AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు Exercise 5.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాల మూలాల స్వభావమును తెలుపుము. ఒకవేళ వాస్తవ మూలాలు ఉంటే కనుగొనుము.

(i) 2x² – 3x + 5 = 0
సాధన.
2x² – 3x + 5 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 3, c = 5
విచక్షణి b² – 4ac = (- 3)² – 4(2) (5)
= 9 – 40
= – 31 < 0.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణ మూలాలు, వాస్తవ సంఖ్యలు కావు, సంకీర్ణ సంఖ్యలు అవుతాయి.

(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
సాధన.
3x² – 4√3 x + 4 = 0 .
a = 3, b = – 4/3, c = 4
విచక్షణి b² – 4ac = (- 4√3)² – 4(3) (4) = 48 – 48 = 0
కావున ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు. –
∴ మూలాలు x = \(\frac{-b}{2 a}\), \(\frac{-b}{2 a}\)
x = \(\frac{-(-4 \sqrt{3})}{2(3)}=\frac{4 \sqrt{3}}{6}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
మూలాలు \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) మరియు \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).

(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
సాధన.
2x² – 6x + 3 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 6, c = 3
విచక్షణి b² – 4ac = (- 6)² – 4(2) (3)
= 36 -24 = 12 > 0.
కావున మూలాలు రెండు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
∴ వర్గ సూత్రం నుండి
మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)}\)

= \(\frac{6 \pm \sqrt{12}}{4}\)

= \(\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{4}=\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{2}\)
∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వర్గ సమీకరణాలలో రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు వుంటే k విలువను కనుగొనుము.
(i) 2x² + kx + 3 = 0 –
సాధన.
2x² + kx + 3 = 0 వర్గ సమీకరణానికి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ఉంటే
విచక్షణి b² – 4ac = 0
a = 2, b = k, c = 3
b² – 4ac = (k)² – 4(2) (3) = 0
k² – 24 = 0
k² = 24
k = \(\sqrt{24}\) = ± 2√6
\(\sqrt{24}=\sqrt{4 \times 6}=\sqrt{2} \times \sqrt{6}\) = ± 2√6.

(ii) kx (x – 2) + 6 = 0
సాధన.
kx (x – 2) + 6 = 0
kx² – 2kx + 6 = 0
ఇక్కడ a = k, b = – 2k, c = 6
వర్గ సమీకరణం రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటే
విచక్షణి b² – 4ac = 0
(- 2k)² – 4(k) (6) = 0
4k² – 24k = 0
4k(k – 6) = 0
4k = 0
⇒ k = 0
k – 6 = 0 =
⇒ k = 6.
k = 0 అయితే kx(x – 2) + 6 = 0 వర్గ – సమీకరణాన్ని సూచించదు. కావున k ≠ 0.
∴ k = 6.

ప్రశ్న 3.
మామిడి పండ్లను నిల్వచేయుటకు 800 చ.మీ. వైశాల్యం వుంటూ, పొడవు వెడల్పు కంటే రెండు రెట్లు ఉండే విధంగా ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలమును ఏర్పాటు చేయగలమా ? చేయగలిగితే దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం వెడల్పు = x మీ.
వెడల్పు = 21 మీ. అనుకొనుము.
(∵ లెక్క ప్రకారం పొడవు వెడల్పుకు 2 రెట్లు)

కాని లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం వైశాల్యం = 800 చ.మీ.
2x . x = 800
2x² = 800
x² = 400 ………… (1)
x = 400 = ± 20.
x విలువ వాస్తవ సంఖ్య అవుతున్నది. కావున దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం ఏర్పాటు చేయగలము.
మరియు వెడల్పు × రుణాత్మకం కాదు. కావున
వెడల్పు x = 20 మీ.
∴ పొడవు 2x = 40 మీ.
(లేదా)
(1) ⇒ x² = 400
⇒ x² – 400 = 0
ఇది వర్గ సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది. మరియు దీనిని తృప్తిపరిచే X విలువ దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థల వెడల్పు అవుతుంది.
a = 1, b = 0, c = – 400
విచక్షణి b² – 4ac = (0)² – 4(1) (- 400) = 1600-> 0
∴ మూలాలు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
కావున దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలాన్ని ఏర్పాటు చేయవచ్చును. వర్గ సూత్రం నుంచి మూలాలు
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{(0) \pm \sqrt{1600}}{2(1)}=\frac{\pm 40}{2}\)

x = \(\frac{40}{2}\) = 20 లేదా x = \(\frac{-40}{2}\) = – 20

వెడల్పు రుణాత్మకం కాదు. కావున x = 20
పొడవు x = 20 మీ.
వెడల్పు 2x = 40 మీ.

ప్రశ్న 4.
ఇద్దరి మిత్రుల వయస్సుల మొత్తం 20 సం||లు. నాలుగు సంవత్సరాల క్రితం వారి వయస్సుల లబ్దం 48. ఇది సాధ్యమేనా ? ఒకవేళ సాధ్యమైతే వారి వయస్సులను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇద్దరి మిత్రులలో : మొదటి వ్యక్తి వయస్సు = x సం||లు అనుకొందాం.

లెక్క ప్రకారం .4 సం||ల క్రితం వారి వయస్సుల లబ్ధం = 48
(x – 4) (16 – x) = 480
16x – x² – 64 + 4x = 48
x² – 20x + 112 = 0.
పై వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే x విలువ మొదటి వ్యక్తి వయస్సు అవుతుంది. ఇది వాస్తవం అవుతుందో, కాదో చూద్దాం
a = 1, b = – 20, c = 112
విచక్షణి b – 4ac = (- 20) – 4(1) (112).
= 400 – 448 = – 48 < 0
కావున ఈ వర్గ సమీకరణ మూలాలు వాస్తవాలు కాదు. అందువలన ఇచ్చిన షరతులకు అనుగుణంగా వారి వయస్సులు ఉండుట అసాధ్యము.

ప్రశ్న 5.
చుట్టుకొలత 80మీ., వైశాల్యము 400 చ.మీ ఉండునట్లు ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కును తయారు చేయగలమా? చేయగలిగితే దాని పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు = x మీ. ; వెడల్పు = y మీ. అనుకొనుము.

లెక్క ప్రకారం దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కు చుట్టుకొలత = 80 మీ.
∴ 2(x +.y) = 80
⇒ x + y = 40
y= 40 – x ………… (1)
మరియు వైశాల్యము = 400 చ.మీ.
∴ x. y = 400 లో (1) ని ప్రతిక్షేపించగా
x(40 -x) = 400
40x – x² = 400 –
– x² + 40x – 400 = 0
⇒ x² – 40x + 400 = 0.
పై వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే x విలువ దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు అవుతుంది. ఇది వాస్తవం అవుతుందో, కాదో చూద్దాం
a = 1, b = – 40, c = 400
విచక్షణి b² – 4ac = (- 40)² – 4(1) (400)
= 1600 – 1600= 0
మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు.
∴ x = \(\frac{-b}{2 a}=\frac{-(-40)}{2(1)}=\frac{40}{2}\)
∴ పొడవు x = 20 మీ.
∴ వెడల్పు y = 40 – 20 = 20 మీ. ((1) నుండి)
∴ పార్కు చతురస్రాకారంలో ఉంటుంది.