Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 1 బిందుపథం which are most likely to be asked in the exam.
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 1 బిందుపథం
సాధించిన సమస్యలు
ప్రశ్న 1.
XOY తలంలో బిందువు (-2, 3) నుంచి దూరం 5గా గల బిందువు పథ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త బిందువును A = (-2, 3) అని, బిందుపథం మీది బిందువును P(x, y) అని అనుకొందాం.
బిందువు P, బిందుపథం మీద ఉండటానికి తృప్తిపరచాల్సిన జ్యామితీయ నియమం
AP = 5 ………….. (1)
ఈ నియమాన్ని బీజీయంగా వ్యక్తీకరిస్తే
\(\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}\) = 5
అంటే, x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 25
అంటే, x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 ……………….. (2)
సమీకరణం (2) ను Q(x1, y1) బిందువు తృప్తిపరుస్తుందను కొందాం.
అప్పుడు x12 + y12 + 4x1 – 6y1 – 12 = 0
ఇప్పుడు A, Qల మధ్యదూరం
AQ = \(\sqrt{\left(x_1+2\right)^2+\left(y_1-3\right)^2}\)
అందువల్ల AQ2 = x12 + 4x1 + 4 + y12 – 6y1 + 9
= (x12 + y12 + 4x1 + 6y1 – 12) + 25
= 25 ((3) ను ఉపయోగిస్తే)
కాబట్టి AQ = 5
అంటే బిందువు Q(x1, y1) జ్యామితీయ నియమం (1) ని తృప్తిపరుస్తుందని అర్థం.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0.
ప్రశ్న 2.
బిందువు A(3, 0) నుంచి P బిందువు దూరం, B(-3, 0) బిందువు నుంచి P బిందువు దూరానికి రెట్టింపు అయితే P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
బిందుపథం మీద P(x, y) ఒక బిందువనుకొందాం.
అప్పుడు P తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం.
PA = 2PB
అంటే PA2 = 4PB2
అంటే (x – 3)2 + y2 = 4[(x + 3)2 + y2]
అంటే x2 – 6x + 9 + y2 = 4[x2 + 6x + 9 + y2]
అంటే 3x2 + 3y2 + 30x + 27 = 0
అంటే x2 + y2 + 10x + 9 = 0 ………………. (2)
సమీకరణం (2) ను Q(x1, y1) బిందువు తృప్తిపరుస్తుందను
కొందాం.
అప్పుడు x12 + y12 + 10x1 + 9 = 0
ఇప్పుడు QA2 = (x1 – 3)2 + y12 + y12
= x12 – 6x1 + 9 + y12
= 4x12 + 24x1 + 36 + 4y12– 3x12 – 30x1 – 27 – 3y12
= 4(x12 + 6x1 + 9 + y12) – 3(x12 + 10x1 + 9 + y12)
= 4(x12 + 6x1 + 9 + y12) ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= 4[(x1 + 3)2 + y12]
= 4 QB2
అందువల్ల QA = 2QB. అంటే Q(x1, y1) బిందువు (1) ని తృప్తిపరుస్తుంది.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
x2 + y2 + 10x + 9
= 0.
ప్రశ్న 3.
(4, 0), (0, 4) లు కర్ణాగ్రాలుగా గల లంబకోణ త్రిభుజం మూడో శీర్షం బిందుపథం కనుక్కోండి.
సాధన:
A = (4, 0), B = (0, 4) అనుకుందాం.
PA, PB లు లంబంగా ఉండేటట్లు P(x, y) ని తీసుకొందాం.
అప్పుడు PA2 + PB2 = AB2 …………… (1)
P, A, B లు సరేఖీయాలు కావు.
(x – 4)2 + y2 + x2 + (y – 4)2 = 16 + 16,
P ≠ A, P ≠ B
లేదా x2 + y2 – 4x – 4y = 0,
(x, y) ≠ (4, 0), (x, y) ≠ (0, 4) ……….. (2)
Q(x1, y1) బిందువు (2) ను తృప్తిపరుస్తుందని, Q బిందువు A, B లకు భిన్నమైందని అనుకొందాం.
అప్పుడు x12 + y12 – 4x1 – 4y1 = 0,
(x1, y1) ≠ (4, 0), (x1, y1) ≠ (0, 4) …………. (3)
ఇప్పుడు QA2 + QB2
= (x1 – 4)2 + y12 + x12 + (y1 – 4)2
= x12 – 8x1 + 16 + y12 + x12 + y12 – 8y1 + 16
= 2(x12 + y12 – 4x1 – 4y1) + 32
= 32 ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= AB2
అందువల్ల QA2 + QB2 = AB2, Q ≠ A, Q ≠ B.
అంటే Q(x1, y) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది. అందువల్ల (2) కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం. ఇది A, Bలు మినహా, \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని వ్యాసంగా గల వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
ప్రశ్న 4.
A(5, −4), B (7, 6) బిందువుల నుంచి P బిందువు దూరాల నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే, P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
బిందుపథం మీది ఒక బిందువును P(x, y) అనుకొందాం.
P తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{2}{3}\)
అంటే 3AP = 2PB
అంటే AP2 = 4PB2
అంటే 9[(x – 5)2 + (y + 4)2] = 4[(x – 7)2 + (y – 6)2]
అంటే 9[x2 + 25 – 10x + y2 + 16 + 8y] = 4[x2 + 49 – 14x + y2 + 36 – 12y]
అంటే 5x2 + 5y2 – 34x + 120y + 29 = 0
Q(x1, y1) బిందువు (2) ను తృప్తిపరుస్తుందనుకొందాం.
అప్పుడు 51x + 5y1 – 34x1 + 120y1 + 29 = 0
ఇప్పుడు
9AQ2 = 9[x12 + 25 − 10x1 + y12 + 16 + 8y1]
= 5x12 + 5y12 − 34x1 + 120y1 + 29 + 4x12 + 4y12 – 56x1 – 48y1 + 340]
= 4[x12 + y12 – 14x1 – 12y1 +49 + 36] ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= 4[(x1 – 7)2 + (y1 – 6)2]
= 4QB2
అందువల్ల 3AQ = 2QB.
అంటే Q(x1, y1) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది. అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణము
5(x2 + y2) – 34x + 120y + 29 = 0.
ప్రశ్న 5.
A(2, 3), B(-3, 4) లు దత్త బిందువులు. త్రిభుజం PAB వైశాల్యం 8.5 ఉండేటట్లుగా P బిందుపథ సమీకరణం కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
సాధన:
బిందుపథం మీది ఒక బిందువును P(x, y) అనుకుందాం.
Pని తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం
∆PAB వైశాల్యం = 8.5 ………………. (1)
అంటే
\(\frac{1}{2}\) |x(3 – 4) + 2(4 – y) – 3 (y – 3)| = 8.5
అంటే |-x + 8 – 2y – 3y + 9| = 17
అంటే |-x – 5y + 17| = 17
అంటే -x − 5y + 17 = 17 లేదా
-x – 5y + 17 = -17
అంటే x + 5y = 0 లేదా x + 5y = 34
అందువల్ల (x + 5y) (x + 5y – 34) = 0
అంటే x2 + 10xy + 25y2 – 34x – 170y = 0 …………. (2)
Q(x1, y1) బిందువు (2)ని తృప్తిపరుస్తుందనుకొందాం.
అప్పుడు x1 + 5y1 = 0 లేదా
x1 + 5y1 = 34 ……………. (3)
ఇప్పుడు ∆QAB వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\)|(x1 (3 – 4) + 2(4 – y1) – 3(y1 – 3)|
= \(\frac{1}{2}\) |-x1 + 8 – 2y1 – 3y1 + 9|
= \(\frac{1}{2}\) |-x1 – 5y1 + 17|
= \(\frac{17}{2}\) = 8.5 ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
అంటే Q(x1, y1) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
(x + 5y) (x + 5y – 34) = 0
x2 + 10xy + 25y2 – 34x – 170y = 0