SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు InText Questions and Answers.
AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు InText Questions
ఇవి చేయండి
1. కొందరు భారతీయ క్రికెట్ ఆటగాళ్ళ ఎత్తులు క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు మధ్యగతమును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 154)
| క్రమసంఖ్య | ఆటగాని పేరు | ఎత్తు |
| 1. | వి.వి.ఎస్. లక్ష్మ ణ్ | 5’11” |
| 2. | పార్థివ్ పటేల్ | 5’3″ |
| 3. | హర్భజన్ సింగ్ | 6’0″ |
| 4. | సచిన్ టెండూల్కర్ | 5’5″ |
| 5. | గౌతమ్ గంభీర్ | 5’7″ |
| 6. | యువరాజ్ సింగ్ | 6’1″ |
| 7. | రాబిన్ ఊతప్ప | 5’9″ |
| 8. | వీరేంద్ర సెహ్వాగ్ | 5’8″ |
| 9. | జహీర్ ఖాన్ | 6’0″ |
| 10. | ఎం.ఎస్. ధోనీ | 5’11” |
5’10” అనగా 5 అడుగుల 10 అంగుళాలు
సాధన.
దత్తాంశం యొక్క ఆరోహణ క్రమం : 5’3″, 5’5″, 5’7″, 5’8″, 5’9″, 5’11”, 5’11’, 60″, 60″, 6’1″
క్రీడాకారుల సంఖ్య n = 10 ఒక సరి సంఖ్య కావున మధ్యగతం \(\frac{\mathrm{n}}{2}\) మరియు \(\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)\)ల సరాసరి అవుతుంది.
∴ మధ్యగతం M = \(\frac {10}{2}\), \(\left(\frac{10}{2}+1\right)\) = 5, 6 వ రాశుల సరాసరి
2. ఒక అపార్ట్ మెంట్ భవన సముదాయంలోని 90 మంది వ్యక్తుల వయస్సులు ప్రక్క వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు ఇవ్వబడ్డాయి. (పేజీ నెం. 158)
| వయస్సు | వ్యక్తుల సంఖ్య |
| 1 – 10 | 15 |
| 11 – 20 | 14 |
| 21 – 30 | 17 |
| 31 – 40 | 20 |
| 41 – 50 | 18 |
| 51 – 60 | 4 |
| 61 – 70 | 2 |
ఈ దత్తాంశము నుండి క్రింది ప్రశ్నలకు జవాబివ్వండి.
i) దత్తాంశము ఎన్ని తరగతులుగా విభజింపబడినది ?
ii) 21 – 30 తరగతిలో ఎంత మంది కలరు ?
iii) ఏ తరగతి వయస్సు వారు ఎక్కువ మంది కలరు ?
iv) చివరి తరగతిలోని ఇద్దరి వయస్సులు 61, 70 లేదా మరి ఏదైనా వయస్సువారిని చెప్పవచ్చా ?
సాధన.
i) 7 ii) 17 iii) 31 – 40 iv) చెప్పవచ్చు. అవి 62, 63, ……… 69.
3. ఒక తరగతిలోని 30 మంది విద్యార్థులు దుమికిన దూరాలు ఈ విధంగా ఉన్నవి. (పేజీ నెం. 160)
I. ఇచ్చిన తరగతి అంతరాలు విలీన తరగతి అంతరాలా ? మినహాయింపు తరగతి అంతరాలా ?
II. రెండవ తరగతి అంతరంలో ఎంత మంది విద్యార్థులు కలరు ?
III. 3.01 మీ. లేక అంతకన్నా ఎక్కువ దూరం దుమికిన వారెందరు ?
IV. 4.005 మీ. దూరం దుమికిన విద్యార్థి ఏ తరగతికి చెందుతాడు ?
సాధన.
I. విలీన తరగతులు
II. 7
III. 15 + 3 + 1 = 19
IV. 401 – 500
4. పై దత్తాంశములోని తరగతులకు హద్దులు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
హద్దులు :
100.5 – 200.5
200:5 – 300.5
300.5 – 400.5
400.5 – 500.5
500.5 – 600.5
5. పై దత్తాంశములోని ఒక్కొక్క తరగతి అంతరమెంత ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
100
6. క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనములకు పౌనఃపున్య బహుభుజులు నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 174)
i) ఒక తరగతిలోని విద్యార్థుల మధ్య జరిగిన స్నేహపూర్వక క్రికెట్ ఆట నందు వారి పరుగుల వివరాలు
సాధన.
| తరగతి అంతరం | పౌనఃపున్యం | మధ్య విలువలు |
| 10 – 20 | 3 | 15 |
| 20 – 30 | 5 | 25 |
| 30 – 40 | 8 | 35 |
| 40 – 50 | 4 | 45 |
| 50 – 60 | 2 | 55 |
నిర్మాణ సోపానములు :
సోపానం – 1: తరగతి మధ్య విలువలను గణించవలెను.
సోపానం – 2 : దత్తాంశమునకు సోపాన రేఖా చిత్రమును నిర్మించి ప్రతి సోపానము యొక్క పై వెడల్పుల మధ్య బిందువులు B, C, D, E, F లను గుర్తించి కలుపవలెను.
సోపానం – 3 : తరగతుల యొక్క ముందు తరగతి, తరువాత తరగతులను ఊహించి వాని పౌనఃపున్యములు ‘0’గా తీసుకొని తరగతి మధ్య విలువలు గుర్తించవలెను.
సోపానం – 4 : మొదటి తరగతికి ముందు తరగతిని, చివరి తరగతికి తరువాత తరగతులను ఊహించుకోండి. అంటే 10 – 20 తరగతికి ‘ముందు తరగతిని X – అక్షమునకు ఋణాత్మక దిశలో 0 – 10 గా తీసుకోండి. అదే విధంగా 50 – 60 తరగతికి తరువాత తరగతిని 60 – 70 గా తీసుకోండి. వీటి మధ్య విలువలను A, G లుగా గుర్తించండి.
సోపానం – 5 : ఇప్పుడు B బిందువును Aతోనూ, F బిందువును G తోనూ కలిపితే పౌనఃపున్య బహుభుజి ఏర్పడుతుంది. పౌనఃపున్య బహుభుజి నిర్మించుటకు ప్రతిసారి సోపాన రేఖా చిత్రము నిర్మించనవసరము లేదు. దీనికి బదులుగా తరగతి మధ్య విలువలను, పౌనఃపున్యములను ఉపయోగించి పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించవలెను.
ii). ఒక నాటక ప్రదర్శన కొరకు అమ్మిన టిక్కెట్ల వివరాలు
సాధన.
| తరగతి అంతరం | పౌనఃపున్యం | మధ్య విలువలు |
| 7.5 – 12.5 | 50 | 10 |
| 12.5 – 17.5 | 30 | 15 |
| 17.5 – 22.5 | 60 | 20 |
| 22.5 – 27.5 | 30 | 25 |
| 27.5 – 32.5 | 20 | 30 |
నిర్మాణ సోపానములు :
సోపానం – 1 : తరగతి మధ్యవిలువలు ఇచ్చియున్నారు. కావున తరగతి అంతరాలు గణించవలెను.
సోపానం – 2 : దత్తాంశానికి సోపాన రేఖా చిత్రం నిర్మించి ప్రతి సోపానం యొక్క వెడల్పుపై మధ్య బిందువులను B, C, D, E, F లుగా గుర్తించవలెను. తద్వారా వాటిని కలుపవలెను.
సోపానం – 3 : తరగతుల యొక్క ముందు తరగతి, తరువాత తరగతిని ఊఊహించి, వాని పౌనఃపున్యాలు ‘0’ గా తీసుకొని తరగతి మధ్య విలువలు ‘0’గా గుర్తించవలెను.
సోపానం – 4 : మొదటి తరగతికి ముందు తరగతిని 2.5 – 7.5 గాను చివరి తరగతికి తరువాత తరగతిని 32.5 – 37.5 గా ఊహించి వీటి మధ్య విలువలను A, G లుగా గుర్తించవలెను.
సోపానం – 5 : ఇప్పుడు A ను B తోను, G ను F తోను కలుపగా ABCDEFG ఒక బహుభుజి ఏర్పడినది.
ప్రయత్నించండి
1. ఏవైనా మూడు సంఖ్యాత్మక దత్తాంశములను, మూడు వివరణాత్మక దత్తాంశములను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 148)
సాధన.
సంఖ్యాత్మక దత్తాంశం :
వివరణాత్మక దత్తాంశం : అమరరాజా ఆదాయంలో 24% వృద్ధి
అమరరాజా బ్యాటరీస్ ఈ మూడో త్రైమాసికంలో రికార్డు స్థాయి ఆర్థిక ఫలితాలను నమోదు చేసింది. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంతో పోల్చినప్పుడు ఆదాయం 24 శాతం, నికరలాభం 23 శాతం పెరిగాయి. ఈ మూడో త్రైమాసికంలో రూ. 756. 90 నికర అమ్మకాల ఆదాయాన్ని నమోదు చేసింది. దీనిపై రూ. 80 కోట్ల నికరలాభం ఉంది. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంలో ఆదాయం రూ. 613 కోట్లు, నికరలాభం రూ. 65 కోట్లు మాత్రమే కావటం గమనార్హం. ఈ ఆర్థిక సంవత్సరం మొదటి 9 నెలల కాలంలో ఆదాయం రూ. 2,162 కోట్లు, రూ. 227 కోట్ల నికరలాభం ఉన్నాయి. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంలో ఆదాయం రూ. 1697 కోట్లు కాగా, అప్పట్లో నమోదైన నికరలాభం రూ. 157 కోట్లు. 9 నెలల కాలానికి కూడా ఆదాయంలో 27 శాతం, నికరలాభంలో 44 శాతం వృద్ధి కనిపిస్తున్నాయి. ఆటోమోటివ్ బ్యాటరీల విభాగం, పారిశ్రామిక బ్యాటరీల విభాగం ….. రెండూ కూడా రెండంకెల వృద్ధిని నమోదు చేసినట్లు అమరరాజా బ్యాటరీస్ ఎం.డి. జయదేవ్ గల్లా పేర్కొన్నారు.
2. పై సందర్భాలకు ఊహించిన అంక మధ్యమము, విచలనాల పట్టికను తయారు చేయండి. విచలనాల సరాసరి ఊహించిన అంక మధ్యమము మరియు నిజమైన అంకగణిత మధ్యమము విలువలను గమనించండి. ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 151)
(సూచన : విచలనాల సరాసరితో పోల్చి చూడండి.)
సాధన.
∴ అసలు సగటు = \(\frac{\Sigma x_{i}}{N}=\frac{80}{5}\) = 16
∴ విచలనాల సరాసరి = \(\frac {-5}{5}\) = -1
∴ అంకగణిత సగటు = ఊహించిన సగటు + విచలనాల సరాసరి
17 + (-1) = 16
∴ ఊహించిన అంకమధ్యమం, నిజమైన అంకమధ్యమం రెండూ సమానం.
3. క్రింది దత్తాంశములకు అంకగణిత మధ్యమాలను అంచనావేసి వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 153)
i) 17, 25, 28, 35, 40
ii) 5, 6, 7, 8, 8, 10 10, 10, 12, 12, 13, 19, 19, 19, 20
పై సమస్యలను సాధారణ పద్ధతిలో సాధించుట ద్వారా పై సమాధానములను సరిచూడండి.
సాధన.
i) 17, 25, 28, 35, 40
ఊహించిన అంకమధ్యమం = 35
ii) 5, 6, 7, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 13, 19, 19, 19, 20
ఊహించిన అంకమధ్యమం = 10
4. 24, 65, 85, 12, 45, 35, 15 ల యొక్క మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
24, 65, 85, 12, 45, 35, 15 ల ఆరోహణ క్రమం = 12, 15, 24, 35, 45, 65, 85
∴ రాశుల సంఖ్య (n) = 7 ఒక బేసి సంఖ్య
∴ మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}\) = 4 వ రాశి
∴ మధ్యగతం = 35
5. x, 2x, 4x రాశుల మధ్యగతము 12 అయిన ఆ రాశుల సరాసరి ఎంత ? (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
x, 25, 4x రాశుల మధ్యగతం = 2x
∴ 2x = 12 ⇒ x = 6
2x = 2 × 6 = 12
4x = 4 × 6 = 24
6, 12, 24 ల సరాసరి = \(\frac{6+12+24}{3}=\frac{42}{3}\) = 14
6. 24, 29, 34, 38, X అను దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతము 29 అయిన x విలువ (పేజీ నెం. 155)
(i) x > 38 (ii) x < 29 (iii) 29, 34 ల మధ్య (iv) ఏదీకాదు.
సాధన.
24, 29, 34, 38, x ల మధ్యగతం = 29
n = 5 బేసి సంఖ్య
మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{5+1}{2}\) = 3వ రాశి
∴ 29 కంటే x చిన్నదైనపుడు మాత్రమే 29, 3వ రాశి కాగలదు.
∴ x < 29
7. ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము …………… సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఎగువ హద్దులతో
8. అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము …………. సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
దిగువ హద్దులతో
9. క్రింది దత్తాంశమునకు ఆరోహణ, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
10. పై దత్తాంశములో పౌనఃపున్యముల మొత్తం (రాశుల సంఖ్య) ఎంత ? చివరి తరగతి యొక్క ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము ఎంత ? నీవేమి చెప్పగలవు ? (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
పై దత్తాంశంలో పౌనఃపున్యాల మొత్తం = 30
చివరి తరగతి యొక్క ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం = 30
∴ రాశుల మొత్తం = చివరి తరగతి ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం
11. ప్రక్క సోపాన రేఖా చిత్రమును పరిశీలించి ప్రశ్నలకు జవాబులివ్వండి. (పేజీ నెం. 169)
i) ఈ సోపాన రేఖా చిత్రము ఏ సమాచారమును సూచిస్తున్నది ?
ii) ఏ తరగతి నందు గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు కలరు ?
iii) ఎంతమంది విద్యార్థులు 5 గంటలు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ సమయం T.V. ను వీక్షిస్తున్నారు ?
iv)ఎంత మంది విద్యార్థులపై సర్వే నిర్వహించబడినది ?
సాధన.
i) వివిధ సమయాలలో టి.వి.లు చూసే విద్యార్థుల సంఖ్య.
ii) 5వ తరగతి నందు గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు కలరు.
iii) 35 + 15 + 5 = 55 మంది
iv) సర్వే నిర్వహించబడిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 10 + 15 + 20 + 35 + 15 + 5 = 100 మంది
ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి
1. ఒక దత్తాంశము యొక్క బాహుళకమునకు సమానమైన రాశులను కొన్నింటిని చేర్చగా దత్తాంశపు బాహుళకము ఎట్లు మారును ? (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
ఒక దత్తాంశం యొక్క బాహుళకానికి సమానమైన రాశులను కొన్నింటిని చేర్చినా ఆ దత్తాంశపు బాహుళకంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.
ఉదా : 5, 6, 7, 8, 7, 9 ల బాహుళకం = 7
7 నకు 7, 7, 7, 7 లను చేర్చినా బాహుళకంలో మార్పు రాదు.
2. క్రింది రాశుల దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను వ్రాయండి. 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7. (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
వ్యాప్తి = గరిష్ట విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 7 – 1 = 6
తరగతుల సంఖ్య = 7 అయిన
3. క్రింది సంఖ్యల దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 161)
2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 9, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 24, 24, 25. (సూచన : విలీన తరగతులను తీసుకోండి.)
సాధన.
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 25 – 2 = 23
4. పై రెండు దత్తాంశములలో భేదమేమి ? వాని పౌనఃపున్య విభాజనములను ఏమంటారు ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
మొదటి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని తరగతులు సంలీన తరగతులు, రెండవ పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని తరగతులు విలీన తరగతులు. పై రెండు దత్తాంశాలలో భేదం కేవలం తరగతులలో మాత్రమే కన్పిస్తుంది.
5. పై సమస్యల యొక్క పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలలో దేని నుండి మరలా దత్తాంశములోని రాశులను విడివిడిగా వ్రాయగలము ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
తరగతులు
6. ఒక కమ్మీ రేఖా చిత్రములో అన్ని కమ్మీల (పేజీ నెం. 168)
(a) పొడవులు సమానం (b) వెడల్పులు సమానం (c) వైశాల్యములు సమానం (d) విలువలు సమానం
సాధన.
(b) వెడల్పులు సమానం
7. ఒక కమ్మీ రేఖా చిత్రంలో ప్రతి కమ్మీ యొక్క పొడవు మిగిలిన కమ్మీల పొడవుపై ఆధారపడి ఉంటుందా ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
లేదు
8. ఏదైనా ఒక కమ్మీలో చేసిన మార్పు మిగిలిన కమ్మీలలో మార్పును కలుగజేస్తుందా ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
లేదు
9. ఏయే సందర్భములలో నిలువు కమ్మీ లేక అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రాలను ఉపయోగిస్తాము ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
సమాన దూరములు కలిగి, సమాన వెడల్పుల, పౌనఃపున్యాలకు అనుపాతంలో గల పొడవులను సూచించుటకు నిలువు లేదా అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రాలను ఉపయోగిస్తాం.
10. సోపాన చిత్రంలో X – అక్షంపై తరగతి యొక్క హద్దులు గుర్తిస్తాం. కాని అవధులు కాదు. ఎందువల్ల ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
ఒక తరగతి యొక్క ఎగువ, దిగువ హద్దుల భేదం ఆ తరగతి అంతరాన్ని ఇస్తుంది. అందువలన X – అక్షంపై హద్దులు గుర్తిస్తాం.
11. సోపాన చిత్రంలో దీర్ఘచతురస్రాల వెడల్పులను నిర్ణయించు అంశమేది ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
తరగతి అంతరం
12. అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల పొడవుల మొత్తం దేనిని సూచిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
పౌనఃపున్యాల మొత్తం.
13. దత్తాంశములోని మొదటి తరగతికి ముందు తరగతి లేనిచో బహుభుజిని ఎట్లు పూరించగలవు ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
ముందు తరగతి పౌనఃపున్యం ‘0’ గా తీసుకొని దానిచే బిందువును కలుపవలెను.
14. ఒక దత్తాంశము యొక్క సోపాన రేఖా చిత్రము, పౌనఃపున్య బహుభుజిల వైశాల్యములు సమానము. ఎట్లు ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
రెండు చిత్రాలు తరగతి మధ్య విలువలపై ఆధారపడి నిర్మించబడతాయి.
15. పౌనఃపున్య బహుభుజి నిర్మాణమునకు ముందుగా సోపాన చిత్రము నిర్మించవలెనా ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
అవసరం లేదు
16. విభాజిత శ్రేణి/అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు ‘పౌనఃపున్య బహుభుజి’ని గీయగలమా ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
గీయలేము.