AP 10th Class Maths Notes 14th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రం

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 14th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రం to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 14th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రం

→ రోనాల్డ్. ఎ. ఫిషర్ – (1890-1962):

  • సాంఖ్యకశాస్త్ర పితామహుడు “సర్.రోనాల్డ్.ఎ.ఫిషర్ ఫ్రెంచ్)”.
  • స్టాటిస్టిక్స్ అను ఆంగ్ల పదం “స్టారుస్టా” అను ఇటాలియన్ పదం మరియు “స్టాటిస్టిక్” అను గ్రీకు పదం నుండి ఉద్భవించింది.
  • స్టాటిస్టిక్స్ అనగా ‘సంఖ్యల గురించి సమాచారం సేకరించుట’.

→ అవర్గీకృల బత్తాంశ సగటు : ఇవ్వబడిన రాశులు (observations) యొక్క మొత్తాన్ని రాశుల సంఖ్యచే భాగిస్తే – సగటు” వస్తుంది. x1, x2, , …… xn, రాశుల యొక్క పౌనఃపున్యాలు వరుసగా f1, f2, ……. fn, అనగా x1, అనే రాశి f1, సార్లు, x2, అనే రాశి {, సార్లు పునరావృతం అయిందని అదే విధంగా x3, …, xn, లు కూడా.
ఇపుడు, రాశుల మొత్తము = f1x1 + f2x2 + ….. + fnxn
మరియు రాశుల సంఖ్య = f1 + f2 + …. + fn.

కాబట్టి, ఇవ్వబడిన దత్తాంశం యొక్క సగటు (x̄)
x̄ = \(\frac{f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\ldots \ldots \ldots+f_{n} x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\ldots \ldots \ldots+f_{n}}\)
పై ‘సగటు’ను సంక్షిప్తంగా గ్రీకు అక్షరం (సిగ్మా) ‘Σ’ (Σ అనగా మొత్తం) నుపయోగించి
x̄ = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)గా రాస్తాము.

AP 10th Class Maths Notes 14th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రం

→ ఒక వర్గీకృత విభాజనము యొక్క అంకమధ్యమము లెక్కించుటకు సూత్రాలు :
(i) ప్రత్యక్ష పద్ధతి : x̄ = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) f – పౌనఃపున్యము, x – తరగతి మధ్య విలువ

(ii) విచలన పద్ధతి (ఊహించిన సగటు పద్ధతి) : x̄ = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
a = ఊహించిన తరగతి అంకమధ్యమం
d = xi – a,
xi – తరగతి మధ్య విలువ
Σfi = పౌనఃపున్యాల మొత్తం

(iii) సంక్షిప్త విచలన పద్ధతి : x̄ = a + \(\left(\frac{\Sigma f_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\right)\) × h
a = ఊహించిన తరగతి సగటు
µi = \(\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\mathrm{a}}{\mathrm{h}}\)
xi = తరగతి మధ్య విలువ
h = తరగతి అంతరం
Σfi = పౌనఃపున్యాల మొత్తం

→ వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనంనకు బాహుళక సూత్రం :
బాహుళకము = l + \(\left(\frac{\mathrm{f}_{1}-\mathrm{f}_{0}}{2 \mathrm{f}_{1}-\mathrm{f}_{0}-\mathrm{f}_{2}}\right)\) × h
ఇచ్చట, l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువహద్దు
h = బాహుళక తరగతి పొడవు
f1 = బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
f0 = బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
f2 = బాహుళక తరగతికి తరువాత నున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము.

→ వర్గీకృత దత్తాంశం యొక్క మధ్యగతము (Median) : ‘మధ్యగతము’ అనేది కేంద్రస్థాన విలువలు (Measure of central tendency)లో ఒకటి, ఇది ఇవ్వబడిన దత్తాంశములోని రాశుల లేదా పరిశీలనాంశాల యొక్క మధ్య విలువ’ను ఇస్తుంది. అవర్గీకృత దత్తాంశానికి ‘మధ్యగతాన్ని కనుగొనే విధానాన్ని ఒకసారి గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం. అవర్గీకృత దత్తాంశానికి ‘మధ్యగతం’ను కనుగొనుటకు, ముందుగా , దత్తాంశంలోని రాశులను లేదా పరిశీలనాంశాలను ‘ఆరోహణక్రమం’లో అమర్చుకోవాలి.

అపుడు, ఒకవేళ రాశులసంఖ్య ‘n’ బేసిసంఖ్య అయితే, మధ్యగతము అనేది \(\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)\) వ రాశి లేదా పరిశీలనాంశము అవుతుంది.

ఒకవేళ, ‘n’ సరిసంఖ్య అయితే ‘మధ్యగతం’ అనేది \(\left(\frac{n}{2}\right)\) వ రాశి మరియు \(\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)\) రాశుల సరాసరి అవుతుంది.
ఇచ్చిన దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతమును క్రింది సూత్రమును ఉపయోగించి కనుగొంటాము.

→ వర్గీకృత దత్తాంశం యొక్క మధ్యగతమునకు సూత్రం : పదాల వివరణ :
మధ్యగతము M = l + \(\left(\frac{\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}}{\mathrm{f}}\right)\) × h
ఇందులో l = మధ్యగత తరగతి దిగువహద్దు
n = దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య
cf = మధ్యగత తరగతికి ముందు తరగతి యొక్క సంచిత పౌనఃపున్యము
f = మధ్యగత తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
h = మధ్యగత తరగతి పొడవు

AP 10th Class Maths Notes 14th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రం

→ ఓజీవ్ వక్రాలు గీయుటలో X-అక్షముపై తరగతి హద్దులను, Y-అక్షముపై సంచిత పౌనఃపున్యములను తీసుకొనవలెను.

→ రెండు అక్షములపై తీసుకొను స్కేలు సమానంగా ఉండనవసరం లేదు.

→ ఒకే దత్తాంశము యొక్క రెండు ‘ఓజీవ్ వక్రాలు పరస్పరం ఖండించుకొన్న బిందువు నుండి X-అక్షం మీదికి గీచిన లంబపాదము ఆ దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతమును తెలుపుతుంది. ‘ అనగా ఖండన బిందువులోని X-నిరూపకం మధ్యగతము అవుతుంది.