AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిని సూక్ష్మికరించండి:
(i) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
సాధన.
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
= \(\left(\frac{1}{1}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{1}{1}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right)\)
= \(\left(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)+1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{(\sin \theta+\cos \theta)-1}{\sin \theta}\right)\)
[∵ (a + b) (a – b) = a2 – b2] cose + sin’e +2 sino cose – 1 :: :coso. sine
= \(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)^{2}-(1)^{2}}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\)
= \(\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\)
= \(\frac{1+2 \sin \theta \cdot \cos \theta-1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\) [∵ cos2 θ + sin2 θ = 1]
= \(\frac{2 \sin \theta \cdot \cos \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\) = 2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

(ii) (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2
సాధన.
(sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = (sin2 θ + cos2 θ + 2 sin θ cos θ) +
(sin2 θ + cos2 θ – 2 sin θ cos θ)
[∵ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab]
= 1 + 2 sin θ cos θ + 1 – 2 sin θ cos θ [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]
= 1 + 1 = 2

(iii) (sec2 θ – 1) (cosec2 θ – 1)
సాధన.
(sec2 θ – 1) (cosec2 θ – 1) = tan2 θ × cot2 θ
[∵ sec2 θ – tan2 θ = 1
cosec2 θ – cot2 θ = 1]
= tan2 θ × \(\frac{1}{\tan ^{2} \theta}\) = 1

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 2.
(cosec θ – cot θ)2 = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\) అని చూపించండి
సాధన.
L.H.S. = (cosec θ – cot θ)2
= \(\left(\frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2}\)
= \(\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{\sin ^{2} \theta}\)
= \(\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{1^{2}-\cos ^{2} \theta}\)
[∵ sin2 θ = 1 – cos2 θ]
= \(\)
[∵ a2 – b2 = (a + b) (a – b)]
= \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\) = R.H.S.

ప్రశ్న 3.
\(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\) = sec A + tan A చూపండి.
సాధన.
L.H.S = \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\)
లవహారాలను 1 – sin A తో గణించగా
= \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A} \times \frac{1+\sin A}{1+\sin A}}\)
= \(\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{1-\sin ^{2} A}}\)
[∵ (a + b)(a + b) = (a + b)2]
(a – b)(a + b) = a? — 62)
= \(\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{\cos ^{2} A}}\)
= \(\frac{1+\sin A}{\cos A}=\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}\)
= sec A + tan A = R.H.S.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 4.
\(\frac{1-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A-1}\) = tan2 A
సాధన.
L.H.S. = \(\frac{1-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A-1}\)
= \(\frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{\frac{1}{\tan ^{2}}-1}\)
= \(\frac{1-\tan ^{2} A}{\frac{1 \tan ^{2} A}{\tan ^{2} A}}\)
= 1 – tan2 A × \(\frac{\tan ^{2} A}{1-\tan ^{2} A}\)
= tan2 A

ప్రశ్న 5.
\(\frac{1}{\cos \theta}\) – cos θ = tan θ . sin θ చూపండి
సాధన.
L.H.S = \(\frac{1}{\cos \theta}\) – cos θ
= \(\frac{1-\cos ^{2} \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}\) [∵ 1 – cos2 θ = sin θ]
= \(\frac{\sin \theta \times \sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) [∵ \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = tan θ].

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 6.
sec A (1 – sin A) (sec A + tan A) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
L.H.S. = sec A (1 – sin A) (sec A + tan A)
= (sec A – sec A. sin A) . (sec A + tan A)
= (sec A – \(\frac{1}{\cos A}\) . sin A) (sec A + tan A)
= (sec A – tan A) (sec A + tan A)
= sec2 A – tan2 A
= 1
[∵ sec2 A – tan2 A = 1]

ప్రశ్న 7.
(sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2 A + cot2 A
సాధన.
L.H.S. = (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2
= (sin2 A + cosec2 A + 2 sin A. cosec A) + (cos2 A + sec2 A +
2 cos A . sec A)
[∵ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab]
= (sin2 A + cos2 A) + cosec2 A + 2 sinA. \(\frac{1}{\sin A}\) + sec2 A + 2 cos A · \(\frac{1}{\cos A}\)
[∵ \(\frac{1}{\sin A}\) = cosec A; \(\frac{1}{\cos A}\) = sec A]
= 1 + (1 + cot2 A) + 2 + (1 + tan2 A) + 2
[∵ sin2 A + cos2 A = 1]
cosec2 A = 1 + cot2 A
sec2 A = 1 + tan2 A]
= 7 + tan2 A + cot2 A = R.H.S.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 8.
(1 – cos θ) (1 + cos θ) (1 + cot2 θ) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
(1 – cos θ) (1 + cos θ) (1 + cot2 θ) = (1 – cos2 θ) (1 + cot2 θ)
[∵ (a – b)(a + b) = a2 – b2]
= sin2 θ. cosec2 θ
[: 1 – cos2 θ = sin2 θ
1 + cot2 θ = cosec2 θ]
= sin2 θ . \(\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\) [∵ cosec θ = sin θ]
= 1

ప్రశ్న 9.
sec θ + tan θ = p ఐతే sec θ – tan θ విలువ ఎంత?
సాధన.
దత్తాంశము
sec θ + tan θ = p
sec2 θ – tan2 θ = 1 అను సర్వసమీకరణం ద్వారా
sec2 θ – tan2 θ = (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
= p (sec θ – tan θ) = 1
(దత్తాంశము నుండి)
⇒ sec θ – tan θ = \(\frac{1}{p}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 10.
cosec θ + cot θ = k ఐతే сos θ = \(\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}\) విలువ ఎంత?
సాధన.
పద్ధతి – I:
దత్తాంశము cosec θ + cot θ = k
R.H.S. = \(\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4 1

= \(\frac{2 \cot \theta(\cot \theta+cosec \theta)}{2 cosec \theta(\cot \theta+cosec \theta)}\)

= \(\frac{\cot \theta}{cosec \theta}\)

= \(\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1}{\sin \theta}}\)

= \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\sin \theta}{1}\)
= cos θ = L.H.S.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

పద్ధతి – II:
దత్తాంశము : cosec θ + cot θ = k ………………(1)
సర్వ సమీకరణం cosec2 θ – cot2 θ = 1
⇒ (cosec θ + cot θ) (cosec θ – cot θ) = 1
[∵ a2 – b2 = (a – b)(a + b)]
⇒ k (cosec θ – cot θ) = 1
⇒ cosec θ – cot θ = \(\frac{1}{\mathrm{k}}\) ……………… (2)
(1) మరియు (2) లను సాధించగా

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4 2