AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.5

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.5

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి గుణిశ్రేణికి సామాన్యనిష్పత్తిని, nవ పదమును కనుగొనుము.
(i) 3, \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{8}\), ……..
సాధన.
3, \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{8}\), ……..
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{3}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)
nవ పదం a_n = a r^{n – 1}
= 3 × (\(\frac{1}{2}\))^{n – 1}

(ii) 2, – 6, 18, – 54
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-6}{2}\) = – 3
nవ పదం , a_n = a r^{n – 1}
= 2 × (- 3)^{n – 1.}

(iii) – 1, – 3, – 9, – 27, ………..
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-3}{-1}\) = 3
nవ పదం a_n = a r^{n – 1}
= (- 1) × 3^{n – 1} = – 3^{n – 1}

(iv) 5, 2, \(\frac{4}{5}\), \(\frac{8}{25}\), …………..
సాధన.
5, 2, \(\frac{4}{5}\), \(\frac{8}{25}\), …………..
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2}{5}\)
1 వ పదం a_n = a r^{n – 1} = 5 × (\(\frac{2}{5}\))^{n – 1}

ప్రశ్న 2.
5, 25, 125, ….. అనే గుణశ్రేణి యొక్క 10వ, 1వ పదాలను కనుగొనుము.
సాధన.
5, 25, 125, …………….
a = 5, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{25}{5}\) = 5
10 వ పదం a₁₀ = a . r⁹ = 5 × 5⁹ = 5¹⁰
nవ పదం a_n = a . r^{n – 1} = 5 × (5)^{n – 1}
= 5^{1 + n – 1} = 5ⁿ

ప్రశ్న 3.
క్రింది గుణశ్రేణిలలో పేర్కొన్న పదాలను కనుగొనుము.
(i) a₁ = 9; r = \(\frac{1}{3}\) అయిన a₇ = ?
సాధన.
a₁ = 9; r = \(\frac{1}{3}\)
ar₇ = ar⁶ – 9 × (\(\frac{1}{3}\) )⁶
= 3² × \(\frac{1}{3^{6}}\)
= \(\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}\)

(ii) a₁ = – 12; r = \(\frac{1}{3}\); అయిన a₆ = ?
సాధన.
a₁ = 12; r = \(\frac{1}{3}\)
a₆ = ar⁵ = – 12(\(\frac{1}{3}\))⁵
= \(\frac{-12}{3^{5}}=\frac{-4}{3^{4}}=\frac{4}{81}\)

ప్రశ్న 4.
(i) 2, 8, 32, …….. గుణ శ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 512 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేఢ 2, 8, 32, ……….. 512
a = 2; r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{2}\) = 4, a_n = 512
a_n = a . r^{n – 1} = 512
⇒ 2 × (4)^{n – 1} = 512

⇒ 2 × (2²)^{n – 1} = 2⁹
⇒ 2 × 2^{2(n – 1)}= 2⁹
⇒ 2^{2n – 1} = 2⁹
2n – 1 = 9
2n = 9 + 1 = 10 ,
n = \(\frac{10}{2}\) = 5
2, 8, 32, ….. శ్రేణిలో 5వ పదం 512 అవుతుంది.

(ii) √3, 3, 3√3, …………….. గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 729 అవుతుంది?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి √3, 3, 3√3, …….. 729
a = 3; r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = √3
a_n = 729

a_n = a r^{n – 1} = 729
⇒ 3 × (√3)^{n – 1}= 729
⇒ (√3)ⁿ = 729
⇒ 3^n/2 = 3⁶
⇒ \(\frac{n}{2}\) = 6
⇒ n = 12
√3, 3, 3√3, …………….. గుణశ్రేణిలో 12వ పదం 729 అవుతుంది.

(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), ………… గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 2187 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), …………, \(\frac{1}{2187}\)
a = \(\frac{1}{3}\), r = \(\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{9} \times \frac{3}{1}=\frac{1}{3}\),
a_n = \(\frac{1}{2187}\)
a_n = a . r^{n – 1} = \(\frac{1}{2187}\)
⇒ \(\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{1}{2187}\)

⇒ \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{7}\)
n = 7

\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), ………… గుణశ్రేణిలో 7వ పదం \(\frac{1}{2187}\) అవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
ఒక గుణశ్రేణి యొక్క 8వ పదము 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి 2 అయిన 12వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
1వ పద్దతి :
ఒక గుణ శ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 ………. (1)
సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 ను (1) లో రాయగా,
a(2)⁷ = 192
a × 128 = 192
⇒ a = \(\frac{192}{128}=\frac{3}{2}\)
∴ 12వ పదం a₁₂ = a r¹¹
= \(\frac{3}{2}\) × (2)¹¹
= 3 × 2¹⁰

2వ పద్ధతి :
గుణశ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 .
∴ 12వ పదం a₁₂ = ar¹¹ = ar⁷ × r⁴
= 192 × 2⁴
= 3 × 64 × 2⁴
= 3 × 2⁶ × 2⁴
= 3 × 2¹⁰

3వ పద్ధతి :
గుణశ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 సామాన్య నిష్పత్తి r = 2
a₉ = 192 × 2 = 3 × 20 × 2 = 3 × 27
a₁₀ = 3 × 2⁷ × 2 = 3 × 2⁸
a₁₁ = 3 × 2⁸ × 2 = 3 × 2⁹
a₁₂ = 3 × 2⁹ × 2 = 3 × 2¹⁰

ప్రశ్న 6.
ఒక గుణశ్రేణిలో నాల్గవ పదము \(\frac{2}{3}\) మరియు 7వ పదము \(\frac{16}{81}\) అయిన ఆ శ్రేణిని కనుగొనుము.
సాధన.
గుణ శ్రేణిలో నాల్గవ పదము a₄ = ar³ = \(\frac{2}{3}\) ………… (1)
7వ పదము a₇ = ar⁶ = \(\frac{16}{81}\) …………..(2)
(2) ÷ (1)
⇒ \(\frac{\mathrm{ar}^{6}}{\mathrm{ar}^{3}}=\frac{\frac{16}{81}}{\frac{2}{3}}=\frac{16}{81} \times \frac{3}{2}=\frac{8}{27}\) = \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)

⇒ r³ = \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)
∴ r = \(\frac{2}{3}\) or
r = \(\frac{2}{3}\) ని (1) లో రాయగా,
a\(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
a × \(\frac{8}{27}\) = \(\frac{2}{3}\)
⇒ a = \(\frac{2}{3} \times \frac{27}{8}=\frac{9}{4}1\)
∴ ఆ గుణశ్రేఢ a, ar, ar², ar³, ………….
\(\frac{9}{4}\), \(\frac{9}{4} \times \frac{2}{3}\), \(\frac{9}{4} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\), \(\frac{9}{4} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\), ………….
= \(\frac{9}{4}\), \(\frac{3}{2}\), 1, \(\frac{2}{3}\), ………….

ప్రశ్న 7.
162, 54, 18, …… గుణశ్రేణి మరియు \(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\), \(\frac{2}{9}\) …… గుణ శ్రేఢుల 1వ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన 1వ గుణశ్రేణి 162, 54, 18, ……,
a = 162, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{54}{162}=\frac{1}{3}\)
nవ పదం a_n = a . r^{n – 1}
= 162 . (\(\frac{1}{3}\))^{n – 1}
= \(\frac{162}{3^{n-1}}\)
2వ గుణశ్రేణి
\(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\), \(\frac{2}{9}\), …………………..
మొదటిపదం a = \(\frac{2}{81}\), r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}\)
= \(\frac{\frac{2}{27}}{\frac{2}{81}}=\frac{2}{27} \times \frac{81}{2}\) = 3

n వ పదం a_n = \(\frac{2}{81}\) (3)^{n – 1} = \(\frac{2 \times 3^{n-1}}{81}\)
లెక్క ప్రకారం రెండు గుణశ్రేఢుల n వ పదాలు సమానము.
\(\frac{162}{3^{n-1}}=\frac{2 \times 3^{n-1}}{81}\)
2 × 3^{n – 1} × 3^{n – 1} = 162 × 81 (అడ్డగుణకారము చేయగా)
3^{2n – 2} = \(\frac{162 \times 81}{2}\) = 81 × 81
3^{2n – 2} = 3⁴ × 3⁴ = 3⁸
3^{2n – 2} = 3⁸
∴ 2n – 2 = 8
2n = 8 + 2 = 10
n = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ n = 5