Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు Exercise 7(c) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు Exercise 7(c)
అభ్యాసం – 7(సి)
క్రింది భిన్నాలను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
ప్రశ్న 1.
\(\frac{x^2}{(x-1)(x-2)}\)
సాధన:
\(\frac{x^2}{(x-1)(x-2)}=1+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}\) అనుకుందాం.
x2 = (x – 1) (x – 2) + A(x – 2) + B(x – 1)
x = 1 వ్రాస్తే, 1 = A(-1) ⇒ A = -1
x = 2 వ్రాస్తే, 4 = B(1) ⇒ B = 4
∴ A = -1, B = 4
∴ \(\frac{x^2}{(x-1)(x-2)}=1-\frac{1}{x-1}+\frac{4}{x-2}\)
ప్రశ్న 2.
\(\frac{x^3}{(x-1)(x+2)}\)
సాధన:
ప్రశ్న 3.
\(\frac{x^3}{(2 x-1)(x-1)^2}\)
సాధన:
\(\frac{x^3}{(2 x-1)(x-1)^2}\) = \(\frac{1}{2}+\frac{A}{2 x-1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}\) అనుకుందాం.
2x3 = (2x – 1) (x – 1)2 + 2A(x – 1)2 + 2B(2x – 1) (x – 1) + 2C(2x – 1)
x = \(\frac{1}{2}\) వ్రాస్తే, 2(\(\frac{1}{8}\)) = 2A(\(\frac{1}{4}\))
⇒ A = \(\frac{1}{2}\)
x = 1 వ్రాస్తే, 2(1) = 2C(1)
⇒ C = 1
x = 0 వ్రాస్తే, 0 = (-1) (1) + 2A(1) + 2B(-1) (-1) + 2C(-1)
⇒ 2A + 2B – 2C = 1
⇒ 2B = 1 + 2C – 2A
⇒ 2B = 1 + 2 – 1
⇒ 2B = 2
⇒ B = 1
∴ A = \(\frac{1}{2}\), B = 1, C = 1
∴ \(\frac{x^3}{(2 x-1)(x-1)^2}\) = \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2(2 x-1)}+\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}\)
ప్రశ్న 4.
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\)
సాధన:
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) = \(1+\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}\) అనుకోండి.
(x – a)(x – b)(x – c) చే గుణించగా
x3 = (x – a)(x – b)(x – c) + A(x – b) (x – c) + B(x – a) (x – c) + C(x – a) (x – b)
x = a ⇒ a3 = A(a – b) (a – c)
⇒ A = \(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}\)
x = b ⇒ b3 = B(b – a) (b – c)
⇒ B = \(\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}\)
x = c ⇒ c3 = C(c – a) (c – b)
⇒ C = \(\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}\)
∴ \(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) = \(1+\frac{a^3}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)(x-b)}\) + \(\frac{c^3}{(c-a)(c-b)(x-c)}\)