Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Exercise 9(a) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Exercise 9(a)
అభ్యాసం – 9(ఎ)
I.
ప్రశ్న 1.
ఒక పాచికను దొర్లించే ప్రయోగంలో క్రింది ఘటనలు తీసుకొందాం.
A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C = { 1, 2, 3}
ఈ ఘటనలు సమసంభవాలేనా?
సాధన:
A, B, C ఘటనలు మూడింటిలో ఏ ఘటన సంభవమైనా, మిగతా ఘటనలు సంభవాని కంటే ఎక్కువగా సంభవించడానికి గల కారణం ఏమీ లేదు.
కనుక ఈ ఘటనలు సమసంభవ ఘటనలు.
ప్రశ్న 2.
ఒక పాచికను దొర్లించే ప్రయోగంలో క్రింది ఘటనలను తీసుకొందాం.
A = {1, 3, 5}, B = {2, 4}, C = {6}
ఈ ఘటనలు పరస్పర వివర్జితాలేనా?
సాధన:
A, B, C ఘటనలలో ఏ ఘటన సంభవమైనా, మిగతా ఘటనలలో మరోదాని సంభవాన్ని నిరోధిస్తుంది.
కనుక A, B, Cలు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు లేదా A ∩ B = φ, B ∩ C = φ, C ∩ A = φ
∴ A, B, C ఘటనలు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు.
ప్రశ్న 3.
ఒక పాచికను దొర్లించే ప్రయోగంలో క్రింది ఘటనలను తీసుకొందాం.
A = {2, 4, 6}, B = {3, 6}, C = {1, 5, 6}
ఈ ఘటనలు పూర్ణఘటనలేనా?
సాధన:
ఒక పాచికను దొర్లించే ప్రయోగంలో శాంపిల్ ఆవరణ
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∵ A ⊂ S, B ⊂ S, C ⊂ S మరియు
A ∪ B ∪ C = S
∴ A, B, C లు పూర్ణ ఘటనలు.
II.
ప్రశ్న 1.
పరస్పర వివర్ణిత, పూర్ణ ఘటనలకు రెండు ఉదాహరణలను ఇవ్వండి.
సాధన:
(i) ఒక పాచికను దొర్లించే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో శాంపిల్ ఆవరణ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6).
E1 అనేది పాచికను దొర్లించినపుడు బేసి అంకెరావటం అనే ఘటన
E1 = {1, 3, 5}
E2 అనేది పాచికను దొర్లించినప్పుడు సరిఅంకె రావటం అనే ఘటన
E2 = {2, 4, 6}
అప్పుడు E1 ⊂ S, E2 ⊂ S మరియు E1 ∪ E2 = S, E1 ∩ E2 = φ
∴ E1, E2 లు పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణ ఘటనలు.
(ii) రెండు నాణేలను ఒకేసారి దొర్లించే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో శాంపిల్ ఆవరణ
S = {HH, HT, TH, TT}
(H బొమ్మను, T అచ్చును సూచిస్తుంది)
E1 అనేది రెండు నాణేలను ఒకేసారి దొర్లించినపుడు కనీసం ఒక బొమ్మ రావటం అనే ఘటన
∴ E1 = {HH, HT, TH}
E2 అనేది రెండు నాణేలను ఒకేసారి దొర్లించినపుడు రెండూ అచ్చులు కావటం అనే ఘటన
∴ E2 = {TT}
∵ E1 ⊂ S, E2 ⊂ S, E1 ∪ E2 = S మరియు E1 ∩ E2 = φ
∴ E1, E2 లు పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణ ఘటనలు.
ప్రశ్న 2.
పరస్పర వివర్జిత ఘటన గానీ, పూర్ణ ఘటన గానీ కానట్టి ఘటనలకు రెండు ఉదాహరణలను ఇవ్వండి.
సాధన:
(i) ఒక పాచికను దొర్లించే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E1 అనేది సరి ప్రధాన సంఖ్య రావటం అనే ఘటన, E2 అనేది సరిసంఖ్య రావటం అనే ఘటన అనుకుంటే,
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E1 = {2}, E2 = {2, 4, 6}
E1 ∩ E2 = {2} ≠ φ, E1 ∪ E2 = {2, 4, 6} ⊂ S
కనుక E1, E2 లు రెండు పరస్పర వివర్జితం గానీ, పూర్ణ ఘటనలు గానీ కానటువంటి ఘటనలు.
(ii) రెండు నాణేలను దొర్లించినపుడు ఒక బొమ్మ రావటం అనేది ఘటన E1, కనీసం ఒక బొమ్మ రావటం అనేది E2 అనుకుంటే
S = {HH, HT, TH, TT}
E1 = {HT, TH}
E2 = {HH, HT, TH}
ఇచ్చట E1 ∩ E2 = {(H, T), (T, H)} ≠ φ
E1 ∪ E2 = {(H, H), (H, T), (T, H)} ⊂ S
∴ E1, E2 లు పరస్పర వివర్జితం గానీ, పూర్ణ ఘటనలు గానీ కానటువంటి ఘటనలు.
ప్రశ్న 3.
సమసంభవాలు గానీ, పూర్ణ ఘటనగానీ కానటువంటి ఘటనలకు రెండు ఉదాహరణలిమ్ము.
సాధన:
(i) రెండు నాణేలను ఎగురవేసే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E1 అనేది ఒక బొరుసు రావటం అనే ఘటన E2 అనేది కనీసం ఒక ‘బొరుసు’ రావటం అనే ఘటన అనుకుంటే,
శాంపిల్ ఆవరణ
S = {HH, HT, TH, TT}
E1 = {HT, TH}
E2 = {HT, TH, TT}
P(E1) = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\), P(E2) = \(\frac{3}{4}\)
∵ P(E1) ≠ P(E2)
E1, E2 లు సమసంభవాలు కానీ ఘటనలు.
E1 ∪ E2 = {HT, TH, TT} ⊂ S
∴ E1, E2 లు పూర్ణ ఘటనలు కావు.
(ii) పాచికను దొర్లించే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో
E1 అనేది బేసి ప్రధాన సంఖ్య రావటం అనే ఘటనను, E2 అనేది బేసి సంఖ్య రావటం అనే ఘటన అనుకుంటే,
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E1 = {3, 5}, E2 = {1, 3, 5}
P(E1) = \(\frac{2}{6}\), P(E2) = \(\frac{3}{6}\)
∵ P(E1) ≠ P(E2)
∴ E1, E2 లు సమసంభవాలు కానీ ఘటనలు
E1 ∪ E2 = {1, 3, 5) ⊂ S
∴ E1, E2 లు పూర్ణ ఘటనలు కావు.