AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిని సూక్ష్మికరించండి:
(i) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
సాధన.
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
= \(\left(\frac{1}{1}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{1}{1}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right)\)
= \(\left(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)+1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{(\sin \theta+\cos \theta)-1}{\sin \theta}\right)\)
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²] cose + sin’e +2 sino cose – 1 :: :coso. sine
= \(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)^{2}-(1)^{2}}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\)
= \(\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\)
= \(\frac{1+2 \sin \theta \cdot \cos \theta-1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\) [∵ cos² θ + sin² θ = 1]
= \(\frac{2 \sin \theta \cdot \cos \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\) = 2.

(ii) (sin θ + cos θ)² + (sin θ – cos θ)²
సాధన.
(sin θ + cos θ)² + (sin θ – cos θ)² = (sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ) +
(sin² θ + cos² θ – 2 sin θ cos θ)
[∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab
(a – b)² = a² + b² – 2ab]
= 1 + 2 sin θ cos θ + 1 – 2 sin θ cos θ [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= 1 + 1 = 2

(iii) (sec² θ – 1) (cosec² θ – 1)
సాధన.
(sec² θ – 1) (cosec² θ – 1) = tan² θ × cot² θ
[∵ sec² θ – tan² θ = 1
cosec² θ – cot² θ = 1]
= tan² θ × \(\frac{1}{\tan ^{2} \theta}\) = 1

ప్రశ్న 2.
(cosec θ – cot θ)² = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\) అని చూపించండి
సాధన.
L.H.S. = (cosec θ – cot θ)²
= \(\left(\frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2}\)
= \(\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{\sin ^{2} \theta}\)
= \(\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{1^{2}-\cos ^{2} \theta}\)
[∵ sin² θ = 1 – cos² θ]
= \(\)
[∵ a² – b² = (a + b) (a – b)]
= \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\) = R.H.S.

ప్రశ్న 3.
\(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\) = sec A + tan A చూపండి.
సాధన.
L.H.S = \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\)
లవహారాలను 1 – sin A తో గణించగా
= \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A} \times \frac{1+\sin A}{1+\sin A}}\)
= \(\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{1-\sin ^{2} A}}\)
[∵ (a + b)(a + b) = (a + b)2]
(a – b)(a + b) = a? — 62)
= \(\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{\cos ^{2} A}}\)
= \(\frac{1+\sin A}{\cos A}=\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}\)
= sec A + tan A = R.H.S.

ప్రశ్న 4.
\(\frac{1-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A-1}\) = tan² A
సాధన.
L.H.S. = \(\frac{1-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A-1}\)
= \(\frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{\frac{1}{\tan ^{2}}-1}\)
= \(\frac{1-\tan ^{2} A}{\frac{1 \tan ^{2} A}{\tan ^{2} A}}\)
= 1 – tan² A × \(\frac{\tan ^{2} A}{1-\tan ^{2} A}\)
= tan² A

ప్రశ్న 5.
\(\frac{1}{\cos \theta}\) – cos θ = tan θ . sin θ చూపండి
సాధన.
L.H.S = \(\frac{1}{\cos \theta}\) – cos θ
= \(\frac{1-\cos ^{2} \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}\) [∵ 1 – cos² θ = sin θ]
= \(\frac{\sin \theta \times \sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) [∵ \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = tan θ].

ప్రశ్న 6.
sec A (1 – sin A) (sec A + tan A) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
L.H.S. = sec A (1 – sin A) (sec A + tan A)
= (sec A – sec A. sin A) . (sec A + tan A)
= (sec A – \(\frac{1}{\cos A}\) . sin A) (sec A + tan A)
= (sec A – tan A) (sec A + tan A)
= sec² A – tan² A
= 1
[∵ sec² A – tan² A = 1]

ప్రశ్న 7.
(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A
సాధన.
L.H.S. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= (sin² A + cosec² A + 2 sin A. cosec A) + (cos² A + sec² A +
2 cos A . sec A)
[∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab]
= (sin² A + cos² A) + cosec² A + 2 sinA. \(\frac{1}{\sin A}\) + sec² A + 2 cos A · \(\frac{1}{\cos A}\)
[∵ \(\frac{1}{\sin A}\) = cosec A; \(\frac{1}{\cos A}\) = sec A]
= 1 + (1 + cot² A) + 2 + (1 + tan² A) + 2
[∵ sin² A + cos² A = 1]
cosec² A = 1 + cot² A
sec² A = 1 + tan² A]
= 7 + tan² A + cot² A = R.H.S.

ప్రశ్న 8.
(1 – cos θ) (1 + cos θ) (1 + cot² θ) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
(1 – cos θ) (1 + cos θ) (1 + cot² θ) = (1 – cos² θ) (1 + cot² θ)
[∵ (a – b)(a + b) = a² – b²]
= sin² θ. cosec² θ
[: 1 – cos² θ = sin² θ
1 + cot² θ = cosec² θ]
= sin² θ . \(\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\) [∵ cosec θ = sin θ]
= 1

ప్రశ్న 9.
sec θ + tan θ = p ఐతే sec θ – tan θ విలువ ఎంత?
సాధన.
దత్తాంశము
sec θ + tan θ = p
sec² θ – tan² θ = 1 అను సర్వసమీకరణం ద్వారా
sec² θ – tan² θ = (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
= p (sec θ – tan θ) = 1
(దత్తాంశము నుండి)
⇒ sec θ – tan θ = \(\frac{1}{p}\)

ప్రశ్న 10.
cosec θ + cot θ = k ఐతే сos θ = \(\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}\) విలువ ఎంత?
సాధన.
పద్ధతి – I:
దత్తాంశము cosec θ + cot θ = k
R.H.S. = \(\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}\)

= \(\frac{2 \cot \theta(\cot \theta+cosec \theta)}{2 cosec \theta(\cot \theta+cosec \theta)}\)

= \(\frac{\cot \theta}{cosec \theta}\)

= \(\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1}{\sin \theta}}\)

= \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\sin \theta}{1}\)
= cos θ = L.H.S.

పద్ధతి – II:
దత్తాంశము : cosec θ + cot θ = k ………………(1)
సర్వ సమీకరణం cosec² θ – cot² θ = 1
⇒ (cosec θ + cot θ) (cosec θ – cot θ) = 1
[∵ a² – b² = (a – b)(a + b)]
⇒ k (cosec θ – cot θ) = 1
⇒ cosec θ – cot θ = \(\frac{1}{\mathrm{k}}\) ……………… (2)
(1) మరియు (2) లను సాధించగా