Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 9 సంభావ్యత to solve questions creatively.
AP Intermediate 2nd Year Maths 2A సంభావ్యత Formulas
→ యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం : ఒక ప్రయోగంలో ఏ ఫలితం వస్తుందో ముందే చెప్పలేనిదై, ఆ ప్రయోగ ఫలితాల జాబితా ముందే తెలిసి ఉండి, ఒకే విధమైన పరిస్థితుల్లో ఆ ప్రయోగాన్ని ఎన్నిసార్లైనా చేయడానికి వీలుంటే ఆ ప్రయోగాన్ని యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం అంటాం.
→ లఘుఘటన, ఘటన ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఫలితాన్ని లఘుఘటన అంటాం. కొన్ని లఘు ఘటనల సమూహాన్ని ఘటన అంటాం.
→ పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనల్లో ఏదైనా ఒక ఘటన సంభవించడం, మిగతా ఘటనల సంభవాన్ని నిరోధించేటట్టుంటే, అటువంటి ఘటనలను పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు అంటారు.
→ సమ సంభవ ఘటనలు: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనల్లో ఏ ఘటన అయినా మిగతా ఘటనల కంటే ఎక్కువగా సంభవిస్తుందనడానికి కారణమేమి లేకపోతే, అటువంటి ఘటనలను సమసంభవ ఘటనలు అంటారు.
→ పూర్ణ ఘటనలు : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనల్లో ఆ ప్రయోగం ఫలితం వాటిలో ఒక్కదానికైనా చెందేటట్లుంటే, అటువంటి ఘటనలను పూర్ణ ఘటనలు అంటాం.
→ సంభావ్యత సాంప్రదాయిక (లేదా గణితాత్మక) నిర్వచనం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో n పూర్ణ, పరస్పర వివర్జిత, సమసంభవ ఘటనలుండి వాటిలో ఏదైనా ఘటన E జరగడానికి m అనుకూల ఫలితాలుంటే, ఆ ఘటన సంభావ్యతను P(E) తో సూచిస్తూ, P(E) = \(\frac{m}{n}\) గా నిర్వచిస్తాం. 0 ≤ P(E) ≤ 1
→ శాంపిల్ ఆవరణ : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగపు ఫలితాన్ని లఘుఘటన అంటాం. ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఫలితాలన్నింటితో కూడిన సమితిని ఆ యాదృచ్ఛిక ప్రయోగానికి సంబంధించి శాంపిల్ ఆవరణ అంటాం. దీనిని S తో సూచిస్తాం. S లోని మూలకాలను శాంపిల్ బిందువులు అంటాం. S లో ప్రతిమూలకం, యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క ఒక ఫలితం S. ఒక ఉపసమితిని ఘటన అంటాం. అంటే, ఒక లఘుఘటనల సమితినే ఘటన అంటాం.
→ S శాంపిల్ ఆవరణ E ⊂ S.E లో ఒకే ఒక మూలకం ఉంటే E ని లఘుఘటన అంటాం. ఒక ప్రయోగ ఫలితం ఘటన E సంభవించింది లేదా జరిగింది అంటాం. అలాకాకపోతే ఘటన E సంభవించలేదు అంటాం.
→ Φ, S లు S కి ఉపసమితులు. వాటిని వరసగా అసంభవ ఘటన, నిశ్చిత ఘటన అంటాం.
→ ఘటన E కి పూరక ఘటనను EC తో సూచిస్తాం. EC = S – E శాంపిల్ ఆవరణ S కు E1, E2 లు రెండు ఘటనలు. అంటే E1 ⊆ S, E2 ⊆ S మరియు E1 ∩ E2 = Φ అయితే E1, E2 లను పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు అంటాం.
→ ఘటనలు E1, E2, ……., En లు i ≠ j లకు 1 ≤ i, j ≤ n లకు Ei ∩ Ej = Φ అయ్యేటట్లుంటే, వాటిని పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు అంటాం.
→ ఘటనలు E1, E2, …… Ek లు E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ Ek = S అయితే వాటిని పూర్ణ ఘటనలు అంటాం. శాంపిల్ ఆవరణ S లో E1, E2లు రెండు ఘటనలు పూరక ఘటనలైన E1 ∪ E2 = S, E1 ∩ E2 = Φ.
→ ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంకి శాంపిల్ ఆవరణ S. ఈ ప్రయోగపు అన్ని ఘటనల సమితి P(S) తో సూచిస్తాం. ఇచ్చట P(S), Sకు ఘాత సమితి.
→ సంభావ్యతా స్వీకృత నిర్వచనం: ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగపు శాంపిల్ ఆవరణ S. ప్రమేయం P : P(S) → R
→ క్రింది స్వీకృతాలను ధ్రువపరిస్తే Pని సంభావ్యతా ప్రమేయం అంటాం.
- P(E) ≥ 0 ∀ E ∈ P(S) (ధన స్వీకృతం)
- P(S) = 1 (పూరణ స్వీకృతం)
- E1, E2 ∈ P(S), E1 ∩ E2 = Φ అయితే P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) (సమ్మేళును స్వీకృతం)
- ప్రతి E ∈ P(S) కు P(E) ను ఘటన E సంభావ్యత అంటాం.
→ శాంపిల్ ఆవరణ Sలో E ఒక ఘటన అయితే 0 ≤ P(E) ≤ 1. శాంపిల్ ఆవరణ Sలో E ఒక ఘటన అయితే
- P(E) : P(\(\bar{S}\)) ను E కు అనుకూలత అని
- P(E) : P(E) ను E కు ప్రతికూలత అంటాం.
→ సంభావ్యతపై సంకలన సిద్ధాంతం: ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E1, E2 లు రెండు ఘటనలైతే P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)
→ శాంపిల్ ఆవరణ Sకు E1, E2 లు రెండు ఘటనలు.
P(E2 – E1) = P(E2) – P(E1 ∩ E2) మరియు P(E1 – E2) = P(E1) – P(E1 ∩ E2)
→ E1, E2, E3 లు శాంపిల్ ఆవరణ Sలో మూడు ఘటనలు అయిన P(E1 ∪ E2 ∪ E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) – P(E1 ∩ E2) – P(E2 ∩ E3) – P(E3 ∩ E1) + P(E1 ∩ E2 ∩ E3)
→ ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగపు ఘటనలు A, Bలు అనుకుందాం. అప్పుడు “A జరిగిన తరువాత B జరగడం” అనే ఘటనను నియత ఘటన అంటాం. దీనిని \(\frac{B}{A}\) తో సూచిస్తాం. ఇట్లే \(\frac{A}{B}\) అనే ఘటన “B జరిగిన తరువాత A జరగడం” అనే ఘటనను సూచిస్తుంది.
→ నియత సంభావ్యత : ఘటన A జరిగిందని ఇస్తే, ఘటన B జరిగే సంభావ్యతను P(B/A) తో సూచిస్తాం. P(B/A) ని నియత సంఖ్య అంటాం.
దీనిని P(B/A) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\), P(A) > 0 గా నిర్వచిస్తాం. ఇట్లే P(A/B) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(B)}\), P(B) > 0.
సూచన : P(A/B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(B)}\); P(B/A) = \(\frac{n(B \cap A)}{n(A)}\)
→ నియత సంభావ్యతకు గణన సిద్ధాంతం ఒక శాంపిల్ ఆవరణం S లోని ఘటనలు A, Bలు ; P(A) > 0, P(B) > 0, అయితే P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B).
→ స్వతంత్ర ఘటనలు : రెండు ఘటనలు A, Bలు P(A ∩ B) = P(A) . P(B) అయితే వాటిని స్వతంత్ర ఘటనలు అంటాం. అలాకాకపోతే A, B లను అస్వతంత్ర ఘటనలు అంటాం.
→ బేయీ సిద్ధాంతం: ఒక ప్రయోగంలో E1, E2, ……., En లు పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణ ఘటనలవుతూ, P(Ei) > 0, i = 1, 2, …. n అయినప్పుడు k = 1, 2, 3, ….. n లకు
\(P\left(\frac{E_k}{A}\right)=\frac{P\left(E_k\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_k}\right)}{\sum_{i=1}^n P\left(E_i\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_i}\right)}\)