Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 10 యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు to solve questions creatively.
AP Intermediate 2nd Year Maths 2A యాదృచ్ఛిక చలరాశలు, సంభావ్యత విభాజనాలు Formulas
→ యాదృచ్ఛిక చలరాశి : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం శాంపిల్ ఆవరణం S అనుకుందాం. ఏదైనా ప్రమేయం X : S → R ను యాదృచ్ఛిక చలరాశి అంటాం.
→ సంభావ్యతా విభాజన ప్రమేయం : X ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి అప్పుడు F : R → R ప్రతి X ∈ Rకు F(x) = P(X ≤ x) తో నిర్వచితమైన ప్రమేయాన్ని X కు సంభావ్యతా విభాజన ప్రమేయం అంటాం.
→ X : S → R ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి. X వ్యాప్తి పరిమితం లేదా అపరిమిత గణ్యసమితి అయితే X ను విచ్ఛిన్న చలరాశి అని, అట్లా కాకపోతే అవిచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి అని అంటాం.
→ X : S → R ఒక విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి. దాని వ్యాప్తి = {X1, X2, ….} అయిన \(\sum_{r=1}^n P\left(X_r\right)\) = 1, P(Xr) ≥ 0.
→ X ఒక విచ్ఛిన్న యాదృచ్ఛిక చలరాశి. దాని వ్యాప్తి {X1, X2, ……} అనుకుందాం. ప్రతి n కు P(X = xn) తెలిసి, Σxn P(X = xn) అనే మొత్తం పరిమితమైతే, ఆ మొత్తాన్ని X కు మధ్యమం (లేదా సగటు) అంటాం. దీన్ని µ తో సూచిస్తాం. (i.e.,) µ = Σxn P(X = xn)
Σ(xn – µ)2 P(X = xn) అనేది ఒక పరిమిత సంఖ్య అయితే ఆ మొత్తాన్ని X కు విస్తృతి అంటాం.
→ X విస్తృతిని σ2 తో సూచిస్తే, σ ను X కు క్రమ విచలనం అంటారు.
∴ μ = Σxn P(X = xn); σ2 = Σ(xn – μ)2 P(X = xn) = \(\Sigma x_n^2 P\left(X=x_n\right)\) – μ2
→ ద్విపద విభాజనం: n ఒక ధన పూర్ణాంకం. p వాస్తవ సంఖ్య మరియు 0 ≤ p ≤ 1. యాదృచ్ఛిక చలరాశి వ్యాప్తి {0, 1, 2, 3, …. n}. X ద్విపద చలరాశి లేదా ద్విపద విభాజనాన్ని పాటిస్తూ, n, p లు పరామితులుగా గల్గి వుంటే, P(X = r) = nCr . pr qn-r; r = 0, 1, 2, ….. n మరియు q = 1 – p అవుతుంది.
→ ద్విపద విభాజనాన్ని X ~ B(n, p) గా లేదా P(X = r) = nCr pr qn-r . pr, r = 0, 1, 2, 3, …. n లేదా (q + p)nతో సూచిస్తాం.
→ ద్విపద విభాజనం యొక్క మధ్యమం = np. ద్విపద విభాజనం యొక్క విస్తృతి = npq, క్రమవిచలనం = \(\sqrt{n p q}\).
→ పాయిజాన్ విభాజనం : λ > 0 ఒక స్థిరరాశి. యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క వ్యాప్తి {0, 1, 2, ….}
P(X = k) = \(\frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda}\), (k = 0, 1, 2, …….) అనుకుంటే, λ పరామితిగా, X పాయిజాన్ విభాజనాన్ని అనుసరిస్తుందని అంటాం. X ను పాయిజాన్ యాదృచ్ఛిక చలరాశి అంటాం. పాయిజాన్ విభాజనానికి మధ్యమము = λ, విస్తృతి = λ, క్రమ విచలనం = √λ
→ ఈ క్రింది షరతులకు లోబడి పాయిజాన్ విభాజనాన్ని, ద్విపద విభాజనపు సమతాస్థితి (limiting case) గా ఉజ్జాయింపు చేయవచ్చు.
- యత్నాల సంఖ్య n అనిశ్చితమైనంత పెద్దది, అంటే n → ∞
- ప్రతి యత్నంలో గెలుపు సంభావ్యత (స్థిరం) అతిస్వల్పం, అంటే p → 0