AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
x2 + xy + y2 = 0 సమీకరణం రెండు సరళరేఖలను సూచిస్తుందా ?
సాధన:
a = 1, b = 1,
h = \(\frac{1}{2}\)
⇒ h2 = \(\frac{1}{4}\), ab = 1
h2 = ab < 0 i.e., h2 < ab.
∴ దత్త రేఖా సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచించదు.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 2.
x2 – 3y2 = 0, x = 2 సరళరేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజం స్వభావాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
x2 – 3y2 = 0
(x + \(\sqrt{3}\)y) (x – \(\sqrt{3}\)y) = 0
x + \(\sqrt{3}\)y = 0 మరియు x – \(\sqrt{3}\)y = 0
i.e., y = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) x, y = –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) x రేఖలు x – అక్షంతో 30° కోణం చేస్తే సమాన నిమ్నత కలిగి ఉన్నాయి.
∴ ∠OAB – ∠OBA = 60°
∴ ఈ త్రిభుజము సమబాహు త్రిభుజం.
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు 1

ప్రశ్న 3.
12x2 – 20xy + 7y2 = 0, 2x – 3y + 4 = 0 సరళరేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజం కేంద్రభాసాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
12x2 – 20xy + 7y2 = 0 ………………. (1)
AB సమీకరణము 2x + 3y + 4 = 0
2x = 3y – 4
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే,
3(3y – 4)2 – 10y (3y – 4) + 7y2 = 0
3(9y2 + 16 − 24y) – 30y2 + 40y + 7y2 = 0
27y2 + 48 − 72y – 30y2 + 40y + 7y2 = 0
4y2 – 32y + 48 = 0
y2 – 8y +12 = 0
(y – 2) (y – 6) = 0 ⇒ y = 2 లేదా 6
x = \(\frac{3 y-4}{2}\)
y = 2 ⇒ x = \(\frac{6-4}{2}\) = 1
y = 6 ⇒ x = \(\frac{18-4}{2}\) = 7
∴ శీర్షాలు 0 (0, 0), A (1, 2), B( 7, 6)
OAB కేంద్రభాసము
\(\left(\frac{0+1+7}{3}, \frac{0+2+6}{3}\right)=\left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)\)

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 4.
x2 – 4xy + y2 = 0, x + y = 3 లతో సూచించబడే సరళరేఖలు ఒక సమబాహుత్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన:
L = x + y – 3 = 0 సరళరేఖ వాలు -1. అందువల్ల ఈ సరళరేఖ X- అక్షం ఋణ దిశలో 45° కోణం చేస్తుంది. కనుక Lతో 60° కోణం చేసే సరళరేఖ కూడా ఊర్ధ్వ రేఖ కాదు.
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు 2
\(\sqrt{3}\) = tan 60° = \(\left|\frac{m+1}{1-m}\right|\) m విలువ
(m + 1)2 = 3(m – 1) ను తృప్తిపరుస్తుంది. (లేదా)
m2 – 4m + 1 = 0 ……………… (1)
‘m’ వాలు కలిగి మూలబిందువు గుండా పోతూ రేఖా సమీకరణం
y = mx …………….. (2)
(1), (2) ల నుండి m ను తొలగించగా మూలబిందువు గుండాపోతూ Lతో 60° కోణం చేసే రేఖాయుగ్మం సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.
ఈ రేఖా యుగ్మం ఉమ్మడి సమీకరణము
\(\left(\frac{y}{x}\right)^2-4\left(\frac{y}{x}\right)\) + 1 = 0 (i. e., ) x2 – 4xy + y2 = 0
ఇది దత్త రేఖాయుగ్మంతో సమానము.
దత్త రేఖాత్రయము సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తున్నాయి.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 5.
ax2 + 2hxy + by2 = 0 అనే రేఖాయుగ్మం నుంచి (α, β) అనే బిందువుకు లంబ దూరాల లబ్ధం \(\frac{\left|a \alpha^2+2 h \alpha \beta+b \beta^2\right|}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}\) అని నిరూపించండి. [May ’11, ’07; Mar. ’07, ’04]
సాధన:
ax2 + 2hxy + by2 = (l1x + m1y) (l2x + m2y)
అనుకొందాం.
సూచించే రేఖా విడి సమీకరణము
ax2 + 2hxy + by2 = 0
L1 : l1x + m1y = 0 మరియు L2 : l2x + m2y = 0
l1l2 = a; m1m2 = b మరియు
l1m2 + l2m1 = 2h
d1 = (α, β) నుండి L1 కు లంబదూరము
L1 = \(\frac{\left|l_1 \alpha+\mathrm{m}_1 \beta\right|}{\sqrt{l_1^2+\mathrm{m}_1^2}}\)
d2 = (α, β) నుండి L2 కు లంబదూరము
= \(\frac{\left|l_2 \alpha+\mathrm{m}_2 \beta\right|}{\sqrt{l_2^2+\mathrm{m}_2^2}}\)
లంబ దూరాల లబ్ధము
= \(\frac{\left|\left(l_1 \alpha+\mathrm{m}_1 \beta\right)\left(l_2 \alpha+\mathrm{m}_2 \beta\right)\right|}{\sqrt{\left(l_1^2+\mathrm{m}_1^2\right)\left(l_2^2+\mathrm{m}_2^2\right)}}\)
= \(\frac{\left|a \alpha^2+2 h \alpha \beta+b \beta^2\right|}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}\)

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 6.
ax2 + 2hxy + by2 = 0 ఒక సరళరేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందనుకోండి. అప్పుడు
i) (x0, y0) బిందువు గుండా పోతూ దత్త సరళరేఖలకు సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణం
a(x – x0)2 + 2h(x – x0) (y – y0) + b(y – y0)2 = 0 అనీ,
ii) (x0, y0) బిందువు గుండా పోతూ దత్త సరళరేఖలకు లంబంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణం
b(x − x0)2 – 2h(x – x0) (y – y0) + a(y – y0)2 = 0 అని నిరూపించండి.
సాధన:
ax2 + 2hxy + by2 = (l1x + m1y) (l2x + m2y). ఈ సమీకరణము సూచించే రేఖలు విడిగా L1, L2 అనుకోండి.
l1x + m1y = 0 మరియు l2x + m2y = 0
l1l2 = a, m1m2 = b మరియు
l1m2 + l2m1 = 2h

(i) (x0, y0) గుండా పోతూ L1, L2 రేఖలకు సమాంతరంగా
ఉండే రేఖలు వరుసగా
l1x + m1y = l1x0 + m1y0 (లేదా)
l1(x – x0) + m1(y – y0) = 0 మరియు
l2(x – x0) + m2(y – y0) = 0.
∴ఉమ్మడి సమీకరణము
[l1(x – x0) + m1(y – y1)] [l2(x – x0) + m2(y − y0)] = 0
(లేదా) a(x – x0)2 + 2h(x – x0) (y − y0) + b(y – y0)2 = 0

(ii) (x0, y0) గుండా పోతూ L1, L2 లకు లంబంగా ఉండే
రేఖా యుగ్మం
m1x – l1y = m1x0 – l1y0 (లేదా)
m1(x – x0) – l1(y – y0) = 0 మరియు
m2(x – x0) – l2(y – y0) = 0
ఉమ్మడి సమీకరణము
[m1(x – x0) – l1(y – y0)] [m2(x – x0) – l2(y – y0)] = 0
(i.e.,) b(x – x0)2 – 2h(x – x0) (y – y0) + a(y – y0)2 = 0
[గమనిక : మూలబిందువు గుండా పోతూ
ax2 + 2hxy + by2 = 0 కు లంబంగా ఉండే రేఖా యుగ్మం సమీకరణం bx2 – 2hxy + ay2 = 0],

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 7.
ax2 + 2hxy + by2 = 0 అనే రేఖాయుగ్మంతోనూ, lx + my + n = 0 అనే సరళరేఖతోను, నిర్దిష్టమయ్యే త్రిభుజ వైశాల్యం \(\left|\frac{n^2 \sqrt{h^2-a b}}{a m^2-2 h l m+b l^2}\right|\) అని నిరూపించండి. [Mar. ’13]
సాధన:
\(\overleftrightarrow{\mathrm{OA}}, \overleftrightarrow{\mathrm{OB}}\) లు సూచించే రేఖాయుగ్మం సమీకరణం
ax2 + 2hxy + by2 = 0 (బొమ్మను చూడండి.) \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖ lx + my + n = 0 అనుకుందాం.
ax2 + 2hxy + by2 ≡ (l1x + m1y) (l2x + m2y) అనుకుందాం.
\(\overleftrightarrow{\mathrm{OA}}, \overleftrightarrow{\mathrm{OB}}\) ల సమీకరణాలు వరుసగా
l1x + m1y = 0 and l2x + m2y = 0 అనుకొందాం.
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు 3
A = (x1, y1) మరియు B = (x2, y2)
∴ l1x1 + m1y1 = 0, lx1 + my1 + n = 0.
అడ్డ గుణకార సూత్రం ప్రకారం
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు 4

ప్రశ్న 8.
7x – y + 3 = 0 మరియు x + y – 3 = 0 లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలోని సమాన భుజాలను సూచిస్తాయి. ఆ త్రిభుజం యొక్క మూడవ భుజం (1, 0) గుండా పోతే, దాని సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
7x – y + 3 = 0, x + y − 3 = 0 రేఖలు A అనే బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటాయనుకొందాం. A వద్ద ఉన్న కోణాల యొక్క సమద్విఖండన రేఖలకు (A గుండా కాకుండా) లంబంగా గీసిన సరళరేఖలు, ఇచ్చిన సరళరేఖలతో సమద్విబాహు త్రిభుజాలను నిర్మిస్తాయి. (ఇచ్చిన సరళరేఖల మీద సమాన భుజాలుండే విధంగా)
(∆ABF ≅ ∆AFC, ∆ADG ≅ ∆AGE)
వీటిలో ఏ భుజాలు (1, 0) గుండా పోతాయో, అలాంటి మూడవ భుజాల సమీకరణాలను కనుక్కొంటాం.
7x – y + 3 = 0, x + y – 3 = 0 ల మధ్య ఉన్న
కోణాల సమద్విఖండన రేఖా సమీకరణాలు
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు 5
అంటే 7x – y + 3 = ± 5(x + y – 3).
అంటే x – 3y + 9 = 0, 3x + y – 3 = 0.
ఈ సమద్విఖండన రేఖలకు లంబంగా ఉంటూ (1, 0) గుండా పోయే సరళరేఖలే కావలసిన మూడవ భుజాలు.
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు 6
x – 3y + 9 = 0 లంబంగా ఉంటూ F(1, 0) గుండా పోయే భుజం 3x + y – 3 = 0. రెండవది (x – 1) – 3(y – 0) = 0 అంటే x – 3y – 1 = 0.
3x + y − 3 = 0, x – 3y – 1 = 0 లు కావలసిన సమీకరణాలు [పటంలో ∆ABC, ∆ADE లు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు. వాటిలో \(\overline{\mathrm{BC}}\), \(\overline{\mathrm{DE}}\)లు మూడవ భుజాలు].

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 9.
2x2 + 5xy + 2y2 – 5x – 7y + 3 = 0 3° సూచించే సరళరేఖల మధ్య లఘుకోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a = 2, b = 2, h = \(\frac{5}{2}\)
cos θ = \(\frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}=\frac{|2+2|}{\sqrt{(2-2)^2+4 \cdot \frac{25}{4}}}=\frac{4}{5}\)
θ = cos-1 \(\left(\frac{4}{5}\right)\)

ప్రశ్న 10.
మూలబిందువు గుండా పోతూ 2x2 + 3xy – 2y2 – 5x + 5y – 3 = 0 తో సూచించే సరళరేఖలకు సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణము
2x2 + 3xy – 2y2 – 5x + 5y – 3 = 0
మూలబిందువు గుండా పోతూ సమాంతర రేఖల సమీకరణము
ax2 + 2hxy + by2 = 0; 2x2 + 3xy – 2y2 = 0

ప్రశ్న 11.
మూలబిందువు గుండా పోతూ ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 తో సూచించే సరళరేఖలకు లంబంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
మూలబిందువు గుండా పోయే సమూహ రేఖల సమీకరణము
ax2 + 2hxy + by2 = 0
మూలబిందువు గుండా పోతూ లంబంగా ఉండే రేఖల
సమీకరణము
bx2 – 2hxy + ay2 = 0

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 12.
x2 + xy – 2y2 + 4x – y + k = 0 రెండు సరళరేఖలను సూచిస్తే, k విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
a = 1, b = – 2, c = k; f = –\(\frac{1}{2}\), g = 2, h = \(\frac{1}{2}\)
నియమము abc + 2fgh – af2 – bg2 – ch2 = 0
2k + 2(-\(\frac{1}{2}\)) . 2 \(\frac{1}{2}\) – 1 . \(\frac{1}{4}\) + 2 . \(\frac{4}{a}\) – k \(\frac{1}{4}\) = 0
-8k – 4 – 1 + 8 – k = 0
9k = 27 ⇒ k = 3

ప్రశ్న 13.
2x2 + xy – 6y2 + 7y – 2 = 0 అనే సమీకరణం ఒక రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
a = 2 ; f = \(\frac{7}{2}\)
b = -6 ; g = 0
c = -2 ; h = \(\frac{1}{2}\)
abc + 2fgh – af2 – bg2 – ch2
= 2(-6) (-2) + 2. \(\frac{7}{2}\) 0 \(\frac{1}{2}\) – 2 \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\) + 6 . 0 + 2 . \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
= 24 – \(\frac{49}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
h2 – ab = \(\frac{1}{4}\) + 12 > 0,
g2 – ac = 0 + 4 = 4 > 0
f2 – bc = \(\frac{49}{4}\) – 12 = \(\frac{1}{4}\) > 0
దత్త సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 14.
2x2 + 3xy – 2y2 – x + 3y – 1 = 0 సమీకరణం రెండు లంబరేఖలను సూచిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
a = 2 ; f = \(\frac{3}{2}\)
b = -2 ; g = –\(\frac{1}{2}\)
c = -1 ; h = \(\frac{3}{2}\)
abc + 2fgh – af2 – bg2 – ch2
= 2(-2) (-1) + 2 . \(\frac{3}{2}\) (-\(\frac{1}{2}\)) . \(\frac{3}{2}\) – 2 . \(\frac{9}{4}\) + 2 . \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1.9}{4}\)
= 4. – \(\frac{9}{4}\) – 2 . \(\frac{9}{4}\) + \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{9}{4}\)
= \(\frac{9}{2}\) – \(\frac{9}{2}\) = 0
h2 – ab = \(\frac{9}{4}\) + 4 = \(\frac{25}{4}\) > 0
g2 – ac = \(\frac{1}{4}\) + 2 > 0
f2 – bc = \(\frac{9}{4}\) – 2 = \(\frac{1}{4}\) > 0
a + b = 2 – 2 = 0
దత్త సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 15.
2x2 – 13xy – 7y2 + x + 23y – 6 = 0 సమీకరణం ఒక రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందని నిరూపించి వాటి మధ్యకోణాన్ని, వాటి ఖండన బిందువు నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట a = 2 ; f = \(\frac{23}{2}\)
b = -7 ; g = \(\frac{1}{2}\)
c = – 6 ; h = –\(\frac{13}{2}\)
abc + 2fgh – af2 – bg2 – ch2
= 2(-7) (-6) + 2 . \(\frac{23}{2}\) . \(\frac{1}{2}\) (-\(\frac{13}{2}\)) – 2 \(\frac{529}{4}\) + 7 . \(\frac{1}{4}\) + 6 . \(\frac{169}{4}\)
= \(\frac{1}{4}\) (336 – 299 – 1058 + 7 + 1014)
= \(\frac{1}{4}\) (1357 – 1357) = 0
h2 – ab = \(\frac{169}{4}\) + 14 > 0,
g2 – ac = \(\frac{1}{4}\) + 12 > 0,
f2 – bc = \(\frac{529}{4}\) – 42 > 0
దత్త సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు 7
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు 8

ప్రశ్న 16.
λ యొక్క ఏ విలువకు λx2 – 10xy + 12y2 + 5x – 16y – 3 = 0 అనే సమీకరణం ఒక రేఖాయుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది ?
సాధన:
ఇచ్చట a = λ ; f = -8
b = 12 ; g = \(\frac{5}{2}\)
c = -3 ; h = -5
దత్త సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.
abc + 2fgh – af2 – bg2 – ch2 = 0
– 36λ + 2(-8) \(\frac{5}{2}\) (-5) -λ.64 – 12 . \(\frac{25}{4}\) + 3.25 = 0
-36λ + 200 – 64λ – 75 + 75 = 0
100λ = 200 ⇒ λ = 2 ⇒ a = 2
h2 – ab = 25 – 24 = 1 > 0
f2 – bc = 64 + 36 = 100 > 0
g2 – ac = \(\frac{25}{4}\) + 6 = \(\frac{49}{4}\) > 0
∴ λ = 2 విలువలకు దత్త సమీకరణము రేఖా యుగ్మాన్ని సూచిస్తుంది.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 17.
6x2 – 5xy – 6y2 = 0, 6x2 – 5xy – 6y2 + x + 5y – 1 = 0 అనే రేఖాయుగ్మాలతో ఒక చతురస్రం ఏర్పడుతుందని నిరూపించండి.
సాధన:
H ≡ 6x2 – 5xy – 6y2 = (3x + 2y) (2x – 3y)
మరియు S ≡ 6x2 – 5xy – 6y2 + x + 5y – 1.
=(3x + 2y – 1) (2x – 3y + 1)
అందువల్ల H = 0, S = 0 లు లంబ రేఖా యుగ్మాలను సూచిస్తాయి. ఇంకా H = 0 సూచించే రేఖలు = 0. సూచించే రేఖలకు సమాంతరం. అందువల్ల నాలుగు దత్త రేఖలతో దీర్ఘచతురస్రం ఏర్పడుతుంది.
ఎదుటి భుజాల మధ్య దూరము 3x + 2y = 0 మరియు 3x + 2y – 1 = 0 \(\left(=\frac{1}{\sqrt{13}}\right)\) ఇది రెండవ జత ఎదుటి 3x + 2y – 1 = 0 భుజము కూడ 2x – 3y = 0 మరియు 2x – 3y + 1 = 0 లకు సమానము. కనుక దీర్ఘచతురస్రము, చతురస్రము కూడా

ప్రశ్న 18.
8x2 – 24xy + 18y2 – 6x + y – 5 = 0 అనే సమీకరణం రెండు సమాంతర రేఖలను సూచిస్తుందని నిరూపించి వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ 8x2 – 24xy + 18y2 – 6x + 9y – 5
= 2(2x – 3y)2 – 3(2x – 3y) – 5
= [2(2x – 3y) – 5] [(2x – 3y) + 1]
= (4x – 6y – 5) (2x – 3y + 1) = 0
దత్త రేఖలు 4x – 6y – 5 = 0, 2x – 3y + 1 = 0
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-6}{-3}\) = 2
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\)
∴ దత్త సమీకరణము సమాంతర రేఖలను సూచిస్తుంది.
సమాంతర రేఖల మధ్య దూరము
= \(2 \sqrt{\frac{g^2-a c}{a(a+b)}}\) = \(2 \sqrt{\frac{9+40}{8(8+18)}}\)
= \(\frac{2.7}{2 \sqrt{52}}=\frac{7}{\sqrt{52}}\)

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 19.
ax2 + 2hxy + by2 = 0, ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 అనే రేఖాయుగ్మాలతో ఒక సమచతుర్భుజం ఏర్పడితే (a – b) fg + h(f2 – g2) = 0 అని నిరూపించండి.
సాధన:
OA, OB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
ax2 + 2hxy + by2 = 0
AC, BC ల ఉమ్మడి సమీకరణము
ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0
ఖండన బిందువు C = \(\left(\frac{h f-b g}{a b-h^2}, \frac{g h-a f}{a b-h^2}\right)\)
వికర్ణం సమీకరణము y = \(\frac{g h-a f}{h f-b g}\) . x
y(hf – bg) = x(gh – af)
(gh – af) x – (hf – bg) y = 0
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు 9
A, B లు రెండు రేఖా యుగ్మాల మీది బిందువులు
AB ల ఉమ్మడి సమీకరణము
2gx + 2fy + c = 0
OACB సమచతుర్భుజం
OC, AB లు లంబంగా ఉన్నాయి.
2g(gh – af) – 2f(hf – bg) = 0
hg2 – afg – hf2 + bfg = 0
(a – b) fg + h(f2 – g2) = 0

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు

ప్రశ్న 20.
ax2 + 2hxy + by2 = 0 తో సూచించే సరళరేఖలు ఒక సమాంతర చతుర్భుజ రెండు భుజాలు, ఆ సమాంతర చతుర్భుజం ఒక వికర్ణం సమీకరణం px + qy = 1 అయితే, రెండవ వికర్ణం సమీకరణం y(bp – hq) = x(aq – hp) అని నిరూపించండి.
సాధన:
OACB సమాంతర చతుర్భుజం \(\overleftrightarrow{\mathrm{OA}}, \overleftrightarrow{\mathrm{OB}}\) ల సమీకరణము
H ≡ ax2 + 2hxy + by2 = 0. మిగిలిన రెండు భుజాలు \(\overleftrightarrow{\mathrm{AC}}, \overleftrightarrow{\mathrm{BC}}\) లు వరుసగా \(\overleftrightarrow{\mathrm{OB}}, \overleftrightarrow{\mathrm{OA}}\) కి సమాంతరాలు కనుక
S ≡ ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0.
వికర్ణం \(\overleftrightarrow{A B}\) సమీకరణము.
(18 సమస్య నుండి) 2gx + 2fy + c = 0 దీని సమీకరణము
px + qy = 1 (లేదా) -pcx – qcy + c = 0
c ≠ 0
AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 4 సరళరేఖాయుగ్మాలు 10
∴ 2g = – pc, 2f = – qc ………………. (1)
శీర్షం C నిరూపకాలు = \(\left(\frac{h f-b g}{a b-h^2}, \frac{g h-a f}{a b-h^2}\right)\)
∴ వికర్ణం \(\overleftrightarrow{O C}\) సమీకరణము
(gh – af) x = (hf – bg)y
i.e., c(-ph + aq) x = c(-hq + bp)y (1) వలన
(లేదా) (aq – hp) x = (bp – hq) y (కనుక c ≠ 0)