# AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Ex 9(b)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(b) will help students to clear their doubts quickly.

## AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 9 అవకలనం Exercise 9(b)

అభ్యాసం 9 (బి)

I.

ప్రశ్న 1.
కింది ప్రమేయాల అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) cotn x
సాధన:
f(x) = cotn x, $$\frac{d y}{d x}$$ = n. cotn-1x.$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$(cot x)
= n. cotn -1 x (- cosec2 x)
= – n. cotn -1x. cosec2 x

ii) cosec4 x
$$\frac{d y}{d x}$$ = 4. cosec3 x. $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$ (cosec x)
= 4. cosec3 x (- cosec x. cot x)
= -4. cosec4 x. cot x

iii) tan (ex)
సాధన:
f(x) = tan (ex)
$$\frac{d y}{d x}$$ = sec2 (ex). (ex)1 = ex. sec2 (ex)

iv) $$\frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x}$$
సాధన:

v)
sinmx. cosnx
సాధన:
f(x) = sinmx. cosnx
$$\frac{d y}{d x}$$ = (sinmx). $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$(cosnx)$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$(sinmx)
= sinmxn cosn – 1x(-sin x) + cosnx. m sinm – 1x. cos x
= m. cosn + 1x. sinm – 1x – n. sinm + 1 x. cosn – 1x.

vi) sin mx. cos nx
సాధన:
f(x) = sin mx. cos nx
$$\frac{d y}{d x}$$ = sin mx $$\frac{d}{d x}$$(cos nx) + (cos nx)$$\frac{d}{d x}$$(sin mx)
= sin mx (-n sin nx) + cos nx (m cos mx)
= m. cos mx. cos nx – n. sin mx. sin nx

vii) x tan-1 x
సాధన:
f(x) = x tan-1x$$\frac{d y}{d x}$$
= x.$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$ (tan-1x) + (tan-1 x)$$\frac{d}{d x}(x)$$
= $$\frac{x}{1+x^2}$$ + tan-1x

viii) sin-1 (cos x)
సాధన:
f(x) = sin-1(cos x) = sin-1$$\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right]$$ = $$\frac{\pi}{2}$$ – x
$$\frac{d y}{d x}$$ = 0 – 1 = -1

ix) log (tan 5x)
సాధన:
f(x) = log (tan 5x)

x) sinh-1$$\left(\frac{3 x}{4}\right)$$
సాధన:
f(x) = sinh-1$$\left(\frac{3 x}{4}\right)$$

xi) tan-1 (log x)
సాధన:
f(x) = tan-1(log x)
$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$$ = $$\frac{1}{1+(\log x)^2}$$.$$\frac{d}{d x}(\log x)$$
= $$\frac{1}{x\left(1+(\log x)^2\right)}$$

xii) log $$\left(\frac{x^2+x+2}{x^2-x+2}\right)$$ (May ’06)
సాధన:

xiii) log (sin-1(ex))
సాధన:
f(x) = log(sin-1(ex))

xiv) (sin x)2(sin-1x)2
సాధన:
f(x) = (sin x)2(sin-1x)2

xv) $$\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}$$
సాధన:

xvi) $$\frac{x\left(1+x^2\right)}{\sqrt{1-x^2}}$$
సాధన:

xvii) $$e^{\sin ^{-1} x}$$
సాధన:

xviii) cos (log x + ex)
సాధన:
f(x) = cos (log x + ex)
$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$$ = – sin (log x + ex) $$\frac{d}{d x}$$(log x + ex)
= – sin (log x + ex)($$\frac{1}{x}$$ + ex)

xix) $$\frac{\sin (x+a)}{\cos x}$$
సాధన:

xx) cot-1 (cosec 3x)
సాధన:
f(x) = cot-1 (cosec 3x)

ప్రశ్న 2.
x దృష్ట్యా క్రింది వాటి అవకలజాలను కనుక్కోండి.

i) x = sinh2 y
సాధన:
f(x) = x = sinh2 y
$$\frac{d x}{d y}$$ = 2 sinh y . cosh y

ii) x = tanh2/sup> y
సాధన:
f(x) = tanh2/sup> y. $$\frac{d x}{d y}$$ = 2 tanh y. sech2 y

iii) x = esinh y
సాధన:
$$\frac{d x}{d y}$$ = esinh y$$\frac{d}{d x}(\sinh y)$$
= esinh y. cosh y
= x . cosh y
$$\frac{d y}{d x}$$ = $$\frac{1}{\left(\frac{d x}{d y}\right)}$$ = $$\frac{1}{x \cdot \cosh y}$$

iv) x = tan (e-y)
సాధన:

v) x = log (1 + sin2 y)
సాధన:

vi) x = log (1 + $$\sqrt{\mathbf{y}}$$)
సాధన:
1 + $$\sqrt{\mathbf{y}}$$ = ex
$$\sqrt{\mathbf{y}}$$ = ex – 1
y = (ex – 1)2
$$\frac{d y}{d x}$$ = 2(ex – 1). ex = 2$$\sqrt{y}$$. ex
= 2$$\sqrt{y}$$ ($$\sqrt{y}$$ + 1)
= 2(y + $$\sqrt{y}$$)

II. కింది ప్రమేయాల అవకాలను కనుక్కోండి

i) y = cos (log (cot x))
సాధన:
y = cos (log (cot x))

ii) sinh-1 $$\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$$
సాధన:
y = sinh-1$$\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$$
సందర్బ౦: 1. x < -1

సందర్బ౦: 2. x > -1

iii) log (cot(1 – x2))
సాధన:
y = log (cot(1 – x2))

iv) sin (cos (x2))
సాధన:
y = sin (cos (x2))
$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$$ = cos (cos (x2)). $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$$ (cos (x2))
= cos (cos (x2)) (-sin (x2)). $$\frac{d}{d x}$$(x2)
= -2x. sin (x2). cos (cos (x2))

v) sin (tan-1 (ex))
సాధన:
y = sin (tan-1 (ex)
$$\frac{d y}{d x}$$ = cos (tan-1(ex)). $$\frac{d}{d x}$$(tan-1(ex))
= cos(tan-1(ex)) . $$\left[\frac{1}{1+\left(e^x\right)^2}\right]$$(ex)
= $$\frac{e^x}{1+e^{2 x}}$$. cos(tan-1(ex))

vi) $$\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}$$
సాధన:

vii) tan-1$$\left[\tanh \left[\frac{x}{2}\right]\right]$$
సాధన:
y = tan-1 $$\left[\tanh \left[\frac{x}{2}\right]\right]$$

viii)
sin x. (Tan-1 x)2
సాధన:
y = sin x. (Tan-1 x)2

III. కింది ప్రమేయాల అవకలజాలను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 1.
sin-1 $$\left(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{a} \sin x}{\mathbf{a}+\mathbf{b} \sin x}\right)$$ (a > 0, b > 0)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
cos-1$$\left(\frac{b+a \cos x}{a+b \cos x}\right)$$ (a > 0, b > 0)
సాధన:

ప్రశ్న 3.
Tan-1 $$\left[\frac{\cos x}{1+\cos x}\right]$$
సాధన: