నిత్యత్వ నియమంతో ఏ విధంగా సుసంగతం అవుతుంది? వివరించండి.
సాధన:
ఆవేశ నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము, ఆవేశం సృష్టించబడదు. మరియు నాశనం కాదు. కాని ఒక వస్తువు నుండి మరియొక వస్తువుకు బదిలీ జరుగును. రెండు వస్తువులు రుద్దక ముందు రెండు తటస్థముగా ఉండును. వ్యవస్థ మొత్తం ఆవేశం స్థిరం. గాజు కడ్డీని, సిల్క్ గుడ్డతో రుద్దితే, గాజుకడ్డీ నుండి సిల్క్ గుడ్లలోనికి ఎలక్ట్రాన్ లు బదిలీ జరుగును. కావున గాజుకడ్డీ ధనావేశంను, సిల్క్ గుడ్డ రుణావేశంను పొందును.

గాజు కడ్డీని సిల్క్ గుడ్డతో రుద్దిన తరువాత వ్యవస్థ మొత్తం ఆవేశం శూన్యం. ఇది ఆవేశ నిత్యత్వ నియమమును కలిగి ఉంటుంది. ఇక్కడ ఆవేశాలు సమానంగా మరియు విజాతి జంటలుగా సృష్టించబడును.

ప్రశ్న 6.
10cm భుజంగాగల ABCD చతురస్రం శీర్షాల వద్ద q_A = 2 µC, q_B = -5 µC, q_C = 2 µC, q_D = -5 µC అనే నాలుగు బిందు ఆవేశాలున్నాయి. చతురస్రం కేంద్రం వద్ద ఉంచిన 1 µC ఆవేశంపై పనిచేసే బలం ఎంత?
సాధన:


O వద్ద ఉన్న lµC ఆవేశంపై A మరియు C ల
వద్ద ఉన్న 2µC ఆవేశాల వల్ల ఆకర్షణ బలాలు సమానం మరియు వ్యతిరేకం. అందువల్ల అవి రద్దు అవుతాయి. ఇదే విధంగా, వద్ద ఉన్న 1µC ఆవేశంపై, B మరియు Dల వద్ద ఉన్న – 5µC ఆవేశాల వల్ల ఆకర్షణ బలాలు సమానం మరియు వ్యతిరేకం. అందువల్ల అవి రద్దు అవుతాయి. కావున O వద్ద 1µC ఆవేశంపై ఫలితబలం శూన్యం.

ప్రశ్న 7.
a) స్థిర విద్యుత్ క్షేత్రరేఖ ఒక అవిచ్ఛిన్న వక్రం. అంటే, క్షేత్ర రేఖ ఎలాంటి అంతరాలను కలిగి ఉండదు. ఎందుకు?
b) రెండు క్షేత్ర రేఖలు పరస్పరం ఏ బిందువు వద్ద అయిన ఎందుకు ఖండించుకోవో వివరించండి.
సాధన:
a) విద్యుత్ క్షేత్ర రేఖ, విద్యుత్ క్షేత్రంలో ప్రమాణ ధనావేశం ప్రయాణించి వాస్తవ పథము అవిచ్ఛిన్న వక్రంను సూచిస్తుంది. రేఖ అకస్మాత్తుగా తెగితే, ప్రమాణ ఆవేశం ఒక ప్రదేశం నుండి మరొక ప్రదేశంనకు దూకుటను తెలుపును. ఇది అసాధ్యం. దాని అర్ధం తెగిన ప్రదేశం వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం శూన్యం. ఇది అసాధ్యం. కావున క్షేత్ర రేఖ అంతరాలను కలిగి ఉండదు.

b) రెండు క్షేత్ర రేఖలు ఒక దానితో మరొకటి ఖండించుకొంటే ఖండన బిందువు వద్ద గీసిన రెండు స్పర్శ రేఖలు, రెండు విద్యుత్ క్షేత్ర దిశలను తెలుపవలెను. ఒక బిందువు ఒకేసారి రెండు దిశలను సూచించదు. కావున రెండు క్షేత్ర రేఖలు ఏ బిందువు వద్ద కూడా ఖండించుకోవు.

ప్రశ్న 8.
శూన్యంలో q_A = 3 µC, qg = -3 µC అనే రెండు బిందు ఆవేశాలు 20 cm దూరంలో ఉన్నాయి.
a) రెండు ఆవేశాలను కలిపే AB రేఖ మధ్య బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం ఎంత?
b) ఈ బిందువు వద్ద 1.5 × 10^-19 C పరిమాణం గల శోధన రుణావేశాన్ని ఉంచితే, శోధన ఆవేశం అనుభూతికి లోనయ్యే బలం ఎంత?
సాధన:

a) q_A = 3 µC = 3 × 10^-6
q_B = -3 µC = -3 × 10^-6 C, AB = 20 cm
r = OA = OB = 10 cm = 10^-1 m, E = ?

b) ‘O’ వద్ద ఉన్న q = -1.5 × 10^-9 C
ఆవేశంపై బలం, F = qE = -1.5 × 10^-9 × (5.4 × 10⁶) N
F = -8.1 × 10^-3 N, OA వెంట

ప్రశ్న 9.
ఒక వ్యవస్థలో A : (0, 0, -15 cm), B(0, 0, + 15 cm) బిందువుల వద్ద q_A = 2.5 × 10^-7 C, q_B = -2.5 × 10^-7 C అనే బిందు ఆవేశాలున్నాయి. ఈ వ్యవస్థ మొత్తం ఆవేశం, విద్యుత్ ద్విధ్రువ (డైపోల్) భ్రామకం ఎంత?
సాధన:

q_A మరియు q_B ఆవేశాలు Z – అక్షంపై (0, 0, -15) మరియు B (0, 0, 15) బిందువుల వద్ద పటంలో చూపినట్లు ఉన్నాయి. అవి విద్యుత్ (డైపోల్) ద్విధ్రువంను ఏర్పరచును. మొత్తం ఆవేశం
q = q = q_A + q_B = 2.5 × 10^-7 – 2.5 × 10^-7 = 0
AB = 15 + 15 = 30cm = 30 × 10^-2m.

విద్యుత్ ద్విధ్రువం (డైపోల్) భ్రామకం, P = ఒక ఆవేశం × AB
= 2.5 × 10^-7 × (30 × 10^-2)
= 7.5 × 10^-8 c – m
\(\overrightarrow{P}\) దిశ BA వెంట i. e., రుణాత్మక Z-అక్షం వెంట పనిచేయును.

ప్రశ్న 10.
4 × 10^-9 Cm డైపోల్ భ్రామకం గల విద్యుత్ డైపోల్ 5 × 10⁴ NC^-1 పరిమాణం గల ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రం దిశతో 30° కోణం చేసే విధంగా అమరి ఉంది. డైపోల్పై పనిచేసే టార్క్ పరిమాణాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:

P = 4 × 10^-9 Cm; 6 = 30°, E = 5 × 10⁴ N C^-1, τ = ?
τ = PE sin θ = (4 × 10^-9) × (5 × 10⁴) sin 30°
= 4 × 5 × 10^-5 × \(\frac{1}{2}\) = 10^-4 N-m

ప్రశ్న 11.
ఉన్నితో రుద్దిన పాలిథీన్ ముక్కపై రుణావేశం 3 × 10^-7 C ఏర్పడినట్లు గుర్తించారు.
a) బదిలీ అయ్యే ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్యను అంచనా వేయండి (ఇవి దేని నుంచి దేనికి)
b) ఉన్ని నుంచి పాలిథీన్కు ద్రవ్యరాశి బదిలీ అవుతుందా?
సాధన:

a) q = -3 × 10^-7 C, ఎలక్ట్రాన్పై ఆవేశం,
e = -1.6 × 10^-19 C
∴ ఉన్ని నుండి పాలిథీన్ ముక్కలోకి బదిలీ అయిన ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్య,

b) ద్రవ్యరాశి బదిలీ ఉండును.
ప్రతి ఎలక్ట్రాన్ ద్రవ్యరాశి = 9 × 10^-19 kg
పాలిథీన్ లోనికి బదిలీ అయిన ద్రవ్యరాశి = 2 × 10¹² × 9 × 10^-31 kg
= 1.8 × 10^-18 kg

ప్రశ్న 12.
a) రెండు విద్యుత్ బంధిత, ఆవేశిత రాగి గోళాలు A, B ల కేంద్రాల మధ్య దూరం 50 cm. ఒక్కొక్క దానిపై 6.5 × 10^-7 C ఆవేశం ఉంటే, వాటి మధ్య పనిచేసే స్థిర విద్యుత్ వికర్షణ బలం ఎంత? A, B ల మధ్య దూరంతో పోల్చితే వాటి వ్యాసార్థాలు ఉపేక్షణీయం.
b) వాటిపై ఆవేశాన్ని రెట్టింపు చేసి, మధ్య దూరాన్ని సగానికి తగ్గిస్తే వాటి మధ్య వికర్షణ బలం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 13.
అభ్యాసం 2లోని A, B గోళాల పరిమాణాలు సర్వసమానమని ఊహించండి. అంతే పరిమాణం గల, ఆవేశితం కాని మూడో గోళాన్ని మొదటి గోళంతో స్పర్శింపచేసి తిరిగి రెండో గోళాన్ని తాకించి, చివరకు రెండింటి నుంచి తొలగిస్తే A, B ల మధ్య పనిచేసే కొత్త వికర్షణ బలం విలువ ఎంత ?
సాధన:
A పై ఆవేశం = 6.5 × 10^-7 C
B పై ఆవేశం = 6.5 × 10^-7 C

వాని పరిమాణంలు సమానం. అంతే పరిమాణం ఉన్న ఆవేశంలేని మూడవగోళం C ను A కు దగ్గరగా తెచ్చి స్పృశించితే, వాని ఆవేశాలను
సమానంగా పంచుకొనును.
∴ A పై ఉన్న ఆవేశం, q₁ = \(\frac{6.5\times10^{-7}}{2}\) = 3.25 × 10^-7C
3.25 × 10^-7 C ఆవేశం ఉన్న గోళం Cను 6.5 × 10^-7 C ఆవేశం ఉన్న గోళం B దగ్గరకు తెచ్చి స్పృశించితే, వాని పరిమాణాలు సమానం కావున B మరియు C గోళాలు సమానంగా పంచుకుంటాయి.

ప్రశ్న 14.
ఏకరీతి స్థిర విద్యుత్ క్షేత్రంలో ప్రయాణించిన మూడు ఆవేశ కణాల పథాలను పటం చూపుతోంది. మూడు కణాల ఆవేశ సంజ్ఞలను ఇవ్వండి. ఏ కణం అత్యధిక ఆవేశ, ద్రవ్యరాశి నిష్పత్తిని కలిగి ఉంటుంది?

సాధన:
ఆవేశ కణాలు, వ్యతిరేక ఆవేశ పలకలవైపు అపవర్తనం చెందును. కావున కణాలు (1) మరియు (2) లు రుణావేశాలు మరియు కణం (3) ధనావేశం.

స్థానభ్రంశం y ∝ (\(\frac{e}{m}\)) . అన్ని కణాలు ఒకే వేగంతో విద్యుత్ క్షేత్రంలోనికి ప్రవేశిస్తే, కణం 3 గరిష్ట y విలువ అనగా ఎక్కువ ఆవేశం మరియు ద్రవ్యరాశి నిష్పత్తి కలిగి ఉండును.

ప్రశ్న 15.
ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రం E = 3 × 10³ \(\hat{i}\)N/C ని పరిగణించండి.
(a) yz తలానికి సమాంతరంగా ఉండే 10 cm భుజంగా గల చతురస్రం ద్వారా క్షేత్ర అభివాహం ఎంత?
(b) చతురస్రం తలానికి గీచిన లంబం X అక్షంతో 60° కోణం చేస్తే దాని ద్వారా అభివాహం ఎంత?
సాధన:

\(\overrightarrow{E}\) = 3 × 10³ \(\hat{i}\) N/C i. e., ధన X-అక్షం వెంట క్షేత్రం ఉండును.
ఉపరితల వైశాల్యం, S = (10cm)² = 10² cm²
= 10² × 10^-4 m² = 10^-2m²

a) తలం, YZ తలానికి సమాంతరంగా ఉంటే θ = 0°
Φ_E = ES cos θ° = 3 × 10³ × 10^-2 × cos 0°
= 30 Nc^-1 m²

b) X అక్షంతో తలానికి గీసిన లంబము చేయు కోణం 60,
అప్పుడు θ = 60°
Φ_E = ES cos θ = 3 × 10³ × 10^-2 × cos 60° = 30 × \(\frac{1}{2}\) = 15 NC^-1 m².

ప్రశ్న 16.
అభ్యాసం 15లో సూచించిన ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రంలో తలాలు నిరూపకతలాలకు సమాంతరంగా ఉండే విధంగా అమర్చితే 20 cm భుజంగాగల ఘనం నుంచి వచ్చే నికర అభివాహం ఎంత?
సాధన:
ఘనంలోనికి మరియు వెలుపలకు వెళ్ళు బలరేఖల సంఖ్య సమానం. కావున ఘనంపై నికర అభివాహం శూన్యం.

ప్రశ్న 17.
ఒక పెట్టె ఉపరితలం వద్ద విద్యుతక్షేత్రంపై జాగ్రత్తగా చేసిన కొలత, ఆ తలం నుంచి బహిర్గతం అయ్యే నికర అభివాహం 8.0 × 10³ Nm²/C అని సూచించింది.
(a) పెట్టెలోని నికర ఆవేశం ఎంత?
(b) పెట్టె ఉపరితలం ద్వారా బహిర్గతం అయ్యే నికర అభివాహం శూన్యం అయితే పెట్టెలోపల ఎలాంటి ఆవేశాలు లేవని మీరు నిశ్చయిస్తారా? ఎందుకు లేదా ఎందుకు కాదు?
సాధన:
a) Φ_E = 8.0 × 10³ N C^-1 m², q = ? Φ_E = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\)
q = ε_o Φ_E = (8.85 × 10^-12) (8.0 × 10³)
= 0.07 × 10^-6 C = 0.07C

b) Φ_E =0, q=0; ∑q = 0ie, పెట్టె లోపల ఆవేశాల బీజీయ. మొత్తం శూన్యం లేక పెట్టె లోపల ఆవేశం ఉండదు.

ప్రశ్న 18.
పటంలో చూపిన విధంగా 10 cm భుజంగా ఉండే చతురస్రం కేంద్రం నుంచి 5 cm ఎత్తులో +10 µC ఆవేశం గల బిందు ఆవేశం ఉంది. చతురస్రం ద్వారా విద్యుత్ అభివాహం పరిమాణం ఎంత? (Hint : చతురస్రాన్ని 10 cm అంచుగా ఉండే ఘనం ఒక తలంగా భావించండి.)

సాధన:

పటంలో చూపినట్లు, ABCD చతురస్ర భుజం పొడవు 10 cm.
ABCD చతురస్ర కేంద్రంపైన 5 cm వద్ద + 10 C బిందు ఆవేశం కలదు.
10 cm ప్రక్క భుజం ఉన్న ఘనం ఆరుభుజాలలో ABCD చతురస్రంను భావిద్దాం.
గాస్ సిద్ధాంతం ప్రకారము, ఘనం ఆరు తలాల ద్వారా
-మొత్తం విద్యుత్ అభివాహం = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\)

ప్రశ్న 19.
9.0 cm అంచుగాగల ఘనాకార గాసియన్ ఉపరితలం కేంద్రం వద్ద 2.0 pC బిందు ఆవేశం ఉంది. ఉపరితలం ద్వారా నికర విద్యుత్ అభివాహం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 20.
10am వ్యాసార్థం గల గోళాకార గాసియన్ ఉపరితలం కేంద్రం వద్ద ఉండే బిందు ఆవేశం, తలం నుంచి -1.0 × 10³Nm²/C విద్యుత్ అభివాహాన్ని వెలువరించడానికి కారణం అవుతోంది. (a) గాసియన్ ఉపరితలం వ్యాసార్థాన్ని రెట్టింపు చేస్తే, తలం ద్వారా ఎంత అభివాహం వెళుతుంది? (b) బిందు ఆవేశం విలువ ఎంత?
సాధన:
Φ_E = – 1.0 × 10³ N m²/C, r = 10.0cm

a) గాసియన్ తలం వ్యాసార్థం రెట్టింపు అయితే, తలం ద్వారా పోవు అభివాహం ఒకే విధంగా ఉండును. దీనికి కారణం ఆవేశం లోపల ఉన్న ఆవేశంపై అభివాహం ఆధారపడదు.

b) Φ_E = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\)
∴ q_E = ε_o Φ_E = (8.85 × 10^-12) (-1.0 × 10³) = -8.85 × 10^-9C.

ప్రశ్న 21.
10 cm వ్యాసార్థంలో ఉండే వాహక గోళం కొంత ఆవేశాన్ని కలిగి ఉంది. గోళం కేంద్రం నుంచి 20 cm దూరంలో ఉండే విద్యుత్ క్షేత్రం 1.5 × 10³N/C. క్షేత్రం వ్యాసార్థం దిశలో లోపలికి పనిచేస్తే గోళంపైన ఉండే నికర ఆవేశం ఎంత?
సాధన:
గోళం వ్యాసార్థం = 10 cm
గోళం కేంద్రం నుండి బిందువు దూరం, r = 20 cm = 0.2 m
, విద్యుత్ క్షేత్రం, E =- 1.5 × 10³ N/C
(ఋణ సంజ్ఞ క్షేత్రంలోనికి వెళ్లుటను తెలుపును)
ఆవేశం, q = ?

ప్రశ్న 22.
2.4m వ్యాసం గల ఏకరీతి ఆవేశిత వాహక గోళం 80.0 µC/m² ఉపరితల ఆవేశ సాంద్రతను కలిగి ఉంది.
a) గోళంపై ఆవేశాన్ని కనుక్కోండి.
b) గోళం ఉపరితలాన్ని వదిలి వెళ్ళే ముందు మొత్తం విద్యుత్ అభివాహం ఎంత?
సాధన:
a) D = 2r = 2.4 m = 1.2 m
σ = 80 uc/m2 = 80 × 10^-6 C/m²
గోళంపై ఆవేశం, Q = σ × 4πr² 80 × 10^-6 × 4 × \(\frac{22}{7}\) × (1.2)² = 1.45 × 10^-3C

ప్రశ్న 23.
ఒక అనంత రేఖీయ ఆవేశం 2 cm దూరంలో 9 × 10⁴ N/C క్షేత్రాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తోంది. రేఖీయ ఆవేశ సాంద్రతను లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
రెండు పెద్ద, పలుచని లోహ పలకలు సమాంతరంగా, ఒకదానికి మరొకటి సమీపంగా ఉన్నాయి. వాటి లోపలివైపు ఉపరితలాలపై 17.0 × 10-22 C/m2 పరిమాణంగల సమాన, వ్యతిరేక ఉపరితల ఆవేశ సాంద్రతలున్నాయి.
a) మొదటి పలక వెలుపలి ప్రదేశంలో,
b) రెండవ పలక వెలుపలి ప్రదేశంలో, c) పలకల మధ్య విద్యుత్ క్షేత్రం E విలువలు ఎంత?
సాధన:

a) σ_A = 17.0 × 10^-22 Cm^-2
సిద్ధాంతంలో చెప్పినట్లు మొదటి పలక వెలుపలి ప్రదేశంలో E
E = 0

b) సిద్ధాంతంలో చెప్పినట్లు రెండవ పలక వెలుపలి ప్రదేశంలో
E = 0

ప్రశ్న 25.
మిల్లికాన్ తైల బిందు ప్రయోగంలో 12 ఎలక్ట్రాన్లు అధికంగా ఉండే తైల బిందువుపై 2.55 × 10⁴ NC^-1 స్థిర విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని ప్రయోగించి స్థిరంగా ఉంచారు. నూనె సాంద్రత 1.26 g cm^-3. ద్రవ బిందువు వ్యాసార్థాన్ని అంచనా వేయండి (g = 9.81 ms^-2; e = 1.60 × 10^-19C).
సాధన:

n = 12; E = 2.55 × 10⁴ Vm^-1
ρ = 1.26 gm/cm³ = 1.26 × 10³ kg/m³, r = ?
బిందువు నిశ్చలంగా ఉంటే,
బిందువు భారం = విద్యుత్ క్షేత్రం వల్ల బలం

ప్రశ్న 26.
పటంలో చూపిన వక్రాల్లో ఏవి స్థిర విద్యుత్ క్షేత్రరేఖలను సూచించవు?

సాధన:
a) వాహక తలంనకు 90° వద్ద మాత్రమే స్థిర విద్యుత్ బలరేఖలు మొదలు లేక అంతమవుతున్నాయి. కావున పటం (a) అటువంటి రేఖలను సూచించదు.

b) స్థిర విద్యుత్ బలరేఖలు రుణావేశం నుండి మొదలుకావు. కావున అటువంటి రేఖలను పటం (b) సూచించదు.

c) పటం (c) స్థిర విద్యుత్ బలరేఖలను సూచించును.

d) విద్యుత్ బలరేఖలు ఒకదానికొకటి ఖండించుకోవు. కావున (d) ఇటువంటి రేఖలను సూచించదు.

ప్రశ్న 27.
అంతరాళంలోని నియమిత ప్రాంతంలో అంతా విద్యుత్ క్షేత్రం z–దిశలో ఉంది. కాని, విద్యుత్ క్షేత్రం పరిమాణం మాత్రం స్థిరం కాదు. ఇది ధన z-దిశలో మీటర్ దూరానికి 10⁵ NC^-1చొప్పున ఏకరీతిగా పెరుగుతోంది. డైపోల్ (ద్విధ్రువ) భ్రామకం 10^-7 Cm తో రుణ Z-దిశలో ఉండే వ్యవస్థపై పనిచేసే బలం, టార్క్ల విలువ ఎంత?
సాధన:
z – అక్షం వెంట A వద్ద – q ఆవేశం మరియు B వద్ద +q ఆవేశం గల విద్యుత్ ధ్రువంను భావిద్దాం. రుణ Z దిశలో

ప్రశ్న 28.
a) పటం (a) లో చూపిన విధంగా కోటరాన్ని కలిగి ఉండే వాహకం A కి ఇచ్చిన ఆవేశం Q. మొత్తం ఆవేశం వాహకం బాహ్య ఉపరితలంపైనే కనిపించాలని చూపండి.
b) q ఆవేశంతో ఉండే మరొక వాహకం B ని A తో విద్యుద్బంధితం అయ్యే విధంగా కోటరంలోకి ప్రవేశపెట్టారు. A బాహ్యం ఉండే మొత్తం ఆవేశం Q + q అని చూపండి. (పటం (b). (e) ఒక సున్నితమైన పరికరాన్ని దాని చుట్టూ ఉండే బలమైన స్థిర విద్యుత్ క్షేత్రాల నుంచి రక్షించవలసి ఉంది. సాధ్యమయ్యే ఒక మార్గాన్ని సూచించండి.

సాధన:
a) ఆవేశ వాహకం లోపల నికర క్షేత్రం శూన్యం. i. e., \(\overrightarrow{E}\) = 0.
వాహకం లోపల రంధ్రంను ఆవరించి ఉన్న గాసియన్ తలంను భావిద్దాం. గ్లాస్ నియమము ప్రకారము,

∴ q = 0_i.e., రంధ్రం లోపల ఆవేశం శూన్యం. వాహకంపై మొత్తం ఆవేశం Q, వాహకం వెలుపల తలంపై ఉండును.

b) వాహకం B రంధ్రము వద్ద +q ఆవేశం ఉంచితే, తలంపై -q ఆవేశం వాహకం A వెలుపల +q ప్రేరణ వల్ల ఏర్పడును. A వెలుపల తలం Q ఆవేశం మొదటే ఉంటే దానిపై మొత్తం ఆవేశం (Q + q).

c) పరిసరాలలోని బలమైన విద్యుత్ క్షేత్రం నుండి రక్షించుటకు సున్నితమైన పరికరమును లోహ కవచంలో ఉంచుతారు.

ప్రశ్న 29.
బోలు ఆవేశ వాహకం ఉపరితలంలోకి ఒక చిన్న రంధ్రం ఉంది. రంధ్రంలో విద్యుత్ క్షేత్రం (σ/2ε₀) \(\hat{n}\) అని చూపండి. ఇక్కడ \(\hat{n}\) బహిర్గత లంబ దిశలోని యూనిట్ సదిశ, ఆ రంధ్రం వద్ద ఉపరితల ఆవేశ సాంద్రత.
సాధన:
రంధ్రంనకు సమీపంన ఉపరితల ఆవేశ సాంద్రత = σ
బహిర్గత లంబదిశలో యూనిట్ సదిశ = \(\hat{n}\)
రంధ్రంపై బిందువు P.

ఈ విద్యుత్ క్షేత్రం, వాహక విరామ ఆవేశం వల్ల ఏర్పడే విద్యుత్ క్షేత్రం మరియు రంధ్రంలో విద్యుత్ క్షేత్రంనకు సమానం. వాహకం లోపల రెండు క్షేత్రాలు సమానం మరియు వ్యతిరేకం.

వాహకం లోపల విద్యుత్ క్షేత్రం ఉండదు. వాహకం వెలుపల, విద్యుత్ క్షేత్రాలు సమానం మరియు ఒకే దిశలో ఉండును.

ప్రతి భాగం వల్ల, P వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం \(\frac{1}{2}\) E = E\(\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \hat{\mathrm{n}}\)

ప్రశ్న 30.
గాస్ నియమాన్ని ఉపయోగించకుండా, 2. రేఖీయ ఆవేశ సాంద్రతను ఏకరీతిగా కలిగి ఉండే సన్నని, పొడవాటి తీగ వల్ల ఏర్పడే విద్యుత్ క్షేత్రానికి ఫార్ములాను రాబట్టండి.
[Hint : కూలుమ్ నియమాన్ని నేరుగా ఉపయోగించి అవసరమయిన సమాకలనం విలువ కట్టండి.]
సాధన:
సన్నని AB పొడవాటి తీగ. దాని రేఖీయ సాంద్రత 2. తీగ నుండి PC = r లంబదూరంలో P బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర ఫార్ములాను గణిద్దాం.

తీగ మధ్య బిందువు O నుండి OC = x దూరంలో dx పొడవు ఉన్న చిన్న మూలకాన్ని భావిద్దాం.
మూలకంపై ఆవేశం, q = λdx

∆OCP = θ అయితే \(\overrightarrow{dE}\) ను రెండు అంశాలుగా విడదీయవచ్చును. P వెంట dE cos θ మరియు PF వెంట dE sin θ. క్షితిజ సమాంతర అంశాలు రద్దు అవుతాయి. రేడియల్ అంశాలు కలుస్తాయి.
∴ ఆవేశ మూలకం వల్ల తుల్య అంశ విద్యుత్ తీవ్రత, dE’ = dE cos θ

ప్రశ్న 31.
ప్రోటాన్లు, న్యూట్రాన్లు (సాధారణ ద్రవ్యం కేంద్రాలను ఏర్పరచేవి) కూడా మరింత ప్రాథమిక ప్రమాణాలైన క్వార్క్ నే వాటితో నిర్మితం అవుతాయని ఇప్పుడు నమ్ముతున్నారు. ప్రోటాన్, న్యూట్రాన్ ఒక్కొక్కటి మూడేసి క్వార్క్లను కలిగి ఉంటాయి. +(2/3)e ఆవేశం గల ఎగువ (up) క్వార్క్ (u తో సూచిస్తారు), -1/3 e ఆవేశం గల దిగువ (down) క్వార్క్ (d తో సూచిస్తారు) అని పిలిచే రెండు రకాల క్వార్క్లు, ఎలక్ట్రాన్లతో కలిసి సాధారణ ద్రవ్యం నిర్మితం అవుతుంది. (ఇతర రకాల క్వార్క్లను కూడా కనుక్కొన్నారు. ఇవి అసాధారణ రకాలైన ద్రవ్యాన్ని ఏర్పరుస్తాయి) ప్రోటాన్, న్యూట్రాన్లలో సాధ్యమయ్యే క్వార్క్ సంఘటనాన్ని సూచించండి.
సాధన:
ప్రోటాన్, ఊర్థ్వ క్వార్క్స్ n గా తీసుకుందాము.
∴ అథోక్వార్క్స్ సంఖ్య = (3 – n)

∴ ఊర్ధ్వ క్వార్క్స్ సంఖ్య (u) = 2, అథోక్వార్క్స్ సంఖ్య (d) = 3 – 2 = 1
∴ ఒక ప్రోటాను P గా సూచిస్తే= UUd.
ఒక న్యూట్రాన్లో క్వార్క్స్ సంఖ్య = n గా భావిద్దాం.
∴ అథో క్వార్క్స్ సంఖ్య = (3 – n)
న్యూట్రాన్్ప మొత్తం ఆవేశం= (\(\frac{2}{3}\)e)n – \(\frac{1}{3}\)e (3 – n) = 0
\(\frac{2}{3}\)en -e + \(\frac{1}{3}\)en = 0
en = e, n = 1
ఊర్ధ్వ క్వార్క్స్ (u) సంఖ్య = 1
అథో క్వార్క్స్ (d) సంఖ్య = 3 – 1 = 2
∴ ఒక న్యూట్రాన్ ను n గా సూచిస్తే = udd

ప్రశ్న 32.
a) అనియతమైన స్థిర విద్యుత్ క్షేత్ర ఆకృతిని పరిగణించండి. ఒక చిన్న శోధన ఆవేశాన్ని ఆకృతిలోని శూన్య బిందువు (E = 0 అయ్యే ప్రాంతం) వద్ద ఉంచారు. శోధన ఆవేశం సమతాస్థితి తప్పకుండా అస్థిరం అని చూపండి.
b) సమాన పరిమాణం, ఒకే సంజ్ఞతో కొంత దూరంలో ఉండే రెండు ఆవేశాల సరళ ఆకృతికి కూడా ఈ ఫలితాన్ని సరిచూడండి.
సాధన:
a) మొదట ఒక చిన్న శోధన ఆవేశంను శూన్య బిందువు (E = 0 అయ్యే ప్రాంతం) వద్ద ఉంచారని భావిద్దాం. శోధన ఆవేశంను శూన్య బిందువు నుండి స్థానభ్రంశం చెందిస్తే, శూన్య బిందువు వైపు పునఃస్థాపక బలంను ప్రయోగించును. శూన్య బిందువు చుట్టూ సంవృత తలం ద్వారా లోపలకు నికర అభివాహం ఉంటుందని దీని అర్థం. గాస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఆవేశంను ఆవరించి ఉన్న తలం ద్వారా నికర అభివాహం శూన్యం. కావున శోధన ఆవేశం సమతాస్థితి తప్పకుండా అస్థిరం.

b) సమాన పరిమాణం, ఒకే సంజ్ఞతో కొంత దూరంలో రెండు ఆవేశాలు భావిద్దాం. వాని మధ్య బిందువు వద్ద శూన్య బిందువు ఏర్పడును. శోధన ఆవేశంను శూన్య బిందువు నుండి రేఖపై ప్రక్కకు బరిశిత, పునఃస్థాపక బలం, శోధన ఆవేశంను శూన్య బిందువు తీసుకురావటానికి ప్రయత్నించును. రేఖకు లంబంగా శోధన ఆవేశంను జరిపితే, శూన్య బిందువు నుండి శోధన ఆవేశంను దూరంగా తీసుకువెళ్ళును. కావున సమతాస్థితి తప్పకుండా అస్థిరం.

ప్రశ్న 33.
m ద్రవ్యరాశి, (-q) ఆవేశంతో తొలుత x-అక్షం దిశలో v_x వేగంతో చలించే పటంలోని కణాన్ని పోలిన) కణం రెండు ఆవేశిత పలకల మధ్య ప్రదేశంలోకి ప్రవేశించింది. పలక పొడవు L, పలకల మధ్య ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రం E ని కొనసాగిస్తున్నారు. పలక చివరి అంచు వద్ద కణం పొందే అంబ అపవర్తనం qEL² (2m v_x²) అని చూపండి.
ఈ చలనాన్ని మొదటి సంవత్సరం భౌతికశాస్త్ర పాఠ్యాంశంలో చర్చించిన గురుత్వ క్షేత్రంలోని ప్రక్షేపకం చలనంతో పోల్చండి.
సాధన:


ఈ సందర్భం, గురుత్వ క్షేత్రంలో క్షితిజ ప్రక్షేపకం చలనము y = 7 gt ను ఖచ్చితంగా పోలియున్నది.

ప్రశ్న 34.
అభ్యాసం 33 లోని కణాన్ని v_x = 2.0 × 10⁶ ms^-1 వేగంతో ప్రక్షిప్తం చేసిన ఎలక్ట్రాన్ గా పరిగణించండి. 0.5 cm దూరంతో వేరుచేసిన పలకల మధ్య E విలువ 9.1 × 102 N/C అయితే, పైన ఉండే పలకను ఎలక్ట్రాన్ ఎక్కడ ఢీ కొడుతుంది? (|e| = 1.6 × 10^-19 C, m_e = 9.1 × 10^-31 kg.)
సాధన:

V = 2.0 × 10⁶ ms^-1
E = 9.1 × 10² N/C
d = 0.5cm 5 × 10^-3 m
q = e = 1.6 × 10^-19 C
m_e = 9.1 × 10^-31 kg
ఎలక్ట్రాన్ అపవర్తనంలో పై పలక రెండవ చివర X = L వద్ద తాకితే,

సాధించిన సమస్యలు Textual Examples

ప్రశ్న 1.
ఒక లోహ గోళాన్ని స్పర్శించకుండా దాన్ని మీరెలా ధనావేశితం చేస్తారు?
సాధన:
విద్యుద్భంధక లోహ స్టాండ్పై ఉన్న అనావేశిత లోహ గోళాన్ని పటం చూపుతుంది. పటంలో చూపిన విధంగా రుణావేశిత లోహ కడ్డీని లోహ గోళం వద్దకు తీసుకొనిరండి. కడ్డీని గోళానికి సమీపంగా తీసుకొని రాగానే, వికర్షణతో గోళంలోని స్వేచ్ఛా ఎలక్ట్రాన్లు దూరంగా వెళ్ళి రెండో చివరన పోగవుతాయి. గోళం మొదటి చివర ఎలక్ట్రాన్ల లేమి వల్ల ధనావేశితం అవుతుంది. లోహ లోపలి స్వేచ్ఛా ఎలక్ట్రాన్లపై పనిచేసే నికర బలం శూన్యం కాగానే ఆవేశ వితరణ ప్రక్రియ ఆగిపోతుంది. వాహక తీగతో గోళాన్ని భూమికి అనుసంధానం చేయండి. ఎలక్ట్రాన్లు భూమిలోకి ప్రవహిస్తే, కడ్డీపై ఉండే రుణావేశాల ఆకర్షణ బలంతో గోళం సమీప చివర వద్ద ఉన్న ధనావేశాలు పటం (c)లో చూపిన విధంగా ఉండిపోతాయి. గోళం, భూమి అనుసంధానాన్ని తొలగించండి. సమీప కొన వద్ద ధనావేశాలు అలాగే ఉండిపోతాయి. పటం (d). విద్యుదీకృత కడ్డీని తొలగించండి. పటం (e) లో చూపిన విధంగా ధనావేశం గోళంపై వ్యాపిస్తుంది.

ఈ ప్రయోగంలో లోహ గోళం ప్రేరణ వల్ల ఆవేశాన్ని పొందుతుంది. కడ్డీ తన ఆవేశాన్ని ఎంతమాత్రం కోల్పోదు. ఇదే విధంగా ధనావేశిత కడ్డీని గోళం వద్దకు తెచ్చి దాన్ని ప్రేరణతో రుణావేశితం చేయవచ్చు. ఈ సందర్భంలో ఎలక్ట్రాన్లు భూమి నుంచి గోళానికి, భూమిని, గోళాన్ని సంధానం చేసిన తీగ ద్వారా ప్రవహిస్తాయి.

ప్రశ్న 2.
ఒక వస్తువు నుంచి మరో వస్తువుకు ప్రతి సెకనుకు 10⁹ ఎలక్ట్రాన్లు బయటకు వెళ్తే రెండో వస్తువుపై 1 C ఆవేశం చేరుకొనేందుకు ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన:
ఒక సెకనులో బయటకు వెళ్ళిపోయే ఎలక్ట్రాన్లు 10⁹. కాబట్టి ఒక సెకన్లో ఇచ్చే ఆవేశం
1.6 × 10^-19 × 10⁹C = 1.6 × 10^-10 C. 1 C ఆవేశం పేరుకొనిపోయేందుకు కావలసిన సమయాన్ని ఈ విధంగా అంచనా వేయవచ్చు.

1 C ÷ (1.6 × 10^-10 C/s) = 6.25 × 10⁹ s = 6.25 × 10⁹ ÷ (365 × 24 × 3600 సంవత్సరాలు = 198 సంవత్సరాలు. కాబట్టి ఒక సెకన్కు 10° ఎలక్ట్రాన్లను ఇచ్చే వస్తువు నుంచి ఒక కూలుమ్ ఆవేశాన్ని సేకరించేందుకు మనకు సుమారు 200 సంవత్సరాలు అవసరం. కాబట్టి ఎన్నో ప్రాయోగిక ప్రయోజనాలకు, ఒక కులూమ్ అతి పెద్ద ప్రమాణం.

పదార్థపు ఒక ఘనపు సెంటీ మీటర్ ముక్కలో సుమారుగా ఎన్ని ఎలక్ట్రాన్లుంటాయో తెలుసుకోవడం కూడా అతి ముఖ్యమైందే. 1 cm భుజంగా ఉండే రాగి ఘనపు ముక్కలో సుమారు 2.5 × 10²⁴ ఎలక్ట్రాన్ల ఉంటాయి.

ప్రశ్న 3.
ఒక కప్పు నీటిలో ఉండే ధన, రుణావేశం ఎంత?
సాధన:
ఒక కప్పు నీటి ద్రవ్యరాశి 250 g అని అనుకొంటే, నీటి అణు ద్రవ్యరాశి 18g ఒక మోల్ (= 6.02 × 10²³ అణువులు) నీటి ద్రవ్యరాశి 18 g. కాబట్టి ఒక కప్పు నీటిలోని అణువుల సంఖ్య (250/18) × 6.02 × 10²³.

ప్రతి నీటి అణువులో రెండు హైడ్రోజన్ పరమాణువులు, ఒక ఆక్సిజన్ పరమాణువులుంటాయి. అంటే, దాన్లో 10 ఎలక్ట్రాన్లు, 10 ప్రోటాన్లుంటాయి. అందువల్ల మొత్తం ధానవేశం, మొత్తం ధనావేశం సమాన పరిమాణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ఆవేశ పరిమాణం (250/18) × 6.02 × 10²³ × 10 × 1.6 × 10^-19 C = 1.34 × 10^-7Cకి సమానం.

ప్రశ్న 4.
రెండు బిందు ఆవేశాల మధ్య పనిచేసే స్థిర విద్యుత్ బలానికి కూలుమ్ నియమం, అలాగే రెండు స్థిర (stationary) బిందు ద్రవ్యరాశుల మధ్య పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలానికి న్యూటన్ నియమం రెండూ ఆవేశాలు/ద్రవ్యరాశుల మధ్య ఉండే దూరంపై విలోమ వర్గ ఆధారితమై ఉంటాయి.
(a) (i) ఎలక్ట్రాన్, ప్రోటాను (ii) రెండు ప్రోటాన్లకు వాటి పరిమాణాల నిష్పత్తిని కనుక్కోవడం ద్వారా ఈ బలాలను పోల్చండి.
(b) ఎలక్ట్రాన్, ప్రోటాన్లు 1 Å (= 10^-10 m) దూరంతో ఉన్నప్పుడు వాటి మధ్య పనిచేసే పరస్పర ఆకర్షణ వల్ల ఎలక్ట్రాన్, ప్రోటాన్లు పొందే త్వరణాలను అంచనా వేయండి?
(m_p = 1.67 × 10^-27 kg, m_e = 9.11 × 10^-31 kg).
సాధన:
a)

ii) ఇదే విధంగా r దూరంలో ఉండే రెండు ప్రోటాన్ల మధ్య ఉండే విద్యుత్, గురుత్వ బలాల పరిమాణాల నిష్పత్తి :

అయితే, ఇక్కడ రెండు రకాల బాల సంజ్ఞలు భిన్నమైనవని గమనించాలి. రెండు ప్రోటాన్లకు సంబంధించి గురుత్వ బలం ఆకర్షక స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటే కూలుమ్ బలం వికర్షక స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటుంది. కేంద్రకంలో ఉండే రెండు ప్రోటాన్ల మధ్య ఉండే (కేంద్రకంలో రెండు ప్రోటాన్ల మధ్య దూరం ~10^-15 m) ఈ బలాల నిజ విలువలు F_e ~ 230N అయితే F_G ~ 1.9 × 10^-34 N. విద్యుత్ బలాలు, గురుత్వాకర్షణ బలాల కంటే చాలా ప్రబలమైనవని రెండు బలాల నిష్పత్తి (మితులు లేనిది) సూచిస్తుంది.

b) ఎలక్ట్రాన్ పై ప్రోటాన్ కలుగచేసే విద్యుత్ బలం F పరిమాణం, ప్రోటాన్పై ఎలక్ట్రాన్ కలగచేసే బలం పరిమాణం రెండూ ఒకటే. అయితే, ఎలక్ట్రాన్, ప్రోటాన్ల ద్రవ్యరాశులు మాత్రం భిన్నమైనవి. కాబట్టి బల పరిమాణం

న్యూటన్ రెండవ గమన నియమం, F = ma ని ఉపయోగించి, ఎలక్ట్రాన్ పొందే త్వరణం
a = 2.3 × 10^-8 N/9.11 × 10^-31 kg = 2.5 × 10²² m/s²

దీన్ని గురుత్వ త్వరణం విలువతో పోల్చితే ఎలక్ట్రాన్ చలనంపై గురుత్వ కేక ప్రభావం ఉపేక్షణీయమని, ప్రోటాన్ వల్ల కలిగే కూలుమ్ బలం వల్ల ఎలక్ట్రాన్ చాలా అధిక త్వరణాలను పొందుతుందని మనం ముగించవచ్చు. ప్రోటాన్ త్వరణానికి విలువ 2.3 × 10^-8 N/1.67 × 10^-27 kg = 1.4 × 10⁹ m/s².

ప్రశ్న 5.
ఒక ఆవేశిత లోహ గోళం A ని నైలాన్ దారంతో వేలాడదీశారు. మరొక ఆవేశిత లోహ గోళం B ని విద్యుద్బంధక పిడితో పట్టుకుని పటం (a) లో చూపిన విధంగా (రెండు గోళాల కేంద్రాల మధ్య 10cm దూరం ఉండేట్లుగా) Aకి సమీపంలోకి తీసుకొని వచ్చారు. ఫలితంగా కలిగే A యొక్క వికర్షణను గుర్తించారు. (ఉదాహరణకు గోళాన్ని కాంతి పుంజంతో ప్రకాశింపచేసి తెరపై దాని నీడలో వచ్చే అపవర్తనాన్ని కొలవడం ద్వారా) పటం (b) లో చూపినట్లు A, B గోళాలను ఆవేశరహిత, సర్వసమానాలయిన మరో రెండు గోళాలు C, D లతో పటం (b) లో చూపినట్లు స్పర్శింపచేసారు. C, D లను తొలగించి, కేంద్రాల మధ్య దూరం 5.0 cm ఉండేట్లుగా, పటం (c) లో చూపిన విధంగా B ని సమీపంలోకి తీసుకొనివచ్చారు. కూలుమ్ నియమం ప్రకారం A వికర్షణ ఎంతని ఊహిస్తున్నారు? A, C గోళాలు, B, D గోళాలు ఒకే పరిమాణాలను కలిగి ఉన్నాయి. A, B ల కేంద్రకాల మధ్య దూరంతో పోల్చి, వాటి పరిమాణాలను ఉపేక్షించండి.

సాధన:
A గోళంపై ఉండే మౌలిక (లేదా సహజ) ఆవేశం q అనుకుంటే B పై q’ అనుకోండి. వాటీ కేంద్రాల మధ్య దూరం ఉన్నప్పుడు, ప్రతిదానిపై ఉండే స్థిర విద్యుత్ బలం పరిమాణంతో పోల్చితే A, B గోళాల పరిమాణాలను ఉపేక్షించినప్పుడు
F = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\mathrm{qq}}{\mathrm{r}^2}\)

A ను పోలిన ఆవేశరహిత గోళం C, A ని తాకితే A, C లపై ఆవేశాలు పునర్వితరణ చెంది, సౌష్టవం వల్ల ప్రతి గోళం q/2 ఆవేశం కలిగి ఉంటుంది. ఇదేవిధంగా D, B ని తాకిన తరువాత ప్రతి గోళంపై పునర్వితరణ వల్ల కలిగే ఆవేశం q’/2. A, B ల మధ్య దూరం సగానికి తగ్గిస్తే, ప్రతిదానిపై స్థిర విద్యుత్ బలం పరిమాణం,

కాబట్టి B వల్ల A పై పనిచేసే స్థిర విద్యుత్ బలంలో మార్పులేదు.

ప్రశ్న 6.
l భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజ మూడు శీర్షాల వద్ద మూడు ఆవేశాలు q₁, q₂, q₃లు ప్రతీది q కు సమానంగా, ఉన్నాయనుకోండి. పటంలో చూపిన విధంగా త్రిభుజం కేంద్రాభం (centroid) వద్ద Q (q సంజ్ఞనే కలిగి ఉన్న) ఆవేశాన్ని ఉంచితే దానిపై పనిచేసే బలం ఎంత?

సాధన:
l భుజం పొడవు ఉండే సమబాహు త్రిభుజం ABC లో BC భుజానికి లంబం AD ని గీస్తే

ప్రశ్న 7.
పటంలో చూపిన విధంగా ఒక సమబాహు త్రిభుజం శీర్షాల వద్ద q, q, −q ఆవేశాలను ఉంచారు. ప్రతి ఆవేశంపై పనిచేసే బలం ఎంత?

సాధన:
పటంలో చూపిన విధంగా, A వద్ద ఉండే ఆవేశం q పై B వద్ద ఉండే ఆవేశం q వల్ల, C వద్ద ఉండే q వల్ల పనిచేసే బలాలు వరసగా F12 (BA దిశలో), F13 (AC దిశలో). సమాంతర చతుర్భుజ నియమం ప్రకారం A వద్ద ఉండే ఆవేశం q పై పనిచేసే మొత్తం బలం F, అయితే,
F₁ = F \(\hat{r_1}\)1, ఇక్కడ \(\hat{r_1}\) BC దిశలో ఏకాంక సదిశ

ప్రతి జత ఆవేశాల మధ్య. పనిచేసే ఆకర్షణ లేదా వికర్షణ బలాల పరిమాణాలు సమానం, దీని విలువ F = \(\frac{q^2}{4 \pi\varepsilon_0l^2}\) B వద్ద ఉండే ఆవేశం q పై పనిచేసే మొత్తం బలం F₂ అయితే, F₂ = F\(\hat{r_2}\), ఇక్కడ \(\hat{r_2}\), AC దిశలో ఏకాంక సదిశ. ఇదే విధంగా C వద్ద ఉండే ఆవేశం -q పై పనిచేసే మొత్తం బలం F₃ = √3 F \(\hat{n}\), ఇక్కడ \(\hat{n}\), ∠BCA సమద్విఖండన దిశలోని ఏకాంక సదిశ.

మూడు ఆవేశాలపై పనిచేసే బలాల మొత్తం శూన్యం కావడం అనేది ఆసక్తి కలిగించే అంశం. అంటే,
F₁ + F₂ + F₃ = 0

ప్రశ్న 8.
2.0 × 10⁴ N C^-1 పరిమాణం గల ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రంలో ఎలక్ట్రాన్ 1.5cm దూరం పతనం చెందుతోంది. (పటం a). పరిమాణంలో మార్పులేకుండా క్షేత్ర దిశను వ్యతిరేక దిశలోకి మార్చడం వల్ల ప్రోటాన్ కూడా అంతే దూరం. పతనం చెందింది. (పటం (b)). రెండు సందర్భాల్లో పతన కాలాన్ని లెక్కించండి. దీన్ని గురుత్వ వల్ల స్వేచ్ఛా పతన సన్నివేశంతో భేదపర్చండి.

సాధన:
పటం (a) లో E పరిమాణం గల, క్షేత్రం ఊర్ధ్వ దిశలో ఉంది కాబట్టి రుణావేశిత ఎలక్ట్రాన్ eE పరిమాణం గల అథోబలానికి లోనవుతుంది. ఇక్కడ E విద్యుత్ క్షేత్ర తీవ్రత, ఎలక్ట్రాన్ త్వరణం a_e = eE/m_e.
ఇక్కడ m_e ఎలక్ట్రాన్ ద్రవ్యరాశి

కాబట్టి, భారయుత కణం (ప్రోటాన్) సమాన దూరాన్ని ప్రయాణించేందుకు ఎక్కువ కాలాన్ని తీసుకొంటుంది. ఇదే స్వేచ్ఛాపతన వుస్తువుకు, ఈ సన్నివేశానికి ఉండే ప్రాథమిక భేదం. స్వేచ్ఛాపతన వస్తువు పతన కాలం వస్తువు ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు. ఉదాహరణలో పతన కాలాన్ని లెక్కించడంలో గురుత్వ త్వరణాన్ని ఉపేక్షించామని గమనించండి. ఇది దోషరహితమేనా అని తెలుసుకొనేందుకు ఇచ్చిన విద్యుత్ క్షేత్రంలో ప్రోటాన్ త్వరణాన్ని లెక్కిద్దాం.

ఇది గురుత్వ త్వరణం g (9.8 ms^-2) విలువతో పోల్చితే అత్యధికం. ఎలక్ట్రాన్ త్వరణం మరీ ఎక్కువ కాబట్టి, ఈ ఉదాహరణలో గురుత్వ త్వరణాన్ని ఉపేక్షించవచ్చు.

ప్రశ్న 9.
+10^-8 C, -10^-8 C ఆవేశ పరిమాణం గల q₁, q₂, అనే రెండు బిందు ఆవేశాలను 0.1 m ఎడంతో అమర్చారు. పటంలో చూపిన A, B, C బిందువుల వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రాలను లెక్కించండి.

సాధన:
q₁ ధనావేశం వల్ల A వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర సదిశ E_1A. ఇది కుడివైపు చూపిస్తుంది. దాని పరిమాణం

q₂ రుణావేశం వల్ల A వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర సదిశ E_2A కుడివైపు చూపిస్తుంది. మరియు పై పరిమాణాన్నే (ఒకే విధమైన) కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, A వద్ద మొత్తం విద్యుత్ క్షేత్రం పరిమాణం
E_A = E_1A + E_2A = 7.2 × 10⁴ NC^-1
E_A కుడివైపు దిశలో ఉంటుంది.
q₁ ధనావేశం వల్ల B వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర సదిశ E_1B ఎడమవైపు చూపుతుంది. దీని పరిమాణం

B వద్ద మొత్తం విద్యుత్ క్షేత్రం పరిమాణం = E_B = E_1B – E_2B = 3.2 × 10⁴ N C^-1.
E_B దిశ ఎడమవైపు ఉంటుంది.

బిందువు C వద్ద, q₁, q₂ ఆవేశాల వల్ల కలిగే ప్రతి విద్యుత్ క్షేత్ర పరిమాణం

ప్రశ్న 10.
రెండు ఆవేశాలు ± 10 µC లను 5.0 mm దూరంలో ఉంచారు. పటం (a) లో చూపిన విధంగా కేంద్రం నుంచి ధనావేశం ఉన్న వైపు 15 cm దూరంలో అక్షంపై ఉండే బిందువు P వద్ద, (b) పటం (b) లో చూపినట్లు డైపోల్ అక్షానికిలంబంగా ఉంటూ ద్వారా పోయే రేఖపై Oనుంచి 15cm దూరంలో ఉండే బిందువు Qవద్ద విద్యుత్ క్షేత్రాలను కనుక్కోండి.

సాధన:
a) + 10 ±C ఆవేశం వల్ల బిందువు P వద్ద క్షేత్రం

A, B ల వద్ద ఉండే ఆవేశాల వల్ల P వద్ద ఫలిత విద్యుత్ క్షేత్రం = 2.7 × 10⁵ NC^-1, BP దిశలో

OP/OB నిష్పత్తి విలువ చాలా అధికం (= 60). డైపోల్ అక్షంపై ఉండే చాలా దూర బిందువు వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రానికి గల ” ఫార్ములాను ఉపయోగించి కూడా పైన పొందిన ఫలితాన్నే ఉజ్జాయింపుగా పొందవచ్చు. 22 దూరంతో ±q ఆవేశాలను కలిగి ఉండే డైపోల్ అక్షంపై కేంద్రం నుంచి దూరంలో విద్యుత్ క్షేత్రం పరిమాణం.
E = \(\frac{2p}{4 \pi\varepsilon_0r^3}\) (r/a >> 1)
ఇక్కడ p = 2aq డైపోల్ భ్రామకం పరిమాణం

డైపోల్ అక్షంపై ఏర్పడే విద్యుత్ క్షేత్రం దిశ ఎప్పుడూ డైపోల్ భ్రామకం సదిశ దిశలోనే (అంటే -q నుంచి q వైపు). ఉంటుంది. ఇక్కడ p = 10^-5 × C × 5 × 10^-3 m = 5 × 10^-8 C m

ఇది డైపోల్ భ్రామకం AB దిశలో ఉంటూ, దీని విలువ ఇంతకు ముందే పొందిన విలువకు దగ్గరగా ఉంది.

(b) B వద్ద ఉండే + 10 µC వల్ల Q వద్ద ఏర్పడే క్షేత్రం

ఈ రెండు బలాల సమాన పరిమాణం గల అంశాలు OQ దిశలో రద్దుపరచుకొంటే, BA కి సమాంతర దిశలో సంకలనం చెందుతాయి. కాబట్టి, A, B ల వద్ద ఉండే రెండు ఆవేశాల వల్ల Q వద్ద ఏర్పడే ఫలిత విద్యుత్ క్షేత్రం

a) లో చూసిన విధంగానే డైపోల్ అక్షానికి లంబంగా ఒక బిందువు వద్ద ఏర్పడే క్షేత్రానికి గల ఫార్ములాను నేరుగా ఉపయోగించి కూడా ఇదే ఫలితాన్ని ఉజ్జాయింపుగా పొందవచ్చు :

ఈ సందర్భంలో విద్యుత్ క్షేత్రం దిశ డైపోల్ భ్రామకం సదిశ దిశకు వ్యతిరేకం. మళ్ళీ, ఫలితం ఇంతకు ముందే పొందిన దానితో ఏకీభవిస్తుంది.

ప్రశ్న 11.
పటం లోని విద్యుత్ క్షేత్ర అంశాలు E_x = ax^½, E_y = E_z = 0. ఇక్కడ a = 800 N/C m^½. (a) ఘనం ద్వారా అభివాహాన్ని, (b) ఘనంలోని ఆవేశాన్ని లెక్కించండి. a = 0.1 m అని అనుకోండి.

సాధన:
a) విద్యుత్ క్షేత్రం కేవలం x అంశాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంది. కాబట్టి, x-అక్షానికి లంబంగా ఉండే తలాలకు E, ∆S ల మధ్య కోణం ± π/2. కాబట్టి, అభివాహం Φ = E. ∆S రెండు నీలం రంగు తలాల్లో (ముఖాల్లో) (faces) తప్ప మిగతా అన్నింటికి విడివిడిగా శూన్యం. ఎడమ తలం (ముఖం) వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం పరిమాణంE_L = αx^½ = αa^½ (ఎడమ తలం వద్ద x = a). కుడి ఉపరితలం వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం పరిమాణం E_R = αx^½ = α[2a]^½ (కుడి తలం వద్ద X = 2a).
ఈ తలాల వద్ద అభివాహాలు

b) ఘనంలోని మొత్తం ఆవేశం q ని కనుక్కొనేందుకు గాస్ నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
Φ = q/ε₀ లేదా q = Φε₀. కాబట్టి, q = 1.05 × 8.854 × 10^-12 C = 9.27 × 10^-27. C.

ప్రశ్న 12.
ఒక ఏకరీతి విద్యుత్ క్షేత్రం ధన x- విలువకు ధన x-అక్షం దిశలో, రుణ x విలువకు రుణ x అక్షం దిశలో అంతే పరిమాణంతో ఏకరీతి ఉంది. x > 0 కి E = 200 \(\hat{i}\) N/C, x <0 కి E = -200 \(\hat{i}\) N/C అని ఇచ్చారు. 20 cm పొడవు, వ్యాసార్థం 5 cm గల లంబ వృత్తాకార స్థూపం కేంద్రం మూల బిందువు వద్ద ఉంది. దాని ఒక తలం x = + 10 cm వద్ద మరొక తలం x = – 10 cm వద్ద ఉండే విధంగా దాని అక్షం (x-అక్షం దిశలో ఉంది. (a) దా ని ‘ప్రతి చదునైన తలం ద్వారా వెలువడే నికర అభివాహం ఎంత? (b) స్థూపం పక్క తలం ద్వారా అభివాహం ఎంత? (c) స్థూపం ద్వారా వెలువడే నికర అభివాహం ఎంత? (d) స్థూపం లోపల నికర ఆవేశం ఎంత?
సాధన:
a) ఎడమ తలం (ముఖం) పై E, ∆S లు సమాంతరం అని పటం నుంచి తెలుసుకోవచ్చు. కాబట్టి, వెలువడే అభివాహం
Φ_L = E. ∆S -200 \(\hat{i}\)
∆S = +200 ∆S,
ఎందుకంటే \(\hat{i}\). ∆S = – ∆S
= +200 × π(0.05)²
= +1.57 Nm²C^-1

కుడి తలంపై, E, ∆S లు సమాంతరాలు కాబట్టి,
Φ_R = E. ∆S = +1.57 Nm²C^-1.

b) స్థూపం పక్క (పార్శ్వ) తలంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా, E, ∆S కి లంబం. కాబట్టి E. ∆S = 0 కాబట్టి, స్థూపం పక్క తలం నుంచి బయటకు వచ్చే అభివాహం శూన్యం.

c) స్థూపం ద్వారా వెలువడే నికర అభివాహం
Φ = 1.57 + 1.57 + 0 = 3.14 Nm²C^-1.

d) గాస్ నియమం నుంచి స్థూపం లోపల నికర ఆవేశాన్ని కనుక్కోవచ్చు. దాని ప్రకారం.
q = ε₀Φ
= 3.14 × 8.854 × 10^-12 C
= 2.78 × 10^-12 C

ప్రశ్న 13.
తొలి పరమాణు నమూనా ప్రకారం, Ze ఆవేశం గల ధనావేశిత బిందు కేంద్రకం ఉండి, దాని చుట్టూ ఏకరీతి సాంద్రతతో రుణావేశం వ్యాసార్థం R వరకు ఉంటుందని అనుకొనేవారు. పరమాణువు మొత్తంగా తటస్థం. ఈ నమూనాకు, కేంద్రకం నుంచి r దూరంలో విద్యుత్ క్షేత్రం ఎంత?

సాధన:
ఈ పరమాణు నమూనాకు సంబంధించిన ఆవేశ వితరణను పటంలో చూపించారు. R వ్యాసార్ధం గల ఏకరీతి గోళాకార ఆవేశ వితరణలో మొత్తం రుణావేశం -Ze కావాల్సిందే. ఎందుకంటే పరమాణువు తటస్థావేశాన్ని కలిగి ఉంది. కేంద్రకం Ze ఆవేశం + రుణావేశం) ఇది రుణావేశ సాంద్రత ρ ని ఇస్తుంది. కాబట్టి,

కేంద్రకం నుంచి దూరంలో ఉండే బిందువు P వద్ద విద్యుత్ క్షేత్రం E (r) ని కనుక్కొనేందుకు మనం గాస్ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాం. ఆవేశ వితరణ గోళీయ సౌష్టవాన్ని కలిగి ఉంది కాబట్టి r దిశతో సంబంధం లేకుండా విద్యుత్ క్షేత్రం E(r) పరిమాణం కేవలం త్రైజ్యా (రేడియల్) దూరంపై మాత్రమే ఆధారపడుతుంది. దీని దిశ మూల బిందువు నుంచి బిందువు P దిశలోని వ్యాసార్థ సదిశ r దిశలో (లేదా వ్యతిరేక దిశలో) ఉంటుంది. కేంద్రకం (nucleus) కేంద్రంగా ఉండే గోళాకార తలం గాసియన్ ఉపరితలం అని మనకు స్పష్టమౌతోంది. r < R, r > R అనే రెండు పరిస్థితులను చూద్దాం.

i) r < R : గోళాకార ఉపరితలంతో ఆవృతమైన విద్యుత్ అభివాహం Φ = E(r) × 4πr²
ఇక్కడ E(r), r వద్ద విద్యుత్ క్షేత్ర పరిమాణం. ఎందుకంటే, గోళాకార గాసియన్ ఉపరితలంపై ఉండే అన్ని బిందువుల వద్ద క్షేత్రం పరిమాణం సమానం. అలాగే ఏదైనా బిందువు వద్ద క్షేత్రం ఆ బిందువు వద్ద గీచిన లంబం దిశలోనే ఉంటుంది.

గాసియన్ ఉపరితలంతో ఆవృతమైన ఆవేశం q అనేది కేంద్రక ధనావేశం, r వ్యాసార్థం గల గోళంలోని రుణావేశాల మొత్తం. అంటే,

విద్యుత్ క్షేత్రం వ్యాసార్థం దిశలో వెలుపలివైపు ఉంటుంది.

ii) r > R : ఈ సందర్భంలో పరమాణువు తటస్థం కాబట్టి ఈ సందర్భంలో గోళాకార గాసియన్ ఉపరితలంతో ఆవృతం అయ్యే ఆవేశం శూన్యం. కాబట్టి, గాస్ నియమం నుంచి,
E(r) × 4 π r² = 0
లేదా E(r) = 0 ; r > R
r = R వద్ద రెండు సందర్భాలు ఒకే ఫలితాన్ని ఇస్తాయి : E = 0.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year Physics Study Material 3rd Lesson తరంగ దృశాశాస్త్రం Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year Physics Study Material 3rd Lesson తరంగ దృశాశాస్త్రం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఫ్రెనెల్ దూరం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
సరళరేఖా మార్గం నుండి కాంతి కిరణపుంజం గుర్తించదగ్గ విచలనం చెందేవరకు ప్రయాణించే కనిష్ఠ దూరాన్ని ఫ్రెనెల్ దూరం అంటారు.
ఫ్రెనెల్ దూరం (Z_F) = \(\frac{a^2}{\lambda}\); a = ద్వారం యొక్క మందము; λ = తరంగ దైర్ఘ్యము

ప్రశ్న 2.
కిరణ దృశాశాస్త్రం చెల్లుబాటుకు సమర్ధనను ఇవ్వండి.
జవాబు:
Z_F కన్నా దూరాలు బాగా తక్కువైనప్పుడు, కిరణం యొక్క పరిమాణంతో పోల్చినప్పుడు వివర్తనం వల్ల విస్తరణ తక్కువగా ఉంటుంది.

దూరాలు Z_F కు సమానం మరియు Z_F కన్నా బాగా ఎక్కువైతే వివర్తనం వల్ల విస్తరణ కిరణ దృశాశాస్త్రంలో అధిగమిస్తుంది. (ద్వారం పరిమాణం a).
Z_F = \(\frac{a^2}{\lambda}\)

ఈ సమీకరణం నుండి తరంగదైర్ఘ్య అవధి సున్నాను సమీపిస్తే కిరణ దృశాశాస్త్రము పాటించబడుతుంది.

ప్రశ్న 3.
కాంతి ధృవణం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
కాంతి యొక్క కంపనాలు కేవలం ఒకే ఒక్క దిశలో ఉంటే ఆ దృగ్విషయాన్ని ధ్రువణం అంటారు.
(లేదా)
కాంతి తరంగం యొక్క విద్యుత్ క్షేత్ర తిర్యక్ సదిశ, ఒకే తలానికి పరిమితమైతే ఆదృగ్విషయాన్ని ధ్రువణం అంటారు.

ప్రశ్న 4.
మాలస్ నియమం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
విశ్లేషణకారి గుండా పోయే ప్రసార ధ్రువిత కాంతి యొక్క తీవ్రత, విశ్లేషణకారి యొక్క ప్రసారతలానికి, ధ్రువణకారి యొక్క తలానికి మధ్యగల కొసైన కోణము వర్గానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
I cos² θ; I = I₀ cos² θ.

ప్రశ్న 5.
బ్రూస్టర్ నియమాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
బ్రూస్టర్ నియమం :
యానకం యొక్క వక్రీభవన గుణకము ధ్రువణ కోణము యొక్క టాంజెట్ విలువకు సమానం.
µ = tan i_B, ఇక్కడ i_B = బ్రూస్టర్ నియమం, µ = వక్రీభవన గుణకం
గమనిక : r + i_B = 90°

ప్రశ్న 6.
ఒక పరావర్తక తలం మీద పతనమైన ఏకవర్ణ కాంతి పుంజం ఎప్పుడు పూర్తిగా ప్రసారితం అవుతుంది?
జవాబు:
లేసర్ జనకం నుండి ఉద్గారమైన కాంతిని ధ్రువణకారి గుండా పంపి, పరావర్తిత తలంపై బ్రూస్టర్ కోణం (i_B) తో పతనమైనప్పుడు ధ్రువణకారిని తిప్పితే ఒక నిర్దిష్ట అమరిక వద్ద పతనకాంతి పూర్తిగా ప్రసారమవుతుంది.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
కాంతిలో డాప్లర్ ప్రభావాన్ని వివరించండి. అరుణ విస్థాపనం, నీలివిస్థాపనాల మధ్య భేదాన్ని గుర్తించండి. [TS (Mar.’16)]
జవాబు:
కాంతితో డాప్లర్ ప్రభావం :
కాంతిజనకము మరియు పరిశీలకుడు మధ్య సాపేక్ష గమనము ఉన్నప్పుడు, కాంతి యొక్క దృశ్య పౌనఃపున్యములో మార్పు జరుగుతుంది. ఈ దృగ్విషయాన్ని డాప్లర్ ప్రభావం అంటారు.

పరిశీలకుడు మరియు కాంతి జనకం మధ్యదూరం తక్కువైతే కాంతి యొక్క దృశ్యపౌనఃపున్యము పెరుగుతుంది. మరియు పరిశీలకుడు, కాంతిజనకం మధ్యదూరం పెరిగితే, కాంతి యొక్క దృశ్యపౌనఃపున్యము తగ్గుతుంది.

అనువర్తనాలు :

1. దీనిని ఉపయోగించి నక్షత్రాల వేగాన్ని మరియు పాలపుంతల వేగాన్ని కొలవవచ్చు.
2. దీనిని ఉపయోగించి సూర్యుడి భ్రమణవడిని తెలుసుకోవచ్చు.

అరుణ విస్తాపనం :
వర్ణపటంలోని దృగ్గోచర ప్రాంతం యొక్క మధ్యభాగం దృశ్య తరంగదైర్ఘ్యము ఎరుపురంగువైపు కదులుతుంది. దీనిని అరుణ విస్తాపనం అంటారు.

నీలి విస్తాపనం :
జనకం నుండి సేకరించిన తరంగాలు, పరిశీలకుడివైపు చలించినప్పుడు, దృశ్యతరంగదైర్ఘ్యము తగ్గుతుంది. దీనినే నీలివిస్తాపనం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
సంపూర్ణాంతర పరావర్తనం అంటే ఏమిటి? ఈ దృగ్విషయాన్ని హైగెన్స్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిశీలించండి.
జవాబు:
సంపూర్ణాంతర పరావర్తనం :
కాంతికిరణము సాంద్రతర యానకం నుండి విరళయానకంలోకి ప్రయాణించినప్పుడు, పతన కోణం, సందిగ్ధకోణం కన్నా ఎక్కువైతే తిరిగి అదేయానకంలోకి పరావర్తనం చెందుతుంది. ఈ దృగ్విషయాన్ని సంపూర్ణాంతర పరావర్తనం అంటారు.

హైగెన్ సూత్రం :
హైగెన్ నియమం ప్రకారం తరంగాగ్రం ABపై ఉన్న ప్రతిబిందువు, గౌణ తరంగాగ్రాలకు జనకం వలే పని చేస్తుంది. తరంగాగ్రముBనుండి Cకి ప్రయాణించుటకు పట్టుకాలము.
దూరం BC = υτ

పరావర్తన తరంగాన్ని υτ వ్యాసార్థం గల గోళంగా A బిందువు నుండి గీయాలి.

C నుండి గోళము వరకు ఒక స్పర్శరేఖ CE ని గీయాలి.
AE = BC = υτ

EAC మరియు BAC లు ఒకే మాదిరి త్రిభుజాలు.

∴ i మరియు r కోణాలు సమానం. దీనిని పరావర్తన నియమం అంటారు.

ప్రశ్న 3.
కాంతి వ్యతికరణం సంభవించే బిందువు వద్ద కాంతి తీవ్రతకు సమాసాన్ని ఉత్పాదించండి. గరిష్ట, శూన్య తీవ్రతల నిబంధనలను రాబట్టండి. [AP. Mar.’16; ‘TS. Mar.’15]
జవాబు:
ఒకే కంపన పరిమితి (a) గల రెండు తరంగాల స్థానభ్రంశాలు Y మరియు y2 అనుకొనుము. అనునది వాటి మధ్య దశాభేదం అనుకొనుము.
y₁ = a sin ωt ………………… (1)
y₂ = a sin (ωt + Φ) ……………… (2)
ఫలిత స్థానభ్రంశం y = y₁ + y₂

y = a sin ωt + a sin (ωt + Φ)
y = a sin ωt + a sin ωt cos Φ + a cos ωt sin Φ
y = a sin ωt [1 + cos Φ] + cos ωt (a sin Φ) ………… (3)
R cos θ = a (1 + cos Φ) ………… (4)
R sin θ = a sin Φ ………… (5)
y = R sin ωt . cos θ + R cos ωt . sin θ
y = R sin (ωt + θ) ………….. (6)

ఇక్కడ R అనునది P వద్ద ఫలిత కంపన పరిమితి, (4) మరియు (5) సమీకరణాలను వర్గము చేసి కూడగా
R² [cos² θ + sin² θ] = a²[1 + cos² Φ + 2 cos Φ + sin² Φ]
R² [1] = a’ [1 + 1 + 2 cos Φ]

ప్రశ్న 4.
వ్యతికరణం, వివర్తనం’ దృగ్విషయాలకు శక్తి నిత్యత్వ నియమం వర్తిస్తుందా? క్లుప్తంగా వివరించండి. [Mar. ’14]
జవాబు:
అవును. శక్తి నిత్యత్వ నియమం పాటించబడుతుంది. నిర్మాణాత్మక వ్యతికరణములో తీవ్రత గరిష్ఠం. కాబట్టి వెలుగు పట్టీలు తెరపై ఏర్పడతాయి. అదేవిధంగా వినాశాత్మక వ్యతికరణము జరిగినప్పుడు తీవ్రత కనిష్ఠం. కాబట్టి తెరపై చీకటి పట్టీలు ఏర్పడతాయి.

ఈ విధంగా ఏర్పడిన వ్యతికరణము మరియు వివర్తనంలో కాంతి తీవ్రత తిరిగి సర్దుబాటు జరుగుతుంది. అనగా శక్తి ద్యుతిహీన పట్టీ (చీకటి పట్టీ) నుండి ద్యుతిమయ పట్టీ (వెలుగుపట్టీ)కి బదిలీ జరుగుతుంది. ఇక్కడ శక్తి సృష్టించబడలేదు (లేదా) నాశనం చేయబడలేదు. కేవలం పునఃసర్దుబాటు జరిగింది.

కాబట్టి వ్యతికరణము మరియు వివర్తనాలలో శక్తి నిత్యత్వ నియమం పాటించబడుతుంది.

ప్రశ్న 5.
మీ కన్ను పృథక్కరణ సామర్థ్యాన్ని మీరు ఏ విధంగా నిర్థారిస్తారు? [AP Mar.’17]
జవాబు:
సమాన వెడల్పు గల నలుపు నిలువు చారలను వాటితో విడివడిన తెలుపు చారలను తయారు చేయండి. అన్ని నలుపు నిలువు చారలు సమాన వెడల్పు కలిగి ఉండాలి. అయితే వాటిమధ్య మధ్యస్థంగా తెలుపు నిలువుచారల వెడల్పు ఎడమ నుండి కుడికి పోయేకొద్ది పెరుగుతూ పోవాలి.

ఇప్పుడు ఉత్తమంగా ఒక కంటితో మాత్రమే వ్యూహాన్ని వీక్షించండి. గోడ నుండి దూరంగా (లేదా) దగ్గరగా చలించడం’ ద్వారా, మీరు ఏవైనా రెండు మాత్రమే నలుపు నిలువు చారలను వేరుపడిన చారలుగా కనిపించే స్థానాన్ని గుర్తించండి.

ఈ నలుపు చారకు ఎడమవైపుకు ఉండే అన్ని నిలువు చారలు ఒకదానితో ఒకటి కలిసిపోయి, భేదపరచడానికి వీలుగాకుండా అవుతాయి. మరోవైపు దీనికి కుడివైపున ఉండే నలుపుచారలు మరింత స్పష్టంగా దృగ్గోచరమవుతాయి.

రెండు ప్రాంతాలను వేరుచేసే ఆ తెలుపు చార వెడల్పు d ని నమోదు చేసి, మీ కంటి నుండి గోడదూరం D ని కొలవండి. అప్పుడు \(\frac{d}{D}\) అనేదే మైక్రోస్కోపు వస్తు కటకం ఏర్పరచే నిజప్రతిబింబంమీకన్ను యొక్క పృథక్కరణం అవుతుంది.

ప్రశ్న 6.
వ్యత్యస్థంగా ఉండే రెండు పోలరాయిడ్ల మధ్య ఇంకా పోలరాయిడ్ పలకను భ్రమణం చెందించినప్పుడు ప్రసారిత కాంతి తీవ్రతను చర్చించండి. [TS Mar. 17]
జవాబు:
మొదటి ధ్రువణకారి P₁ గుండా పోయిన తర్వాత ధ్రువితకాంతి తీవ్రత I₀ అనుకొనుము. రెండవ ధ్రువణకారి P₂ గుండా పోయిన తర్వాత ధ్రువిత కాంతి తీవ్రత I = I₀cos²θ.

θ అనునది P₁ మరియు P₂ ల అక్షాల మధ్యకోణం. P₁ మరియు P₂ లు లంబంగా ఉన్నప్పుడు P₂ మరియు P₃ మధ్య కోణము (\(\frac{2 \pi}{2}\) – θ)
కాబట్టి P₃ నుండి బహిర్గతమయ్యే కాంతి యొక్క తీవ్రత

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
హైగెన్స్ సూత్రం అంటే ఏమిటి? హైగెన్స్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వక్రీభవన దృశా దృగ్విషయాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
హైగెన్స్ సూత్రం :
తరంగాగ్రం మీద ప్రతి బిందువును కొత్త గౌణజనకంగా తీసుకోవచ్చు.

సమతలం నుంచి సమతల తరంగాగ్రం వక్రీభవనం :
PP’ అనే సమతలము µ₁ మరియు µ₂ వక్రీభవన గుణకాలు గల రెండుయానకాలను వేరు చేస్తుంది. మొదటి యానకంలో కాంతి వేగము υ₁ మరియు రెండవ యానకంలో కాంతివేగము υ₂ అనుకొనుము.

హైగెన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం పతన తరంగాగ్రం AB పై ప్రతిబిందువు గౌణ జనకంగా తీసుకోవచ్చు. తరంగాగ్రం B నుండి Cని చేరేకాలంలో, తరంగాగ్రం A నుండి E కి చేరుతుంది. B నుండి C కి చేరే కాలము, A నుండి D కి చేరే కాలం t కి సమానం అనుకొనుము.

ఇది స్నెల్ వక్రీభవన నియమం

రెండవ వక్రీభవ నియమం :
పతన కిరణం, పతన బిందువు వద్ద వక్రీభవన తలం PP’ కి గీసిన లంబం, వక్రీభవన కిరణం ఒకే తలంలో ఉన్నాయని రేఖా గణితపరంగా తెలుస్తుంది. ఇది వక్రీభవన నియమాలలో రెండవది.

ప్రశ్న 2.
సంబద్ధం, అసంబద్ధ తరంగాల సంకలనాల మధ్య భేదాన్ని గుర్తించండి. సంపోషక, వినాశాత్మక వ్యతికరణాల సిద్ధాంతాన్ని అభివృద్ధిపరచండి.
జవాబు:
సంబద్ధ జనకాలు :
రెండు జనకాల మధ్య దశాభేదము శూన్య (లేదా) స్థిర దశాభేదం ఉంటే వాటిని సంబద్ధ జనకాలు అంటారు.

అసంబద్ధ జనకాలు :
రెండు జనకాల మధ్య దశాభేదం కాలంతో పాటు మారితే వాటిని అసంబద్ధ జనకాలు అంటారు.

నిర్మాణాత్మక మరియు వినాశాత్మక వ్యతికరణం సిద్ధాంతం :
రెండు సంబద్ధ జనకాల తరంగాలు
y₁ = a sin ωt ………………… (1)
y₂ = a sin (ωt + Φ) ……………… (2)

ఇక్కడ a కంపన పరిమితి, Φ అనునది రెండు తరంగాల మధ్య దశాభేదం.
అధ్యారోపణ సూత్రం ప్రకారం, y = y₁ + y₂.
y = a sin ωt + a sin (ωt + Φ)
= a sin ωt + a sin ωt cos Φ + a cos ωt sin Φ
y = a sin ωt [1 + cos Φ] + cos ωt [a sin Φ] ……………… (3)
A cos θ = a (1 + cos Φ] ……………… (4)
A sin θ = a sin Φ ……………… (5)
(4) మరియు (5) సమీకరణాలను (3)వ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
y = A sin ωt. cos θ + A cos ωt sin θ
y = A sin (ωt + θ) ………….. (6)
A అనునది ఫలితం కంపన పరిమితి. (4) మరియు (5) సమీకరణాలను వర్గము వేసి కూడగా
A²[cos² θ + sin² θ] = a²[1 + cos² Φ + 2 cos Φ + sin² Φ]
A² [1] = a² [1 + 1 + 2 cos Φ]
I = A² = 2a² [1 + cos Φ] (∵ I = A²)
I = 2a² × 2 cos² \(\frac{\phi}{2}\)
I = 4a2 cos2 1 = 41 cos2 (∵ I₀ = a²)

సందర్భం (i) నిర్మాణాత్మక వ్యతికరణము : తీవ్రత గరిష్ఠం కావాలంటే cos \(\frac{\phi}{2}\) = 1 ⇒ Φ = 2nπ కావాలి.
ఇక్కడ n = 0, 1, 2, 3 … ⇒ Φ = 0, 2π, 4π, 6π ………….. I_{గరిష్ట} 4I₀

సందర్భం (ii) వినాశాత్మక వ్యతికరణము : తీవ్రత కనిష్ఠం కావాలంటే cos Φ = 0 ⇒ Φ = (2n + 1)π
ఇక్కడ n = 0, 1, 2, 3 …………; ⇒ Φ = π, 3π, 5π ⇒ I_{కనిష్ఠం} = 0

ప్రశ్న 3.
వ్యతికరణాన్ని పరిశీలించడానికి యంగ్ ప్రయోగాన్ని వర్ణించండి. దీని నుంచి పట్టీ వెడల్పుకు సమీకరణాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
వ్యతికరణము :
రెండు (లేదా) అంతకు ఎక్కువ సంఖ్యలో తరంగాలు అధ్యారోపణం చెందడం వల్ల శక్తి తీవ్రతలో సంభవించే మార్పును వ్యతికరణం అంటారు.

వర్ణన :

1. థామస్ యంగ్ రెండు సంబద్ధ కాంతి జనకాలను ఉపయోగించి కాంతి వ్యతికరణాన్ని ప్రయోగపూర్వకంగా పరిశీలించాడు.
2. ఏకవర్ణ కాంతి సన్నని సూదిరంధ్రము S పై పతనం చెంది, గోళాకార తరంగాన్ని జనింపచేస్తుంది.
3. S నుండి సమాన దూరాలలో S, మరియు S అను రెండు సన్నని సూది రంధ్రాలు.
4. తెర D దూరంలో ఉంచబడినది.
5. రెండు శృంగాలు (లేదా) రెండు ద్రోణులు అధ్యారోపణం చెందే బిందువుల వద్ద నిర్మాణాత్మక వ్యతికరణము జరిగి తెరపై ద్యుతిమయ పట్టీలు (వెలుగు పట్టీలు) ఏర్పడతాయి.
6. ఒక తరంగము యొక్క శృంగము, మరొక తరంగద్రోణి అధ్యారోపణం చెందే బిందువుల వద్ద వినాశాత్మక వ్యతికరణం జరిగి తెరపై ద్యుతిహీన పట్టీలు (చీకటి పట్టీలు) ఏర్పడతాయి.
7. కాబట్టి తెరపై వెలుగు మరియు చీకటి పట్టీలు ఒకదాని తర్వాత మరొకటి వరుసగా ఏర్పడతాయి.

పట్టీ వెడల్పు :
i) రెండు వరుస వెలుగు. (లేదా) చీకటి పట్టీల మధ్య దూరాన్ని పట్టీ వెడల్పు అంటారు. దీనిని β తో సూచిస్తారు.

ii) పథ భేదం (δ) = d sin θ
θ చాలా స్వల్పమైతే, పటం నుండి sin θ ≈ tan θ = \(\frac{x}{D}\)

iii) వెలుగు పట్టీల మధ్య పదభేదం S₂P – S₂P = nλ
∴ d sin θ = nλ
d × \(\frac{x}{D}\) = ηλ ; x = \(\frac{n \lambda D}{d}\) ………… (1)
ఇక్కడ n = 0, 1, 2, 3 ……..
ఈ సమీకరణము వెలుగు పట్టీ స్థానాన్ని తెలుపుతుంది.
n = 0, అయితే x₀ = 0

కాబట్టి వెలుగు మరియు చీకటి పట్టీలకు పట్టీ వెడల్పు ఒకేవిధంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
వివర్తనం అంటే ఏమిటి? ఒంటి చీలిక నుంచి పొందగలిగే వివర్తన వ్యూహాన్ని చర్చించండి.
జవాబు:
వివర్తనం :
అవరోధాల అంచుల వద్ద కాంతి వంగి, జ్యామితీయ ఛాయా ప్రదేశంలోకి వ్యాపిస్తుంది. ఈ దృగ్విషయాన్ని వివర్తనం అంటారు.

ఉదాహరణ:
సూర్యోదయానికి కొద్దిసేపటికి ముందు, పర్వత శిఖరాలు వెండిపొరవలె మెరుస్తాయి.

ఏకచీలిక వద్ద కాంతి వివర్తనము:

1. AB అనునది d మందం గల సన్నిని చీలిక. దీనిపై λ తరంగదైర్ఘ్యము గల ఏకవర్ణకాంతి లంబంగా పతనం చెందుచున్నది.
2. వివర్తనం చెందిన కాంతి కుంభాకార కటకం ద్వారా తెరపై కేంద్రీకరణ చెందును.
3. గౌణ తరంగాగ్రములు OP₀ దిశ ప్రయాణించి P₀ వద్ద కేంద్రీకరణ చెందుతాయి.
4. తరంగాగ్రమునకు లంబదిశలో θ కోణము చేయు దిశలో వివర్తనము చెందిన కాంతి P₁ బిందువు వద్ద తెరపై కేంద్రీకరణ చెందినది.
5. P₁ వద్ద తీవ్రతను కనుక్కోవడానికి BR పై AC లంబాన్ని గీయాలి.
6. గౌణ తరంగాగ్రముల మధ్య పథ భేదము BC = AB sin θ = a sin θ (∵ sin θ ≈ θ)
   పథ భేదము (λ) = a θ ………… (1)
7. ప్రయోగ పరిశీలనల ద్వారా పటంలో θ = 0° వద్ద గరిష్ట తీవ్రత, θ = (n + \(\frac{1}{2}\))\(\frac{\lambda}{a}\) వద్ద గౌణ గరిష్ఠములు మరియు θ = \(\frac{n\lambda}{a}\) వద్ద కనిష్ఠ తీవ్రత వచ్చును.
8. (1)వ సమీకరణం నుండి, θ = \(\frac{\lambda}{a}\) ఇప్పుడు చీలికను రెండు సమభాగాలుగా, ప్రతిభాగం \(\frac{a}{2\times}\) పరిమాణం ఉండునట్లు విభజించాలి.
9. θ = \(\frac{n\lambda}{a}\) వద్ద తీవ్రతలు సున్నా అని చూపవచ్చు.
   ఇక్కడ n = 1, 2, 3 ….
10. θ = (n + \(\frac{1}{2}\))\(\frac{\lambda}{a}\) వద్ద కూడా గరిష్టాలు వస్తాయని చూపవచ్చు.
11. θ = \(\frac{3\lambda}{2a}\) అనునది రెండు చీకటి పట్టీల మధ్య మధ్య బిందువు అనుకొనుము.
12. చీలిక యొక్క మొదటి \(\frac{2}{3}\) వంతు తీసుకుంటే, రెండు చివరల మధ్య పదబేధము
    \(\frac{2}{3}\)a × θ = \(\frac{2a}{3}\times\frac{3\lambda}{2a}\) = λ ………. (2)
    
13. చీలిక యొక్క మొదటి \(\frac{2}{3}\) వంతును \(\frac{\lambda}{2}\) పధబేధం ఉండునట్లుగా రెండు భాగాలుగా విభజిస్తే, వీటిలో తీవ్రత రద్దవుతుంది. కేవలం మిగిలిన \(\frac{1}{3}\) వంతు భాగంలో మాత్రమే తీవ్రత కనిష్ఠం.

ప్రశ్న 5.
దృక్ సాధనాల పృథక్కరణ సామర్థ్యం అంటే ఏమిటి? ఏ నిబంధన క్రింద ప్రతిబింబాలు పృథక్కరింపబడతాయో ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
పృథక్కరణ సామర్థ్యము :
దగ్గరగా ఉన్న రెండు బిందువులను ఎంతదూరం వరకు విడగొట్టి చూపగలదో ఆ ధారుడ్యాన్ని కటకం యొక్క పృథక్కరణ సామర్థ్యం అంటారు.

దృశా పరికరాల యొక్క పృథక్కరణ సామర్థ్యము :
i) ఒక సమాంతర కాంతి కిరణము కుంభాకార కటకంపై పతనం చెందినది అనుకొనుము. వివర్తన ప్రభావముచేత, కిరణము పరిమిత వైశాల్యములో చుక్కవలె ఏర్పడుతుంది. ii) వివర్తన ప్రభావాన్ని పరిగణలోకి తీసుకుంటే, మధ్యభాగం వృత్తాకారంగా వెలుగు ప్రాంతం, దాని చుట్టూ చీకటి మరియు వెలుగు వృత్తాలు ఏర్పడతాయి.
iii) కేంద్రము వద్ద వెలుగు ప్రాంతం వ్యాసార్ధము

ఇక్కడ f అనునది కటకం నాభ్యాంతరము 2 = కటకం యొక్క వ్యాసము.

పృథక్కరణకు నిబంధనను రాబట్టుట :
చుక్క పరిమాణము చాలా చిన్నదైతే, పృథక్కరణమునకు గల అవధి చాలా ప్రముఖ పాత్ర పోషిస్తుంది.

∆θ స్వల్పమైతే, వస్తువు యొక్క వ్యాసము (2a) పెద్దదిగా ఉంటుంది. a విలువ అధికమైతే పృథక్కరణ సామర్థ్యానికి దూరదర్శిని ఉత్తమం.

వస్తువు మరియు వస్తు కటకానికి మధ్య కనిష్ట దూరము d_{కనిష్టం} = \(\frac{1.22 \lambda}{2 \mu \sin \beta}\)

ఇక్కడ µ = వక్రీభవన గుణకం; µ sin B = న్యూమరికల్ అపర్చర్ (సంఖ్యాత్మక కంత)

అభ్యాసాలు Textual Exercises

ప్రశ్న 1.
589 pm తరంగదైర్ఘ్యం గల ఏకవర్ణ కాంతి గాలిలో నుంచి నీటి ఉపరితలంపై పతనమైంది. నీటి వక్రీభవన గుణకం 1.33 అయితే, (a) పరావర్తిత కాంతి, (b) వక్రీభవనం చెందిన కాంతి తరంగదైర్ఘ్యం, పౌనఃపున్యం, వడులను కనుక్కోండి.
సాధన:
λ = 589 nm = 589 × 10^-9 m

a) పరావర్తన కాంతి :
(పతనకాంతి వలే ఒకే తరంగదైర్ఘ్యం, పౌనఃపున్యం, వడి కలిగి ఉంది)
λ = 589 × 10^-9 m, υ = 5.09 × 10¹⁴ Hz

b) వక్రీభవన కాంతి :
(ప్రతన కాంతి వలే ఒకే పౌనఃపున్యం కలిగి ఉంది)
υ = 5.093 × 10¹⁴ Hz

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రతి సందర్భంలోను తరంగాగ్రం ఆకారం ఏమిటి?
a) ఒక బిందు జనకం నుంచి అపసరం చెందే కాంతి.
b) ఒక కుంభాకార కటకం నాభి వద్ద బిందు జనకాన్ని ఉంచినప్పుడు కటకం నుంచి బహిర్గతమయ్యే కాంతి.
c) భూమి అడ్డగించే సుదూర నక్షత్రం నుంచి వచ్చే కాంతి తరంగాగ్ర భాగం.
సాధన:
a) ఇది గోళాకార తరంగాగ్రం
b) ఇది సమతల తరంగాగ్రం
c) సమతల తరంగాగ్రం (అతిపెద్ద గోళంపై స్వల్ప వైశాల్యం దాదాపు సమతలంగా ఉంటుంది).

ప్రశ్న 3.
a) గాజు వక్రీభవన గుణకం 1.5. గాజులో కాంతి వడి ఎంత? (శూన్యంలో కాంతి వడి 3.0 × 10¹⁴ m s^-1)
b) గాజులో కాంతి వేగం కాంతి రంగు మీద ఆధారపడదా? అలా కాకుంటే, ఎరుపు, ఊదా రెండు రంగులలో ఏది గాజు పట్టకంలో నెమ్మదిగా ప్రయాణిస్తుంది?
సాధన:

b) లేదు. వక్రీభవన గుణకం మరియు యానకంలో కాంతివేగం తరంగదైర్ఘ్యంపై ఆధారపడును. µ_ν > µ_r.
∴ v_ఊదా < v_{ఎరుపు} కాబట్టి ఊదారంగు కాంతి ఎరుపురంగు కాంతి కన్నా నెమ్మదిగా ప్రయాణిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
యంగ్ జంట చీలిక ప్రయోగంలో, చీలికలను 0.28 mm వేరుపరచి, తెరను 1.4 m దూరంగా ఉంచారు. కేంద్రీయ గరిష్ఠం, నాల్గవ గరిష్ఠాల మధ్య దూరాన్ని 1.2 cm గా కొలిచారు. ప్రయోగంలో ఉపయోగించిన కాంతి తరంగదైర్ఘ్యాన్ని కురుక్కోండి.
సాధన:
d = 0.28 mm = 0.28 × 10^-3 m, D = 1.4 m, β = 1.2 × 10^-2 m, n = 4

ప్రశ్న 5.
ఏకవర్ణ కాంతి తరంగదైర్ఘ్యం λ ని ఉపయోగించిన యంగ్ జంట చీలిక ప్రయోగంలో తెరమీద పథభేదం λ గల ఒక బిందువు వద్ద కాంతి తీవ్రత K యూనిట్లు. పథభేదం λ/3 గల బిందువు వద్ద కాంతి తీవ్రత ఎంత?
సాధన:
I₁ = I₂ = I అనుకొనుము. రెండు కాంతి తరంగాల మధ్య దశాభేదం Φ అయితే ఫలిత తీవ్రత
I_R = I₁ + I₂ + \(2\sqrt{I_1I_2}\) . cos Φ
పథ భేదం = λ, దశాభేదం Φ = 0°
∴ I_R = I + I + \(2\sqrt{II}\) . cos 0° = 4I = k
పథ భేదం = \(\frac{\lambda}{3}\)
దశాభేదం Φ = \(\frac{2 \pi}{3}\) రేడియన్
∴ I’_R = I + I + \(2\sqrt{II}\) . cos \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ I’_R = 2I + 2I(\(\frac{-1}{2}\)) ⇒ I = \(\frac{k}{4}\)

ప్రశ్న 6.
యంగ్ జంట చీలిక ప్రయోగంలో వ్యతికరణ పట్టీలను పొందడానికి 650nm, 520 nm అనే రెండు తరంగదైర్ఘ్యాలను కలిగి ఉండే ఒక కాంతి పుంజం ఉపయోగిస్తున్నారు.
a) 650 nm తరంగదైర్ఘ్యానికి తెరమీద కేంద్రీయ గరిష్ఠం నుంచి మూడవ ద్యుతిమయ పట్టీకి గల దూరాన్ని కనుక్కోండి.
b) ఈ రెండు తరంగ దైర్ఘ్యాల వల్ల మృతిమయ పట్టీలు ఎక్కడయితే ఏకీభవిస్తాయో అక్కడి నుంచి కేంద్రీయ గరిష్టానికి ఉండే కనీస దూరం ఎంత?
సాధన:
λ₁ = 650nm = 650 × 10^-9m ⇒ λ₂ = 520 nm = 520 × 10^-9 m
d = చీలికల మధ్యదూరం; D = చీలికల నుండి తెరవకు దూరం
a) మూడవ వెలుగు పట్టీ, n = 3 = x = nλ, \(\frac{D}{d}\) = 3 × 650 \(\frac{D}{d}\) nm

b) nవ వెలుగు పట్టీకి λ₂ = 520 nm, (n – 1) వెలుగు పట్టీకి λ₁ = 650nm
∴ nλ₂ = (n- 1) λ₁; n× 520 = (n-1) 650;
4n = 5n – 5 (లేదా) n = 5
∴ అవసరమైన కనిష్ట దూరం, x = nλ₂ \(\frac{D}{d}\) = 5 × 520 \(\frac{D}{d}\) = 2600 \(\frac{D}{d}\)nm.

ప్రశ్న 7.
జంట చీలిక ప్రయోగంలో 1 m దూరంలో ఉంచిన తెరమీద ఒక పట్టీ కోణీయ వెడల్పు 0.2° లుగా కనుక్కోవడమైంది. ఉపయోగించిన కాంతి తరంగదైర్ఘ్యం 600 nm. మొత్తం ప్రయోగ అమరికను కనుక నీటిలో ముంచినట్లయితే పట్టీ కోణీయ వెడల్పు ఎంత ? నీటి వక్రీభవన గుణకాన్ని 4/3 గా తీసుకోండి.
సాధన:
ఇక్కడ θ₁ = 0.2°, D = 1m, λ₁ = 600 nm, θ₂ = ?, µ = 4/3

ప్రశ్న 8.
గాలి నుంచి గాజు సంక్రమణకు బ్రూస్టర్ కోణం ఎంత? (గాజు వక్రీభవన గుణకం = 1.5.)
సాధన:
ఇక్కడ i_p = ? µ = 1.5; tan i_p = µ = 1.5 ∴ i_p = tan^-1 (1.5); i_p = 56.3

ప్రశ్న 9.
5000 తరంగదైర్ఘ్యం గల కాంతి ఒక సమతల పరావర్తక తలం మీద పడింది. పరావర్తిత కాంతి తరంగదైర్ఘ్యం, పౌనః పున్యాలు ఏమిటి? ఏ పతన కోణం విలువకు పరావర్తిత కిరణం, పతన కిరణానికి లంబంగా ఉంటుంది?
సాధన:
λ = 5000 Å = 5 × 10^-7 m
పరావర్తన కాంతి తరంగదైర్ఘ్యం మరియు పౌనఃపున్యం ఒకేవిధంగా ఉంది.
∴ పరావర్తన కాంతి తరంగదైర్ఘ్యం (λ) = 5000 Å

పతన కోణం i = 45° అయితే పరావర్తన కాంతి, పతనకాంతికి లంబంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
4 mm కంత, 400 nm కాంతి తరంగదైర్ఘ్యం ఉంటే కిరణ దృశాశాస్త్రం ఎంత దూరానికి సరియైన ఉజ్జాయింపు చేయబడుతుందో అంచనా వేయండి.
సాధన:
a = 4 mm = 4 × 10^-3 m; 1 = 400nm = 400 × 10^-9 m = 4 × 10^-7 m
కిరణ దృశా శాస్త్రంలో దూరాలు, ఫైనల్ దూరాలకు దాదాపుగా సమానం

అదనపు అభ్యాసాలు Additional Exercises

ప్రశ్న 11.
ఒక నక్షత్రంలోని హైడ్రోజన్ వల్ల ఉద్గారమైన 6563 Å Hα రేఖ 15 Åలకు అరుణ విస్థాపనం చెందినట్లు గుర్తించారు. నక్షత్రం ఎంత-వడితో భూమి నుంచి దూరంగా వెళుతున్నదో అంచనా వేయండి.
సాధన:
λ’ = λ = 15Å = 15 × 10^-10m; λ = 6563 Å = 6563 × 10^-10 m; v = ?

ప్రశ్న 12.
శూన్యంలో కాంతివేగం కంటే ఏదైనా ఒక యానకంలో, (నీరు అనుకోండి) కాంతివేగం ఎక్కువగా ఉంటుందని కాంతి కణమయ సిద్ధాంతం ఏవిధంగా ప్రాగుక్తీకరిస్తుందో వివరించండి. నీటిలో కాంతి వేగాన్ని కనుక్కొనే ప్రాయోగిక నిర్ధారణ వల్ల ఈ ప్రాగుక్తీకరణ ధృవపరచబడ్డదా? అలాకాకపోతే, ప్రయోగంలో ఏ ప్రత్యామ్నాయ కాంతి చిత్రణ సుసంగతంగా ఉంటుంది?
సాధన:
న్యూటన్ కణ సిద్ధాంతం ప్రకారం వక్రీభవనంలో విరళ యానకం నుండి వచ్చే పతన కాంతి కిరణాలలోని కణాలు సాంద్రతర యానకంలో కన్నా, తలానికి లంబంగా ఆకర్షణ బలాన్ని కలిగిస్తాయి.
దీని ఫలితంగా లంబవేగాంశము పెరుగుతుంది. కాని తలం వెంబడి అంశం మారదు.

ప్రయోగఫలితాలకు ఇది విరుద్ధం (V > c). కావున కాంతి తరంగస్వభావం కలిగి ఉంది.

ప్రశ్న 13.
హైగెన్స్ సూత్రం ఏవిధంగా పరావర్తన, వక్రీభవన నియమాలకు దారితీసిందో ఈ పాఠ్యాంశంలో మీరు నేర్చుకొన్నారు. ఇదే సూత్రాన్ని నేరుగా ఉపయోగించి; ఒక సమతల దర్పణం ముందు ఒక బిందు జనకాన్ని ఉంచినప్పుడు దర్పణం నుంచి దాని మిధ్యా ప్రతిబింబ దూరం, దర్పణం నుంచి వస్తుదూరానికి సమానమని ఉత్పాదించండి.
సాధన:

పటంలో సమతల దర్పణం M₁ M₂ నుండి దూరంలో ఒక బిందురూప వస్తువు P. OP = r = వ్యాసార్థం గోళాకార చాపాన్ని (AB) గీయాలి. ఇది వస్తువు నుండి గోళాకార తరంగాగ్రం. ఇది M₁ M₂ పై పతనమవుతుంది. దర్పణం లేకపోతే A’B’ తరంగాగ్రం స్థానం A’B’ అవుతుంది. ఇక్కడ PP’ = 2r, దర్పణం ఉండుటచే AB తరంగాగ్రం A”PB”ను తెలుపుతుంది. హైగెన్ నిర్మాణం ప్రకారం పటంలో A’B’ మరియు A”B” అను రెండు గోళాకార తరంగాగ్రాలు దర్పణం M₁ M₂ కు ఇరువైపులా సౌష్టవంగా ఉన్నాయి. A’PB’ అనునది A”PB” యొక్క పరావర్తన ప్రతిబింబం. కావున జ్యామితీయంగా OP OP’ అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 14.
తరంగ ప్రసార వడిని ప్రభావితం చేయ సాధ్యమయ్యే కొన్ని అంశాలను పేర్కొందాం :
i) జనక స్వభావం ii) ప్రసార దిశ iii) జనకం మరియు / లేదా పరిశీలకుని చలనం iv) తరంగదైర్ఘ v) తరంగ తీవ్రత
క్రింది ఏ అంశాలపై, ఒకవేళ ఏదైనా, ఆధారపడుతుందా?
a) శూన్యంలో కాంతి వేగం,
b) యానకం (గాజు లేదా నీరు అనుకోండి)లో కాంతి వేగం.
సాధన:
a) శూన్యంలో కాంతివేగం విశ్వస్థిరాంకం, మిగిలిన అన్ని అంశాలపై ఆధారపడదు.

b) యానకంలో కాంతి వేగంపై ఆధారపడును.
i) జనకం యొక్క స్వభావంపై ఆధారపడదు.
ii) యానకంలో ప్రసార దిశపై ఆధారపడదు.
iii) యానకంతో సాపేక్షంగా జనకం చలనంపై ఆధారపడదు. కాని యానకంలో సాపేక్షంగా పరిశీలకుడి చలనంపై ఆధారపడుతుంది.
iv) తరంగదైర్ఘ్యంపై ఆధారపడుతుంది.
v) తీవ్రతపై ఆధారపడదు.

ప్రశ్న 15.
ధ్వని తరంగాల సందర్భానికి పౌనఃపున్య విస్థాపనానికి డాప్లర్ ఫార్ములా రెండు పరిస్థితుల మధ్య స్వల్పంగా తేడా కలిగి ఉంటుంది : (i) జనకం విరామంలో ఉండి; పరిశీలకుడు కదులుతున్నప్పుడు, (ii) జనకం చలిస్తున్నప్పుడు; పరిశీలకుడు నిశ్చలంగా ఉన్నప్పుడు. అయితే, శూన్యంలో ప్రయాణించే కాంతి తరంగాల సందర్భానికి యధాతథ డాప్లర్ ఫార్ములాలు, ఈ పరిస్థితులకు ఖచ్చితంగా సర్వసమానం. ఈ విధంగా ఎందుకు ఉండాలో వివరించండి. ఇవే రెండు పరిస్థితులకు, ఒక యానకంలో కాంతి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు కూడా ఫార్ములాలు ఖచ్చితంగా సర్వసమానంగా ఉంటాయని మీరు ఆశిస్తారా?
సాధన:
ధ్వని ప్రసారానికి యానకం అవసరం. అందువలన (i) మరియు (ii) సందర్భాలలో జనకం మరియు పరిశీలకుడు మధ్య సాపేక్ష గమనంలో ఉన్నప్పుడు ఒకే విధంగా ఉండదు. రెండు సందర్భాలలో యానకంతో పరిశీలకుడు సాపేక్ష. గమనంలో ఉన్నప్పుడు, డాప్లర్ సూత్రం వేరువేరుగా ఉంటుంది.

కాంతి శూన్యంలో ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, రెండు సందర్భాలలో తేడాను గుర్తించలేం. కావున సూత్రాలు ఖచ్చితంగా సమానం.

కాంతి యానకంలో ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు (i) మరియు (ii) సందర్భాలు సమానం కాదు. కావున సూత్రాలు కూడా వేరువేరుగా ఉంటాయి.

ప్రశ్న 16.
600nm తరంగదైర్ఘ్యం ఉపయోగించే యంగ్ జంట చీలిక ప్రయోగంలో, దూరంగా ఉన్న తెరపై ఏర్పడిన పట్టీ కోణీయ వెడల్పు 0.1°. రెండు చీలికల మధ్య ఉండే అంతరం ఎంత?
సాధన:
λ = 600 nm = 6 × 10^-7 m,

ప్రశ్న 17.
క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి :
a) ఒంటి చీలిక వివర్తన ప్రయోగంలో చీలిక వెడల్పును మౌలిక (original) వెడల్పుకు రెండు రెట్లు చేశారు. కేంద్రీయ వివర్తన పట్టీ పరిమాణం, తీవ్రతలను ఇది ఏవిధంగా ప్రభావితం చేస్తుంది?
b) జంట చీలిక ప్రయోగంలోని వ్యతికరణ వ్యూహంతో ఒక్కో చీలిక వల్ల కలిగే వివర్తనం ఏవిధంగా సంబంధాన్ని కలిగి ఉంటుంది?
c) సుదూర జనకం నుంచి వచ్చే కాంతి మార్గంలో చాలా చిన్నదైన ఒక వృత్తాకార అడ్డును ఉంచినప్పుడు అడ్డు జ్యామితీయ ఛాయ కేంద్రం వద్ద ఒక ద్యుతిమయ చుక్కను చూడటమైంది. ఎందుకో వివరించండి.
d) 10 m ఎత్తుగల ఒక గదిలో ఇద్దరు విద్యార్థులు విభజన గోడ (separated wall) తో 7 m వేరు చేసి ఉన్నారు. కాంతి, ధ్వని తరంగాలు రెండూ అడ్డుల చుట్టూతా వంగగలిగినా వాళ్ళిద్దరూ మాట్లాడుకోవడం సులభం. కానీ ఒకరినొకరు చూసుకోవడం ఎందుకు సాధ్యపడదు?
e) కాంతి సరళరేఖా మార్గంలో ప్రయాణిస్తుందనే ఊహన మీద కిరణ దృశాశాస్త్రం ఆధారపడి ఉన్నది. కానీ వివర్తన ప్రభావాలు (చిన్నవి కంత / చీలికలు లేదా చిన్న అడ్డుల చుట్టూతా కాంతి ప్రసారమైనప్పుడు పరిశీలించినది) ఈ ఊహనను తప్పు అని నిరూపిస్తున్నాయి. అయినా కూడా, దృక్సాధనాల విషయంలో ప్రతిబింబాల స్థానాలను, ఇతరత్రా ధర్మాలను అర్థం చేసుకోవడంలో కిరణ దృశాశాస్త్రం భావనలను చాలా సాధారణంగా ఉపయోగిస్తారు. దీనికి మీ సమర్ధన ఏమిటి?
సాధన:
a) ప్రకారం, కేంద్ర వివర్తన పట్టీ పరిమాణం సగానికి క్షీణిస్తే తీవ్రత నాలుగు రెట్లు పెరుగుతుంది.

b) జంట చీలికల ప్రయోగంలో వ్యతికరణ పట్టీల యొక్క తీవ్రతను, ప్రతి చీలిక యొక్క వివర్తనంతో మాడ్యులేట్ చేయవచ్చు.

c) వృత్తాకార అడ్డు యొక్క అంచు వద్ద వివర్తనం చెందిన తరంగం, జ్యామితీయ ప్రాంతం యొక్క కేంద్రం వద్ద వెలుగు పట్టీని ఏర్పరుస్తుంది.

d) వివర్తనంలో అడ్డు యొక్క పరిమాణం, కాంతి తరంగదైర్ఘ్యం కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది. అనుకోకుండా అడ్డు యొక్క పరిమాణం తరంగదైర్ఘ్యం కన్నా బాగా ఎక్కువైతే స్వల్ప కోణం వివర్తనం జరుగును. అడ్డుగోడ యొక్క పరిమాణం కొన్ని మీటర్లు ఉంటుంది. కాంతి యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం 5 × 10^-7 m, ధ్వని 1 kHZ పౌనఃపున్యము వద్ద ‘తరంగదైర్ఘ్యం 0.3 m. అందువలన ధ్వని తరంగాలు వంగుతాయి కాని కాంతి తరంగాలు వంగవు.

e) సాధారణ దృశా పరికరాల పరిమాణము తరంగదైర్ఘ్యం కన్నా అధికం.

ప్రశ్న 18.
రెండు కొండల పైభాగంలో ఉన్న రెండు శిఖరాలు (towers) 40 km ఎడంతో ఉన్నాయి. వీటిని కలిపే రేఖ రెండు శిఖరాలకు మధ్య సగభాగంలో ఒక కొండకు 50 m పైన పోతున్నది. గుర్తించగల వివర్తన ఫలితాలు లేకుండా శిఖరాల మధ్య పంపించగలిగే రేడియో తరంగాల అత్యంత దీర్ఘ (longest) తరంగదైర్ఘ్యం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 19.
500nm తరంగదైర్ఘ్యం గల ఒక సమాంతర కాంతి పుంజం ఒక సన్నని చీలిక మీద పడుతుంది. ఫలిత వివర్తన వ్యూహం 1 m దూరంగా ఉండే తెరపై పరిశీలించడమైంది. తెర యొక్క కేంద్రం నుంచి మొదటి కనిష్ఠం 2.5mm దూరం వద్ద గమనించారు. చీలిక వెడల్పును కనుక్కోండి.
సాధన:
λ = 500 nm = 5 × 10^-7 m, D = 1 m, y = 2.5 mm = 2.5 × 10^-3 m, d = ?

ప్రశ్న 20.
క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి :
a) తక్కువ ఎత్తులో ఎగిరే ఎయిర్ క్రాప్ట్ పైనుంచి వెళ్లినప్పుడు మన టి.వి. తెరపై బొమ్మ కొద్దిగా కదులుతున్నట్లు మనం గమనిస్తాం. దీనికి సాధ్యమయ్యే వివరణను సూచించండి.
b) వివర్తన, వ్యతికరణ వ్యూహాలలో తీవ్రత వితరణలను అవగాహన చేసుకోవడంలో తరంగ స్థానభ్రంశాల రేఖీయ అధ్యారోపణ సూత్రం ప్రాథమికమైనదని మీరు పాఠ్యాంశంలో నేర్చుకొన్నారు. ఈ సూత్రాన్ని ఏ విధంగా మీరు సమర్థిస్తారు?
సాధన:
a) యాంటెన్నా గ్రహించే సంకేతం, ఎయిర్ క్రాప్ట్ నుండి పరావర్తనం చెందే బలహీన సంకేతంతో వ్యతికరణం చెందుతుంది.

b) తరంగ చలనంలో సమీకరణము అధ్యారోపణ సూత్రాన్ని పాటిస్తుంది. ఇది నిజం, తరంగ కణాలు స్వల్ప కంపన పరిమితి కలిగి ఉంటాయి.

ప్రశ్న 21.
ఒంటి చీలిక వివర్త వ్యూహం ఉత్పాదనలో nλ/a కోణాల వద్ద తీవ్రత శూన్యమని చెప్పడమైంది. చీలికను సరియైన విధంగా విభజించడం ద్వారా రద్దుపరచే భావనను సమర్ధించండి.
సాధన:
చీలికను n చీలికలుగా విభజిస్తే చీలిక మందం a’ = \(\frac{a}{n}\). θ దిశలో ప్రతి చిన్న చీలిక తీవ్రత సున్నా. అందువల్ల మొత్తం తీవ్రత సున్నా

సాధించిన సమస్యలు Textual Examples

ప్రశ్న 1.
589.0 mm తరంగదైర్ఘ్యం వద్ద ఉండే సోడియం రేఖ 589.6 pm వద్ద ఉన్నట్లు పరిశీలించినట్లయితే మనకు సాపేక్షంగా పాలపుంత ఎంత వడితో చలించాలి?
సాధన:
νλ = C కాబట్టి, \(\frac{\Delta v}{v}=-\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\)
(ν, λ గెలలో స్వల్ప మార్పులకు)
∆λ = 589.6 – 589.0 = + 0.6nm
క్రింది సమీకరణంను ఉపయోగించినట్లయితే,

కాబట్టి, పాలపుంత మన నుంచి దూరంగా చలిస్తోంది.

ప్రశ్న 2.
a) రెండు యానకాలను వేరుచేసే తలం మీద ఏకవర్ణ కాంతి పడినప్పుడు, పరావర్తనం, వక్రీభవనం చెందిన కాంతులు రెండూ పతన పౌనఃపున్యంతో సమానంగా పౌనఃపున్యాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. ఎందుకో వివరించండి.
b) కాంతి విరళయానకం నుంచి సాంద్రతర యానకంలోకి ప్రయాణించినప్పుడు కాంతి వడి తగ్గుతుంది. వడిలో తగ్గుదల కాంతి తరంగం మోసుకొనిపోయే శక్తిలో తగ్గుదలను సూచిస్తుందా?
c) కాంతి తరంగ చిత్రణలో కాంతి తీవ్రతను కంపనపరిమితి వర్గంతో నిర్ధారిస్తారు. మరి కాంతి ఫోటాన్ చిత్రణలో ఏది కాంతి తీవ్రతను నిర్ధారిస్తుంది.
సాధన:
a) ద్రవ్య పరమాణువులు ఆంగికాలతో పతనకాంతి జరిపే అన్యోన్య చర్య వల్ల పరావర్తనం, వక్రీభవనాలు ఉద్భవిస్తాయి. పరమాణువులను డోలకాలుగా చూడవచ్చు. ఇవి, బాహ్య కారకం పౌనఃపున్యాన్ని తీసుకొని బలాత్కృత డోలనాలు చేస్తాయి. ఆవేశితమైన డోలకం నుంచి ఉద్గారమయ్యే కాంతి పౌనఃపున్యం దాని డోలన పౌనఃపున్యానికి సమానం. కాబట్టి, పరిక్షిప్త కాంతి పౌనఃపున్యం పతన కాంతి పౌనఃపున్యానికి సమానంగా ఉంటుంది.

b) లేదు. ఒక తరంగం మోసుకొనిపోయే శక్తి దాని కంపనపరిమితి మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. అంతేగాని తరంగ ప్రసార వడి మీద కాదు.

c) ఫోటాన్ చిత్రణలో, ఇచ్చిన పౌనఃపున్యానికి, ఏకాంక వైశాల్యాన్ని ఏకాంక కాలంలో దాటిపోయే ఫోటాన్ల సంఖ్యతో కాంతి తీవ్రతను నిర్ధారిస్తారు.

ప్రశ్న 3.
1 mm ఎడంతో రెండు చీలికలను చేసి తెరను 1m దూరంలో ఉంచారు. ఉపయోగించిన నీలం-ఆకుపచ్చ కాంతి తరంగదైర్ఘ్యం 500 nm అయితే పట్టీ అంతరం ఎంత?
జవాబు:

ప్రశ్న 4.
క్రింది ఒక్కొక్క పరిక్రియలవల్ల యంగ్ జంట చీలిక ప్రయోగంలో వ్యతికరణ పట్టీల మీద ఎటువంటి ప్రభావం ఉంటుంది?
a) చీలికల తలం నుంచి తెరను దూరంగా జరిపితే ;
b) (ఏకవర్ణ) జనకం బదులు హ్రస్వ తరంగదైర్ఘ్యం గల మరొక (ఏకవర్ణ) జనకాన్ని ఉపయోగిస్తే;
c) చీలికల మధ్య అంతరం పెరిగితే;
d) జనకం చీలికను జంట చీలిక తలానికి దగ్గరగా జరిపితే;
e) జనకం చీలిక వెడల్పు పెరిగితే;
f) ఏకవర్ణ కాంతి జనకం బదులు వేరొక తెల్లని కాంతి జనకాన్ని ఉపయోగిస్తే
(ప్రతి ఒక్కో పరిక్రియలో నిర్దేశించినవి మినహా, అన్ని పరామితులు మారకుండా ఉంటాయి.)
జవాబు:
a) పట్టీల కోణీయ అంతరం (= λd) స్థిరంగా ఉంటుంది. చీలికల తలం నుంచి తెరకు గల దూరానికి అనులోమానుపాతంగా పట్టీల వాస్తవ అంతరం పెరుగుతుంది.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year Commerce Study Material 5th Lesson వినియోగదారుల రక్షణ Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year Commerce Study Material 5th Lesson వినియోగదారుల రక్షణ

వ్యాసరూప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వినియోగదారుల రక్షణ చట్టం 1986 ప్రకారం వినియోగదారుని హక్కులను వివరించండి.
జవాబు:
వ్యాపారులు తమ యొక్క సామాజిక బాధ్యతలను గురించి పూర్తిగా అవగాహన కలిగి ఉన్నప్పటికి అనేక చోట్ల వినియోగదారుడు దోపిడికి గురి అవుతున్నాడు. ఆ కారణముచేత భారత ప్రభుత్వము వినియోగదారుల చట్ట పరిధిలో దిగువ తెలపబడిన వినియోగదారుల హక్కులను పొందుపరచడమైనది.
1) భద్రత హక్కు: తన ప్రాణమునకు గాని, ఆస్తులకు గాని ప్రమాదకరమైన వస్తువులు లేదా సేవల వినియోగము నుండి భద్రత వినియోగదారుని హక్కుగా పరిగణించడమైనది. దీని వలన భద్రమైన జీవనము సాగించుటకు వీలు కల్పించబడినది.

2) సమాచార హక్కు : వస్తువులు మరియు సేవలకు సంబంధించిన నాణ్యత, పరిమాణము, స్వచ్ఛతల గురించి పూర్తి సమాచారము పొందు హక్కు కల్పించబడినది. కాబట్టి ఉత్పత్తిదారుడు వస్తువుకు సంబంధించిన పూర్తి సమాచారమును వినియోగదారునకు అందించవలెను.

3) ఎంపిక హక్కు : తన ఇష్టానికి సరితూగే విధముగా వస్తువుల కొనుగోలు, సేవలను పొందే హక్కు వినియోగదారునకు ఇవ్వబడినది. పంపిణీదారులు వారి ఇష్ట ప్రకారము వినియోగదారులకు వస్తువులు అమ్మరాదు. వినియోగదారులను బలవంతము చేయరాదు. తన ఇష్టానుసారం వస్తువులను ఎంపిక చేసుకునే హక్కు, స్వేచ్ఛ వినియోగదారునకు ఉన్నది.

4) వినియోగదారునకు అవగాహన కల్పించు హక్కు : ఒక వస్తువును గురించి సరైన అవగాహన, నైపుణ్యం కలిగించుకునే హక్కు వినియోగదారునకు కల్పించబడినది. అక్షరాస్యులైన వినియోగదారులు వారి హక్కులు మరియు ఎలాంటి చర్యలు తీసుకునే జ్ఞానము కలిగి ఉంటారు.

5) సమస్యల పరిష్కార హక్కు తనకు జరిగిన దోపిడీ మరియు మోసానికి పరిష్కారము పొందుటకు, వ్యాపారస్తుల దోపిడీ నుంచి నష్టపరిహారము పొందే హక్కు కల్పించబడినది. ఈ హక్కు ద్వారా దోపిడీ, మోసము నుంచి న్యాయము కలుగజేయబడుతుంది.

6) వినిపించే, విన్నవించుకునే హక్కు : వినియోగదారుడు తనకు జరిగిన అన్యాయము గురించి విన్పించుటకు, వ్రాతపూర్వకముగా విన్నవించుకొనుటకు వినియోగదారునకు హక్కు ఉన్నది. తాను కొనుగోలు చేసిన వస్తువులు లోపభూయిష్టముగా ఉన్నా, తనకు అందించిన సేవలలో వ్యత్యాసము ఉన్ననూ వినియోగదారుని మాటలు వినవలెను.

ప్రశ్న 2.
వినియోగదారుని బాధ్యతలు ఏవి ?
జవాబు:
వినియోగదారుల ప్రయోజనాలను కాపాడుటకు ప్రభుత్వముగాని, స్వచ్ఛంద సంస్థలు గాని ఎన్ని ప్రయత్నాలు చేస్తున్నప్పటకీ వినియోగదారుడు తనకు తానుగా వ్యాపారస్తుల దోపిడీ నుంచి రక్షించుకొనుటకు ముందుకురావలెను. అందువలన దిగువ తెలిపిన బాధ్యతలను స్వీకరించవలెను.

1) వస్తువుల నాణ్యత అవగాహన : ఉత్పత్తిదారుల నీతి బాహ్యమైన చర్యల నుండి, కల్తీలను నిరోధించుటకు గాను తాను కొనదలచిన వస్తువుల నాణ్యతపై వినియోగదారుడు కొంత అవగాహన కలిగి ఉండుట అతని బాధ్యత. ఆ వస్తువులపై ఉన్న నాణ్యత ప్రమాణాలను ధృవీకరించిన (I.S.I) ఐ.యస్.ఐ, ఆగ్మార్క్, FPO, పూల్మార్క్, ఎకోమార్క్, హాల్మార్క్ కలిగిఉన్నవా గమనించాలి.

2) తప్పుదారి పట్టించే ప్రకటనల గురించి జాగ్రత్త : వస్తువుల నాణ్యత గురించి అతిశయోక్తిగా ఇవ్వబడే ప్రకటనలపై ఆధారపడకూడదు. ఇతర వినియోగదారులు ఎవరైతే వీటిని వినియోగిస్తున్నారో వారి నుంచి సమాచారము పొందవలెను.

3) ఎంపిక చేసుకునే ముందు వివిధ రకములైన వస్తువులను పరీక్షించే బాధ్యత : వస్తువులను పరీక్షించిన తర్వాత తాము వస్తువులను కొనటానికి ముందు నాణ్యత గురించి, విలువ, మన్నిక, కొన్న తర్వాత అమ్మకపుదారు అందించే సేవలు గురించి తెలుసుకోవాలి.

4) వినియోగదారుడు అమ్మకపుదారునితో జరిగిన వ్యవహారమునకు ఋజువు సంపాదించుట : వీరిద్దరి మధ్య జరిగిన లావాదేవీల గురించి సరైన వ్రాతపూర్వక ధృవీకరణను స్వీకరించి దానిని జాగ్రత్తగా భద్రపరచాలి. ఒకవేళ ఆ వస్తువుపై ఫిర్యాదు చేయవలసినపుడు అది ఉపయోగపడుతుంది. సాధారణముగా వాడే వస్తువులకు వ్యాపారస్తుడు వారంటీ లేక గ్యారంటీ పత్రమును కొనుగోలు చేసిన వస్తువుతో జత చేస్తారు. వాటిపై వ్యాపారస్తుని సంతకము చేసినాడో లేదో గమనించవలెను. వాటిపై వ్యాపార సంస్థ సీలు, తేదీ ఉన్నట్లు చూడవలెను. వాటి కాలపరిమితి ఉన్నంతవరకు భద్రపరచవలెను.

5) వినియోగదారుడు తన హక్కుల గురించి తెలుసుకొనవలెను : వస్తువుల కొనుగోలులోగాని, సేవలు ఉపయోగములోగాని పైన తెలిపిన హక్కులను గురించి సరియైన అవగాహన కలిగి, అవసరమైనపుడు వాటిని ఉపయోగించవలెను. తాము కొనుగోలు చేసిన వస్తువులలో ఎలాంటి లోపాలు లేకుండా వాటికి సంబంధించిన సమాచారము మొత్తం గ్రహించి నాణ్యతను కూడా గమనించి కొనుగోలు చేయవలెను.

6) వాస్తవమైన లోపానికి ఫిర్యాదు చేయుట : ఒక వినియోగదారునిగా మీరు కొన్న వస్తువుపై అసంతృప్తి ఉన్నట్లయితే దానిని పరిష్కరించవలసినదిగా కోరవచ్చును. ఈ విషయములో మీరు మొదట వ్యాపారస్తునికి కావలసిన పరిష్కారము గురించి విన్నవించవలెను. వ్యాపారస్తుడు ఆ ఫిర్యాదుకు స్పందించని యడల మీరు వినియోగదారుల ఫోరంను ఆశ్రయించవచ్చును. వాస్తవముగా మీరు కోరుతున్న పరిహారము, జరిగిన నష్టము సమర్థనీయముగా ఉండవలెను. అవాస్తవ ఫిర్యాదులు చేయకూడదు. బలమైన కారణము ఉండవలెను, లేనియెడల ఫోరం మీకు అపరాధ సుంకమును విధించవచ్చును.

7) వస్తుసేవలను సరిగా వినియోగించుకోవడం : వినియోగదారులు వస్తువుల వినియోగము జాగ్రత్తగా చేయవలెను. గ్యారంటీ కాలపరిమితి ఉన్న కారణముగా వేరొక వస్తువు బదులుగా వస్తుంది అనే భావనతో నిర్లక్ష్య ధోరణితో వినియోగించకూడదు.

ప్రశ్న 3.
వినియోగదారుల రక్షణ చట్టం 1986 క్రింద వినియోగదారుని సమస్యల పరిష్కారానికి యంత్రాంగమును వివరించండి.
జవాబు:
వినియోగదారుల రక్షణ చట్టము, 1986 వినియోగదారుల తగాదాల పరిష్కారానికి వివిధ స్థాయిలలో తగిన యంత్రాంగాన్ని ఏర్పాటు చేసినవి. ఈ యంత్రాంగాన్ని జిల్లాస్థాయి, రాష్ట్రస్థాయి మరియు జాతీయ స్థాయిలో ఏర్పాటు చేయడం జరిగినది.
1) జిల్లా ఫోరం : రాష్ట్ర ప్రభుత్వము ప్రతి జిల్లాలోను జిల్లా ఫోరంను నోటిఫికేషన్ ద్వారా ఏర్పాటు చేసినది. ఈ ఫోరంలో ఒక ప్రెసిడెంటును రాష్ట్ర ప్రభుత్వము నామినేట్ చేస్తుంది. జిల్లా కోర్టులో అతడు అర్హతగల జడ్జి అయి ఉండవలెను. మరో ఇద్దరు సభ్యులు కూడా ఉంటారు. అందులో ఒక స్త్రీ సభ్యురాలు కూడా ఉంటుంది. ఈ సభ్యులకు ఆర్థిక, న్యాయ, వాణిజ్య, పరిశ్రమలకు సంబంధించిన సమస్యలపై కనీసం 10 సంవత్సరాల అనుభవము ఉండవలెను. ఈ సభ్యుల వయస్సు 35 సంవత్సరాలు తక్కువ కాకూడదు మరియు గుర్తింపు పొందిన యూనివర్సిటీ పట్టభద్రులై ఉండాలి. ఫోరంలోని ప్రతి సభ్యుని కాలపరిమితి 5 సంవత్సరాలు లేదా 65 సంవత్సరాలు (ఏది ముందైతే అది).

కలెక్టర్ ఫోరం ఛైర్మన్గా ఉంటాడు. 20 లక్షల రూపాయలకు మించని వస్తువుల ధర మరియు కోరిన పరిహారము ఉన్నట్లయితే జిల్లా ఫోరంలో ఫిర్యాదు చేయవచ్చును. ఒకవేళ జిల్లాఫోరంలో ఫిర్యాదుదారు సంతృప్తి పొందకపోతే, ఆదేశాలను జారీచేసిన 30 రోజులలోపు రాష్ట్ర కమీషన్కు అప్పీలు చేసుకోవచ్చును.

2) రాష్ట్ర కమీషన్ : రాష్ట్ర కమీషన్ వినియోగదారుల తగాదాలను రాష్ట్ర స్థాయిలో పరిష్కరిస్తుంది. రాష్ట్ర కమీషన్లో ఒక హైకోర్టులో అర్హత గలిగిన జడ్జి మరియు ఇద్దరుకు తక్కువ కాకుండా మరియు నిర్ణయించిన సభ్యులకు మించకుండా ఉంటారు. అందులో ఒక స్త్రీ సభ్యురాలై ఉంటుంది. రాష్ట్ర కమీషన్ 20 లక్షల రూపాయలకు మించని వస్తువుల ధర మరియు కోరిన పరిహారము ఉన్న ఫిర్యాదులను స్వీకరిస్తుంది. రాష్ట్ర పరిధిలోని వినియోగదారుని తగాదా విషయములో అవసరమైన రికార్డులు తెప్పించి సరైన ఆదేశాలను జారీ చేయవచ్చును. జిల్లా ఫోరంలో పెండింగ్లో ఉన్న ఏ ఫిర్యాదునైనా ఒక ఫోరం నుంచి మరొక ఫోరంనకు బదిలీ చేయవచ్చు. దీనికి సర్క్యుట్ బెంచీలు ఉన్నవి. ఒకవేళ బాధిత వ్యక్తి ఈ |కమీషన్ ఆదేశాలతో తృప్తి చెందకపోతే ఆ ఆదేశాలు వెలువడిన 30 రోజులలోపు జాతీయ కమీషన్కు అప్పీలు చేసుకొనవచ్చును.

3) జాతీయ కమీషన్ : 1988 వ సంవత్సరములో కేంద్ర ప్రభుత్వము జాతీయ కమీషన్ ను ఏర్పాటు చేసినది. ఇది జాతీయస్థాయిలో పని చేస్తుంది. వినియోగదారుల సమస్యలను పరిష్కరించుటకు ప్రభుత్వముచే ఏర్పాటు చేయబడిన అత్యున్నత స్థానము. దీని కార్యాలయము కొత్త ఢిల్లీలో ఉన్నది. జాతీయ కమీషన్లో ఒక ప్రెసిడెంటు మరియు నలుగురు సభ్యులు, అవసరమయితే అంతకుమించి ఉంటారు. ఆ సభ్యులలో ఒకరు స్త్రీ సభ్యురాలు ఉంటారు. ప్రెసిడెంట్ సుప్రీంకోర్టు జడ్జీగాని, విశ్రాంతి జడ్జిగాని అయి ఉండాలి. సభ్యులందరూ గుర్తింపు పొందిన యూనివర్సిటీలో పట్టభద్రులై ఉండాలి. ప్రెసిడెంటు, మిగిలిన సభ్యులను కేంద్ర ప్రభుత్వము నియమిస్తుంది. ఒక కోటి రూపాయలకు మించిన విలువ గల వస్తువులు మరియు కోరిన పరిహారము ఉన్నట్లయితే జాతీయ కమీషన్కు ఫిర్యాదు చేయవచ్చును. జాతీయ కమీషన్ ఇచ్చిన తీర్పుతో బాధితుడు సంతృప్తి పొందకపోతే ఉత్తర్వులు జారీ చేసిన 30 రోజులలోపు సుప్రీంకోర్టుకు అప్పీలు చేయవచ్చు.

ప్రశ్న 4.
వినియోగదారుల రక్షణ చట్టము 1986 క్రింద ఏ వ్యక్తులు ఫిర్యాదు నమోదు చేయవచ్చు? ఎటువంటి ఫిర్యాదు నమోదు చేయవచ్చు ? ఫిర్యాదు ఎక్కడ ? ఎలా ? నమోదు చేయాలో చెప్పండి ?
జవాబు:
వినియోగదారుడు తనకు కలిగిన నష్టానికి సంబంధించి సరైన ఫోరంలో ఫిర్యాదు చేయవలెను. వినియోగదారుల రక్షణ చట్టము 1986 ప్రకారం దిగువ తెలిపిన వ్యక్తులు ఫిర్యాదు చేయవచ్చు.

1. వినియోగదారుడు.
2. వినియోగదారుల స్వచ్ఛంద సంఘము. ఇందులో సభ్యత్వము లేకపోయినా ఆ వ్యక్తి తరపున వీరు ఫిర్యాదు చేయవచ్చును.
3. కేంద్ర/రాష్ట్ర ప్రభుత్వము.
4. ఒకే రకమైన ఫిర్యాదులు చేయదలిచిన వ్యక్తులు కలిసి ఫిర్యాదు చేయవచ్చును.
5. వినియోగదారునకు మరణం సంభవించిన అతని తరపున అతని వారసుడు.

ఒకరు లేదా అంతకు మించిన వారితరపున ఒక వినియోగదారుడు ఫిర్యాదు చేయవచ్చును.

1. చేయకూడని వ్యాపారము, నిషేధించిన వ్యాపారమును చేయు వ్యాపారస్తులు, సరిగా సేవలను అందించని సేవా కేంద్రాలపై ఫిర్యాదు చేయవచ్చు.
2. కొనుగోలు చేసిన వస్తువులు, కొనుగోలుకై చేసుకున్న ఒప్పందానికి సంబంధించిన వస్తువులలో లోపాలు ఉన్నప్పుడు.
3. అందించవలసిన సేవలలో లేక అందించుటకు జరిగిన ఒప్పందము ప్రకారము సేవలలో లోటు ఏర్పడినపుడు.
4. నిర్ణయించిన ధర కంటే ఎక్కువ ధర కలిగినపుడు :
   ఎ) అప్పటికి అమలులో ఉన్న చట్టబద్ధమైన విలువకు ఎక్కువగా ఉన్నట్లయితే;
   బి) ఆ వస్తువులో పేర్కొన్న ధర కంటే;
   సి) ధరల పట్టికలో పేర్కొన్న ధర కంటే;
   డి) అమ్మకపుదారుడు మరియు కొనుగోలుదారు చేసుకున్న ఒప్పందము ప్రకారము;
   ఇ) భద్రతలేని, ప్రాణహాని కలిగించే వస్తువులు లేదా సేవలకు సంబంధించి హాని జరిగితే;

కొనుగోలు చేసిన వస్తువులు/సేవలు మరియు కోరిన పరిహారము 20 లక్షల రూపాయలలోపు ఉన్నట్లయితే జిల్లా ఫోరంలో ఫిర్యాదు చేయాలి. 20 లక్షల రూపాయల నుంచి 1 కోటి రూపాయలు దాటకపోతే ఫిర్యాదులు రాష్ట్ర ఫోరంలో చేయాలి. ఒక కోటి రూపాయలు మించినచో జాతీయ కమీషన్కు ఫిర్యాదు చేయవలెను.

ఫిర్యాదును వ్యక్తిగతముగా గాని, అధీకృత ఏజెంటు ద్వారా గాని లేదా పోస్టు ద్వారా చేయవచ్చు. సరైన సాక్ష్యాధారాలతో చేయనున్న ఆరోపణను ఆధారముగా చూపి ఒక పేపరుపై ఫిర్యాదు చేయవలెను. ఇందులో కోరిన పరిహారము కూడా స్పష్టముగా తెలపవలెను. ఈ పరిస్థితులు తలయెత్తిన సమయము, స్థలము తెలుపుతూ ఫిర్యాదు దారుని మరియు ఎవరిపై చేయదలచినారో ఆ వ్యక్తి చిరునామా ఇతర వివరాలు తెలపవలెను.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వినియోగదారుని అర్థం తెలపండి.
జవాబు:
వినియోగదారుని రక్షణ చట్టం 1986 ప్రకారము వస్తువులకు సంబంధించి వినియోగదారుడు అంటే వస్తువు కొనుగోలుదారు. ప్రతిఫలాన్ని చెల్లించడం ద్వారా లేదా చెల్లిస్తానని తెల్పడం ద్వారా వస్తువులను కొనుగోలు చేస్తానని ” హామీ ఇచ్చినవారు, పూర్తిగా లేదా పాక్షికముగా ప్రతిఫలాన్ని చెల్లించి వస్తువులు కొన్నవారు, వస్తువులను కొనుగోలుదారు అంగీకారముతో ఉపయోగించేవారు. సేవల విషయములో, ప్రతిఫలానికి సేవలను పొందేవారు లేదా అద్దెకు పొందేవారు, సేవలను కొనుగోలుదారు అంగీకారముతో ఉపయోగించేవారు.

ప్రశ్న 2.
వినియోగదారిత్వం అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
వినియోగదారిత్వము వ్యాపారము మీద వినియోగదారుని ఒత్తిడిని వ్యవస్థీకరించుట ద్వారా మార్కెట్లో అతని హక్కులను పరిరక్షించడము. వినియోగదారిత్వము అనగా వినియోగదారుల రక్షణ చట్టము 1986లో తెలపబడిన వినియోగదారుల హక్కులను రక్షించి చెల్లించే వస్తుసేవలకు సరైన ప్రమాణాలు ఉండేటట్లు చూడడము. ఫిలిఫ్ కొట్లర్ వినియోగదారిత్వము ఒక సామాజిక ఉద్యమము. దీనిలో అమ్మకపుదారులకు సంబంధించి కొనుగోలుదారుల హక్కులను తెలియజేయుట.

పై నిర్వచనాలను బట్టి వినియోగదారిత్వము అనగా ఇది పెరుగుతున్న సామాజిక శక్తి. ఇది వినియోగదారుల హక్కులను గురించి అవగాహన కల్గిస్తుంది. ఈ హక్కుల రక్షణకై

1. వినియోగదారులకు బోధించి, వారి హక్కులకై పోరాడేటట్లు సంచయమును కలుగజేస్తుంది.
2. వినియోగదారుల న్యాయమైన హక్కులను హామీ ఇచ్చే విధముగా ప్రభుత్వముపై ఒత్తిడిని తేవడం.
3. వ్యాపారము నిజాయితీగాను, బాధ్యతగా చేసేటట్లు చూడటం.
4. వ్యాపారములో అనుచిత చర్యలు, అన్యాయాలు జరగకుండా నివారించడం.

ప్రశ్న 3.
వినియోగదారుని రక్షణ అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
వినియోగదారుల ఆసక్తిని, హక్కులను పరిరక్షించడాన్ని వినియోగదారుని రక్షణ అంటారు. వ్యాపార సంస్థల అనుచిత చర్యలను అరికట్టడానికి, వినియోగదారుల ఇబ్బందులను నివారించడం ద్వారా వినియోగదారులను రక్షించడాన్ని వినియోగదారుని రక్షణగా చెప్పవచ్చును. దిగువ తెల్పబడినవి సాధారణముగా వ్యాపారములో కన్పించే అనుచిత చర్యలు.

1. కల్తీ వస్తువులను అమ్మడం, అమ్మే వస్తువులలో నాసిరకం వస్తువులను కలపడం.
2. అసలు వస్తువులకన్నా తక్కువ విలువ గల వస్తువులను అమ్మడం.
3. తక్కువ ప్రమాణము గల వస్తువులను అమ్మడం.
4. నకిలీ వస్తువుల అమ్మకము.
5. తూనికలు, కొలతలలో లోపం.
6. అక్రమ నిల్వ, నల్లబజారు. ఈ చర్యల వలన కొరత, ధరలలో పెరుగుదల ఏర్పడతాయి.
7. గరిష్ట రిటైల్ ధర కన్నా ఎక్కువ మొత్తాన్ని వసూలు చేయడం.
8. లోపభూయిష్టమైన వస్తువుల సరఫరా.
9. తప్పుదోవ పట్టించే ప్రకటనలు.
10. చౌకబారు సేవలను సప్లయి చేయుట.

ప్రశ్న 4.
మహాత్మా గాంధీ మాటలలో వినియోగదారుడు అనగా ?
జవాబు:
జాతిపిత మహాత్మాగాంధీ ఒక గొప్ప నాయకుడే కాదు గొప్ప దార్శినికుడు కూడా. ఆర్థికపరమైన రక్షణ చర్యల ద్వారా వినియోగదారులను మోసాల నుండి కాపాడాలని ఉద్భోదించారు. ప్రస్తుతం దేశములో అసంఖ్యాక వాణిజ్య కేంద్రాలు, ప్రభుత్వ కార్యాలయాలలో ఆయన వినియోగదారుని విషయములో పేర్కొన్న దిగువ సూత్రాలు పొందు పరచిన బోర్డులు దర్శనమిస్తాయి.

“మన వద్దకు వచ్చే అందరి వ్యక్తులలో వినియోగదారుడు అందరి కంటే ముఖ్యమైనవాడు. అతడు మనపై ఆధారపడి జీవించటం కాదు. మనమే అతనిపై ఆధారపడుతున్నాము. అతడు మన కార్యకలాపాలకు ఆటంకము కాదు. మనము చేసే పనులన్నీ అతని కోసమే. మన వ్యాపారమునకు సంబంధించి అతడు బయట వ్యక్తికాదు. అతడే మన వ్యాపారములో ముఖ్యభాగస్వామి. అతనికి సేవలను అందించడం ద్వారా మనం అతనికి ఏదో మేలు చేస్తున్నట్లుగా భావించరాదు. సేవలను అందించే అవకాశం మనకు కల్పించడం ద్వారా అతనే మనకు ఎంతో మేలు చేస్తున్నాడు”.

ప్రశ్న 5.
జిల్లా ఫోరం.
జవాబు:
రాష్ట్ర ప్రభుత్వముచే ప్రతి జిల్లాలో ఈ ఫోరం ఏర్పాటుచేయబడును. జిల్లా ఫోరంనకు ఒక ఛైర్మన్ మరియు ఇద్దరు సభ్యులు ఉంటారు. అందులో ఒక స్త్రీ సభ్యురాలై ఉంటుంది. జిల్లా జడ్జీ స్థాయి ఉన్న వ్యక్తి ఈ ఫోరానికి అధికారి. 20 లక్షల రూపాయలకు మించని వస్తువుల ధర మరియు కోరిన పరిహారము ఉన్నట్లయితే జిల్లాఫోరంలో ఫిర్యాదు చేయవచ్చును. ఒకవేళ జిల్లా ఫోరంలో వినియోగదారుడు సంతృప్తి పొందకపోతే ఆదేశాలు వెలువడిన 30 రోజులలో రాష్ట్ర కమీషన్కు అప్పీలు చేసుకొనవచ్చును.

ప్రశ్న 6.
రాష్ట్ర కమీషన్.
జవాబు:
రాష్ట్ర కమీషన్ ను రాష్ట్ర ప్రభుత్వాలు తమ రాష్ట్రాలలో ఏర్పాటు చేసినవి. రాష్ట్ర కమీషన్ లో ఒక ప్రెసిడెంటు, ఇద్దరు సభ్యులు తక్కువ కాకుండా, నిర్దేశించబడిన సభ్యుల సంఖ్య మించకుండా ఉంటారు. ఇందులో ఒక స్త్రీ సభ్యురాలై ఉంటుంది. హైకోర్టు స్థాయి గల జడ్జీ పర్యవేక్షణలో ఉంటాడు. 20 లక్షల రూపాయలకు మించి 1 కోటి రూపాయలకు తక్కువగా ఉన్న వస్తువుల విలువ మరియు కోరిన పరిహారము ఈ పరిమితిలో ఉన్నట్లయితే వ్రాతపూర్వకముగా ఇందులో ఫిర్యాదు చేయవచ్చు. ఒకవేళ బాధిత వ్యక్తి ఈ కమీషన్ ఆదేశాలకు తృప్తి చెందనట్లయితే ఈ ఆదేశాలు వెలువడిన 30 రోజులలోపు జాతీయ కమీషన్కు అప్పీలు చేసుకోవచ్చును.

ప్రశ్న 7.
జాతీయ కమీషన్.
జవాబు:
1988లో కేంద్ర ప్రభుత్వము జాతీయ కమీషన్ ను ఏర్పాటు చేసినది. వినియోగదారుల సమస్యలను పరిష్కరించుటకు ప్రభుత్వముచే ఏర్పాటు చేయబడిన అత్యున్నత స్థానము. దీనిని ఢిల్లీలో ఏర్పాటు చేసారు. ఇందులో ఒక ప్రెసిడెంటు మరియు నలుగురు సభ్యులు, (అవసరమయితే అంతకుమించి) వారిలో ఒక స్త్రీ సభ్యురాలై ఉంటుంది. సుప్రీంకోర్టు జడ్జీగాని, విశ్రాంత జడ్జీగాని దీనికి సారథ్యము వహిస్తారు. ఒక కోటి రూపాయలకు మించిన విలువ గల వస్తువులు మరియు కోరిన పరిహారము ఉన్నట్లయితే జాతీయ కమీషన్ ఎదుట ఫిర్యాదు చేయవచ్చును. జాతీయ కమీషన్ వెలువరించిన తీర్పుతో సంతృప్తి పొందని పక్షములో ఈ ఉత్తర్వులు వెలువడిన 30 రోజులలోపు బాధితుడు సుప్రీంకోర్టును ఆశ్రయించవచ్చును.

Andhra Pradesh BIEAP AP Inter 2nd Year Physics Study Material 6th Lesson ప్రవాహ విద్యుత్తు Textbook Questions and Answers.

AP Inter 2nd Year Physics Study Material 6th Lesson ప్రవాహ విద్యుత్తు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వాహకంలో ఎలక్ట్రాన్ స్వేచ్ఛా పథమాధ్యమాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు:
ఒక వాహకంలో, ఒక ఎలక్ట్రాన్ రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య ప్రయాణించిన సరాసరి దూరంను వాహకంలో ఎలక్ట్రాన్ సరాసరి స్వేచ్ఛాపథ మాధ్యమము అంటారు.

ప్రశ్న 2.
ఓమ్ నియమాన్ని తెలిపి, దాని గణిత రూపం రాయండి.
జవాబు:
ఓమ్ నియమము :
స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, వాహకంలో విద్యుత్ ప్రవాహసత్వం (1), దాని రెండు చివరల పొటెన్షియల్ తేడా (V) కు అనులోమానుపాతంలో ఉండును.
∴ I ∝ V ⇒ I = \(\frac{V}{R}\) ⇒ V = IR (గణితరూపం)
ఇక్కడ R ఒక స్థిరాంకం. దీనినే వాహకం నిరోధం అంటారు.

ప్రశ్న 3.
నిరోధకత లేదా విశిష్ట నిరోధంను నిర్వచించండి.
జవాబు:
నిరోధకత లేక విశిష్ట నిరోధం :
ప్రమాణ పొడవు మరియు ప్రమాణ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం గల వాహకం నిరోధంను నిరోధకత అంటారు.
l = 1, A = 1 ⇒ ρ = \(\frac{R\times1}{1}\) ⇒ ρ =R

ప్రశ్న 4.
ఉష్ణోగ్రత నిరోధ గుణకంను నిర్వచించండి.
జవాబు:
ఉష్ణోగ్రత నిరోధ గుణకం :
ప్రమాణ ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలకు నిరోధకతలోని మార్పుకు, 0°C వద్ద నిరోధకంనకు గల నిష్పత్తిని ఉష్ణోగ్రత నిరోధ గుణకం అంటారు.
α = \(\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{t}}-\mathrm{R}_0}{\mathrm{R}_0 \mathrm{t}}\)

ప్రశ్న 5.
ఘటాల మిశ్రిత సంధానం ద్వారా ప్రవహించే విద్యుత్ ఏ సందర్భాల్లో గరిష్ఠంగా ఉంటుంది ?
జవాబు:

1. అన్ని ఘటాల ప్రభావ వి.చా.బ గరిష్ఠం అయిన
2. బాహ్య నిరోధం, అన్ని ఘటాల అంతర నిరోధాల మొత్తమునకు సమానమయినప్పుడు, ఘటాల మిశ్రమ గ్రూపింగ్ విద్యుత్ ప్రవాహం గరిష్ఠం.

ప్రశ్న 6.
ఒక తీగను దాని ద్రవ్యరాశిలో మార్పు లేకుండా తొలి పొడవు రెట్టింపు అయ్యేట్లు సాగదీస్తే, తీగ నిరోధకత ఎలా ప్రభావితం అవుతుంది?
జవాబు:
ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు లేకుండా, ఒక పదార్థం పరిమాణంలో మార్పు లేకుండా, తీగ నిరోధకత్వం మారదు.

ప్రశ్న 7.
ప్రామాణిక నిరోధకాల తయారీలో మాంగనీన్ను ఎందుకు ఉపయోగిస్తారు?
జవాబు:
మాంగనీన్ (Cu-84% + Mn – 12% + Ni – 4%) తీగ హెచ్చు నిరోధకత్వం (ρ) మరియు అల్ప ఉష్ణోగ్రత నిరోధ గుణకంను కల్గి ఉండుట వల్ల ప్రమాణ నిరోధాలలో వాడతారు.

ప్రశ్న 8.
కార్బన్ నిరోధకంపై గుర్తించిన రంగుల పట్టీల క్రమం: ఎరుపు, ఎరుపు, ఎరుపు, వెండి, అయితే దాని నిరోధం, సహనం ఎంత?
జవాబు:

ఎరుపు, ఎరుపు, ఎరుపు గుర్తులతో మార్కు చేయబడిన కార్బన్ నిరోధం = 22 × 10² = 2.2kΩ = 2200Ω
[∵ ఎరుపు క్రమ సంఖ్య = 2 మరియు లబ్ద కారకం = 10²]
కార్బన్ నిరోధకము టోలరెన్స్ = 10²

ప్రశ్న 9.
23 కిలో ఓమ్ల నిరోధం గల కార్బన్ నిరోధకం రంగుల కోడ్ను రాయండి.
జవాబు:
23 కిలో ఓమ్స్ (= 23 × 10³Ω) కార్బన్ నిరోధకం కలర్ కోడ్ వరుసగా ఎరుపు, నారింజ, నారింజ.
[∵ ఎరుపుకు క్రమసంఖ్య 2, నారింజకు 3, నారింజ లబ్ది కారకం 10³]

ప్రశ్న 10.
ఒక వాహకం చివరల మధ్య అనువర్తించిన వోల్టేజిని Vనుంచి 20కి పెంచితే, ఎలక్ట్రాన్ల డ్రిఫ్ట్ వేగం ఎలా మారుతుంది?
జవాబు:

∴ డ్రిఫ్ట్ వేగం రెండు రెట్లు పెరుగును.

ప్రశ్న 11.
సమాన పొడవులు గల రాగి, మాంగనీస్ తీగలు సమాన నిరోధాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. వాటిలో ఏది మందమైంది?
జవాబు:
R = \(\frac{\rho \mathrm{A}}{l}\) ⇒ A = \(\frac{Rl}{\rho}\)
ρ_రాగి < ρ_{మాంగనీస్} కావున రాగితీగ, మాంగనీన్ తీగకన్నా మందమైంది.

ప్రశ్న 12.
గృహ ఉపకరణాలను ఎందుకు సమాంతరంగా కలుపుతారు?
జవాబు:
గృహోపకరణ తీగలను సమాంతరంగా కలిపితే, ప్రతి దానిపై వోల్టేజి సమానం. వాని గుండా ప్రవహించి విద్యుత్ (1) గృహోపకరణ సామర్థ్యంపై ఆధారపడును. హెచ్చు సామర్థ్య గృహోపకరణం ఎక్కువ విద్యుత్ను తీసుకొనును. తక్కువ సామర్థ్య గృహోపకరణం తక్కువ విద్యుత్ను తీసుకొనును.
(∵ P = VI or I ∝ P)

ప్రశ్న 13.
లోహాలలో ఎలక్ట్రాన్ డ్రిఫ్ట్ వడి తక్కువ (~ms^-1), ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశం కూడా చాలా తక్కువ (~10^-19C), అయినప్పటికీ లోహంతో అధిక పరిమాణంలో విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని మనం పొందగలుగుతున్నాం. ఎందుకు?
జవాబు:
లోహం గుండా విద్యుత్ ప్రవాహం, I = n A eV_d.

Aలోహ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం. ఎలక్ట్రాన్ అవసర వడి V_d(~10⁵ms^-1) జన్వల్పము. ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశం e(~1.6 × 10^-19C) కూడా చాలా స్వల్పము. వాహకంలో చాలా స్వేచ్ఛా ఎలక్ట్రాన్లు (~ 10²⁹ m^-3) ఉండుట వల్ల, వాహకంలో ఎక్కువ పరిమాణం ఉన్న విద్యుత్ ప్రవాహంను ఇంకను పొందుతాము.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
10V emf, 3Ω అంతర్నిరోధం గల ఒక బాటరీని R నిరోధానికి సంధానం చేశారు.
i) వలయంలో విద్యుత్ ప్రవాహం 0.5 A అయితే, R విలువను లెక్కించండి.
ii) వలయం మూసి ఉంటే బాటరీ టెర్మినల్ వోల్టేజి ఎంత ?
జవాబు:
ఇచ్చినవి E 10 V, r = 3Ω, I = 0.5 A, R = ?, V = ?

i) E = I (R + r)
లేక R + r = \(\frac{E}{I}=\frac{10}{0.5}\) = 20Ω
⇒ R = 20 – 3 = 17Ω

ii) టెర్మినల్ వోల్టేజి, V = IR
= 0.5 × 17 = 8.5Ω

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘటం అంతర్నిరోధం తెలుసుకోవడానికి పొటెన్షియోమీటర్ ఎలా ఉపయోగపడుతుందో తెలిపే వలయం రేఖా చిత్రాన్ని గీయండి. దానికి సూత్రాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:

పొటెన్షియోమీటర్తో అంతర్నిరోధం (r) ను కొలుచుట :
1) అంతర్నిరోధం కొలుచు పొటెన్షియోమీటర్ పటంలో చూపబడింది.
2) ఘటం(వి. చా. బ.) అంతర్నిరోధం (r)ను నిర్ణయించుటకు కీ K₂ ద్వారా నిరోధాల పెట్టె సంధానం చేయబడి ఉంటుంది.
3) కీ K తెరిచి, సంతులన పొడవు l₁ (AN₁) పొందుతాము.
అప్పుడు ε = Φ l₁ …………… (1)
4) కీ K₂ ను మూస్తే నిరోధాల పెట్టె (R.B) ద్వారా, ఘటం నుండి విద్యుత్ ప్రవాహం I ప్రవహింపచేస్తుంది.
5) ఘటం, టెర్మినల్ పొటెన్షియల్ తేడా (V) అయినపుడు, సంతులన పొడవు I₂(AN₂) ను పొందితే అప్పుడు

ప్రశ్న 3.
మూడు నిరోధకాలను (i) శ్రేణి, (ii) సమాంతరంగా కలిపినప్పుడు ప్రభావాత్మక నిరోధానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
i) మూడు నిరోధకాలను శ్రేణిలో కలిపినప్పుడు ప్రభావ నిరోధం :

1. మూడు నిరోధకములు R₁, R₂ మరియు R₃ లు శ్రేణిలో పటంలో చూపినట్లు కలుపబడినవి. R₁, R₂ మరియు R₃ల వెంట పొటెన్షియల్ తేడాలు V₁, V₂ మరియు V₃. వాని గుండా ప్రవహించు విద్యుత్ I.
2. R₁, R₂ మరియు R₃ లకు ఓమ్ నియమము అనువర్తిస్తే,
   అప్పుడు V₁ = IR₁, V₂ = IR₂, V₃ = IR₃
3. ఈ శ్రేణిలో, V = V₁ + V₂ + V₃
   IR_s = IR₁ + IR₂ + IR₃ [∵ V = IR_s]
   ∴ R_s = R₁ + R₂ + R₃

ii) మూడు నిరోధాలను సమాంతరంగా కలిపినపుడు ప్రభావ నిరోధం :

1. మూడు నిరోధకములు R₁, R₂ మరియు R₃ లు సమాంతరంగా పటంలో చూపినట్లు కలుపబడినవి. ప్రతి నిరోధకము వెంట పొటెన్షియల్ తేడా V. వాని గుండా ప్రవహించు విద్యుత్లు I₁, I₂ మరియు I₃.

2. R₁, R₂ మరియు R₃ లకు ఓమ్ నియమము అనువర్తిస్తే, అప్పుడు V = I₁R₁ = I₂R₂ = I₃R₃

ప్రశ్న 4.
ఒక్కొక్కటి E emf, r అంతర్నిరోధం గల m ఘటాలను సమాంతరంగా సంధానం చేశారు. మొత్తం emf, అంతర్నిరోధం ఎంత ? ఘటాల మిశ్రిత సంధానం ద్వారా ఏ సందర్భాలలో విద్యుత్ ప్రవాహం గరిష్టంగా ఉంటుంది?
జవాబు:
ఘటాలను సమాంతరంగా కలిపినప్పుడు :

1) అంతర్నిరోధం r, వి.చా.బ. ౬ ఉన్న ఒకే రకమైన m ఘటాలను, బాహ్య నిరోధం R కు సమాంతరంగా పటంలో చూపినట్లు కలిపి ఉన్నాయని భావిద్దాం.

2) ఘటాలు సమాంతరంగా కలుపబడి ఉన్నాయి కావున వాని ప్రభావ అంతర్నిరోధం ను క్రింది సమీకరణం ఇస్తుంది.

3) Rమరియు r లు శ్రేణిలో ఉన్నాయి. వలయంలో మొత్తం
నిరోధం = R + \(\frac{r}{m}\)

4) ఒకే రకమైన ఘటాల సమాంతర సంయోగంలో, వలయంలో ప్రభావ వి.చా. బ. ఒకే ఒక వి.చా. బకు సమానము. ఎందువలన అనగా, ఈ సంయోగంలో ఎలక్ట్రోడుల పరిమాణం మాత్రమే పెరుగును. కాని వి. చా. బ. పెరగదు.

5) ∴ నిరోధంలో విద్యుత్ R = \(\frac{\varepsilon}{\mathrm{R}+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{m}}}=\frac{\mathrm{m} \varepsilon}{\mathrm{mR}+\mathrm{r}}\)

6) బాహ్య నిరోధం, అంతర్నిరోధంతో పోల్చినపుడు విస్మరించ దగిన విలువ కలిగి ఉంటే (R<<r) ఘటాల మిశ్రమ గ్రూపింగులో తీసుకొను విద్యుత్ గరిష్ఠము.

ప్రశ్న 5.
విద్యుత్ నిరోధాన్ని నిర్వచించండి. దాని SI ప్రమాణం రాయండి. కింది సందర్భాలలో వాహక నిరోధం ఎలా మారుతుందో తెల్చండి.
a) వాహకాన్ని దాని పొడవుకు 4 రెట్లు అయ్యేటట్లు సాగదీస్తే,
b) వాహక ఉష్ణోగ్రతను పెంచితే
జవాబు:
విద్యుత్ నిరోధం (R) :
వాహకంలో ఎలక్ట్రాన్ల ప్రవాహంను నిరోధించు ధర్మంను విద్యుత్ నిరోధం అంటారు. నిరోధం SI ప్రమాణం ఓమ్ (Ω).

b) ఉష్ణోగ్రతతో నిరోధంలో మార్పు R_t = R₀ (1 + α t)
ఉష్ణోగ్రత పెరిగిన, నిరోధం కూడా పెరుగును.

ప్రశ్న 6.
ఘటానికి శ్రేణిలో కలిపిన నిరోధం సగం అయితే, విద్యుత్ ప్రవాహం రెట్టింపు లేదా రెట్టింపు విలువకు స్వల్పంగా తక్కువ లేదా రెట్టింపు విలువకు స్వల్పంగా ఎక్కువ అవుతుంది. ఎందుకు?
జవాబు:
నిరోధం R ను E వి.చా.బ ఉన్న ఘటంనకు శ్రేణిలో కల్పితే,
విద్యుత్ I = \(\frac{\varepsilon}{R+r}\)

ii) r << \(\frac{R}{2}\) అయితే, విద్యుత్ I’ స్వల్పంగా 2 కన్నా ఎక్కువ.
iii) r, R కన్నా స్వల్పంగా ఎక్కువగా ఉంటే, విద్యుత్ (1) స్వల్పంగా 2 కన్నా తక్కువ.

ప్రశ్న 7.
రెండు ఘటాల emfలు, అంతర్నిరోధాలు వరుసగా 4.5V, 6.0V, 6Ω, 3Ω . ఈ ఘటాల రుణ టెర్మినల్స్న 18Ω నిరోధం గల తీగతో ధన టెర్మినలు నన్ను 12Ω నిరోధం గల తీగతో కలిపారు. ఈ తీగల మధ్య బిందువులను 24Ω నిరోధం గల మూడవ తీగ సంధానం చేస్తుంది. కిర్కాఫ్ నియమాలను ఉపయోగించి మూడవ తీగ కొనల మధ్య పొటెన్షియల్ భేదాన్ని కనుక్కోండి.
జవాబు:
1) నెట్వర్క్ వేర్వేరు భుజాల గుండా విద్యుత్ ప్రవాహాలను పటంలో చూపినట్లు భావిద్దాం.
2) ABCDA సంవృత వలయంనకు కిర్కాఫ్ వోల్టేజి. నియమాన్ని అనువర్తిస్తే,

ప్రశ్న 8.
10Ω నిరోధం గల మూడు నిరోధకాలను (i) కనిష్ట నిరోధం, (ii) గరిష్ట నిరోధం వచ్చేటట్లు సంధానం చేశారు. (a) ప్రతీ సందర్భంలో ప్రభావాత్మక నిరోధం, (b) ఆ విధంగా పొందిన కనిష్ఠ, గరిష్ఠ నిరోధాల నిష్పత్తిని గణించండి.
జవాబు:
ప్రతి నిరోధకము యొక్క నిరోధం R = 10Ω
నిరోధకముల సంఖ్య, n = 3

i) మూడు నిరోధకములను సమాంతరంగా కలిపితే, కనిష్ఠ నిరోధం పొందుతాము.
∴ కనిష్ట నిరోధం R_{కనిష్ట} R_p = \(\frac{R}{n}=\frac{10}{3}\)Ω = 3.33Ω
ii) మూడు నిరోధకములను శ్రేణిలో కలిపితే, గరిష్ట నిరోధం పొందుతాము.
∴ గరిష్ట నిరోధం R_{గరిష్ట} = R_s = nR = 3 × 10 = 30Ω

a) కనిష్ట నిరోధం పొందటానికి ప్రభావ నిరోధం,
R_{ప్రభావ} = \(\frac{R}{n}=\frac{10}{3}\) = 3.33Ω (సమాంతరంగా).
గరిష్ట నిరోధం పొందటానికి ప్రభావ నిరోధం,
R_{ప్రభావ} = nR = 3 × 10 = 30Ω (శ్రేణిలో)

ప్రశ్న 9.
ఒక విద్యుత్ జాలానికి కిర్కాఫ్ నియమాలను తెలపండి. ఈ నియమాలను ఉపయోగించి వీటన్ బ్రిడ్జికి సంతులన నిబంధనను రాబట్టండి. [TS. Mar. 16; Mar. ’14]
జవాబు:
1) కిర్కాఫ్ మొదటి నియమము (సంధి నియమము లేక KCL) :
ఏదైనా సంధి వద్ద విద్యుత్ ప్రవాహాల బీజీయ మొత్తం శూన్యం.
∴ ∑I = 0 (లేక)

సంధి వద్దకు చేరు విద్యుత్ ప్రవాహాల బీజీయ మొత్తము, సంధి నుండి దూరంగా పోవు విద్యుత్ ప్రవాహాల బీజీయ మొత్తమునకు సమానము.

2) కిర్కాఫ్ రెండవ నియమము (సంవృత నియమము లేక KVL) :
ఏదైనా సంవృత వలయం వెంబడి పొటెన్షియల్ల బీజీయ మొత్తం శూన్యం.
∴ ∑(IR) + ∑E = 0

వీటన్ బ్రిడ్జి :
వీటన్ బ్రిడ్జి వలయం R₁, R₂, R₃ మరియు R₄ నిరోధాలు పటములో చూపినట్లు కలుపబడి ఉంటాయి. A మరియు C ల మధ్య ε వి. చా. బ ఉన్న ఘటం, B మరియు D ల మధ్య ఒక గాల్వనామీటర్ పటంలో చూపినట్లు కలుపబడి ఉంటాయి. వేర్వేరు భుజాలలో విద్యుత్ ప్రవాహాలు I₁, I₂, I₃ మరియు I₄. గాల్వనా మీటర్ Gలో విద్యుత్ ప్రవాహము I_g.
కిర్కాఫ్ మొదటి నియమం ప్రకారం
D సంధి వద్ద I₁ – I₃ – I_g = 0 …………. (1)
B సంధి వద్ద I₂ + I_g – I₄ = 0 …………… (2)

కిర్కా రెండవ నియమమును ADBA సంవృత వలయముకు అనువర్తిస్తే,
-I₁R₁ – I_gG + I₂R₂ = 0 లేక
⇒ I₁R₁ + I_gG = I₂R₂ ………… (3)

కిర్కాఫ్ రెండవ నియమమును BCBD సంవృత G వలయంకు అనువర్తిస్తే,
-I₃R₃ + I₄R₄ + I_gG = 0
⇒ I₃R₃ – I_gG = I₄R₄ ……….. (4)

గాల్వనా మాపకం శూన్య అపవర్తనంను చూపితే, బిందువులు D మరియు B లు ఒకే పొటెన్షియల్ చూపును.

I_g = 0.
ఈ విలువను (1), (2), (3) మరియు (4)లలో ప్రతిక్షేపించగా
I₁ = I₃ ……….. (5)
I₂ = I₄ ……….. (6)
I₁R₁ = I₂R₂ ……….. (7)
I₃R₃ = I₄R₄ ……….. (8)

సమీకరణం (7) ను (8) చే భాగించగా

ప్రశ్న 10.
పొటెన్షియోమీటర్ పనిచేసే సూత్రాన్ని తెలపండి. పొటెన్షియోమీటర్ను ఉపయోగించి రెండు ప్రాథమిక ఘటాల emf లను ఎలా పోలుస్తారో వలయం రేఖా చిత్రం సహాయంతో వివరించండి. [AP. Mar: ’17; AP. Mar ’16]
జవాబు:
పొటెన్షియోమీటర్ పనిచేయు సూత్రము : పొటెన్షియోమీటర్ తీగ పొడవు వెంబడి పొటెన్షియల్ తేడా, తీగ పొడవుకు | అనులోమానుపాతంలో ఉండును. (లేక) ఏకరీతి తీగ గుండా నిలకడ విద్యుత్ ప్రవహిస్తే, ప్రమాణ పొడవుకు పొటెన్షియల్ తగ్గుదల లేక పొటెన్షియల్ నతిక్రమము స్థిరము.
i.s.ε ∝ l
⇒ ε = Φl. ఇక్కడ Φ పొటెన్షియల్ నతిక్రమము.

రెండు ఘటాల వి.చా.బ. లు ε₁ మరియు ε₁ లను పోల్చుట :

1. పొటెన్షియోమీటర్తో పోల్చవలసిన రెండు ఘటాల విచాబ E₁ మరియు E₂ లు పటంలో చూపబడినవి.
2. 1, 2, 3 బిందువుల గుర్తులు ఒక ద్విమార్గ కీను తెల్పును.
3. కీ మొదటి స్థానంలో 1, 3 లు గాల్వనామాపకం ద్వారా ఘటం ε₁ కి కలుపబడినవి.
4. జాకీని తీగవెంట A నుండి N₁ కు జరిపిన, గాల్వనా మీటర్
   అపవర్తనం సున్న. సంతులన పొడవు AN₁ = l₁.
   అప్పుడు ε₁ ∝ l₁ ⇒ ε₁ = Φl₁ …………… (1)
5. ఇదే విధంగా మరొక ఘటం ε₂, సంతులన పొడవు AN₂ = l₂.
   అప్పుడు ε₂ ∝ l₂ ⇒ ε₂ = Φl₂ …………… (2)
6. \(\frac{\text { (1) }}{(2)} \Rightarrow \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}=\frac{l_1}{l_2}\)

ప్రశ్న 11.
పొటెన్షియోమీటర్ పనిచేసే సూత్రాన్ని తెలపండి. పొటెన్షియోమీటర్ను ఉపయోగించి ఇచ్చిన ఘటం అంతర్నిరోధాన్ని ఎలా కనుక్కోవచ్చో వలయం రేఖా చిత్రం సహాయంతో వివరించండి. [TS. Mar. 17; AP & TS. Mar. 15]
జవాబు:
పొటెన్షియోమీటర్ పనిచేయు సూత్రము :
పొటెన్షియోమీటర్ తీగ పొడవు వెంబడి పొటెన్షియల్ తేడా, తీగ పొడవుకు అనులోమానుపాతంలో ఉండును. (లేక) ఏకరీతి తీగ గుండా నిలకడ విద్యుత్ ప్రవహిస్తే, ప్రమాణ పొడవుకు పొటెన్షియల్ తగ్గుదల లేక పొటెన్షియల్ నతిక్రమము స్థిరము.
i.e. ε ∝ l ⇒ ε = Φl ఇక్కడ పొటెన్షియల్ నతిక్రమము.

పొటెన్షియోమీటర్తో అంతర్నిరోధం (r) ను కొలుచుట :

1) అంతర్నిరోధం కొలుచు పొటెన్షియోమీటర్ పటంలో చూపబడింది.

2) ఘటం (వి.చా.బ. E) అంతర్నిరోధం (r) ను నిర్ణయించుటకు కీ K ద్వారా నిరోధాల పెట్టె సంధానం చేయబడి ఉంటుంది.

3) కీ K₂ తెరిచి, సంతులన పొడవు I₁ (AN₁) పొందుతాము.
అప్పుడు ε = Φ l₁ ………… (1)

4) కీ K ను మూస్తే నిరోధాల పెట్టె (R.B) ద్వారా, ఘటం నుండి విద్యుత్ ప్రవాహం I ప్రవహింపచేస్తుంది.

5) ఘటం, టెర్మినల్ పొటెన్షియల్ తేడా (V) అయినపుడు, సంతులన పొడవు I₂(AN₂) ను పొందితే అప్పుడు

ప్రశ్న 12.
GaAs కు అనువర్తించిన వోల్టేజి, విద్యుత్ ప్రవాహానికి గ్రాఫ్ను చూపండి. గ్రాఫ్లో (i) రేఖీయంగా లేని ప్రాంతం, (ii) ఋణాత్మక నిరోధ ప్రాంతాలను గుర్తించండి.
జవాబు:
V మరియు I ల మధ్య సంబంధం ఒకే విధంగా ఉండదు. ఒకే విద్యుత్ ప్రవాహం కు ఒకదాని కన్నా ఎక్కువ V విలువలు ఉండును. ఇటువంటి పదార్థ స్వభావంను GaAs (i.e., ఒక కాంతి ఉద్గార్గి డయోడ్) చూపును.

ప్రశ్న 13.
ఒక విద్యార్థి దగ్గర సమానమైన పొడవు, వ్యాసాలు గల ఇనుము, రాగి రెండు తీగలు కలవు. అతడు ఆ రెండు తీగలను మొదట శ్రేణిలో కలిపి ఆ సంధానం ద్వారా విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని క్రమేపీ పెంచాడు. ఆ తరువాత ఆ రెండు తీగలను సమాంతరంగా కలిపి పై విధంగా ప్రవాహాన్ని పంపడాన్ని పునరావృతం చేశాడు. ప్రతీ సందర్భంలోను ఏ తీగ మొదట వెలుగును ఇస్తుంది?
జవాబు:
1) శ్రేణి సంధానంలో, ఇనుము మరియు రాగితీగ గుండా ఒకే విద్యుత్ ప్రవహించును. ఉష్ణ ఉత్పత్తి రేటు, P ∝ I² R లేక P ∝ R. (∵ I = స్థిరం). ఒకే పొడవు, ఒకే వ్యాసము ఉన్న తీగలలో, ఇనుము తీగ నిరోధము, రాగి తీగ కన్నా ఎక్కువగా ఉండును. కావున ఇనుము తీగలో, ఉష్ణ ఉత్పత్తి రేటు క్రమముగా పెరుగును. శ్రేణి సంధానములో ఇనుము మొదట వెలుగును.

2) ఇనుము మరియు రాగి తీగల సమాంతర సంధానంలో, వాని వెంట ఒకే పొటెన్షియల్ తేడా (V) ఉండును. ఉష్ణ ఉత్పత్తి రేటు, P = \(\frac{V^2}{R}\) లేక P ∝ \(\frac{1}{R}\) (∵ V = స్థిరం), ఒకే పొడవు, ఒకే వ్యాసము ఉన్న తీగలలో, ఇనుము తీగ నిరోధం, రాగి, తీగకన్నా ఎక్కువగా ఉండును. కావున. రాగితీగలో, ఉష్ణ ఉత్పత్తి రేటు ఎక్కువ. సమాంతర సంధానంలో రాగితీగ మొదట వెలుగును.

ప్రశ్న 14.
సర్వ సమమైన మూడు నిరోధకాలను సమాంతరంగా కలిపినప్పుడు వలయం మొత్తం నిరోధం R/3. ప్రతీ నిరోధం విలువను కనుక్కోండి.
జవాబు:
మూడు నిరోధాలు ఒకే విధంగా ఉండును.
కావున R₁ = R₂ = R₃ = X (అనుకుందాము)
సమాంతర సంధానంలో మొత్తం నిరోధం, R_p = \(\frac{R}{3}\)
మూడు ఒకే విధమైన నిరోధాలు సమాంతరంగా కలుపబడితే, అప్పుడు

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక విద్యుత్ వలయంలో ఉత్పత్తి అయిన ఉష్ణం ఏ పరిస్థితుల్లో ఆ వలయం నిరోధానికి a) అనులోమానుపాతంలో,b) విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది ? ఈ రెండు సందర్భాల్లో ఉత్పత్తి అయిన ఉష్ణ పరిమాణాల నిష్పత్తిని గణించండి.

జవాబు:
విద్యుత్ ప్రవాహం వల్ల ఉష్ణ ఉత్పత్తికి సమాసము :
నిరోధం ఉన్న వాహకం AB ను భావిద్దాం.
AB వెంట ప్రయోగించిన పొటెన్షియల్ తేడా = V
AB గుండా పోవు విద్యుత్ = I
విద్యుత్ ప్రవహించిన కాలం = t

∴ t కాలంలో A నుండి B కు ప్రవహించిన మొత్తం ఆవేశం q = It.

పొటెన్షియల్ తేడా నిర్వచనం ప్రకారం, A నుండి B కు ప్రమాణ ఆవేశంను తీసుకొని పోవటానికి జరిగిన పని = V.
A నుండి B కు “q” ఆవేశంను తీసుకుపోవుటలో జరిగిన పని
W = V × q = VIt = I²Rt (∵ V = IR)
ఈ జరిగిన పనిని, విద్యుత్ జరిగిన పని అంటారు. ఈ విద్యుత్ జరిగిన పని ఉష్ణరూపంలో వెలువడును. వెలువడిన ఉష్ణ ఉత్పత్తి
H = W = I²Rt’ జౌల్
ఇదియే జౌల్స్ ఉష్ణ నియమ నిర్వచనం.
a) విద్యుత్ వలయంలో ప్రవహించిన ఉష్ణం వెలువడును.
i.e., H₁ ∝ R

b) ఒకే పొటెన్షియల్ తేడాను, విద్యుత్ వలయం వెంట ప్రయోగిస్తే, ఉష్ణం వెలువడును.
i. e., H₂ ∝ \(\frac{1}{R}\)

ప్రశ్న 2.
A, B అనే రెండు లోహపు తీగలను సమాంతరంగా సంధానం చేశారు. A అనే తీగ L పొడవు, వ్యాసార్థాన్ని కలిగి ఉంటే, B తీగ 2L పొడవు, 2. వ్యాసార్థాన్ని కలిగి ఉంది. సమాంతర సంధానం మొత్తం నిరోధానికి A తీగ నిరోధానికి గల నిష్పత్తిని గణించండి.
జవాబు:

2) A మరియు B తీగల సమాంతర సంధానంలో, మొత్తం నిరోధం.

4) సమాంతర సంధానంలో మొత్తం నిరోధంనకు తీగ నిరోధం A కు గల నిష్పత్తి

ప్రశ్న 3.
ఒక ఇంట్లో ఒక్కొక్కటి 100 W రేటింగ్ ఉన్న 3 విద్యుత్ బల్బులు రోజుకు 4 గంటలు వెలుగుతున్నాయి. అలాగే 20W రేటింగ్ ఉన్న ఆరు ట్యూబ్లెట్లు రోజుకు 5 గంటలు వెలుగుతున్నాయి. 400 W రిఫ్రిజిరేటర్ రోజుకు 10 గంటలు చొప్పున వినియోగిస్తే నెలకు 30 రోజుల చొప్పున ఒక యూనిట్కు రూ.4.00 వంతున విద్యుత్ బిల్లును లెక్కించండి.
జవాబు:
ఒక ఇంట్లో ఉన్న బల్బుల సంఖ్య, N = 3
ప్రతి బల్బుపై సామర్థ్య రేటు, P = 100 W
వెలిగించిన కాలం, t = 4 గం||లు

1 యూనిట్ ఖరీదు = రూ.4.00/-
174 యూనిట్ల ఖరీదు = యూనిట్ల సంఖ్య X ఒక యూనిట్ ఖర్చు = 174 × 4 = రూ.696/-
ఆ ఇంటికి ఒక నెలకు విద్యుత్ బిల్లు = రూ. 696/–.

ప్రశ్న 4.
4 ఓమ్లు, 6 ఓమ్లు, 12 ఓమ్లు గల మూడు నిరోధకాలను సమాంతరంగా సంధానం చేశారు. ఈ నిరోధకాల శ్రేణి సంయోగాన్ని 2 ఓమ్ల నిరోధానికి, 6Vల బ్యాటరీకి శ్రేణిలో సంధానం చేశారు. వలయం రేఖాచిత్రాన్ని గీసి, కింది మూడు సందర్భాలలోని విలువలను లెక్కించండి.
a) ప్రధాన వలయంలోని విద్యుత్ ప్రవాహం
b) సమాంతర సంధానంలో ప్రతీ నిరోధకం ద్వారా ప్రవహించే విద్యుత్.
c) 2 ఓమ్ల నిరోధకం ఉపయోగించిన పొటెన్షియల్ భేదం, సామర్థ్యం.
జవాబు:
ఇచ్చిన దత్తాంశమునకు వలయ పటం క్రింద ఇవ్వబడింది.

ప్రశ్న 5.
220 V వద్ద 100 W, 220 V వద్ద 60 W రేటింగ్లు గల రెండు బల్బులను 220 V సరఫరాకు సమాంతరంగా కలిపారు. సరఫరా తీగల నుంచి ఎంత విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని తీసుకుంటుంది?
జవాబు:
దత్తాంశము

ప్రశ్న 6.
3.0 × 10^-7 m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం, 5 A విద్యుత్ ప్రవహిస్తున్న రాగి తీగలోని వహన ఎలక్ట్రాన్ల సరాసరి డ్రిఫ్ట్ వడిని అంచనా వేయండి. ప్రతీ రాగి పరమాణువు ఒక వహన ఎలక్ట్రాను సమకూరుస్తుంది అని భావించండి. రాగి సాంద్రత 9.0 × 10³ kg/m³, దాని పరమాణు ద్రవ్యరాశి 63.5u.
జవాబు:
రాగితీగ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం A = 3 × 10^-7 m² రాగి తీగ ద్వారా విద్యుత్, I = 5 A
ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశం, e = 1.6 × 10^-19C
ఎలక్ట్రాన్ల వాహక సాంద్రత = ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో పరమాణువుల సంఖ్య

ప్రశ్న 7.
పై లెక్కలో వచ్చిన డ్రిఫ్ట్ వడిని కింది వాటితో పోల్చండి.
i) సాధారణ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద రాగి పరామణువుల ఉష్ణయవడి (Thermal speed)
ii) డ్రిఫ్ట్ గమనానికి కారణమై, తీగ వెంబడి వ్యాపనం (propagation) చెందే విద్యుత్ క్షేత్రం వడి.
జవాబు:
i) T ఉష్ణోగ్రత వద్ద, రాగి పరమాణు ద్రవ్యరాశి (M) ఉష్ణ వడిని క్రింది సమీకరణం నుండి రాబట్టవచ్చును.

∴ ఎలక్ట్రాన్ డ్రిఫ్ట్ వడి (V_d) = 1.047 × 10^-8 = సాధారణ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉష్ణవడి × 10^-8 రెట్లు

ii) వాహకం వెంట విద్యుత్ క్షేత్రం, విద్యుదయస్కాంత తరంగ వడితో ప్రయాణించును.

∴ అపసర వడిని C తో పోల్చిన, 10^-11 రెట్లు తక్కువగా ఉండును.

లెక్కలు Problems

ప్రశ్న 1.
10Ω మందమైన ఒక తీగను దాని పొడవు మూడు రెట్లు అయేటట్లు సాగదీశారు. సాగదీయడం వల్ల దాని సాంద్రతలో ఎటువంటి మార్పు లేదని భావించి సాగ దీసిన తీగ నిరోధం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినది R₁ = 10Ω
l₁ = l
l₂ = 3l
R₂ = ?

ప్రశ్న 2.
4R నిరోధం గల ఒక తీగను వృత్తాకారంలో వంచారు. దాని వ్యాసం కొనల మధ్యగల ప్రభావాత్మక నిరోధం ఎంత? [TS. Mar. 16; Mar. ’14]
సాధన:
పొడవాటి తీగ నిరోధం = 4R
సగం తీగ నిరోధం = \(\frac{4R}{2}\) = 2R

సగం పొడవున్న, రెండు తీగల చివరలు పటంలో చూపినట్లు కలిపితే వృత్తం ఏర్పడుతుంది. వ్యాసం వెంట తీగ చివరల మధ్య ప్రభావ నిరోధము,

ప్రశ్న 3.
15 Vm^-1 విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని ఒక వాహకం కొనల మధ్య అనువర్తించినప్పుడు, ఆ వాహకం 2.5 × 10⁶ Am^-2 విద్యుత్ ప్రవాహ- సాంద్రతను కలిగి ఉంది. ఆ వాహకం నిరోధకతను కనుక్కోండి.
సాధన:
విద్యుత్ ప్రవాహ సాంద్రత = J = \(\frac{I}{R}\)
= 2.5 × 10^-6 Am^-2
ప్రయోగించిన విద్యుత్ క్షేత్రం, E = 15 Vm^-1
వాహకం విశిష్టోష్ణం, ρ = \(\frac{E}{J}=\frac{15}{2.5\times10^6}\)
∴ ρ = 6 × 10^-6 Ωm.

ప్రశ్న 4.
5% సహనంతో 350ml ల నిరోధాన్ని కలిగి ఉన్న ఒక నిరోధకం రంగుల కోడ్ ఏమిటి?
సాధన:
ఒక నిరోధకము యొక్క నిరోధం = 350 mΩ
= 350 × 10^-3 Ω
= 35 × 10^-2 Ω

సహన శీలత (Tolerance) = 5%
మొదటి సార్థకసంఖ్య (3), మొదటి పట్టీను సూచించును.
రెండవ సార్థకసంఖ్య (5), రెండవ పట్టీను సూచించును.
మూడవ సార్థకసంఖ్య (10^-2) మూడవ పట్టీను సూచించును.

ప్రశ్న 5.
మీకు 8Ω నిరోధకం ఇచ్చారు. 6Ω నిరోధాన్ని పొందడానికి దానికి, 120 Ωm నిరోధకతను కలిగి ఉన్న ఎంత పొడవుగల తీగను సమాంతరంగా కలపాలి?
సాధన
నిరోధకము యొక్క నిరోధం R = 8Ω

తీగ విశిష్ట నిరోధం ρ = 120
1 పొడవున్న నిరోధంను Rకు సమాంతరంగా కలిపితే,
ప్రభావ నిరోధం, R_p = 6Ω

ప్రశ్న 6.
ఒక బ్యాటరీకి 3Ω, 6Ω, 9Ω మూడు నిరోధకాలను సంధానం చేశారు. ఒకవేళ a) అవన్నీ సమాంతరంగా కలిపినప్పుడు, b) అవన్నీ శ్రేణిలో కలిపినప్పుడు వాటిలోని ఏ నిరోధకంలో సామర్థ్య దుర్వ్యయం గరిష్టంగా ఉంటుంది. కారణాలను ఇవ్వండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి R₁ = 3Ω, R₂ = 6Ω, R₃ = 9Ω

a) సమాంతరంగా కలిపిన నిరోధాల ప్రభావ నిరోధము

∴ సమాంతర సంయోగంలో దుర్వ్యయ సామర్థ్యము,

b) శ్రేణిలో ప్రభావ నిరోధం,
R_s = R₁ + R₂ + R₃ = 3 + 6 + 9 = 18Ω
∴ శ్రేణిలో దుర్వ్యయ సామర్థ్యం
P_S ∝ R_S ⇒ P_S ∝ 18 → (2)

(1) మరియు (2) సమీకరణాల నుండి, దుర్వ్యయ సామర్థ్యం శ్రేణిలో గరిష్టం మరియు సమాంతరంగా కనిష్టం.

కారణాలు :

1. శ్రేణి సంధానంలో, P ∝ R మరియు V ∝ R. కావున దుర్వ్యయ సామర్థ్యం (P) మరియు పొటెన్షియల్ భేదం (V) ఎక్కువ. ఎందుకనగా ప్రతినిరోధకం వెంట విద్యుత్ ప్రవాహం సమానము.
2. సమాంతర సంధానంలో P ∝ \(\frac{1}{R}\) మరియు I ∝ \(\frac{1}{R}\) కావున దుర్వ్యయ సామర్థ్యం (P) మరియు పొటెన్షియల్ భేదము (V) తక్కువ. ఎందుకనగా ప్రతినిరోధకము వెంట వోల్టేజి సమానము.

ప్రశ్న 7.
ఒక వెండి తీగ 27.5°C వద్ద 2.1Ω నిరోధాన్ని, 100°C వద్ద 2.7Ω నిరోధాన్ని కలిగి ఉంది. వెండి ఉష్ణోగ్రత నిరోధకత గుణకం కనుక్కోండి.
సాధన:
వెండి తీగకు (సిల్వర్) R₁ = 2.1Ω, t₁ = 27.5°C
R₂ = 2.7Ω,
t₂ = 100°C, α = ?

∴ ఉష్ణోగ్రత నిరోధకత గుణకం a = 0.443 × 10^-2 °C

ప్రశ్న 8.
ఒక విద్యుత్సాహక తీగ పొటెన్షియల్ భేదాన్ని స్థిరంగా ఉంచి, దాని పొడవు రెట్టింపు అయ్యేటట్లు సాగదీస్తే, ఎలక్ట్రాన్ల డ్రిఫ్ట్ వడి ఎన్ని రెట్లు మారుతుంది?
సాధన:

∴ ఎలక్ట్రాన్స్ డ్రిఫ్ట్ వడి 2 రెట్లు అగును.

ప్రశ్న 9.
25,200 రేటింగ్ ఉన్న రెండు 120 V బల్బులను శ్రేణిలో కలిపారు. వాటిలో ఒక బల్బు దాదాపు వెంటనే కాలిపోయింది. ఏ బల్బు కాలిపోయింది? ఎందుకు?
సాధన:
మొదటి బల్బుకు
P₁ = 25W, V₁ = 120V


రెండు బల్బులు ఒకే వోల్టేజిని కలిగి ఉన్నప్పటికి, R₁ > R₂ అగుట వల్ల 25 W బల్బు తక్షణం కాలి పోతుంది.

ప్రశ్న 10.
ఒక స్థూపాకార లోహపు తీగను దాని పొడవు 5% పెరిగేటట్లు సాగదీశారు. దాని నిరోధంలో కలిగే మార్పు శాతం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 11.
ఒక పదార్థంతో చేసిన A, B అనే రెండు తీగలు సమాన పొడవులు కలిగి ఉన్నాయి. వాటి మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యాల నిష్పత్తి 1: 4, ఆ రెండు తీగల కొనల మధ్య స్థిరమైన వోల్టేజిని అనువర్తిస్తే, వాటిలో ఉత్పత్తి అయ్యే ఉష్ణదాశుల నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన:
ఇచ్చినవి l_A = l_b, ρ_A = ρ_B, V_A = V_B, A_A : B_B = 1 : 4
తీగలో జనించు ఉష్ణరేటు,

A మరియు B తీగలకు ఒకే V, ρ, l లు ఉంటే
H ∝ A (మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం)
A మరియు B రెండు తీగలకు,

ప్రశ్న 12.
స్థిరమైన వోల్టేజి జనకానికి సమాంతరంగా కలిపిన రెండు బల్బుల నిరోధాల నిష్పత్తి 1 : 2. వాటిలో దుర్వ్యయం అయ్యే సామర్థ్యాల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చినవి R₁ : R₂ = 1 : 2
సమాంతర సంధానంలో దుర్వ్యయ సామర్థ్యం,
P = \(\frac{V^2}{R}\)
⇒ P = \(\frac{1}{R}\) [∵ V = స్థిరాంకము]
రెండు బల్బులలో దుర్వ్యయ సామర్ధ్యాల నిష్పత్తి.
\(\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_2}{R_1}=\frac{2}{1}\)
∴ P₁ : P₂ = 2 : 1.

ప్రశ్న 13.
5m పొడవు గల పొటెన్షియోమీటర్ తీగ కొనల మధ్య 6 V పొటెన్షియల్ భేదం కొనసాగించారు. పొటెన్షియో మీటర్ తీగ 180 cm పొడవు వద్ద సంతులన స్థానాన్ని ఇస్తే, ఆ ఘటం emf కనుక్కోండి. [AP. Mar.’17; AP. Mar.’16]
సాధన:
పొటెన్షియోమీటర్ తీగ పొడవు, L = 5m
పొటెన్షియల్ భేదము, V = 6 వోల్ట్
పొటెన్షియల్ నతిక్రమము,
Φ = \(\frac{V}{L}=\frac{6}{5}\) = 1.2V/M.
సంతుల పొడవు, l = 180 cm = 1.80 m
ఘటం వి.చా. బ., E = Φl
= 1.2 × 1.8 = 2.16V.

ప్రశ్న 14.
2.5 Vemf, r అంతర్నిరోధం గల ఒక బ్యాటరీని 1 ఓమ్ నిరోధం గల అమ్మీటర్ ద్వారా 45 ఓమ్ నిరోధానికి శ్రేణిలో కలిపారు. అమ్మీటర్ 50 m విద్యుత్ ప్రవాహం చూపిస్తుంది. వలయం రేఖా చిత్రాన్ని గీయండి, r విలువను కనుక్కోండి. [TS. Mar: ’17]
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశ వలయ పటం కింద చూపబడింది.

E = 2.5
R = 45 Ω
r_A = 1A
i = 50 mA
r = ?
E = I(R + r_A + r)
2.5 = 50 × 10^-3 (45 + 1 + r)

ప్రశ్న 15.
ఒక తీగ మధ్యచ్ఛేదం ద్వారా పోయే విద్యుదావేశ పరిమాణం q(t) = at² + bt + c. a, b, c లకు మితీయ ఫార్ములాలు రాయండి. SI ప్రమాణాలలో a, b, c విలువలు వరుసగా 6, 4, 2 అయితే, t = 6 సెకన్ల వద్ద విద్యుత్ ప్రవాహ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
తీగ గుండా ప్రవహించు ఆవేశం q(t) = at²+bt +c
సజాతీయ సూత్రం ప్రకారం,
q(t) = at² మితిఫార్ములా
IT = aT²
q(t) మితిఫార్ములా = bt మితిఫార్ములా
IT = bT
∴ b మితిఫార్ములా = I
q(t) మితిఫార్ములా = C మితిఫార్ములా
IT = C మితి ఫార్ములా
∴ C మితి ఫార్ములా =IT
విద్యుత్ ప్రవాహం, I = \(\frac{dq(t)}{dt}\)
= \(\frac{d}{dt}\) [at² + bt + c]
= 2at + b
ఇక్కడ a = 6 మరియు b = 4
⇒ I = 12t + 4
∴ t = 6 సె. వద్ద విద్యుత్ ప్రవాహం
I = 12 × 6 + 4 = 76A.

అభ్యాసాలు Textual Exercises

ప్రశ్న 1.
ఒక కారు సంచాయక ఘటమాల (storage battery) emf 12 V, అంతర్నిరోధం 0.40. బ్యాటరీ నుంచి పొందగలిగే గరిష్ట విద్యుత్ ప్రవాహం ఎంత?
సాధన:
E = 12 V, r = 0.4 Ω
గరిష్ట విద్యుత్, I_max = \(\frac{E}{r}=\frac{12}{0.4}\) = 30A

ప్రశ్న 2.
10V emf, 3Ω అంతర్నిరోధకం గల ఒక బ్యాటరీని నిరోధకానికి సంధానం చేశారు. వలయంలోని విద్యుత్ ప్రవాహం 0.5 A అయితే, ఆ నిరోధకం నిరోధం ఎంత ? వలయం మూసి (closed) ఉన్నప్పుడు బ్యాటరీ టెర్మినల్ వోల్టేజిని కనుక్కోండి. [TS. Mar. 15]
సాధన:
E = 10 V, r = 3Ω, I = 0.5 A, R = ?, V = ?
I = \(\frac{E}{(R+r)}\) లేక (R + r) = \(\frac{E}{I}=\frac{10}{0.5}\) = 20
లేక R = 20 – r = 20 – 3 = 17Ω
అంత్య వోల్టేజి, V = IR = 0.5 × 17 = 8.5 Ω.

ప్రశ్న 3.
a) 1Ω, 2Ω, 3Ω ల మూడు నిరోధకాలను శ్రేణిలో సంధానం చేశారు. సంయోగం మొత్తం నిరోధం ఎంత ?
సాధన:
R₁ = 1 Ω, R₂ = 2 Ω, R₃ = 3 Ω, V = 12 V
శ్రేణిలో, మొత్తం నిరోధం R_S = R₁ + R₂ + R₃
= 1+ 2+ 3 = 6Ω.

b) ఈ సంయోగాన్ని ఉపేక్షించదగిన అంతర్నిరోధం, 12 Vemf గల బ్యాటరీకి కలిపితే, ప్రతి నిరోధకం కొనల మధ్య గల పొటెన్షియల్ పాతాన్ని పొందండి.
సాధన:
వలయంలో ప్రవహించు విద్యుత్ I = \(\frac{V}{R_S}=\frac{12}{6}\) = 2A
R₁ వెంట పొటెన్షియల్ = IR₁ = 2 × 1 = 2V
R₂ వెంట పొటెన్షియల్ = IR₂ = 2 × 2 = 4V
R₃ వెంట పొటెన్షియల్ = IR₃ = 2 × 3 = 6V

ప్రశ్న 4.
a) మూడు నిరోధకాలు 2 Ω, 4 Ω, 5 Ω లను సమాంతరంగా కలిపారు. ఈ సంయోగం మొత్తం నిరోధం ఎంత?
సాధన:
R₁ = 2 Ω, R₂ = 4 Ω, R₃ = 5 Ω, V = 20V
సమాంతర సంధానంలో, మొత్తం నిరోధం = R_p

b) ఈ నిరోధకాల సంయోగాన్ని ఉపేక్షించదగిన అంతర్నిరోధం, 20 Vemf గల బ్యాటరీకి కలిపితే, ప్రతీ నిరోధకం గుండా ప్రవహించే విద్యుత్, బ్యాటరీ నుంచి తీసుకొన్న మొత్తం విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
R ద్వారా విద్యుత్ = \(\frac{V}{R_1}=\frac{20}{2}\) = 10A

ప్రశ్న 5.
గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద (27.0°C) ఒక వేడెక్కే తీగ (heating element) నిరోధం 100 Ω. ఆ వేడెక్కే తీగ నిరోధాన్ని 117 Ω గా గుర్తించినట్లయితే దాని ఉష్ణోగ్రత ఎంత? ఆ నిరోధక పదార్థం ఉష్ణోగ్రత గుణకం 1.70 × 10^-4° C^-1గా ఇచ్చారు.
సాధన:
R₂₇ = 100 Ω, R₁ = 117 Ω, t = ?
α = 1.70 × 10^-4/°C.

ప్రశ్న 6.
15m పొడవు, 6.0 × 10^-7m² ఏకరీతి మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం గల తీగ ద్వారా ఉపేక్షించదగినంత స్వల్పంగా విద్యుత్ను పంపారు. ఆ తీగ నిరోధం 5.0 Ω గా కొలవడమైనది. ఆ ప్రయోగం జరుగుతున్న ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఆ పదార్థ నిరోధకత ఎంత?
సాధన:
l = 15 m, A = 6.0 × 10^-7 m², R = 5.0 Ω, ρ = ?

ప్రశ్న 7.
ఒక వెండి తీగ 27.5°C వద్ద 2.1 Ω నిరోధాన్ని, 100°C వద్ద 2.7 Ω నిరోధాన్ని కలిగి ఉంది. వెండి ఉష్ణోగ్రత నిరోధకత గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
R_27.5 = 2.1 Ω, R₁₀₀ = 2.7 2; α = ?

ప్రశ్న 8.
నిక్రోమ్ చేసిన ఒక వేడెక్కే తీగను 230 V సరఫరాకు కలిపినప్పుడు అది తొలుత 3.2 A విద్యుత్ ప్రవాహం తీసుకుంటుంది. కొన్ని సెకన్ల తరువాత ఆ ప్రవాహం 2.8 A నిలకడ విలువకు చేరింది. గది ఉష్ణోగ్రత 27.0°C అయితే, వేడెక్కే తీగ నిలకడ ఉష్ణోగ్రత ఎంత ? దీనిలో తీసుకున్న ఉష్ణోగ్రతా అవధిపై సరాసరిన తీసుకొన్న నిక్రోమ్ తీగ ఉష్ణోగ్రతా నిరోధ గుణకం 1.70 × 10^-4 °C^-1.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
పటంలో చూపిన జాలం ప్రతి నిరోధకంలో విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
వలయం వేర్వేరు భుజాల ద్వారా పోవు విద్యుత్ ప్రవాహాలు పటంలో చూపబడినవి.
కిర్కాఫ్స్ రెండవ నియమం ప్రకారం,
EABCE సంవృత వలయంలో
-10 + 10 (i₁ + i₂) + 10i₁ 5(i₁ -i₃)=0
లేక 10 = 25i₁ + 10i₂ – 5i₃
లేక 2 = 5i₁ + 2i₂ – i₃ → (i)

ABDA సంవృత వలయంలో,
10i₁ + 5i₃ – 5i₂ = 0
లేక 2i₁ + i₃ – i₂ = 0
లేక i₂ = 2i₁ + i₃ → (ii)

BCDB సంవృత వలయంలో,
5(i₁ – i₃) – 10(i₂ + i₃) – 5i₃ = 0
లేక 5i₁ – 10i₂ – 20i₃ = 0
i₁ = 2i₂ + 4i₃ → (iii)
(ii) మరియు (iii) ల నుండి
i₁ = 2 (2i₁ + i₃) + 4i₃ = 4i₁ + 6i₃
లేక 3i₁ = −6i₃
లేక i₁ = -2i₃ → (iv)
ఈ విలువను (ii) లో వ్రాయగా,
i₂ = 2(−2i₃) + i₃ = – 3i₃ → (v)
ఈ విలువను (i) లో వ్రాయగా,
2 = 5(−2i₃) + 2(-3i₃) -i₃ లేక 2 = -17i₃
లేక i₃ = -2/17A
(iv) నుండి; i₁ = -2 (-2/17) = 4/17A
(v) నుండి; i₂ = -3(−2/17) = (6/17) A
∴ i₁ + i₂ = (4/17) + (6/17) = (10/17)A
i₁ – i₃ = 4/17 – (−2/17) = (6/17)A
i₂ + i₃ = (6/17) + (-2/17) = 4/17A.

ప్రశ్న 10.
a) మీటర్ బ్రిడ్జిలో Y నిరోధకం 12.5 Q అయినప్పుడు A కొన నుంచి 39.5 cm దూరంలో సంతులన బిందువును గుర్తించారు. X నిరోధాన్ని కనుక్కోండి. వీటన్ బ్రిడ్జి, మీటర్ బ్రిడ్జిలలోని నిరోధకాలను కలపడానికి మధ్యలో మందంగా గల రాగి పట్టీలను ఎందుకు ఉపయోగిస్తారు?

సాధన:

మందమైన రాగి పట్టీలను ఉపయోగించి, కల్పిత నిరోధంను తగ్గిస్తారు.

b) ఒకవేళ X, Y లను తారుమారుచేస్తే బ్రిడ్జి సంతులన బిందువును నిర్ధారించండి.
సాధన:
X మరియు Y లను పరస్పరము మార్చితే, 1, మరియు 1, (పొడవులు) కూడా మారును.
కావున l = 100 – 39.5′ = 60.5cm.

c) సంతులన బిందువు వద్ద గాల్వనామీటర్, ఘటాలను తారుమారుచేస్తే ఏమవుతుంది ? గాల్వనామీటర్ ఏదైనా విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని చూపుతుందా ?
సాధన:
గాల్వనా మీటర్ విద్యుత్ ప్రవాహంను చూపదు.

ప్రశ్న 11.
8.0 Vemf, 0.5 Ω అంతర్నిరోధం గల ఒక సంచాయక ఘటమాలను 15.5Ω శ్రేణిలో గల నిరోధకం ఉపయోగించి 120 V dc సరఫరాకు కలిపి ఆవేశితం చేశారు. ఆవేశం చెందేటప్పుడు బ్యాటరీ టెర్మినల్ వోల్టేజి ఎంత ? ఆవేశం చెందించే వలయంలో శ్రేణిలో గల నిరోధకం ఆవశ్యకత ఏమిటి?
సాధన:
ఘటం వి.చా. బి. = 8.0 V
d.c. సప్లై వోల్టేజి = 120 V
ఘటం అంతర్నిరోధం, r = 0.5 Ω
బాహ్య నిరోధం, R = 15.5Ω
వి.చా.బ. 8V గల ఘటంను 120 V, d.c సప్లైతో ఆవేశపరిస్తే, వలయం ఫలిత వి.చా.బి.
E = 120 – 8 = 112 V
వలయం మొత్తం నిరోధం = R + r = 15.5+ 0.5. = 16.0Ω
∴ వలయంలో విద్యుత్, I = \(\frac{E}{R+r}=\frac{112}{16}\) = 7.0A
∴ R వెంట వోల్టేజి = IR = 7.0 × 15.5 = 108.5 V

వలయంలో d.c. సప్లై వోల్టేజి, R వెంట వోల్టేజి మరియు ఘటం అంత్య వోల్టేజిల మొత్తమునకు సమానం.
∴ 120 = 108.5 V లేక V = 120 – 108.5 = 11.5V

శ్రేణి నిరోధం, బాహ్య d.c జనక సప్లై నుండి తీసుకునే విద్యుత్ను లిమిట్ చేస్తుంది. నిరోధం లేకపోతే విద్యుత్ ఎక్కువ ప్రమాద స్థాయిలో ఉండును.

ప్రశ్న 12.
పొటెన్షియోమీటర్ అమరికలో 1.25 Vemf గల ఘటం సంతులన బిందువును 35.0 cm వద్ద ఇచ్చింది. ఈ ఘటాన్ని మార్చి దాని స్థానంలో మరొక ఘటాన్ని ఉంచినప్పుడు కొత్త సంతులన బిందువు 63.0 cm కి జరిగింది. రెండవ ఘటం em ఎంత? [AP. Mar.’15]
సాధన:

ప్రశ్న 13.
సాధించిన సమస్యల్లో 1వ ప్రశ్నలో అంచనావేసినట్లు ఒక రాగి వాహకంలోని స్వేచ్ఛా ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్య సాంద్రత 8.5 × 10²⁸ m^-3, 3.0 m పొడవు గల తీగ ఒక కొన నుంచి మరొక కొనకు డ్రిఫ్ట్ చెందటానికి ఎలక్ట్రాన్లకు ఎంత కాలం పడుతుంది ? తీగ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం 2.0 × 10^-6 m², దాని గుండా 3.0 A విద్యుత్ ప్రవహిస్తుంది.
సాధన:
n = 8.5 × 10²⁸ m^-3; l = 3.0 m;
A = 2.0 × 10^-6 m²; I = 3.0 A, t = ?

అదనపు అభ్యాసాలు Additional Exercises

ప్రశ్న 14.
భూ ఉపరితలం 10° Cm రుణాత్మక ఉపరితల ఆవేశ సాంద్రతను కలిగి ఉంది. అత్యధిక ఎత్తులో గల వాతావరణ పై పొరకు, ఉపరితలానికి మధ్యగల 400 kV ప్రొటెన్షియల్ భేదం ఫలితంగా (తక్కువ ఎత్తులో గల వాతావరణం స్వల్ప వాహకత్వం వల్ల) గోళం (భూమి) అంతటా కేవలం 1800 A విద్యుత్ ప్రవాహం ఏర్పడుతుంది. ఒకవేళ అక్కడ వాతావరణ విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని కొనసాగించే క్రియావిధానం లేకుంటే, భూఉపరితలాన్ని తటస్థం చేయడానికి (సుమారుగా) ఎంతకాలం అవసరం? (ఆచరణలో ఇలా ఎప్పటికీ జరుగదు. ఎందుకంటే (భూగోళంపై వివిధ ప్రదేశాల్లో సంభవించే మెరుపులు, తరచూ సంభవించే ఉరుములూ, మెరుపులతో కూడిన వర్షాల వల్ల విద్యుదావేశాలు తిరిగి నింపే క్రియావిధానం అక్కడ ఉంటుంది). (భూ వ్యాసార్థం = 6.37 × 10⁶m).
సాధన:
6.37 × 10⁶ m; σ = 10^-9cm^-2 ; I = 1800 A
గ్లోబ్ వైశాల్యం A = 4πr² = 4 × 3.14 × (6.37 × 10⁶)² = 509.64 × 10¹² m²
ఆవేశము, Q = σ × A = 10^-9 × 509.64 × 10¹²
= 509.64 × 10³ C
∴ t = \(\frac{Q}{I}=\frac{509.64 \times 10^3}{1800}\) = 283.1 s

ప్రశ్న 15.
a) ఒక్కొక్కటి 2.0 Vemf, 0.015 Q అంతర్నిరోధం గల ఆరు లేడ్ ఆసిడ్ రకం గౌణ ఘటాలను 8.5 Ω నిరోధానికి విద్యుత్ సరఫరా చేయడానికి శ్రేణిలో కలిపారు. విద్యుత్ సరఫరా నుంచి అది తీసుకునే విద్యుత్ ప్రవాహం, దాని టెర్మినల్ వోల్టేజీ ఎంత?
సాధన:

b) చాలాకాలం ఉపయోగించిన తరువాత ఒక గౌణ ఘటం 1.9 Vemf, 380 Ω అత్యధిక అంతర్నిరోధాన్ని కలిగి ఉంది. ఆ ఘటం నుంచి పొందగలిగే గరిష్ఠ విద్యుత్ ప్రవాహం ఎంత? ఒక కారు మోటారును ఈ ఘటం గుండా నడపగలుగుతుందా (ఆన్ చేయగలుగుతుందా)?
సాధన:
E = 1.9 V; r = 380 2
I_{గరిష్ఠ} = \(\frac{E}{r}=\frac{1.9}{380}\) = 0.005A
కొద్ది సెకనులు మోటారు స్టార్ట్ చేయుటకు కావలసిన విద్యుత్ 100 A. కావున పైన వచ్చిన విద్యుత్ విలువతో కారును స్టార్ట్ చేయలేము.

ప్రశ్న 16.
సమాన పొడవు గల అల్యూమినియం, రాగి తీగలు సమాన నిరోధాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. ఆ రెండు తీగల్లో ఏది తేలికైనది ? చాలా ఎత్తు ‘మీద నుంచి పోయే విద్యుత్ సామర్థ్య తీగలుగా అల్యూమినియం తీగలను ఎందుకు ప్రాధాన్యం ఇస్తారో తెలపండి. (ρ_Al = 2.63 × 10^-8 Ωm, ρ^Cu 1.72 × 10^-8 Ωm, Al, Cu ల సాపేక్ష సాంద్రతలు వరుసగా 2.7, 8.9.)
సాధన:
అల్యూమినియం తీగకు, R₁ = R; l₁ = 1
సాపేక్ష సాంద్రత d₁ = 2.7.
రాగి తీగకు, R₂ = R, l₂ = l₁, d₂ = 8.9

A₁ మరియు A₂ లు అల్యూమినియం మరియు రాగి తీగల మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యాలు అయితే

రాగి తీగ ద్రవ్యరాశి, అల్యూమినియం తీగ ద్రవ్యరాశికి 2.16 రెట్లు అని చూపును. ఒకే పొడవు అంతే నిరోధం గల అల్యూమినియం తీగ, రాగి తీగకన్నా తక్కువ ద్రవ్యరాశి కల్గి ఉండును. కావున పైన ఉండే పవర్ కేబుల్స్లో అల్యూమినియం తీగను వాడతారు. భారమైన కేబుల్స్, వాని బరువు వల్ల క్రిందికి సాగును.

ప్రశ్న 17.
మాంగనీస్ మిశ్రమ లోహంతో తయారైన నిరోధకంపై చేసిన కింది పరిశీలనల నుంచి మీరు ఏ నిర్ణయాన్ని తీసుకోగలుగుతారు?

సాధన:
వేర్వేరు రీడింగుల, వోల్టేజి మరియు విద్యుత్ల నిష్పత్తి విలువలు సమానం. కావున ఓమ్స్ నియమము ఎక్కువ యదార్థతతో పాటించును. మాంగనీన్ విశిష్ట నిరోధం, ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడదు.

ప్రశ్న 18.
కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇవ్వండి.
a) అసమరీతి మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం కలిగి ఉన్న లోహపు వాహకంలో నిలకడగా విద్యుత్ ప్రవహిస్తున్నది. కింది రాశులలో ఏవి వాహకం వెంబడి స్థిరంగా ఉంటాయి :
విద్యుత్ ప్రవాహం, విద్యుత్ ప్రవాహ సాంద్రత, విద్యుత్ క్షేత్రం, డ్రిఫ్ట్ వడి. సాధన. అసమ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్య వాహకం ద్వారా పోవు విద్యుత్ మాత్రమే స్థిరం. మిగిలిన రాశులు వాహక మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యంనకు విలోమానుపాతంలో ఉండును.

b) అన్ని వాహక మూలకాలకు ఓమ్ నియమం సార్వత్రికంగా అనువర్తనీయమా? ఒకవేళ కాకుంటే, ఓమ్ నియమాన్ని పాటించని మూలకాలకు ఉదాహరణలివ్వండి.
సాధన:
అఓమిక్ మూలకాలకు ఓమ్ నియమం వర్తించదు.
ఉదా : శూన్య నాళికలు, పాక్షిక వాహక డయోడ్లు, విద్యుద్విశ్లేష్య ద్రవాలు.

c) తక్కువ వోల్టేజి గల ఒక జనకం నుంచి అధిక విద్యుత్ ప్రవాహాలు అవసరమైనప్పుడు తప్పకుండా దాని అంతర్నిరోధం చాలా తక్కువగా ఉండాలి. ఎందుకు?
సాధన:

d) ఒక హైటెన్షన్ (high tension (HT)) సరఫరా 6 kV అనుకోండి, తప్పకుండా చాలా అధిక అంతర్నిరోధాన్ని కలిగి ఉండాలి. ఎందుకు?
సాధన:
HT సప్లయి చాలా ఎక్కువ అంతర్నిరోధం కలిగి ఉండును. అనుకోకుండా వలయం షార్ట్ అయితే, తీసుకునే విద్యుత్ సురక్షిత అవధిని దాటి వలయం పాడవటానికి కారణం అగును.

ప్రశ్న 19.
సరియైన ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఎంచుకోండి :
a) సాధారణంగా మిశ్రమ లోహాల నిరోధకత వాటి అనుఘటక లోహాల నిరోధకతల కంటే (ఎక్కువ / తక్కువ).
b) మిశ్రమ లోహాల ఉష్ణోగ్రతా నిరోధ గుణకాలు శుద్ధలోహాల కంటే తక్కువ / ఎక్కువ).
c) ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలతో మాంగనీస్ మిశ్రమ లోహం నిరోధకత (ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడదు / శీఘ్రంగా పెరుగుతుంది).
d) ఒక మాదిరి బంధకం (ఉదా : అంబర్ – సీమ గుగ్గిలం) నిరోధకత లోహ నిరోధకత కంటే (1022 1023) రెట్లు అధికం.
సాధన:
a) ఎక్కువ
b) తక్కువ
c) ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడదు.
d) 1022

ప్రశ్న 20.
a) R నిరోధం గల నిరోధకాలను ఇవ్వడమైంది.
i) గరిష్ఠంగా, ii) కనిష్ఠంగా ప్రభావాత్మక నిరోధాన్ని పొందడానికి మీరు వాటిని ఏ విధంగా సంయోగం చేస్తారు ? గరిష్ఠ, కనిష్ట నిరోధం నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన:
తుల్య నిరోధం గరిష్టం కావటానికి, n నిరోధాలను శ్రేణిలో కలపాలి.
గరిష్ట తుల్య నిరోధం, R_S = nR

తుల్య నిరోధం కనిష్టం కావటానికి, n నిరోధాలను సమాంతరంగా కలపాలి.
కనిష్ట తుల్య నిరోధం’, R_P = \(\frac{R}{n}\)
∴ \(\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{S}}}{\mathrm{R}_{\mathrm{P}}}=\frac{\mathrm{nR}}{\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{n}}}=\mathrm{n}^2\)

నిరోధాల సమాంతర సంయోగంలో తుల్య నిరోధం, విడివిడి నిరోధాల కన్నా తక్కువ మరియు నిరోధాల శ్రేణి సంయోగంలో తుల్య నిరోధం, విడివిడి నిరోధాల కన్నా ఎక్కువ.

b) 1Ω, 2Ω, 3Ω నిరోధాలు మీకివ్వడమైంది. కింద ఇచ్చిన తుల్య నిరోధాలను పొందడానికి వాటిని ఏ విధంగా సంయోగం చేస్తారు? i) (11/3) Ω (ii) (11/5) Ω, (iii) 6Ω, (iv) (6/11)Ω ?
సాధన:
సందర్భం (i) : 1Ω మరియు 2Ω ల సమాంతర సంయోగమును 3Ω లతో శ్రేణిలో కలిపినప్పుడు
1Ω మరియు 2Ω లను సమాంతరంగా కలచినప్పుడు, తుల్య నిరోధం

c) పటంలో చూపిన జాలాల (networks) తుల్య నిరోధాలను కనుక్కోండి.

సాధన:
ఇచ్చిన వలయంను శ్రేణిలో 4 సమ భాగాల సంయోగము ప్రభావం 4 నిరోధాలు కలిగి ఉండును. వాటిలో ఒక్కొక్కటి 1Ω గల శ్రేణి నిరోధాలు 2 మరియు ఒక్కొక్కటి 2Ω గల సమాంతర నిరోధాలు 2.

ఒక్కొక్కటి 1Ω నిరోధం ఉన్న 2 నిరోధాల శ్రేణి. సన తుల్య నిరోధం= 1 + 1 = 2Ω.
ఒక్కొక్కటి 2Ω నిరోధం ఉన్న 2 నిరోధాల శ్రేణి సంధాన తుల్య నిరోధం = 2 + 2 = 4Ω
ఒక భాగంలో ఫలిత నిరోధం, \(\frac{1}{R_p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) లేక R_p = \(\frac{3}{4}\)Ω
∴ 4 భాగాల మొత్తం నిరోధం R_p = \(\frac{3}{4}\) × 4 = \(\frac{16}{3}\)Ω = 5.33Ω
పటం (b)లో R నిరోధం ఉన్న 5 నిరోధాలు శ్రేణిలో కలిపారు. వాని తుల్య నిరోధం = 5R.

ప్రశ్న 21.
పటంలో చూపినట్లు అనంత జాలం, 0.5 Ω అంతర్నిరోధం గల 12V ల జనకం నుంచి పొందే విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని కనుక్కోండి. ప్రతీ నిరోధకం 1 Ω నిరోధాన్ని కలిగి ఉంది.

సాధన:
అనంతమైన నెట్వర్క్ తుల్య నిరోధం x.నెట్వర్క్ అనంతమైనది కావున టెర్మినల్స్ వెంట ఒక్కొక్కటి 1Ω విలువ గల మూడు నిరోధాల ప్రమాణంను కల్పితే నెట్వర్క్ మొత్తం నిరోధం మారదు. i. e., వలయం మిగిలిన నిరోధం x.
నెట్వర్క్ పటంలో చూపినట్లు ఉండును. మొత్తం నిరోధం x.

x మరియు 1Ω ల సమాంతర సంయోగము ఒక్కొక్కటి 1Ωగల 2 నిరోధాలతో శ్రేణితో కలపబడినవి.

ప్రశ్న 22.
AB నిరోధకం తీగ కొనల మధ్య పొటెన్షియల్ పాఠాన్ని కొనసాగిస్తున్న 2.0 V emf, 0.40 Ω అంతర్నిరోధం గల ఘటంతో గల పొటెన్షియో మీటర్ను పటం చూపుతుంది. 1.02 V స్థిర emf ను కొనసాగిస్తున్న ప్రామాణిక ఘటం (చాలా మిత విద్యుత్ ప్రవాహాలకు, కొన్ని mA విద్యుత్ ప్రవాహాల వరకు) 67.3 cm ల పొడవు వద్ద సంతులన బిందువును ఇస్తుంది. ప్రామాణిక ఘటం నుంచి కచ్చితంగా స్వల్ప విద్యుత్ ప్రవాహాలను పొందడానికి, దానితో శ్రేణిలో 600 kΩ అధిక నిరోధాన్ని కలిపారు.

ఈ నిరోధాన్ని సంతులన బిందువుకు దగ్గరగా షార్ట్ (short) చేశారు. ఇప్పుడు ప్రామాణిక ఘటానికి బదులుగా తెలియని emf ε గల ఘటాన్ని అమర్చి, అదే విధంగా సంతులన పొడవును కనుక్కుంటే 82.3 cm పొడవు వద్ద సంతులన బిందువును ఇచ్చింది.
a) ε విలువ ఎంత?
సాధన:

b) 600 kΩ నిరోధం అమర్చడానికి గల ఉద్దేశ్యమేమి?
సాధన:
600 kΩ హెచ్చు నిరోధం, గాల్వనామాపకం ద్వారా చాలా తక్కువ విద్యుత్ ప్రవాహంను అనుమతించును.

c) ఈ అధిక నిరోధం వల్ల సంతులన బిందువు ప్రభావితం అవుతుందా?
సాధన:
ఈ నిరోధం వలయంలో ఉండుట వల్ల తుల్యస్థానం మారదు.

d) చోదక ఘటం (driving cell) అంతర్నిరోధం వల్ల సంతులన బిందువు ప్రభావితం అవుతుందా?
సాధన:
విద్యుత్ ఘటం అంతర్నిరోధం వల్ల తుల్యస్థానం మారదు.

e) పొటెన్షియోమీటర్ చోదక ఘటం emf 2.0 V కు బదులుగా 1.0 V కలిగి ఉంటే పై పద్ధతి పనిచేస్తుందా?
సాధన:
కాదు. నడిచే ఘటం వి.చా. బ మరో ఘటం వి.చా. బ కన్నా తక్కువ అయితే పొటెన్షియోమీటర్ పద్ధతి పనికిరాదు. సంతులన బిందువును పొందలేము.

f) అత్యంత స్వలమైన emf లను, అంటే, కొన్ని mV ల వరకు (ఉష్ణయుగ్మం విలక్షణ emf లాంటివి) కనుక్కోవడానికి పై వలయం చక్కగా పనిచేస్తుందా? ఒకవేళ పనిచేయకపోతే, వలయాన్ని ఎలా మారుస్తారు?
సాధన:
స్వల్ప వి.చా. బ ను కొలుచుటకు వలయం పనికిరాదు. దీనికి కారణం సంతులన బిందువు A చివరకు దగ్గరగా ఉండును. వలయంను సరిచేయుటకు 2.0V ఘటంనకు శ్రేణిలో సరైన అధిక నిరోధంను ఉపయోగించాలి. ఇది పొటెన్షియో మీటర్ తీగ గుండా పోవు విద్యుత్ను తగ్గించును. కావున 1 cm తీగ పొటెన్షియల్ తేడా తగ్గును. కావున తక్కువ వి.చా. బను కనుగొనవచ్చును.

ప్రశ్న 23.
రెండు నిరోధాలను పోల్చడానికి పొటెన్షియోమీటర్ వలయాన్ని పటం సూచిస్తుంది. ప్రామాణిక నిరోధం R = 10.0 Ω తో సంతులన బిందువును 58.3 cm వద్ద కనుక్కొంటే, తెలియని నిరోధం X తో 68.5cm వద్ద సంతులన బిందువును కనుక్కొన్నారు. X విలువను కనుక్కోండి. ఒకవేళ emfe గల ఇచ్చిన ఘటంతో సంతులన బిందువును తెలుసుకోలేకపోతె, మీరు ఏం చేస్తారు?

సాధన:
l₁ = 58.3cm; l₂ = 68.5 cm; R = 10Ω; X = ?
పొటెన్షియోమీటర్ తీగలో విద్యుత్ I. R మరియు Xల వెంట పొటెన్షియల్లు E₁ మరియు E₂. కీని మూసి వలయంనకు R మరియు X లను కలిపితే అప్పుడు.

ఇచ్చిన ఘటం (వి. ఒ.బ) తో సంతులన బిందువు ఉండదు. దీని అర్థం R లేక X వెంట పొటెన్షియల్ డ్రాప్. పొటెన్షియోమీటర్ తీగ AB ట పొటెన్షియల్ డ్రాప్ కన్నా తక్కువ. R మరియు X లలో దేనికైనా సరైన నిరోధంను శ్రేణిలో ఉంచి లేక స్వల్ప వి. చా. బ ఉన్న ఘటంను ఉపయోగించి, R మరియు X గుండా పోవు విద్యుత్ తగ్గించి, వాని వెంట పొటెన్షియల్ డ్రాప్ తగ్గించి, సంతులన బిందువును పొందవచ్చును. మరియొక సాధ్యమగు మార్గము, వాడుతున్న ఘటం వోల్టేజి పెంచి, పొటెన్షియోమీటర్ తీగ వెంట పొటెన్షియల్ డ్రాప్ను పెంచవచ్చును.

ప్రశ్న 24.
పటం 1.5 Vఘటం అంతర్నిరోధం కనుక్కోవడానికి ఉపయోగించే 2.0V పొటెన్షియోమీటర్ను చూపిస్తుంది. వివృత వలయంలో ఘటం సంతులన బిందువు 76.3cm. ఘటం బాహ్య వలయంలో 9.5 Q నిరోధకాన్ని ఉపయోగించినపుడు, సంతులన బిందువు పొటెన్షియోమీటర్ తీగ పొడవు 64.8 cm వద్దకు జరిగింది. ఘటం అంతర్నిరోధం కనుక్కోండి.

సాధన:

సాధించిన సమస్యలు Textual Examples

ప్రశ్న 1.
a) 1.0 × 10^-7 m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం, 1.5 A విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని తీసుకొనిపోతున్న ఒక రాగితీగలోని వహన ఎలక్ట్రాన్ల సరాసరి డ్రిఫ్ట్ వడిని అంచనావేయండి. ప్రతి రాగి పరమాణువు సుమారుగా ఒక వహన ఎలక్ట్రాన్ న్ను ఇస్తుంది అని భావించండి. రాగి పరమాణు ద్రవ్యరాశి 63.5 u, సాంద్రత 9.0 × 10³ kg/m³
b) పై విధంగా పొందిన డ్రిఫ్ట ్వడిని కింద తెలియజేసిన వివిధ సందర్భాలలో గల వడితో పోల్చండి. i) సాధారణ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద రాగి అణువుల ఉష్ట్రీయ వదులు (thermal speeds), ii) డ్రిఫ్ట్ చలనాన్ని కలుగచేసే వాహకం వెంబడి విద్యుత్ క్షేత్ర వ్యాపన వడి (speed of propagation).
సాధన:
a) వహన ఎలక్ట్రాన్ల డ్రిఫ్ట్వేగం దిశ విద్యుత్ క్షేత్ర దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది. అంటే ప్రొటెన్షియల్ పెరిగే దిశలో ఎలక్ట్రాన్లు క్రిఫ్ట్ అవుతాయి.

సమీకరణం I∆_t = + neA/υ_d/∆_t నుంచి డ్రిఫ్ట్ వడి υ_d = (I/neA)

ఇక్కడ e = 1.6 × 10^-19 C, A = 1.00 × 10^-7 m², I 1.5 A. ఒక ఘనపు మీటర్ లోని పరమాణువుల సంఖ్య వహన ఎలక్ట్రాన్ల సాంద్రత n కి సమానం. రాగి పరమాణువులో సంయోజక (వేలన్సీ) ఎలక్ట్రాన్ ఒకటి కాబట్టి, ప్రతి Cu పరమాణువుకు ఒక వహన ఎలక్ట్రానన్ను ఊహించడం సమంజసంగా ఉంటుంది. ఒక ఘనపు మీటర్ కాగి ద్రవ్యరాశి 9.0 × 10³ kg, 6.0 × 10²³ రాగి పరమాణువులు 63.5 g ద్రవ్యరాశిని కలిగి ఉంటాయి కాబట్టి

b) i) T ఉష్ణోగ్రత వద్ద, M ద్రవ్యరాశి గల రాగి పరమాణువుల ఉష్ట్రీయవడిని *[<(1/2) Mυ² > = (3/2) k_BT] నుంచి. పొందవచ్చు. ఇది విలక్షణంగా, \(\sqrt{\mathrm{k}_{\mathrm{B}} \mathrm{T} / \mathrm{M}}\) క్రమంలో ఉంటుంది. ఇక్కడ kB బోల్ట్స్ ఎన్ స్థిరాంకం. రాగి లోహానికి 300 K ఉష్ణోగ్రత వద్ద kg విలువ 2 × 10² m/s. ఈ విలువ వాహకంలోని రాగి పరమాణువుల అనియత కంపన వడులను తెలియజేస్తుంది. సాధారణ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద విలక్షణ ఉష్ట్రీయ వడ్డీ కంటే ఎలక్ట్రాన్ల క్రిఫ్ట్ వడి 10^-5 రెట్లు తక్కువ అని గమనించండి.

ii) వాహకం వెంబడి ప్రయాణించే విద్యుత్ క్షేత్రం విద్యుదయస్కాంత తరంగాల వడి, అంటే 3.0 × 10⁸ ms^-1 ని కలిగి ఉంది. డ్రిఫ్ట్ వడిని విద్యుత్ క్షేత్రం వడితో పోల్చితే చాలా స్వల్పం, 10^-11 కారకంతో చిన్నది.

ప్రశ్న 2.
a) కొన్ని ఆంపియర్ల అవధిలో ఉండే విద్యుత్ ప్రవాహాలకు ఎలక్ట్రాన్ డ్రిఫ్ట్ వడి స్వల్పంగా mm s^-1 లో ఉంటుందని పై సమస్యలో అంచనావేయడమైంది. అయితే, ఇంచుమించు వలయాన్ని మూసిన వెంటనే విద్యుత్ ప్రవాహం ఏ విధంగా ఏర్పాటవుతుంది?
b) వాహకం లోపల గల విద్యుత్ క్షేత్రంలో ఎలక్ట్రాన్లు బలానికి గురికావడం వల్ల ఎలక్ట్రాన్ డ్రిఫ్ట్ ఉత్పత్తి అవుతుంది. కాని, బలం త్వరణాన్ని కలిగించాలి. అయితే ఎందుకు ఎలక్ట్రాన్లు నిలకడగా గల సరాసరి డ్రిఫ్ట్ వడిని పొందుతాయి?
c) ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశం, డ్రిఫ్ట్ వడి చాలా స్వల్పం అయినప్పటికీ, వాహకంలో అధిక పరిమాణం గల ప్రవాహాలను మనం ఏ విధంగా పొందగలుగుతున్నాం?
d) ఒక లోహం లోపల ఎలక్ట్రాన్లు తక్కువ పొటెన్షియల్ నుంచి అధిక పొటెన్షియల్ వైపుకు డ్రిఫ్ట్కు చెందినప్పుడు, దీనర్థం ఆ లోహానికి చెందిన స్వేచ్ఛా ఎలక్ట్రాన్లు అన్నీ ఒకే దిశలో చలిస్తున్నాయా?
e) కింది రెండు సందర్భాల్లో వరుస అభిఘాతాల మధ్య (లోహం ధన అయాన్లతో) ఎలక్ట్రాన్ల పథం సరళరేఖలేనా?
i) విద్యుత్ క్షేత్రం లేనప్పుడు, ii) విద్యుత్ క్షేత్రం ఉన్నప్పుడు
సాధన:
a) వలయం అంతటా ప్రతి భాగంలో విద్యుత్ క్షేత్రం, ఇంచుమించు క్షణికంగా (కాంతివేగంతో) ఏర్పాటై, ప్రతి బిందువు వద్ద స్థానిక ఎలక్ట్రాన్ డ్రిఫ్ట్ ఏర్పడేట్లు చేస్తుంది. వాహకం ఒక కొన నుంచి మరొక కొనకు ఎలక్ట్రాన్లు ప్రయాణించే వరకు ప్రవాహ ఏర్పాటు వేచి ఉండాల్సిన అవసరం లేదు. అయితే, ప్రవాహం నిలకడ స్థితిని చేరడానికి మాత్రం అదీ స్వల్ప సమయాన్ని తీసుకొంటుంది.

b) ప్రతి స్వేచ్ఛా ఎలక్ట్రాన్ లోహం యొక్క ధన అయాన్తో అభిఘాతం చెందే వరకు త్వరణం చెంది దాని డ్రిఫ్ట్ వడిని పెంచుకొంటుంది. అభిఘాతం తరువాత తన డ్రిఫ్ట్ వడిని కోల్పోతుంది. కాని త్వరణం చెందడం ఆరంభం అవుతుంది. డ్రిఫ్ట్ వడి పెరుగుతుంది. తిరిగి అభిఘాతానికి లోనవుతుంది. ఇదే క్రమం జరుగుతూ ఉంటుంది. కాబట్టి సరాసరిగా, ఎలక్ట్రాన్లు డ్రిఫ్ట్ వడిని మాత్రమే పొందుతాయి.

c) ఎందుకంటే, ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత సంఖ్య చాలా పెద్దది ~ 10²⁹ m^-3.

d) అర్థరహితం. ఎలక్ట్రాన్ల అధిక అనియత వేగాలతో డ్రిఫ్ట్వేగం అధ్యారోపితం అవుతుంది.

e) విద్యుత్ కేత్రం లేనప్పుడు, పథాలు సరళరేఖలు, విద్యుత్ క్షేత్రం ఉన్నప్పుడు పథాలు సాధారణంగా వక్రాలు.

ప్రశ్న 3.
ఒక విద్యుత్ టోస్టర్ (toaster) లో వేడిచేయడానికి నిక్రోమ్ తీగని (heating element) ఉపయోగించుకొంది. గది ఉష్ణోగ్రత (27.0 °C) వద్ద దాని గుండా ఉపేక్షించదగిన స్వల్ప విద్యుత్ ప్రవహించినప్పుడు దాని నిరోధాన్ని 75.3 Ωగా కనుక్కొన్నారు. ఆ టోస్టర్ను 230 V ప్రధాన సరఫరాకి కలిపినప్పుడు విద్యుత్ ప్రవాహం స్థిరత్వం ఏర్పరచుకొని, కొన్ని సెకన్ల తరువాత 2.68 A నిలకడగా గల విలువకు చేరింది. నిక్రోమ్ తీగ నిలకడ ఉష్ణోగ్రత ఎంత ? పరిగణనలోకి తీసుకొన్న ఉష్ణోగ్రత అవధిపై సరాసరి ఉష్ణోగ్రత నిరోధ గుణకం విలువ 1:70 × 10^-4 °C^-1,
సాధన:
తీగ (heating element) ద్వారా ప్రవహించే విద్యుత్ ప్రవాహం చాలా స్వల్పంగా ఉన్నప్పుడు, ఉష్ణ ఫలితాలను ఉపేక్షించవచ్చు. దాని ఉష్ణోగ్రత T₁ గది ఉష్ణోగ్రత అంతం అవుతుంది. టోస్టర్ను సరఫరాకు కలిపినప్పుడు, తొలి ప్రవాహం, నిలకడ విలువ 2.68 A కంటే కొద్దిగా ఎక్కువగా ఉంటుంది. కాని విద్యుత్ ప్రవాహం వల్ల ఉష్ణ ఫలితం ఏర్పడి ఉష్ణోగ్రత పెరుగుతుంది. దీనితో నిరోధం పెరిగి విద్యుత్ ప్రవాహం కొద్దిగా తగ్గుతుంది. ఇంకా ఉష్ణోగ్రత పెరగకుంటే, కొద్ది సెకన్లలోనే నిలకడ స్థితికి చేరుతుంది. తీగ నిరోధం, తీసుకొన్న విద్యుత్ ప్రవాహం రెండూ నిలకడ విలువలను పొందుతాయి. నిలకడ ఉష్ణోగ్రత T₂ వద్ద, నిరోధం R₂ అనుకొంటే,

అందువల్ల, వేడెక్కే తీగ నిలకడ ఉష్ణోగ్రత (విద్యుత్ ప్రవాహం వల్ల కలిగే ఉష్ణ ఫలితం, పరిసరాలకు అయ్యే ఉష్ణ నష్టానికి సమానం అయినప్పుడు) విలువ 847 °C.

ప్రశ్న 4.
ఒక ప్లాటినం నిరోధపు థర్మామీటర్ లోని ప్లాటినం తీగ నిరోధం మంచు (ice point) బిందువు వద్ద 5 Ω, నీటి ఆవిరి (steam point) బిందువు వద్ద 5.39 Ω. ఈ థర్మామీటర్ను ఒక ఉష్ణతాపకంలోకి ప్రవేశపెట్టినప్పుడు ప్లాటినం తీగ నిరోధం 5.795 Ω. తాపకం ఉష్ణోగ్రతను లెక్కించండి.
సాధన:
R₀ = 5 Ω, R₁₀₀ = 5.23 Ω, R_t = 5.795 Ω

ప్రశ్న 5.
నిరోధకాల ఒక జాలం, (network) ను 10 అంతర్నిరోధం గల 16 V బ్యాటరీకి పటంలో చూపినట్లు సంధానం చేశారు :
a) జాలం తుల్య నిరోధాన్ని గణించండి.
b) ప్రతీ నిరోధకంలో విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని రాబట్టండి.
c) V_AB V_BC, V_CD వోల్టేజి పాతాలను పొందండి.

సాధన:
a) ఈ జాలం నిరోధకాల శ్రేణి, సమాంతర సంయోగం. మొదటి రెండు 4 Ω నిరోధకాలు సమాంతరంగా కలవు. వీటి ఫలితం = [(4 × 4)/ (4 + 4)] Ω = 2 Ω నిరోధానికి తుల్యమవుతుంది.

అదే విధంగా, 122, 62 నిరోధకాలు సమాంతరంగా కలవు. వీటి ఫలితం = [(12×6) / (12 + 6)] Ω = 4Ω నిరోధానికి తుల్యమవుతుంది. జాలం తుల్య నిరోధం R ను పై రెండు నిరోధకాల (2Ω, 4Ω) ను 12 తో శ్రేణిని కలిపి రాబట్టవచ్చు.
R = 2Ω + 4Ω + 1Ω = 7Ω

b) వలయంలో మొత్తం విద్యుత్ ప్రవాహం అనుకొంటే,
I = \(=\frac{\varepsilon}{R+r}=\frac{16 V}{(7+1) \Omega}\)

A, B ల మధ్య నిరోధకాలను పరిగణించండి. ఆ రెండింటిలో 4 Ω నిరోధం గల ఒక దానిలో విద్యుత్ I₁ అనుకొంటే, రెండవ దానిలో విద్యుత్ I₂ అవుతుంది.
I₁ × 4 = I₁ × 4
అంటే, I₁ = I₂ మరో విధంగా చూస్తే రెండు భుజాల సౌష్టవం వల్ల కూడా ఇది స్పష్టం. కాని I₁ + I₂ = I = 2A. కాబట్టి, I₁ = I₂ = IA

ప్రతీ 4 Ω నిరోధకంలోని విద్యుత్ ప్రవాహం 1 A, B, C ల మధ్య గల 1 Ω నిరోధకంలోని విద్యుత్ ప్రవాహం 2 A అవుతుంది. ఇప్పుడు C, D ల మధ్య గల రెండు నిరోధకాలను తీసుకొంటే, 12 Ω నిరోధకంలో విద్యుత్ ప్రవాహం I₃, 6 Ω నిరోధకంలో I₄ అనుకోండి.
I₃ × 12 = I₄ × 6 i. e., I₄ = 2I₃
కానీ, I₃ + I₄ = I = 2A
అందువల్ల I₃ = (\(\frac{2}{3}\))A, I₄ = (\(\frac{4}{3}\))A
అంటే 12Ω నిరోధకంలో విద్యుత్ ప్రవాహం (2/3) A, అదే సమయంలో 6Ω నిరోధకంలో విద్యుత్ ప్రవాహం (4/3) A.

c) AB కొనల మధ్య వోల్టేజి పాతం, V_AB = I₁ × 4 = 1 A × 4Ω = 4 V.
ఈ విలువను A, B ల మధ్య గల మొత్తం విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని, A, B ల మధ్య గల తుల్య నిరోధంతో గుణించి కూడా రాబట్టవచ్చు. అంటే,
V_AB = 2A × 2 Ω =4V
BC కొనల మధ్య వోల్టేజి పాతం,
V_BC = 2A × 1 Ω = 2V
CD కొనల మధ్య వోల్టేజి పాతం,
V_CD = 12 Ω × I₃ = 12Ω × (\(\frac{2}{3}\)) A = 8 V.

ఈ విలువను C, D ల మధ్యగల మొత్తం విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని, C, D ల మధ్య తుల్య నిరోధంతో గుణించి రాబట్టవచ్చు. అంటే, V_CD = 2 A × 4 Ω = 8 V

AD కొనల మధ్య మొత్తం వోల్టేజి పాతం, 4 V+ 2 V + 8 V = 14 V అని గమనించండి. ఘటం కొనల మధ్య వోల్టేజి, (టెర్మినల్ వోల్టేజి) 14 V. అదే సమయంలో దాని emf 16 V. వోల్టేజిలో కలిగే నష్టం (= 2 V), ఈ నష్టం ఘటం అంతర్నిరోధం 1Ω వల్ల జరుగుతుంది [2 A × 1Ω = 2 V).

ప్రశ్న 6.
ఒక్కొక్కటి 1Ω నిరోధం గల 12 నిరోధకాలను కలిగి ఉన్న ఘనాకార జాలం కర్ణాల ఎదురెదురు కొనల మధ్య ఉపేక్షించదగిన అంతర్నిరోధం ‘గల 10 V బ్యాటరీని సంధానం చేశారు. జాలం తుల్య నిరోధాన్ని, ఘనం ప్రతీ అంచు ద్వారా ప్రవహించే విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఈ జాలాన్ని నిరోధకాల సరళశ్రేణి, సమాంతర సంయోగాలకు తగినట్లుగా రూపాంతరం చెందించలేం. అయితే, ఇచ్చిన లెక్కలో స్పష్టమైన సౌష్టవం ఉంది కాబట్టి దానిని ఉపయోగించుకొని జాలం తుల్య నిరోధాన్ని పొందవచ్చు.

AA’, AD, AB పథాలను స్పష్టంగా, సౌష్టవంగా ఉండేటట్లు జాలంలో ఉంచారు. కాబట్టి, ప్రతీ దానిలోని విద్యుత్ ప్రవాహం I సమానంగా ఉండాలి. ఇంకా A’, B, D కొనల వద్ద లోపలికి ప్రవేశించే విద్యుత్ ప్రవాహం I బయటికి పోయే రెండు శాఖల్లోకి తప్పకుండా రెండు సమాన భాగాలుగా విడిపోవాలి.

ఈ విధంగా లెక్కలోని సౌష్టవం, కిర్కాఫ్ మొదటి నియమాన్ని ఉపయోగించి ఘనం 12 అంచులలోని విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని I పదాలలో సులభంగా రాయవచ్చు. తరువాత ABCCEA సంవృత లూపు తీసుకొని కిర్కాఫ్ రెండవ నియమాన్ని అనువర్తించండి :

-IR – (1/2) IR – IR + ε = 0

ఇక్కడ R ప్రతీ అంచు నిరోధం, ε ఘటం emf. అందువల్ల, ε = \(\frac{5}{2}\)IR
జాలం తుల్య నిరోధం R_eq అనుకొంటే, R_eq = \(\frac{\varepsilon}{3I}=\frac{5}{6}\)R
R = 1Ω కు R_eq = (5/6) Ω, ε = 10V అయితే జాలంలోని మొత్తం విద్యుత్ ప్రవాహం (=3I)
3I = 10V/(5/6) Ω = 12 A, అంటే, I = 4 A

ప్రశ్న 7.
పటంలో చూపిన జాలంలో ప్రతీ శాఖలోని విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
జాలం ప్రతీ శాఖ తెలియని విద్యుత్ ప్రవాహంతో నిర్దేశితమై ఉంది. వీటిని కిర్కాఫ్ నియమాలను ఉపయోగించి కనుక్కోవలసి ఉంది. మొదట తెలియని వాటి సంఖ్యను తగ్గించడానికి, ప్రతీ శాఖలో తెలియని విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని నిర్దేశించడానికి ప్రతీ సంధి వద్ద కిర్కాఫ్ మొదటి నియమాన్ని ఉపయోగించాలి. అప్పుడు మనకు I₁, I₂, I₃ అనే మూడు తెలియనివి – ఉన్నాయి. వీటిని మూడు వివిధ సంవృత లూప్లు కిర్కాఫ్ రెండవ నియమాన్ని అనువర్తించి కనుక్కోవచ్చు. ADCA సంవృత లూప్కు కిర్కాఫ్ రెండవ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తే,
10 – 4(I₁ – I₂) + 2 (I₂ + I₃ – I₁) – I₁ = 0
అంటే, 7I₁ – 6I₂ – 2I₃ = 10 → (1)

ABCA సంవృత వలయానికి ఉపయోగిస్తే,
10 -4I₂ – 2 (I₂ + I₃) – I₁ = 0
అంటే, I₁ + 6I₂ + 2I₃ = 10 → (2)

BCDEB సంవృత వలయానికి ఉపయోగిస్తే,
5 – 2 (I₂ + I₃) – 2 (I₂ + I₃ – I₁) = 0
అంటే, 2I₁ – 4I₂ – 4I₃ = -5. → (3)

సమీకరణాలు (1, 2, 3) మూడు తెలియని విలువలు కలిగి ఉన్న సమకాలిక సమీకరణాలు. వీటిని సాధారణ. పద్ధతుల్లో సాధించినట్లయితే, కింది విలువలు వస్తాయి.

మిగతా సంవృత లూప్లకు కిర్కాఫ్ రెండవ నియమాన్ని అనువర్తించినట్లయితే, ఏ మాత్రం అదనపు స్వతంత్ర సమీకరణాన్ని సమకూర్చదని సులభంగా నిరూపితమైంది. అంటే, పై విద్యుత్ ప్రవాహ విలువలు జాలంలోని ప్రతీ సంవృత లూప్కు కిర్కా రెండవ నియమాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి. ఉదాహరణకు, సంవృత లూప్ BADEB కి మొత్తం వోల్టేజి పాతం

కిరాఫ్ రెండవ నియమం ప్రకారం అవసరమైనట్లు, ఇది శూన్యానికి సమానం.

ప్రశ్న 8.
వీటన్ బ్రిడ్జి నాలుగు భుజాలు ఈ క్రింది విధంగా నిరోధాలను కలిగి ఉన్నాయి.

AB = 100Ω, BC = 10Ω, CD = 5Ω, DA= 60Ω BD కొనల మధ్య 15Ω నిరోధం గల గాల్వనామీటర్ను కలిపారు. AC ల మధ్య 10 V పొటెన్షియల్ భేదం కొనసాగించినప్పుడు, గాల్వనామీటర్ ద్వారా విద్యుత్ . ప్రవాహాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
BADB వల (mesh) ను పరిగణనలోకి తీసుకొంటే,
100I₁ + 15I_g – 60I₂ = 0 లేదా 20I₁ + 3I_g – 12I₂ = 0 → (1)

BCDB వలను పరిగణనలోకి తీసుకొంటే,
10(I₁ – I_g) – 15I_g – 5(I₂ + I_g) = 0
10I₁ – 30I_g – 5I₂ = 0
2I₁ – 6I_g – I₂ = 0 → (2)

ADCEA వలను పరిగణనలోకి తీసుకొంటే,
60I₂ + 5(I₂ + I_g) = 10
65I₂ + 5I_g = 10
13I₂ + I_g = 2
సమీకరణం (2) ని 10 తో గుణిస్తే,
20I₁ + 60I_g – 10I₂ = 0
సమీకరణాలు (4) మరియు (1) ల నుంచి
63I_g – 2I₂ = 0
I₂ = 31.5I_g

పై I₂ విలువను సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపిస్తే,
13(31.5I_g) + I_g = 2
410.5 I_g = 2
I_g = 4.87 mA.

ప్రశ్న 9.
మీటరు బ్రిడ్జిలో A నుంచి 36.7 cm ల దూరం వద్ద శూన్య బిందువును కనుక్కొన్నారు. ఇప్పుడు 12Ω నిరోధాన్ని S కి సమాంతరంగా కలిపితే, శూన్య బిందువు 51.9 cm వద్ద కలుగుతుంది. R, S విలువలను కనుక్కోండి.

సాధన:
మొదటి సంతులన బిందువు నుంచి కింది విధంగా వస్తుంది.

సమీకరణం (1) నుంచి R/S విలువ పై సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే,

దీని నుంచి S = 13.5 Ω వస్తుంది. పై R/S విలువను ఉపయోగిస్తే, మనకు R = 6.86Ω వస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
RΩ ల ఒక నిరోధం పొటెన్షియోమీటర్ నుంచి విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని తీసుకుంటుంది. పొటెన్షియోమీటర్ కలిగి ఉండే మొత్తం నిరోధం R₀ Ω. పొటెన్షియోమీటరు సరఫరా అయిన వోల్టేజి V. జాకీ (తీగపై జారుతూ తీగతో స్పర్శలో ఉండేది) పొటెన్షియోమీటర్ మధ్యలో ఉన్నప్పుడు, R కొనల మధ్య ఉండే వోల్టేజికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.

సాధన:
జాకీ పొటెన్షియోమీటర్ మధ్యలో ఉన్నప్పుడు మాత్రమే A, B బిందువుల మధ్య నిరోధం మొత్తం నిరోధంలో సగం (R₀/2) ఉంటుంది. అందువల్ల A, B ల మధ్య గల మొత్తం నిరోధం R₁ అనుకుంటే, దీనిని కింది సమాసంగా ఇవ్వచ్చు.

A, C. మధ్య గల మొత్తం నిరోధం A, B, B, C ల మధ్య గల నిరోధాల మొత్తానికి సమానం. అంటే, R₁ + R₀ /2
∴ పొటెన్షియోమీటర్ ద్వారా ప్రవహించే విద్యుత్,