AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 1.
ఒక రాంబస్ లో భుజాల వర్గాల మొత్తము, దాని కర్ణముల వర్గముల మొత్తమునకు సమానమని చూపండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 1

దత్తాంశము : □ABCD ఒక రాంబస్, AC మరియు BD కర్ణాలు ‘0’ వద్ద ఖండించును. రాంబ లో కర్ణాలు పరస్పరం లంబ సమద్విఖండన చేసుకొనును.
సారాంశము : AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2
నిరూపణ : ABCD రాంబస్ భుజాల వర్గాల మొత్తం AB2 + BC2 + CD2 + AD2
= AB2 + AB2 + AB2 + AB2
= 4 AB2 ……………. (1)
[∵ రాంబస్ లో AB = BC = CD = AD]
∆AOBలో ∠O = 90°
∴ AO2 + OB2 = AB2 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం]
\(\left(\frac{\mathrm{AC}}{2}\right)^{2}\) – (\(\left(\frac{\mathrm{BD}}{2}\right)^{2}\)) = AB2
\(\frac{\mathrm{AC}^{2}}{4}+\frac{\mathrm{BD}^{2}}{4}\) = AB2
AC2 + BD2 = 4AB2 ……………… (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి
AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 2.
లంబకోణ త్రిభుజము ABCలో లంబకోణము శీర్షము ‘B’ వద్ద కలదు. D మరియు E బిందువులు వరుసగా AB, BC లపై ఏవైనా రెండు బిందువులు. అయిన AE2 + CD2 = AC2 + DE2 అని చూపండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 2

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABCలో LB = 90°, D మరియు Eలు AB మరియు BC లపై గల బిందువులు.
సారాంశము : AE2 + CD2 = AC2 + DE2
ఉపపత్తి : ∆BCD ఒక లంబకోణ త్రిభుజం. B వద్ద లంబకోణము కావున,
BD2 + BC2 = CD2 ………….. (1) [∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
∆ABEలో ∠B = 90° కావున AB2 + BE2 = AE2
(1), (2) లను కూడగా
BD2 + BC2 + AB2 + BE2 = CD2 + AE2
(BD2 + BE2) + (AB2 + BC2) = CD2 + AE2
DE2 + AC2 = CD2 + AE2
[∵ ADBEలో, LB = 90° కావున DE2 = BD2 + BE2 ∆ ABCలో, ∠B = 90° కావున AC2 = AB2 + BC2].

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 3.
ఒక సమబాహు త్రిభుజములో భుజము వర్గమునకు – మూడు రెట్లు, దాని ఉన్నతి (లంబము) వర్గమునకు నాలుగురెట్లు అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజములో AD ఉన్నతి. భుజము a యూనిట్లు, ఉన్నతి hయూనిట్లు.
సారాంశము : 3a2 = 4h2

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 3

ఉపపత్తి : ∆ABD, ∆ACD లలో
∠B = ∠C [∵ 60°]
∠ADB = ∠ADC [∵ 90°]
∴ ∠BAD = ∠DAC
[∵ త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మము] మరియు BA = CA
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD (భు. కో. భు సరూపకత నియమం నుండి)
BD = CD = \(\frac{1}{2}\) BC = \(\frac{a}{2}\)
∆ABD, AB2 = AB2 + BD2 [∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి]
a2 = h2 + (\(\frac{a}{2}\))2
a2 = h2
h2 = \(\frac{4 a^{2}-a^{2}}{4}\)
∴ h2 = \(\frac{3 a^{2}}{4}\) = 3a2 = 4h2

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 4.
POR త్రిభుజంలో లంబకోణము శీర్షము ‘P’ వద్ద కలదు. PM ⊥ QR అగునట్లు QR పై బిందువు M అయిన PM2 = OM . MR అని చూపండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 4

దత్తాంశము : ∆PORలో, ∠P = 90° మరియు PM ⊥ QR.
సారాంశము : PM2 = QM. MR.
ఉపపత్తి : ∆POR; ∆MPR లలో ∠P = ∠M [ప్రతికోణం 90°]
∠R = ∠R (ఉమ్మడి కోణం]
∴ ∆PQR ~ ∆MPR ………. (1) [కో.కో. సరూపకత]
∆PQR మరియు ∆MQP లలో ∠P = ∠M (ప్రతికోణం 90°).
∠Q = ∠Q (ఉమ్మడికోణం)
∴ ∆PQR ~ ∆MQP ………….. (2)
(కో.కో. సరూపకత) (1), (2) ల నుండి
∆PQR ~ ∆MPR ~ ∆MQP (పరావర్తన ధర్మము]
∴ ∆MPR ~ ∆MQP (సరూప త్రిభుజాల అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
\(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{MR}}{\mathrm{PM}}\)
PM . PM = MR. AM
PM2 = OM . MR.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 5.
త్రిభుజము ABD లో లంబకోణము A వద్ద కలదు. మరియు AC ⊥ BD అయిన
(i) AB2 = BC . BD
(ii) AC = BC . DC
(iii) AD = BD. CD అని చూపండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 5

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABD లో ∠A వద్ద లంబకోణము కలదు. మరియు AC ⊥ BD.
సారాంశము :
(i) AB2 = BC . BD
(ii) AC2 = BC. DC
(iii) AD2 = BD. CD
ఉపపత్తి :
(i) ∆ABD మరియు ∆CAB లలో
∠BAD = ∠ACB [ప్రతికోణం 90°].
∠B = ∠B [ఉమ్మడి కోణము]
∴ ∆ABD ~ ∆CAB (కో.కో. సరూపకత నియమం నుండి)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\) (సరూప త్రిభుజాల అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానం)
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
∴ AB2 = BC. BD.

(ii) ∆ABD మరియు ∆CAD లలో
∠BAD = ∠ACD (ప్రతికోణము 909)
∠D = ∠D (ఉమ్మడి కోణము)
∴ ∆ABD ~ ∆CAD (క్రో.కో.కో సరూపకత)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{A} \cdot \mathrm{D}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}\)
∴ AD2 = BD . CD.

(iii) (i) మరియు (ii) ల నుండి,
∆ACB ~ ∆DCA [∵ ∆BAD ~ ∆BCA ~ ∆ACD)
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)
∴ AC2 = BC . DC.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 6.
సమద్విబాహు త్రిభుజము ABCలో లంబకోణము C వద్ద కలదు. అయిన AB2 = 2AC2 అని చూపండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 6

దత్తాంశము : ∆ABCలో ∠C = 90° మరియు AC = BC.
సారాంశము : AB2 = 2AC2
ఉపపత్తి : ∆ACBలో ∠C = 90° కావున AC2 + BC2 = AB2 [పైథాగరస్ నియమం నుండి)
⇒ AC = BC (దత్తాంశము)
AB2 = 2AC2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 7.
త్రిభుజము ABC అంతరంలో ఏదైనా బిందువు ‘0’. OD ⊥ BC, OE ⊥ AC మరియు OF ⊥ AB అయిన
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2 అని చూపండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 7

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABCలో ‘O’ అంతర బిందువు OD ⊥ BC, OE ⊥ AC మరియు OF ⊥ AB.
సారాంశము :
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
ఉపపత్తి :
(i) ∆OAFలో OA2 = AF2 + OF2 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి]
⇒ OA2 – OF2 = AF2 ………….. (1)
∆OBD లో
OB2 = BD2 + OD2
⇒ OB2 – OD2 = BD2 ………… (2)
∆OCE లో
OC2 = CE+ + OE
OC2 – OE2 = CE2 ………….. (3)
(1), (2) మరియు (3) లను కూడగా
OA2 – OF2 + OB2 – OD2 + OC2 – OE2 = AF2 + BD2 + CE2
∴ OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2

(ii) ∆OAE లో OA2 = AE2 + OE2 …….. (1)
⇒ OA2 – OE2 = AE2
∆OBF లో
OB2 = BF2 + OF2
OB2 – OF2 = BF2 ……… (2)
∆OCD లో
OC2 = OD2 + CD2
OC2 – OD2 = CD2 …………. (3)
(1), (2) మరియు (3) లను కూడగా
OA2 – OE2 + OB2 – OF2 + OC2 – OD2 = AE2 + BF2 + CD2
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AE2 + CD2 + BF2
∴ AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2. [సమస్య (i) నుండి].

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 8.
18 మీటర్ల పొడవు గల ఒక నిలువు స్తంభానికి 24 మీటర్ల పొడవు గల ఒక తీగ కట్టబడినది. తీగ రెండవ చివరకు ఒక మేకు కట్టబడినది. భూమిపై స్తంభం నుండి ఎంత దూరములో ఆ మేకును పాతిన ఆ తీగ బిగుతుగా నుండును ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 8

AB = స్తంభం ఎత్తు = 18మీ
AC = తీగ పొడవు = 24 మీ.
స్తంభం నుండి మేకుకు గల దూరము = dమీ
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి AC2 = AB2 + BC2
242 = 182 + d2
d2 = 242 – 182
= 576 – 324 = 252
= √(36 × 7)
∴ d = 6√7 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 9.
6మీ. మరియు 11మీటర్ల పొడవు గల రెండు స్తంభాలు ఒక చదునైన నేలపై ఉన్నాయి. ఆ రెండు స్తంభాల అడుగు భాగముల మధ్య దూరము 12మీ. అయిన ఆ రెండు స్తంభాల పై కొనల మధ్యదూరము ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 9

మొదటి స్తంభం ఎత్తు = AB = 6 మీ. అనుకొనుము
రెండవ స్తంభం ఎత్తు = CD = 11 మీ. అనుకొనుము
స్తంభాల మధ్య దూరము = AC = 12 మీ.
పటం నుండి □ACEB ఒక దీర్ఘ చతురస్రము.
∴ AB = CE = 6 మీ.
ED = CD – CE = 11 – 6 = 5 మీ.
∆BEDలో ∠E = 90°; DE = 5 మీ, BE = 12 మీ.
∴ BD2 = BE2 + DE2
= 122 + 52 = 144 + 25
BD2 = 169
∴ BD = √169 = 13 మీ.
∴ స్తంభాల కొనల మధ్య దూరము = 13 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 10.
సమబాహు త్రిభుజము ABCలో, భుజం BC పై . బిందువు ‘D’, ఇంకా BD = \(\frac{1}{3}\) BC అయిన 9AD2 = 7AB2 అని చూపండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 10

దత్తాంశము : ∆ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజము. భుజం BC పై ‘D’ ఒక బిందువు మరియు BD = \(\frac{1}{3}\) BC.
సారాంశం : 9 AD2 = 7AB2
నిర్మాణము : BC పైకి A నుండి మధ్యగతమును తీయగా అది E వద్ద ఖండించును.
ఉపపత్తి : ∆AEDలో; ∠D = 90° [∵ సమబాహు త్రిభుజంలో ఉన్నతి. మరియు మధ్యగతాలు సమానములు]
∴ AD2 = AE2 + DE2 ………… (1) [∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి]
∆AECలో; AC2 = AE2 + CE2
AE2 = AC2 – CE2 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
AE2 = AC2 – CE2
[∵ AB = AC; CE = \(\frac{1}{2}\) BC]
[∵ AB = AC; CE = \(\frac{1}{2}\) BC = \(\frac{1}{2}\) AB
∵ BC = AB = AC దత్తాంశం)
= AB2 – (\(\frac{1}{2}\) AB)2
= AB2 – \(\frac{1}{4}\) AB2 = \(\frac{3}{4}\) AB2 ……. (2)
పటం నుండి,
DE = BE – BD = \(\frac{1}{2}\) BC – \(\frac{1}{3}\) BC
[BC మధ్య బిందువు E కావున BE = \(\frac{1}{2}\) BC; BD = \(\frac{1}{3}\) BC]
= \(\frac{1}{6}\) BC
= \(\frac{1}{6}\) AB
∴ DE = \(\frac{1}{36}\) AB2
AD2 = \(\frac{3}{4}\) AB2 + \(\frac{1}{36}\) AB2
= \(\left(\frac{27+1}{36}\right)\) AB2
AD2 = \(\frac{28}{36}\) AB2
⇒ AD2 = \(\frac{7}{9}\) AB2
⇒ 9 AD2 = 7 AB2

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 11.
ఇచ్చిన పటంలో, ∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము. శీర్షము B వద్ద లంబకోణము కలదు. BC భుజాన్ని Dమరియు E బిందువులు సమత్రిఖండన చేస్తే అయిన BA2 = 3AC2 + 5AD2 అని చూపండి. –

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 11

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABCలో 2B = 90° మరియు D, E లు సమత్రిఖండన బిందువులు.
సారాంశము : 8AE2 = 3AC2 + 5AD2
ఉపపత్తి : ∆ABCలో ∠B = 90° మరియు AC2 = AB2 + BC2 [పైథాగరస్ నియమం నుండి]
3AC2 = 3 (AB2 + BC2) [ఇరువైపుల ‘3’ చే గుణించగా]
3AC2 = 3AB2 + 3BC2
= 3 AB2 + 3[\(\frac{3}{2}\) BE2]
[∵ BE = \(\frac{2}{3}\) BC; D, E లు సమత్రిఖండన బిందువులు. ]
3AC2 = 3AB2 + \(\frac{27}{4}\) BE2 ……………… ( 1 )
∆ABDలో ∠B = 90°
∴ AD2 = AB2 + BD2
5AD2 = 5[AB2 + BD2] [ఇరువైపుల ‘5’ చే గుణించగా]
= 5 AB2 + 5 BD2
= 5 AB2 + 5[\(\frac{1}{2}\)BE]2
[∵ BC యొక్క సమత్రిఖండన బిందువులు D మరియు E లు BD = DE]
5AD2 = 5AB2 + A BE2 ……………… (2)
(1), (2) లను కూడగా
3AC2 + 5AD2 = 3AB2 + \(\frac{27}{4}\) BE2 + 5AB2 + \(\frac{5}{4}\) BE2
= 8AB2 + (\(\frac{27+5}{4}\)) BE2
= 8AB2 + \(\frac{32}{4}\) BE2
= 8(AB2 + BE2)
3AC2 + 5AD2 = 8AE2.
[∵ ∆ABEలో AB2 + BE2 = AE2 పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి].

 

ప్రశ్న 12.
సమద్విబాహు త్రిభుజము ABCలో, లంబకోణము ‘B’ వద్ద కలదు. AC మరియు AB భుజాలపై సరూప త్రిభుజాలు ACD మరియు ABE నిర్మింపబడినవి. అయిన ∆ABE మరియు ∆ACDల వైశాల్యాల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.4 12

సాధన.
దత్తాంశం : ∆ABCలలో, AB = BC మరియు ∠B = 90°. AC మరియు AB భుజాలపై సరూప త్రిభుజాలు ACD మరియు ABE లు.
∆ABC లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజపు సమాన భుజాలు AB = BC = a అనుకొనుము.
∆ABCలో, ∠B = 90°, AC2 = AB2 + BC2
= a2 + a2 = 2a2
కావున ∆ABE ~ ∆ACD
\(\frac{\Delta \mathrm{ABE}}{\Delta \mathrm{ACD}}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{AC}^{2}}\)
[సరూప త్రిభుజ వైశాల్యాలు వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానము] .
= \(\frac{a^{2}}{2 a^{2}}=\frac{1}{2}\)
∴ ∆ABE : ∆ACD = 1 : 2.