AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు

Students get through AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Maths 1B Important Questions Chapter 6 దిక్ కొసైన్లు, దిక్ సంఖ్యలు

సాధించిన సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
P(2, 3, –6), Q( -4, 5) లు రెండు బిందువులు, O మూలబిందువైతే \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}, \overrightarrow{\mathrm{QO}}, \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) ల దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
OP = \(\sqrt{4+9+6}\) = 7, QO = \(\sqrt{9+16+25}\)
= 5\(\sqrt{2}\)
OP యొక్క దిక్ కున్లు \(\left(\frac{2}{7}, \frac{3}{7},-\frac{6}{7}\right)\)
PQ = \(\sqrt{\left(2-1)^2+(3+4)^2+(-6-5)^2\right.}\)
= \(\sqrt{1+4+121}\) = \(\sqrt{171}\)
QO యొక్క దికొ సైన్లు \(\left(\frac{0-3}{5 \sqrt{2}}, \frac{0+4}{5 \sqrt{2}}, \frac{0-5}{5 \sqrt{2}}\right)\)
= \(\left(\frac{-3}{5 \sqrt{2}}, \frac{4}{5 \sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
PQ యొక్క దిక్ కొసైన్లు \(\left(\frac{3-2}{\sqrt{171}}, \frac{-4-3}{\sqrt{171}}, \frac{5+6}{\sqrt{171}}\right)\)
= \(\left(\frac{1}{\sqrt{171}}, \frac{-7}{\sqrt{171}}, \frac{11}{\sqrt{171}}\right)\)

ప్రశ్న 2.
నిరూపకాక్షాలతో సమాన కోణాలు చేసే సరళరేఖ దిక్ కొసైన్లు కనుకోండి.
సాధన:
దత్త రేఖ అక్షాలలో α కోణం చేయు రేఖ D.C లు
(cos α, cos α, cos α)
l² + m² + n² = 1 కనుక
cos² α + cos² α + cos² α = 1
3 cos² α = 1 ⇒ cos² α = \(\frac{1}{3}\)
cos α = ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
రేఖ దిక్ కొసైన్లు
\(\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
ఇక్కడ 8 దిశలు 4 రేఖలతో సమానము.

ప్రశ్న 3.
ఒక సరళరేఖ దిక్ కొసైన్లు \(\left(\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}\right)\) అయితే c విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
l² + m² + n² = 1 కనుక
\(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}\) = 1
\(\frac{3}{c^2}\) = 1 ⇒ c² = 3
c = ± \(\sqrt{3}\)

ప్రశ్న 4.
రెండు సరళరేఖల దిక్ కొసైన్లు l + m + n = 0 mn – 2nl – 2lm = 0 సమీకరణాలను తృప్తిపరుస్తాయి. ఆ దిక్ కొసైన్లు ఏవి ? [Mar. ’11]
సాధన:
దత్తాంశం l + m + n = 0 ……………. (1)
mn – 2nl – 2lm = 0 …………….. (2)
(1) నుండి l = -(m + n)
(2) లో ప్రతిక్షేపిస్తే
mn ± 2n (m + n + 2m (m + n) = 0
mn + 2mn + 2n² + 2m² + 2mn = 0
2m² + 5mn + 2n² = 0
(2m + n) (m + 2n) = 0
2m = -n లేదా m = -2n
సందర్భం (i) : 2m₁ = -n₁
(1) నుండి l₁ = -m₁ – n₁
= -m₁ + 2m₁ = m₁
\(\frac{l_1}{1}=\frac{m_1}{1}=\frac{n_1}{-2}\)
మొదటి రేఖ దిక్ సంఖ్యలు 1, 1, -2
ఈ రేఖ దిక్ కొసైన్లు \(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}\)

సందర్భం (ii) : m₂ = -2n₂
(1) నుండి l₂ = -m₂ – n₂ = +2n₂ – n₂ = n₂
\(\frac{l_2}{1}=\frac{m_2}{-2}=\frac{n_2}{1}\)
రెండవ రేఖ దిక్ సంఖ్యలు 1, -2, 1
రెండవ రేఖ దిక్ కొసైన్లు \(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\)

ప్రశ్న 5.
\(\overrightarrow{\mathrm{OX}}, \overrightarrow{\mathrm{OY}}\) లతో ఒక కిరణం \(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\) కోణాలు చేస్తుంది. అది \(\overrightarrow{\mathrm{O Z}}\) తో చేసే కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
l² + m² + n² = 1 కనుక
cos² α + cos² β + cos² γ = 1
cos² \(\frac{\pi}{3}\) + cos² \(\frac{\pi}{3}\) + cos² γ = 1
\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) + cos² γ = 1
cos² γ = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
cos γ = ±\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
γ = cos^-1 (±\(\frac{1}{\sqrt{2}}\))
= \(\frac{\pi}{4}\) లేదా \(\frac{3\pi}{4}\)

ప్రశ్న 6.
(4, -7, 3), (6, –5, 2) లను కలిపే రేఖ దిక్ సంఖ్యలు, దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ దిక్ సంఖ్యలు (6 – 4, -5 + 7, 2 – 3)
= (2, 2, -1)
\(\sqrt{4+4+1}\) = 3 తో భాగించగా
రేఖ దిక్ కొసైన్లు ±\(\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)\)

ప్రశ్న 7.
ఒక సరళరేఖ దిక్ కొసైన్లు (1, -2, 1)కి అనుపాతంలో ఉంటే దాని, దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
రేఖ దిక్ సంఖ్యలు (1, 2, 1)
\(\sqrt{6}\) తో భాగించగా
రేఖ దిక్ కొసైన్లు ± \(\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)\)

ప్రశ్న 8.
P(0, 1, 2), Q (3, 4, 8) బిందువులను కలిపే రేఖ R (-2, \(\frac{3}{2}\) – 3 ), 52, 6, 6 బిందువులను రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
PQ యొక్క దిక్ సంఖ్యలు (3 – 0, 4 – 1, 8 – 2)
= (3, 3, 6)
RS యొక్క దిక్ సంఖ్యలు(\(\frac{5}{2}\) + 2, 6 – \(\frac{3}{2}\), 6 + 3)
= (\(\frac{9}{2}\), \(\frac{9}{2}\), 9)
PQ, RS ల దిక్ సంఖ్యలు అనుపాతంలో ఉన్నాయి.
\(\frac{2}{3}\left(\frac{9}{2}, \frac{9}{2}, 9\right)\) = (3, 3, 6) కనుక
∴ PQ, RS లు సమాంతరము.

ప్రశ్న 9.
A (2, 3, -1), B(3, 5, -3) బిందువులను కలిపే సరళరేఖ C(1, 2, 3), D(3, 5, 7) బిందువులను కలిపే రేఖకు లంబంగా ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
AB యొక్క d.r లు (3 – 2, 5 – 3, -3 + 1)
= (1, 2, -2)
CB యొక్క d.r లు (3 – 1, 5-2, 7-3) = (2, 3, 4)
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 1.2 + 2.3 – 2.4
= 2 + 6 – 8 = 0
∴ AB మరియు CD లు లంబంగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 10.
x ఏ విలువకు A(4,1, 2) B (5, x, 0) బిందువులను కలిపేరేఖకు C(1, 2, 3),D(3, 5, 7) లను కలిపే రేఖ లంబంగా ఉంటుంది ?
సాధన:
AB యొక్క d.r లు (1, x – 1, -2)
CD యొక్క d.r లు (2, 3, 4)
AB, CD లు లంబంగా ఉన్నాయి.
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
1.2 + 3(x – 1) + 4 (2) = 0
2 + 3x – 3 – 8 = 0
3x = 9 ⇒ x = 3

ప్రశ్న 11.
A (1, 2, 3), B (4, 0, 4), C(−2, 4, 2) బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.
సాధన:
\(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క d.r లు 4 – 1, 0 – 2, 4 – 3
3, -2, 1
\(\overline{\mathrm{BC}}\) యొక్క d.r లు -2 – 4, 4 – 0, 2 – 4
i.e., -6, 4, -2
AB, BC లు d.r లు అనుపాతంలో ఉన్నాయి. మరియు B ఉమ్మడి బిందువు. A, B, C లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 12.
A(1, 8, 4), B(0, -11, 4), C(2, -3, 1) La బిందువులు. A నుండి BC కి గీసిన లంబపాదం D. D నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
BC ని D బిందువు m : n నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందనుకుందాం.
D నిరూపకాలు

2m – 2n – 88m – 152n + 9m = 0
-77m – 154n = 0
77m = -154n
m = -2n
D నిరూపకాలు’
\(\left(\frac{-4 n}{-n}, \frac{6 n-11 n}{-n}, \frac{-2 n+4 n}{-n}\right)\)
= (4, 5, −2)

ప్రశ్న 13.
O బిందువు నుంచి \(\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\)రేఖలు వాటి దిక్ కొసైన్లు వరసగా(1, -2, -1); (3, -2, 3)లకు అనుపాతంలో ఉండేటట్లు గీయబడ్డాయి. \(\overleftrightarrow{A O B}\) తలం యొక్క అభిలంబరేఖకు దిక్ కొసైన్లు కనుక్కోండి.
సాధన:
l, m,n, d.c లు
అభిలంబ రేఖ దిక్ సంఖ్యలు AOB తలంలోని రేఖలన్నింటికి
లంబంగా l – 2m – n = 0
3l – 2m + 3n = 0

అభిలంబ రేఖ దిక్ సంఖ్యలు 4, 3, -2
\(\sqrt{16+9+4}\) = \(\sqrt{29}\) తో భాగించగా
అభిలంబరేఖ దిక్ కొసైన్ \(\frac{4}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{-2}{\sqrt{29}}\)

ప్రశ్న 14.
ఒక సమఘనం యొక్క రెండు కర్ణాల మధ్యకోణం కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]

సాధన:
సమఘనం ఒక శీర్షం ‘0’ గా తీసుకోవాలి.
OA, OB, OC లను నిరూపకాక్షాలుగా తీసుకుందాం.
OA = OB = OC = a అనుకుందాం
నాలుగు కర్ణాలు \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}, \overrightarrow{\mathrm{AG}}, \overrightarrow{\mathrm{DE}}\) మరియు \(\overrightarrow{B C}\) సమఘనము శీర్షాల నిరూపకాలు
O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(O, a, 0), C(0, 0, a) F(a, a,a), D(a, a, 0), E(a, 0, a),,G(0, a, a)
OF యొక్క దిక్ సంఖ్యలు (a – 0, a – 0, a – 0) = (a, a, a)
AG యొక్క దిక్ సంఖ్యలు (0 – a, a – 0, a – 0) = (-a, a, a)
OF AG ల మధ్య కోణం θ అనుకుంటే
cos θ = \(\frac{|a(-a)+a \cdot a+a . a|}{\sqrt{a^2+a^2+a^2} \sqrt{a^2+a^2+a^2}}\)
= \(\frac{a^2}{3 a^2}=\frac{1}{3}\) ⇒ θ = Cos^-1 \(\left(\frac{1}{3}\right)\)
ఇదే విధంగా ఏ రెండు కర్ణాల మధ్య కోణాలు cos^-1 \(\left(\frac{1}{3}\right)\) గా కనుక్కోగలము.

ప్రశ్న 15.
దిక్ కొసైన్లు (2, 1, 1) (4, \(\sqrt{3}\) – 1, –\(\sqrt{3}\) – 1) కి అనుపాతంలో ఉండే రేఖలు ఒకదానితో ఒకటి – కోణం చేస్తాయని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు దిక్ కొసైన్లు (2, 1, 1), (4, \(\sqrt{3}\) – 1, –\(\sqrt{3}\) -1)
4² + (\(\sqrt{3}\) – 1)² + (-\(\sqrt{3}\) – 1)²
= 16 + 3 + 1 – 2 \(\sqrt{3}\) + 3 + 1 + 2\(\sqrt{3}\) = 24
cos θ = \(\frac{2.4+1(\sqrt{3}-1)+1(-\sqrt{3}-1)}{\sqrt{4+1+1} \sqrt{24}}\)
= \(\frac{8+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}-1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\) = cos 60°
⇒ θ = \(\frac{\pi}{3}\)