AP Inter 2nd Year Maths 2A Formulas Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు Formulas

→ యాదృచ్ఛిక చలరాశి : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం శాంపిల్ ఆవరణం S అనుకుందాం. ఏదైనా ప్రమేయం X : S → R ను యాదృచ్ఛిక చలరాశి అంటాం.

→ సంభావ్యతా విభాజన ప్రమేయం : X ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి అప్పుడు F : R → R ప్రతి X ∈ Rకు F(x) = P(X ≤ x) తో నిర్వచితమైన ప్రమేయాన్ని X కు సంభావ్యతా విభాజన ప్రమేయం అంటాం.

→ X : S → R ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి. X వ్యాప్తి పరిమితం లేదా అపరిమిత గణ్యసమితి అయితే X ను విచ్ఛిన్న చలరాశి అని, అట్లా కాకపోతే అవిచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి అని అంటాం.

→ X : S → R ఒక విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి. దాని వ్యాప్తి = {X1, X2, ….} అయిన \(\sum_{r=1}^n P\left(X_r\right)\) = 1, P(Xr) ≥ 0.

→ X ఒక విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి. దాని వ్యాప్తి {X1, X2, ……} అనుకుందాం. ప్రతి n కు P(X = xn) తెలిసి, Σxn P(X = xn) అనే మొత్తం పరిమితమైతే, ఆ మొత్తాన్ని X కు మధ్యమం (లేదా సగటు) అంటాం. దీన్ని µ తో సూచిస్తాం. (i.e.,) µ = Σxn P(X = xn)
Σ(xn – µ)2 P(X = xn) అనేది ఒక పరిమిత సంఖ్య అయితే ఆ మొత్తాన్ని X కు విస్తృతి అంటాం.

→ X విస్తృతిని σ2 తో సూచిస్తే, σ ను X కు క్రమ విచలనం అంటారు.
∴ μ = Σxn P(X = xn); σ2 = Σ(xn – μ)2 P(X = xn) = \(\Sigma x_n^2 P\left(X=x_n\right)\) – μ2

AP Inter 2nd Year Maths 2A Formulas Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు

→ ద్విపద విభాజనం: n ఒక ధన పూర్ణాంకం. p వాస్తవ సంఖ్య మరియు 0 ≤ p ≤ 1. యాదృచ్ఛిక చలరాశి వ్యాప్తి {0, 1, 2, 3, …. n}. X ద్విపద చలరాశి లేదా ద్విపద విభాజనాన్ని పాటిస్తూ, n, p లు పరామితులుగా గల్గి వుంటే, P(X = r) = nCr . pr qn-r; r = 0, 1, 2, ….. n మరియు q = 1 – p అవుతుంది.

→ ద్విపద విభాజనాన్ని X ~ B(n, p) గా లేదా P(X = r) = nCr pr qn-r . pr, r = 0, 1, 2, 3, …. n లేదా (q + p)nతో సూచిస్తాం.

→ ద్విపద విభాజనం యొక్క మధ్యమం = np. ద్విపద విభాజనం యొక్క విస్తృతి = npq, క్రమవిచలనం = \(\sqrt{n p q}\).

→ పాయిజాన్ విభాజనం : λ > 0 ఒక స్థిరరాశి. యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క వ్యాప్తి {0, 1, 2, ….}
P(X = k) = \(\frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda}\), (k = 0, 1, 2, …….) అనుకుంటే, λ పరామితిగా, X పాయిజాన్ విభాజనాన్ని అనుసరిస్తుందని అంటాం. X ను పాయిజాన్ యాదృచ్ఛిక చలరాశి అంటాం. పాయిజాన్ విభాజనానికి మధ్యమము = λ, విస్తృతి = λ, క్రమ విచలనం = √λ

→ ఈ క్రింది షరతులకు లోబడి పాయిజాన్ విభాజనాన్ని, ద్విపద విభాజనపు సమతాస్థితి (limiting case) గా ఉజ్జాయింపు చేయవచ్చు.

  • యత్నాల సంఖ్య n అనిశ్చితమైనంత పెద్దది, అంటే n → ∞
  • ప్రతి యత్నంలో గెలుపు సంభావ్యత (స్థిరం) అతిస్వల్పం, అంటే p → 0