AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 బహుపదులు InText Questions

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమాసాలలో ఏవి బహుపదులు ? ఏవికావు ? కారణాలు తెల్పండి. (పేజీ నెం. 48)
(i) 2x³
(ii) \(\frac{1}{x-1}\)
(iii) 4z² + \(\frac{1}{7}\)
(iv) m² – √2m + 2
(v) p^-2 + 1
సాధన.
(i), (iii), (iv) లు బహుపదులు
(ii), (v) లు కావు.
కారణం బహుపదుల చరరాశుల ఘాతాంకాలు రుణేతర
పూర్ణ సంఖ్యలు కాని రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు కావు.

ప్రశ్న 2.
(i) p(x) = x² – 5x – 6 అయిన p(1), p(2), p(3), p(0), p(- 1), p(- 2), p(- 3) విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
p(x) = x² – 5x – 6
p(1) = (1)² – 5(1) – 6 = 1 – 5 – 6
p(1) = – 10
p(2) = (2)² – 5(2) – 6.= 4 – 10 – 6
p(2) = – 12
p(3) = 3² – 5(3) – 6 = 9 – 15 – 6
p(3) = – 12
p(0) = 0² – 5(0) – 6
p(0) = – 6
p(- 1) = (- 1)² – 5(- 1) – 6 = 1 + 5 – 6
p(- 1) = 0
p(- 2) = (- 2)² – 5(- 2) – 6 = 4 + 10 – 6
p(- 2) = 8
p(- 3) = (- 3)² – 5(- 3) – 6 = 9 + 15 – 6
p(- 3) = 18.

(ii) p(m) = m² – 3m +1 అయిన p(1) మరియు p(- 1) విలువలు కనుగొనండి:
సాధన.
p(m) = m² – 3m + 1
p(1) = (1)² – 3(1) + 1
= 1 – 3 + 1
p(1) = – 1
p(- 1) = (- 1)² – 3(- 1) +1
= 1 + 3 + 1
p(- 1) = 5

ప్రశ్న 3.
(i) p(x) = x² – 4x + 3 అయిన p(0), p(1), p(2), p(3) విలువలు కనుగొనండి. p(x) యొక్క శూన్యాలు ఏవో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 50)
సాధన.
p(x) = x² – 4x + 3
p(0) = (0)² – 4(0) + 3
p(0) = 3
p(1) = (1)² – 4(1) + 3
= 1 – 4 + 3
p(1) = 0
p(2) = (2)² – 4(2) + 3
= 4 – 8 + 3
= 7 – 8
p(2) = – 1
p(3) = (3)² – 4(3) +.3
= 9 – 12 + 3
= 12 – 12
p(3) = 0
∴ p(1) = 0, p(3) = 0 కావున p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 1 మరియు 3.

(ii) x² – 9 అనే బహుపదికి – 3 మరియు 3 శూన్యాలు 1. అవుతాయో కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – 9
p(- 3) = (- 3)² – 9 = 9 – 9 = 0
p(3) = 3 – 9 = 9 – 9 = 0
p(- 3) = 0 మరియు p(3) = 0
∴ p(x) కు -3 మరియు 3లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఏవైనా మూడు త్రిపరిమాణ, వర్గ బహుపదులను, రెండు రేఖీయ బహుపదులను విభిన్న పదాలతో రాయండి. (పేజీ నెం. 48)
సాధన.
(i) వర్గ బహుపదులు :
p(x) = x² – 5x + 6
f(x) = 5x – 10
g(x) = 7x²

(ii) ఘన బహుపదులు .
p(x) = 4x³ + 2x² + 7x + 4
f(x) = x³ + 9x – 15
g(x) = 5x³ + 9x² + 11

(iii) రేఖీయ బహుపదులు
p(x) = 5x – 20
g(x) = 4x

ప్రశ్న 2.
x చరరాశిలో గల వర్గ బహుపది, త్రిపరిమాణ బహుపదుల సాధారణ రూపాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
వర్గ బహుపది p(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0
ఘన బహుపది p(x) = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0
(లేదా)
వర్గ బహుపది p(x) = a₀x² + a₁x + a₂ a₀ ≠ 0
ఘన బహుపది p(x) = a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ a₀ ≠ 0

ప్రశ్న 3.
n పరిమాణం . కలిగిన ఒక బహుపది q(2)ను రాయండి. ఇందులో చరరాశీ గుణకాలుగా b₀ ………. b_n తీసుకుంటే, వాటికి ఏ నిబంధనలు వర్తిస్తాయో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
b₀, b₁ ………… b_n లు గుణకాలుగా గల, n వ పరిమాణ బహుపది q(2) యొక్క సాధారణ రూపం.
q(z) = b₀zⁿ + b₁z^{n – 1} + b₂z^{n – 2}
+ ………. + b_{n – 1}z + b_n.
ఇక్కడ b₀ ≠ 0 మరియు b₁, b₂, b₃, ……… b_n లు వాస్తవ సంఖ్యలు.
p(1) = (1)³ – 1 = 0
p(- 1) = (- 1)³ – 1 = – 1 – 1 = – 2
p(0) = (0)³ – 1 = – 1
p(2) = (2)³ – 1 = 8 – = 7
p(- 2) = (- 2)³ – 1 = – 8 – 1 = – 9

ప్రశ్న 4.
– 2 మరియు 2 అనేవి x⁴ – 16 అనే బహుపదికి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరి చూడండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 16
p(- 2) = (- 2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0
p(2) = (2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0.
p(- 2) = 0 మరియు p(2) = 0
∴ – 2 మరియు 2 లు x⁴ – 16 కు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
p(x) = x² – x – 6 అనే బహుపదికి 3 మరియు – 2 అనేవి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – x – 6
p(3) = (3)² – (3) – 6 = 9 – 9 = 0
p(- 2) = (- 2)² – (- 2) – 6 = 4 + 2 – 6 = 0
p(3) = 0 మరియు p(- 2) = 0
∴ 3 మరియు – 2 లు p(x) కి శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
(i) y = 2x + 5,
(ii) y = 2x – 5,
(iii) y = 2x అను బహుపదులకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. ఈ రేఖలు x- అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులు కనుగొనండి. వీటి x – నిరూపకాలు బహుపదుల శూన్య విలువలేనా ? (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(i) y = 2x + 5

a) y = 2x + 5 సూచించే సరళరేఖ x – అక్షాన్ని (- 2.5, 0) వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x + 5 యొక్క శూన్య విలువ 2x + 5 = 0 2x = – 5
శూన్య విలువ x = – 5/2 = – 2.5
c) y = 2x + 5 ను సూచించే సరళరేఖ
x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని x – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

ii) y = 2x – 5

a) y = 2x – 5 గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (2.5, 0) బిందువు వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x – 5 శూన్య విలువ
2x – 5 = 0
2x = 5
శూన్య విలువ x = 5/2 = 2.5
c) y = 2x – 5 ను సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని x – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

(iii) y = 2x

a) y = 2x గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (0, 0) బిందువు వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x శూన్య విలువ 2x = 0
∴ శూన్య విలువ x = 0
c) y = 2x గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని X – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

Note : y = ax + b గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు \(-\frac{b}{a}\) x – నిరూపకమే y = ax + b యొక్క శూన్య విలువ అవుతుంది.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
i) y = x² – x – 6, ii) y = 6 – x – x² లకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. ప్రతి సందర్భంలోనూ బహుపది శూన్యాలను కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 53)
సాధన.
i) y = x² – x – 6

y = x² – x – 6

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = x² – x – 6 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 2, 0) మరియు (3, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.

2) p(x) యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = x² – x – 6 = 0
⇒ x² – 3x + 2x – 6 = 0
⇒ x (x – 3) + 2 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (x + 2) = 0
⇒ x – 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
⇒ x = 3 లేదా x = – 2
p(x) శూన్య విలువలు 3 మరియు – 2.

3) y = x² – x – 6 పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (3, 0) మరియు (- 2, 0) లలోని X – నిరూపకాలు 3 మరియు – 2 లు x² – x – 6 యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.

ii) y = 6 – x – x²

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = 6 – x – x² లో – 1 < 0 (a < 0).
2) y = 6 – x – x² పరావలయం క్రింది వైపు వివృతంగా (తెరచుకొని) ఉంది.
3) y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 3, 0) మరియు (2, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.
y = 6 – x – x² యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = – x² – x + 6 = 0
⇒ – x² – 3x + 2x + 6 = 0
⇒ – x (x + 3) + 2 (x + 3) = 0.
⇒ (x + 3) (2 -x) = 0
⇒ x + 3 = 0 లేదా 2 – x = 0
⇒ x = – 3 లేదా x = 2
∴ p(x) శూన్య విలువలు -3 మరియు 2

4) p(x) = y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (- 3, 0) మరియు (2, 0) లలోని x – నిరూపకాలు’ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
రెండు శూన్యాలు కలిగిన ఏవేని మూడు బహుపదులను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
బహుపది p(x) = ax² + bx + c రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలను కలిగి ఉండాలంటే b² – 4ac > 0 అయ్యేటట్లు a, b, c లు ఉండాలి (a ≠ 0).
i) a = 1, b = 5, c = 6 అయిన
b² – 4ac = (5)² – 4(1) (6) = 25 – 24 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² + 5x + 6.

ii) a = 1, b = 0, c = – 8 అయిన
b² – 4ac = 0 – 4(1) (-8) = 32 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 8.

iii) a = 1, b = – 3, c = 0 అయిన
b² – 4ac = (-3) – 4(1) (0) = 9 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 3x.

2వ పద్ధతి :
బహుపది p(x)కి రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలు (α, β) ఉంటే p(x) = (x – α) (x – β)గా రాయవచ్చును.

i) p(x) = [x – (-2)] [x – (-3)]
= (x + 2) (x + 3)
∴ p(x) = x² + 5x + 6.

ii) p(x) = (x – 272) (x + 2/2 )
= x² – (2/2)²
∴ p(x) = x² – 8.

iii) p(x) = (x – 0) (x – 3)
∴ p(x) = x² – 3x.

ప్రశ్న 3.
ఒకే ఒక శూన్యం కలిగిన ఒక బహుపదిని వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
p(x) = ax² + bx + c ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉండాలంటే b² – 4ac = 0 అయ్యేటట్లు a, b, c లు ఉండాలి (a #0).
a = 1, b = – 4, c = 4 అయిన
b² – 4ac = (- 4)² – 4(1)(4)
= 16 – 16 = 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 4x + 4.

2వ పద్దతి :
వర్గ బహుపది ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటే p(x) = (x – α)² రూపంలో రాయగలము.
p(x) = (x – 2)²
= x² – 4x + 4.

ప్రశ్న 4.
ఒక బహుపదికి ఒకే ఒక శూన్యము వుంటే దానిని ఏవిధంగా నిరూపిస్తావు ? (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
p(x) = x² – 4x + 4 ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటే b² – 4ac.= 0 కావాలి.
(- 4)² – 4(1) (4) = 16 – 16 = 0.
(లేదా)
p(x) = x² – 4x + 4 యొక్క గ్రాఫ్ గీచి గ్రాఫ్ X- అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తుందని చూపి సరిచూడగలను. .
(లేదా)
p(x) = ax² + bx + c ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉండాలంటే
p(x) = (x – α)², α ∈ R అయ్యేట్లు రాయగలగాలి.
p(x) = x² – 4x + 4
= x² – 2.x. 2 + (2)²
p(x) = (x – 2)²
p(x) = (x – α)² రూపంలో రాయగలిగాను కాబట్టి
p(x) ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
వాస్తవసంఖ్య ‘x’ కలిగి వుండి శూన్యం లేని బహుపదులను ఏవైనా మూడింటిని రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
బహుపది p(x) యొక్క శూన్య విలువలు
b² – 4ac < 0 అయినప్పుడు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు.
i) a = 1, b = 2, c = 3 అయిన
b² – 4ac = 4 – 12 = – 8 < 0
∴ p(x) = x² + 2x + 3.

ii) a = 2, b = 0, c = 7 అయిన
b² – 4ac = 0 – 56 = – 56 < 0
∴ p(x) = 2x² + 7.

iii) a = – 3, b = 5, c = -4
b² – 4ac = 25 – 48 = – 23 < 0.
∴ p(x) = – 3x² + 5x – 4.

ప్రశ్న 6.
రేఖాచిత్రాలు గీయకుండానే దిగువ ఘన బహుపదులకు శూన్యాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 57)
(i) – x³.
(ii) x² – x³.
(iii) x³ – 5x² + 6x
సాధన.
(i) – x³
p(x) = – x³ = 0 అయిన x = 0
p(x) = – x³ యొక్క శూన్య విలువ ‘0’.

(ii) x² – x³
p(x) = x² – x³
p(x) = x² – x³ = 0 అయిన
x² (1 – x) = 0
x² = 0 లేదా 1 – x = 0
x = 0 లేదా 1 = x
p(x) = x² – x³ యొక్క శూన్య విలువలు ‘1’ మరియు ‘0’.

(iii) x³ – 5x² + 6x
p(x) = x³ – 5x² + 6x = 0 అయిన
⇒ x(x² – 5x + 6) = 0
⇒ x = 0 లేదా x² – 5x + 6 = 0 ………….. (1)
(1) ⇒ x² – 5x + 6 = x² – 3x – 2x + 6 = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0 (x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 లేదా x – 2 = 0
x = 3 లేదా x = 2
p(x) = x³ – 5x² + 6x యొక్క శూన్య విలువలు ‘0’, ‘2’, ‘3’.
Note :
బహుపది p(x) లో స్థిరపదం లేకపోతే p(x) కు సున్న ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
దిగువ ఇవ్వబడిన వర్గ బహుపదుల యొక్క శూన్యాలను కనుగొనండి. ఇదేవిధంగా శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్ధమును కనుగొని, బహుపది పదాల గుణకాలకు మధ్యన గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 62)
(i) p(x) = x² – x – 6
(ii) p(x) = x² – 4x + 3
(iii) p(x) = x² – 4
(iv) p(x) = x² + 2x + 1
సాధన.
i) p(x) = x² – x – 6

p(x) = 0 అయిన x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x (x – 3) + 2 (x – 3) = 0
x (x – 3) (x + 2) = 0
x – 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
x = 3 లేదా x = – 2
∴ శూన్య విలువలు α = 3, β = – 2.
అం శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 3 + (- 2) = 1
= \(\frac{-(-1)}{1}\) =
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = (3) (- 2) = – 6 =

(ii) p(x) = x² – 4x + 3

p(x) = 0 అయిన x² – 4x + 3 = 0
x² – 3x – x + 3 = 0
x(x – 3) – 1 (x – 3) = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 లేదా x – 1 = 0
x = 3 లేదా x = 1
∴ శూన్య విలువలు α = 3, β = 1.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 3 + 1 = 4
= \(\frac{-(-4)}{1}\)
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = 3 (1) = 3

(iii) p(x) = x² – 4
p(x) = 0 అయిన x² – 4 = 0.
x² = 4 = x = + 2
శూన్య విలువలు α = 2, β = – 2.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 2 + (- 2) = 0
= \(\frac{0}{1}\) =
శూన్య విలువల లబ్ధం αβ = (2) (- 2) = – 4
= \(-\frac{4}{1}\) =

(iv) p(x) = x² + 2x + 10
p(x) = 0 అయితే,
x² + 2x + 1 = 0.
x² + 2.x. 1 + 1 = 0
(x + 1) ²= 0 శూన్య విలువలు సమానం
∴ x + 1 = 0
x = – 1
α = – 1 మరియు β = – 1 శూన్య విలువల మొత్తం α + β = (- 1) + (- 1)
= – 2 = \(-\frac{2}{1}\) =
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = (- 1) (- 1) = 1
= \(\frac{1}{1}\) =

ప్రశ్న 2.
α, β మరియు γ అనేవి ఒక ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాలైతే తగిన విలువలు కనుగొని పట్టికలో పూరించండి. (పేజీ నెం. 66)

సాధన.
α + β + γ =

αβ + βγ + γα =

αβγ =

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
– 2 మరియు \(\frac{1}{3}\) శూన్యాలు కలిగిన వర్గ బహుపదిని కలిగిన కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α = – 2, β = \(\frac{1}{3}\)
α + β = – 2 + \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{-6+1}{3}\) = – \(\frac{5}{3}\)
αβ = (- 2) (\(\frac{1}{3}\)) = – \(\frac{2{3}\)
వర్గ బహుపది p(x) = k[x² – (α + β)x + αβ]
= k [x² – (\(-\frac{5}{3}\)) x + (\(-\frac{2}{3}\))]
= k \(\left[\frac{3 x^{2}+5 x-2}{3}\right]\)
k = 3 అయిన p(x) = 3x² + 5x – 2.

ప్రశ్న 2.
శూన్యాల మొత్తం \(-\frac{3}{2}\) మరియు లబ్ధం – 1 కలిగిన వర్గ బహుపదిని తెలపండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α + β = \(-\frac{3}{2}\), αβ = – 1
వర్గ బహుపది = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – (\(-\frac{3}{2}\))x + (- 1)]
= k \(\left[\frac{2 x^{2}+3 x-2}{2}\right]\)
k = 2 అయిన p(x) = 2x² + 3x – 2.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
క్రింది పటములలో ఇవ్వబడిన రేఖాచిత్రాలను గమనించండి. ప్రతి రేఖాచిత్రం y = p(x) నందు p(x) అనేది ఒక బహుపది. ప్రతి సందర్భములోనూ X వ్యాప్తితో కూడిన బహుపది p(x)నకు శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 58)

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)
సాధన.
పైన చూపిన పటాలలో x వ్యాప్తితో కూడిన రేఖాచిత్రాలు
(i) రేఖాచిత్రం x – అక్షంను ఒక బిందువు వద్ద ఖండించింది. కావున శూన్యాల సంఖ్య 1.
(ii) రేఖాచిత్రం x – అక్షంను రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించింది. కావున శూన్యాల సంఖ్య 2.
(iii) శూన్యాల సంఖ్య 3.
(iv) శూన్యాల సంఖ్య 1.
(v) శూన్యాల సంఖ్య 1.
(vi) శూన్యాల సంఖ్య 4.

ప్రశ్న 2.
క్రింది బహుపదులకు శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి మరియు వాటి విలువలను తెలపండి.
(i) p(x) = 2x + 1
(ii) q(y) = y² -1
(iii) r(z) = 73 (పేజీ నెం. 59)
సాధన.
బహుపదుల రేఖాచిత్రాలు గీయకుండానే మనం శూన్యాలను కనుగొందాము.
(i) p(x) = 2x + 1 అనేది ఒక రేఖీయ బహుపది కావున దీనికి ఒకే ఒక శూన్యం ఉంటుంది.
p(x) = 0 తీసుకోండి. అంటే, 2x + 1 = 0
కావున x = \(-\frac{1}{2}\) అగును.
ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యం \(-\frac{1}{2}\).

(ii) q(y) = y² – 1 అనేది ఒక వర్గబహుపది.
కావున దీనికి గరిష్ఠంగా రెండు శూన్యాలు ఉంటాయి.
q(y) = 0 అనుకోండి
⇒ y² – 1 = 0
⇒ (y + 1) (y – 1) = 0
⇒ y = – 1 లేదా y = 1
∴ ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యాలు – 1 మరియు 1 అయినవి.

(iii) r(7) = z³ అనేది ఒక ఘన బహుపది కావున
దీనికి గరిష్ఠంగా మూడు శూన్యాలుంటాయి. r(z) = 0 అనుకొనండి.
⇒ z = 0
∴ ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యము ‘సున్న’ అయినది.

ప్రశ్న 3.
x² + 7x + 10 అనే వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 62)
సాధన.
మనకు x² + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5) అగును.
కావున, x² + 7x + 10 యొక్క విలువ శూన్యం కావాలంటే x + 2 = 0 లేదా x + 5 = 0 కావాలి
అంటే x = – 2 లేదా x = – 5 అగును.
కావున x² + 7x + 10 యొక్క శూన్యాలు – 2 మరియు – 5 అగును.
ఇప్పుడు, శూన్యాల మొత్తము = – 2 + (- 5) = (7) =
శూన్యాల లబ్ధము = – 2 × (- 5) = 10
=

ప్రశ్న 4.
x² – 3 అనే బహుపది యొక్క శూన్యాలు కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 63)
సాధన.
a² – b² = (a – b) (a + b) అనే సర్వసమీకరణం గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.
దీనినుపయోగించి x² – 3 = (x – √3 ) (x + √3 ) అని వ్రాయవచ్చు.
కావున x² – 3 యొక్క శూన్యాలు x = √3 లేదా x = – √3.
ఈ విధంగా, x² – 3 యొక్క శూన్యాలు √3 మరియు – √3 అవుతాయి.
ఇప్పుడు, శూన్యాల మొత్తము = √3 + (- √3) = 0
=
శూన్యాల లబ్ధము = (√3) × (- √3) = – 3
=

ప్రశ్న 5.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్దము వరుసగా – 3 మరియు 2 అయిన ఆ వర్గ బహుపదిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 63)
సాధన.
α మరియు β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గ బహుపదిని ax² + bx + c అనుకోండి. α + β = – 3 = \(-\frac{b}{a}\) మరియు αβ = 2 = \(\frac{c}{a}\)
మనము a = 1 తీసుకుంటే b = 3 మరియు c = 2 అగును.
కావున ఇచ్చిన నియమానికి లోబడి ఏర్పడే వర్గ బహుపది x² + 3x + 2 అవుతుంది.

ప్రశ్న 6.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు వరుసగా 2 మరియు 3 అయినచో ఆ బహుపదిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α, β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గబహుపది
ax² + bx + c, a ≠ 0 అనుకోండి. ఇచ్చట α = 2, β = \(-\frac{1}{3}\).
శూన్యాల మొత్తం = (α + β) = 2 + (\(-\frac{1}{3}\)) = \(\frac{5}{3}\)
శూన్యాల లబ్ధం = (αβ) = 2(\(-\frac{1}{3}\)) = \(-\frac{2}{3}\)
కావున, వర్గ బహుపది ax² + bx + c ని k[x² – (α + β) x + αβ], k ఒక స్థిరపదముగా వ్రాస్తే = k [x² – \(\frac{5}{3}\) x – \(\frac{2}{3}\)] అగును.
వాస్తవ సంఖ్య ‘k’ కు వివిధ విలువలను ఇవ్వవచ్చును. k = 3 అయినచో వర్గ బహుపది 3x² – 5x – 2 అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ఘన బహుపది p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 యొక్క శూన్యాలు 3, – 1 మరియు – \(\frac{1}{3}\) అగునని చూపండి. బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 66)
సాధన.
ఇచ్చిన ఘన బహుపది p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 ని – ax³ + bx² + cx + d తో సరిపోల్చిన a = 3, b = – 5, c = – 11, d = – 3 అగును. దీని నుండి
p(3) = (3 × 3³) – (5 × 3²) – (11 × 3) – 3
= 81 – 45 – 33 – 3 = 0
p(- 1) = 3 × (- 1)³ – 5 × (- 1)² – 11 × (- 1) – 3
= – 3 – 5 + 11 – 3 = 0.
p(- \(\frac{1}{3}\)) = 3 × (- \(\frac{1}{3}\))³ – 5 × (- \(\frac{1}{3}\))² – 11 × – \(\frac{1}{3}\) – 3
= – \(\frac{1}{9}\) – \(\frac{5}{9}\) + \(\frac{11}{3}\) – 3
= – \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = 0 అగును.
కావున 3x³ – 5x² – 11x – 3 యొక్క శూన్యాలు, 3, – 1 మరియు – \(\frac{1}{3}\) అని చూపడమైనది..
ఇప్పుడు α = 3, β = – 1 మరియు γ = – \(\frac{1}{3}\) తీసుకొంటే
α + β + γ = 3 + (- 1) + (- \(\frac{1}{3}\)) = 2 – \(\frac{1}{3}\)
αβ + βγ + γα = 3 × (- 1) + (- 1) × (- \(\frac{1}{3}\)) + (- \(\frac{1}{3}\)) × 3
= – 3 + \(\frac{1}{3}\) – 1
= \(-\frac{11}{3}\) = \(\frac{c}{a}\)
αβγ = 3 × (- 1) × (- \(\frac{1}{3}\))

ప్రశ్న 8.
2x² + 3x + 1 ను x + 2 చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 68)
సాధన.
భాగహారంలో శేషము. సున్న వచ్చిననూ లేదా శేషము యొక్క పరిమాణము, విభాజకము యొక్క పరిమాణము కన్నా తక్కువ అయినప్పుడు భాగహారము పూర్తయినట్లుగా భావిస్తామని గుర్తించండి. ఇచ్చట, భాగహారములో ఆ ‘భాగఫలము 2x – 1 మరియు శేషము 3 అయినది. ఇదే ‘విధంగా భాగహార నియమాన్ని సరిచూస్తే
(2x – 1) (x + 2) + 3 = 2x² + 3x – 2 + 3
= 2x² + 3x + 1
అంటే 2x² + 3x + 1 = (x + 2) (2x – 1) + 3
కావున, విభాజ్యము = విభాజకము × భాగఫలము + శేషము అయినది.

ప్రశ్న 9.
3x³ + x² + 2x + 5 ను 1 + 2x + x² చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 68)
సాధన.
మొదటగా మనం విభాజ్యం మరియు విభాజకాలను పదాల పరిమాణాల కనుగుణంగా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చుకొని బహుపదులను ప్రామాణిక రూపంలో రాసుకోవాలి. ఇచ్చిన ఉదాహరణలో విభాజ్యము ప్రామాణిక రూపంలోనే వుంది. విభాజకాన్ని కూడా ప్రామాణిక రూపం x² + 2x + 1 గా రాయవచ్చును.

సోపానం 1: భాగఫలంలో మొదటి పదాన్ని పొందడానికి, విభాజ్యంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదాన్ని, (అనగా 3x³) విభాజకంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా x²) తో భాగించాలి. ఇది 3x అవుతుంది. ఈ క్రమంలో భాగహారం కొనసాగిస్తే శేషం – 5x² – x + 5 వస్తుంది.

సోపానం 2:
ఇప్పుడు, భాగఫలములో రెండవ పదాన్ని పొందడానికి, కొత్త విభాజ్యంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా 5x²)ను విభాజకంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా x²) చే భాగిస్తే – 5 వస్తుంది. ఈ క్రమంలో తిరిగి భాగహారము – 5x² – x + 5 తో కొనసాగించాలి.

సోపానం 3 :
మిగిలిన శేషము 9x + 10. దీని యొక్క పరిమాణము తిరిగి విభాజకము x² + 2x + 1 యొక్క పరిమాణము కన్నా తక్కువ. అందుచే నియమము ప్రకారం భాగహారాన్ని కొనసాగించలేము. అందుచే భాగఫలము 3x – 5 మరియు శేషము 9x + 10 అయినది.
ఇలాగే (x² + 2x + 1) x (3x – 5) + (9x + 10)
= (3x³ + 6x² + 3x – 5x² – 10x – 5 + 9x + 10)
= 3x³ + x² + 2x + 5
అంటే విభాజ్యం = విభాజకం X భాగఫలం + శేషం అయినది.

ప్రశ్న 10.
3x² – x³ – 3x + 5 ను x – 1 – x² చే భాగించి, భాగహార నియమాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 69)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు ప్రామాణిక. రూపంలో లేవని గుర్తించండి. భాగహారం ప్రారంభించడానికి ముందుగా విభాజ్యం మరియు విభాజకాలను పరిమాణాల ప్రకారం అవరోహణ క్రమంలో రాయాలి.
కావున, విభాజ్యం = – x³ + 3x² + 3x + 5 మరియు విభాజకం = – x² + x – 1 అగును.
భాగహార ప్రక్రియలో శేషం యొక్క పరిమాణం విభాజకం (- x² + x – 1) యొక్క పరిమాణం కన్నా తక్కువ అయినందున భాగహారం ఆపివేస్తాం. ”
అందుచే, భాగఫలం = x – 2, శేషం = 3.
ఇప్పుడు,
విభాజ్యం = విభాజకం × భాగఫలం + శేషం
= (- x² + x – 1) (x – 2) + 3
= – x³ + x² – x + 2x² – 2x + 2 + 3
= – x³ + 3x² – 3x + 5
ఈ విధంగా, భాగహార నియమం సరిచూడడమైనది.

ప్రశ్న 11.
2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 అను బహుపదికి √2 మరియు – √2 లు రెండు శూన్యాలైన మిగిలిన అన్ని శూన్యాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 70)
సాధన.
√2 మరియు – √2 అనేవి ఇవ్వబడిన బహుపదికి రెండు శూన్యాలు కావున, ఈ బహుపదిని (x – √2) (x + √2) = x² – 2 చే భాగించవచ్చు.

భాగఫలంలో మొదటి పదము = \(\frac{2 x^{4}}{x^{2}}\) = 2x²

భాగఫలంలో రెండవ పదము = \(\frac{-3 x^{3}}{x^{2}}\) = – 3x

భాగఫలంలో మూడవ పదము = \(\frac{x^{2}}{x^{2}}\) = 1

కావున, 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 = (x – 2) (2x² – 3x + 1)
ఇప్పుడు 2x² – 3x + 1 లో మధ్య పదము – 3x ను విభజించి కారణాంకాలుగా రాస్తే (2x – 1) (x – 1) వచ్చును. కావున మిగిలిన రెండు శూన్యాలు x = \(\frac{1}{2}\), మరియు x = 1 అగును. ఈ విధంగా ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యాలు √2, – √2, 1 మరియు \(\frac{1}{2}\) అవుతాయి.