Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 1 బిందుపథం Exercise 1(a) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 1 బిందుపథం Exercise 1(a)
అభ్యాసం – 1(ఎ)
I
ప్రశ్న 1.
బిందువు A (4, – 3) నుంచి దూరం 5 గాగల బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (4, -3) దత్త బిందువు P(x, y) బిందుపథం మీది బిందువు
దత్త నియమము AP = 5
AP2 = 25
(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25
x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 − 25 = 0
P యొక్క బిందుపథ సమీకరణము
x2 + y2 – 8x + 6y = 0
ప్రశ్న 2.
A (-3, 2), B (0, 4) బిందువుల నుంచి సమాన దూరంలో ఉండే బిందు పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (- 3, 2), B (0, 4) లు దత్త బిందువులు
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు
దత్త నియమము PA = PB
PA2 = PB2
(x + 3)2 + (y – 2)2 = (x – 0)2 + (y – 4)2
x2 + 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = x2 + y2 – 8y + 16
6x + 4y = 3 బిందుపథం మీది సమీకరణము.
ప్రశ్న 3.
మూల బిందువు నుంచి P దూరం, A (1, 2) బిందువు నుంచి P దూరానికి రెట్టింపు అయితే బిందువు P పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’12]
సాధన:
O (0, 0), A (1, 2) లు దత్త బిందువులు.
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము OP = 2AP
OP2 = 4 AP2
x2 + y2 = 4 [(x – 1)2 + (y – 2)2]
= 4 (x2 – 2x + 1 + y2 – 4y+ 4)
x2 + y2 = 4x2 + 4y2 – 8x – 16 y + 20
P యొక్క బిందుపథ సమీకరణము
3x2 + 3y2 – 8x – 16y + 20 = 0
ప్రశ్న 4.
నిరూపకాక్షాల నుంచి సమాన దూరంలో ఉండే బిందువు పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x, y) బిందుపథము మీది ఏదేని బిందువు
PM, PN లు P నుండి X, Y – అక్షాల మీదకు గీయబడిన లంబములు.
దత్తాంశం PM = PN ⇒ PM2 = PN2
y2 = x2
P బిందుపథము x2 – y2 = 0
ప్రశ్న 5.
A (2, 0) బిందువుకు Y – అక్షానికి సమాన దూరంలో ఉండే. బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (2, 0) దత్త బిందువు.
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు
Y – అక్షానికి లంబంగా PN ను గీయండి.
దత్త నియమము PA = PN
PA2 = PN2
(x – 2)2 + (y – 0) 2 = x2
x2 − 4x + 4 + y2 = x2
P బిందుపథము y2 – 4x + 4 = 0
ప్రశ్న 6.
మూల బిందువు నుంచి P బిందువు దూరానికి వర్గం, P- బిందువు Y– నిరూపకానికి నాలుగురెట్లుంటే బిందువు P – పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. 05; June 04]
సాధన:
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము OP2 = 4y ⇒ x2 + y2 = 4y
P బిందుపథ సమీకరణము x2 + y2 – 4y = 0.
ప్రశ్న 7.
A = (a, 0), B = (-a, 0), 0 < |a|< |c|. PA2 + PB2 = 2c2 అయ్యేటట్లు బిందువు P పథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P (x, y) బిందుపథము మీది ఏదేని బిందువు.
A = (a, 0)
B = (-a, 0)
దత్త నియమము
PA2 + PB2 = 2c2
(x − a)2 + (y − 0)2 + (x + a)2 + (y − 0)2 = 2c2
x2 – 2ax + a2 + y2 + x2 + 2ax + a2 + y2 = 2c2
2x2 + 2y2 = 2c2 – 2a2
∴ x2 + y2 = c2 – a2 బిందుపథ సమీకరణము.
II.
ప్రశ్న 1.
(2, 3), (−1, 5) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం, P వద్ద లంబకోణం చేస్తే, P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [Mar. ’13; May ’12; Mar. ’05; June ’04]
సాధన:
A(2, 3), B (−1, 5) లు దత్త బిందువులు.
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము ∠APB = 90°
AP2 + PB2 = AB2
(x − 2)2 + (y − 3)2 + (x + 1)2 + (y − 5)2 = (2 + 1)2 + (3 − 5)2
= x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 + x2 + 2x + 1 + y2 – 10y + 25 = 9 + 4
2x2 + 2y2 – 2x – 16y + 26 = 0
P యొక్క బిందుపథం x2 + y2 – x – 8y + 13 = 0
(x, y) ≠ (2, 3) మరియు (x, y) ≠ (-1, 5)
ప్రశ్న 2.
(0, 6), (6, 0) లు కర్ణాగ్రాలుగా గల లంబకోణ త్రిభుజం మూడో శీర్షం బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A(0, 6), B (6, 0) లు కర్ణపు కోణాలు.
P (x, y) మూడవ శీర్షము
∴ దత్త నియమము ∠ APB = 90°
AP2 + PB2 = AB2
(x – 0)2 + (y – 6)2 + (x – 6)2 + (y – 0)2 = (0 – 6)2 + (6 – 0)2
x2 + y2 -12y + 36 + x2 – 12x + 36 + y2 = 36 + 36
2x2 + 2y2 – 12x – 12y = 0
P బిందుపథము x2 + y2 – 6x – 6y = 0
(x, y) ≠ (0, 6) మరియు (x, y) ≠ (6, 0)
ప్రశ్న 3.
(−5, 0), (5, 0) బిందువుల నుంచి దూరాల భేదం 8గా గల బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [May ’11, ’06; Mar. ’04]
సాధన:
A(5, 0), B(-5, 0) లు దత్త బిందువులు.
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము |PA – PB| = 8
PA – PB = 8 …………………… (1)
PA2 – PB2 = [(x – 5)2 + (y – 0)2] – [(x + 5)2 + (y – o)2]
= x2 – 10x + 25+ y2 – x2 – 10x – 25 – y2
= – 20x
(PA + PB) (PA – PB) = – 20x
(PA + PB) 8 = – 20x
PA + PB = –\(\frac{5}{2}\) x ………………. (2)
(1), (2) లను కూడగా
2PA = –\(\frac{5x}{2}\) + 8 = \(\frac{-5x+16}{2}\)
4PA = – 5x + 16
16PA2 = (-5x + 16)2
16 [(x – 5)2 + y2] = (- 5x + 16)2
16 [x2 – 10x + 25+ y2] = [-5x + 16]2
16x2 + 16y2 – 160x + 400 = 25x2 + 256 – 160 x
9x2 – 16y2 = 144
144 తో భాగించగా, P బిందుపథం
\(\frac{9 x^2}{144}\) – \(\frac{16 y^2}{144}\) = 1
కనుక \(\frac{x^2}{16}\) – \(\frac{y^2}{9}\) = 1
ప్రశ్న 4.
A = (4, 0), B = (-4, 0), |PA – PB|= 4x P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [May ’13; May ’07]
సాధన:
A = (4, 0), B = (- 4, 0) లు దత్త బిందువులు.
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము |PA – PB | = 4 ……………… (1)
PA2 – PB2 = [(x – 4)2 + (y – 0)2] – [(x + 4)2 + y2]
= x2 – 8x + 16 + y2 – x2 – 8x – 16 – y2
= – 16x
(PA + PB) (PA – PB) = -16x
(PA + PB) 4 = -16x
PA + PB = – 4x ……………. (2)
(1), (2) లను కూడగా.
2PA = 4 – 4x
PA = 2 – 2x
PA2 = (2 – 2x)2
(x – 4)2 + (y – 0)2 = (2 – 2x)2
x2 – 8x + 16 + y2 = 4 + 4x2 – 8x
3x2 – y2 = 12
12 తో భాగించగా P యొక్క బిందుపథం \(\frac{3 x^2}{12}-\frac{y^2}{12}\) = 12
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}\) = 1
ప్రశ్న 5.
(0, 2), (0, – 2) బిందువుల నుంచి దూరాల మొత్తం 6గా గల బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (0, 2), B (0, 2) లు దత్త బిందువులు.
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు
దత్త నియమము PA + PB = 6 …………….. (1)
PA2 – PB2 = [(x – 0)2+(y – 2)2] – [(x – 0)2 + (y + 2)2]
= x2+ y2 – 4y + 4 – x2 – y2 – 4y – 4 = -8y
(PA + PB) (PA – PB) = – 8y
6 (PA – PB) = – 8y
PA – PB = – \(\frac{8 y}{6}\)
PA – PB = – \(\frac{4 y}{3}\) ………………. (2)
(1), (2) లను కూడగా 2PA = 6 – \(\frac{4 y}{3}\)
PA = 3 – \(\frac{2 y}{3}\)
PA2 = (3 – \(\frac{2 y}{3}\))2
x2 + (y – 2)2 = (3 – \(\frac{2 y}{3}\))2
x2 + y2 – 4y + 4 = 9 + \(\frac{4 y^2}{9}\) – 4y
9x2 + 9y2 + 36 = 81 + 4y2
9x2 + 5y2 = 45
45 తో భాగించగా
P యొక్క బిందుపథము \(\frac{9 x^2}{45}+\frac{5 y^2}{45}\) = 1
\(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}\) = 1
ప్రశ్న 6.
A = (2, 3), B = (2,-3), PA + PB = 8 అయితే P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [A.P Mar. ’15]
సాధన:
A (2, 3), B (2, -3) లు దత్త బిందువులు.
P(x, y) బిందుపథము మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము PA + PB = 8 ……………. (1)
PA2 – PB2 = [(x – 2)2 + (y – 3)2] – [(x – 2)2 + (y + 3)2]
= (x – 2)2 + (y – 3)2 – (x – 2)2 – ( y + 3)2
= (y – 3)2 – (y + 3)2 = – 12y
(PA + PB) (PA – PB) = – 12y
8 (PA – PB) = -12y
PA – PB = \(\frac{-12 y}{8}\)
PA – PB = \(\frac{-3 y}{2}\) ……………… (2)
(1), (2) లను కూడగా
2PA = 8 – \(\frac{3 y}{2}\) = \(\frac{16-3 y}{2}\)
4PA = 16 – 3y
16PA2 = (16 – 3y)2
16 [(x – 2)2 + (y – 3)2] = (16 – 3y)2
16(x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9) = (16 – 3y)2
16x2 + 16y2– 64x – 96y + 208 = 256 + 9y2 – 96y
16x2 + 7y2 – 64x – 48 = 0
P బిందుపథము 16x2 + 7y2 – 64x – 48 = 0
ప్రశ్న 7.
A(5, 3), B (3, −2) లు రెండు స్థిర బిందువులు. త్రిభుజం PAB వైశాల్యం 9గా ఉండేటట్లు P బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. [T.S. Mar. ’15, ’06]
సాధన:
A(5, 3), B(3, -2) లు దత్త బిందువులు.
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము ∆PAB = 9
\(\frac{1}{2}\) |5 (-2 – y) + 3 (y − 3) + x (3 + 2)| = 9
|-10 – 5y + 3y – 9 + 5x| = 18
5x – 2y – 19 = ±18
5x – 2y – 19 = 18 లేదా 5x – 2y – 19 = -18
5x – 2y – 37 = 0 లేదా 5x – 2y – 1 = 0
P యొక్క బిందుపథము (5x – 2y – 37) (5x – 2y – 1) = 0
ప్రశ్న 8.
A(1, 1), B (−2, 3) బిందువులతో 2 వైశాల్యం గా గల త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచే బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A (1, 1), B(-2, 3) లు దత్త బిందువులు
P(x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
దత్త నియమము ∆PAB = 2
\(\frac{1}{2}\) |1 (3) 2 (y – 1) + x (1 – 3)| = 2
|13 – y – 2y + 2 – 2x| = 4
-2x – 3y + 5 = ±4
-2x – 3y + 5 = 45 లేదా – 2x – 3y + 5 = -4
2x + 3y-10 లేదా 2x + 3y – 9 = 0
P బిందుపథము (2x + 3y – 1) (2x + 3y – 9) = 0
ప్రశ్న 9.
(2, 3), (2, – 3) బిందువుల నుంచి P దూరం 2:3 నిష్పత్తిలో ఉంటే, బిందుపథ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు
A = (2, 3), B = (2, – 3) లు దత్త బిందువులు.
దత్త నియమము
PA : PB = 2:3
⇒ 3PA = 2PB
⇒ 9PA2 = 4PB2
⇒ 9 [(x – 2)2 + (y – 3)2] = 4 [(x – 2)2 + (y + 3)2]
⇒ 9[x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9] = 4 [x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9]
∴ 5x2 + 5y2 – 20 x – 78 y + 65 = 0 బిందుపథ సమీకరణము.
ప్రశ్న 10.
A (1, 2), B (2, -3), C (-2, 3) లు మూడు బిందువులు. PA2 + PB2 = 2PC2 అయ్యేటట్లు P చరిస్తుంది. P బిందుపథ సమీకరణం 7x + 7y + 4 = 0 అని చూపండి. [May ’07]
సాధన:
P (x, y) బిందుపథం మీది ఏదేని బిందువు.
A = (1, 2), B(2, -3), C=(-2, 3) లు దత్త బిందువులు
దత్త నియమము
PA2 + PB2 = 2 PC2
⇒ (x – 1)2 + (y – 2)2 + (x – 2)2 + (y + 3)2 = 2 [(x + 2)2 + (y – 3)2].
⇒ 2x2 + 2y2 – 6x + 2y + 18 = 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 26
⇒ 14x – 14y + 8 = 0
∴ 7x – 7y + 4 = 0 బిందుపథ సమీకరణం.