AP Board

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 1 బిందుపథం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 1 బిందుపథం

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
XOY తలంలో బిందువు (-2, 3) నుంచి దూరం 5గా గల బిందువు పథ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త బిందువును A = (-2, 3) అని, బిందుపథం మీది బిందువును P(x, y) అని అనుకొందాం.
బిందువు P, బిందుపథం మీద ఉండటానికి తృప్తిపరచాల్సిన జ్యామితీయ నియమం
AP = 5 ………….. (1)
ఈ నియమాన్ని బీజీయంగా వ్యక్తీకరిస్తే
\(\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}\) = 5
అంటే, x² + 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 25
అంటే, x² + y² + 4x – 6y – 12 = 0 ……………….. (2)
సమీకరణం (2) ను Q(x₁, y₁) బిందువు తృప్తిపరుస్తుందను కొందాం.
అప్పుడు x₁² + y₁² + 4x₁ – 6y₁ – 12 = 0
ఇప్పుడు A, Qల మధ్యదూరం
AQ = \(\sqrt{\left(x_1+2\right)^2+\left(y_1-3\right)^2}\)
అందువల్ల AQ² = x₁² + 4x₁ + 4 + y₁² – 6y₁ + 9
= (x₁² + y₁² + 4x₁ + 6y₁ – 12) + 25
= 25 ((3) ను ఉపయోగిస్తే)
కాబట్టి AQ = 5
అంటే బిందువు Q(x₁, y₁) జ్యామితీయ నియమం (1) ని తృప్తిపరుస్తుందని అర్థం.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
x² + y² + 4x – 6y – 12 = 0.

ప్రశ్న 2.
బిందువు A(3, 0) నుంచి P బిందువు దూరం, B(-3, 0) బిందువు నుంచి P బిందువు దూరానికి రెట్టింపు అయితే P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
బిందుపథం మీద P(x, y) ఒక బిందువనుకొందాం.
అప్పుడు P తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం.
PA = 2PB
అంటే PA² = 4PB²
అంటే (x – 3)² + y² = 4[(x + 3)² + y²]
అంటే x² – 6x + 9 + y² = 4[x² + 6x + 9 + y²]
అంటే 3x² + 3y² + 30x + 27 = 0
అంటే x² + y² + 10x + 9 = 0 ………………. (2)
సమీకరణం (2) ను Q(x₁, y₁) బిందువు తృప్తిపరుస్తుందను
కొందాం.
అప్పుడు x₁² + y₁² + 10x₁ + 9 = 0
ఇప్పుడు QA² = (x₁ – 3)² + y₁² + y₁²
= x₁² – 6x₁ + 9 + y₁²
= 4x₁² + 24x₁ + 36 + 4y₁²– 3x₁² – 30x₁ – 27 – 3y₁²
= 4(x₁² + 6x₁ + 9 + y₁²) – 3(x₁² + 10x₁ + 9 + y₁²)
= 4(x₁² + 6x₁ + 9 + y₁²) ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= 4[(x₁ + 3)² + y₁²]
= 4 QB²
అందువల్ల QA = 2QB. అంటే Q(x₁, y₁) బిందువు (1) ని తృప్తిపరుస్తుంది.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
x² + y² + 10x + 9
= 0.

ప్రశ్న 3.
(4, 0), (0, 4) లు కర్ణాగ్రాలుగా గల లంబకోణ త్రిభుజం మూడో శీర్షం బిందుపథం కనుక్కోండి.
సాధన:
A = (4, 0), B = (0, 4) అనుకుందాం.
PA, PB లు లంబంగా ఉండేటట్లు P(x, y) ని తీసుకొందాం.
అప్పుడు PA² + PB² = AB² …………… (1)
P, A, B లు సరేఖీయాలు కావు.
(x – 4)² + y² + x² + (y – 4)² = 16 + 16,
P ≠ A, P ≠ B
లేదా x² + y² – 4x – 4y = 0,
(x, y) ≠ (4, 0), (x, y) ≠ (0, 4) ……….. (2)
Q(x₁, y₁) బిందువు (2) ను తృప్తిపరుస్తుందని, Q బిందువు A, B లకు భిన్నమైందని అనుకొందాం.
అప్పుడు x₁² + y₁² – 4x₁ – 4y₁ = 0,
(x₁, y₁) ≠ (4, 0), (x₁, y₁) ≠ (0, 4) …………. (3)
ఇప్పుడు QA² + QB²
= (x₁ – 4)² + y₁² + x₁² + (y₁ – 4)²
= x₁² – 8x₁ + 16 + y₁² + x₁² + y₁² – 8y₁ + 16
= 2(x₁² + y₁² – 4x₁ – 4y₁) + 32
= 32 ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= AB²
అందువల్ల QA² + QB² = AB², Q ≠ A, Q ≠ B.
అంటే Q(x₁, y) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది. అందువల్ల (2) కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం. ఇది A, Bలు మినహా, \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని వ్యాసంగా గల వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
A(5, −4), B (7, 6) బిందువుల నుంచి P బిందువు దూరాల నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే, P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
బిందుపథం మీది ఒక బిందువును P(x, y) అనుకొందాం.
P తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{2}{3}\)
అంటే 3AP = 2PB
అంటే AP² = 4PB²
అంటే 9[(x – 5)² + (y + 4)²] = 4[(x – 7)² + (y – 6)²]
అంటే 9[x² + 25 – 10x + y² + 16 + 8y] = 4[x² + 49 – 14x + y² + 36 – 12y]
అంటే 5x² + 5y² – 34x + 120y + 29 = 0
Q(x₁, y₁) బిందువు (2) ను తృప్తిపరుస్తుందనుకొందాం.
అప్పుడు 5₁x + 5y₁ – 34x₁ + 120y₁ + 29 = 0
ఇప్పుడు
9AQ2 = 9[x₁² + 25 − 10x₁ + y₁² + 16 + 8y₁]
= 5x₁² + 5y₁² − 34x₁ + 120y₁ + 29 + 4x₁² + 4y₁² – 56x₁ – 48y₁ + 340]
= 4[x₁² + y₁² – 14x₁ – 12y₁ +49 + 36] ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
= 4[(x₁ – 7)² + (y₁ – 6)²]
= 4QB²
అందువల్ల 3AQ = 2QB.
అంటే Q(x₁, y₁) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది. అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణము
5(x² + y²) – 34x + 120y + 29 = 0.

ప్రశ్న 5.
A(2, 3), B(-3, 4) లు దత్త బిందువులు. త్రిభుజం PAB వైశాల్యం 8.5 ఉండేటట్లుగా P బిందుపథ సమీకరణం కనుక్కోండి. [Mar. ’11]
సాధన:
బిందుపథం మీది ఒక బిందువును P(x, y) అనుకుందాం.
Pని తృప్తిపరచే జ్యామితీయ నియమం
∆PAB వైశాల్యం = 8.5 ………………. (1)
అంటే
\(\frac{1}{2}\) |x(3 – 4) + 2(4 – y) – 3 (y – 3)| = 8.5
అంటే |-x + 8 – 2y – 3y + 9| = 17
అంటే |-x – 5y + 17| = 17
అంటే -x − 5y + 17 = 17 లేదా
-x – 5y + 17 = -17
అంటే x + 5y = 0 లేదా x + 5y = 34
అందువల్ల (x + 5y) (x + 5y – 34) = 0
అంటే x² + 10xy + 25y² – 34x – 170y = 0 …………. (2)
Q(x₁, y₁) బిందువు (2)ని తృప్తిపరుస్తుందనుకొందాం.
అప్పుడు x₁ + 5y₁ = 0 లేదా
x₁ + 5y₁ = 34 ……………. (3)
ఇప్పుడు ∆QAB వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\)|(x₁ (3 – 4) + 2(4 – y₁) – 3(y₁ – 3)|
= \(\frac{1}{2}\) |-x₁ + 8 – 2y₁ – 3y₁ + 9|
= \(\frac{1}{2}\) |-x₁ – 5y₁ + 17|
= \(\frac{17}{2}\) = 8.5 ((3)ను ఉపయోగిస్తే)
అంటే Q(x₁, y₁) బిందువు (1)ని తృప్తిపరుస్తుంది.
అందువల్ల కావలసిన బిందుపథ సమీకరణం
(x + 5y) (x + 5y – 34) = 0
x² + 10xy + 25y² – 34x – 170y = 0