AP Inter 2nd Year Maths 2A Formulas Chapter 4 సమీకరణ వాదం

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 4 సమీకరణ వాదం to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A సమీకరణ వాదం Formulas

→ n రుణేతర పూర్ణసంఖ్య; a₀, a₁, a₂, ……, a_n లు వాస్తవ లేదా సంకీర్ణ సంఖ్యలు, a_n ≠ 0 అయితే, అప్పుడు f(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + a₂ x^n-2 + ….. + a_n సమాసాన్ని x లో nవ తరగతి బహుపది అంటాం.

→ f(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + a₂ x^n-2 + ….. + a_n = 0 సమీకరణాన్ని nవ తరగతి బీజీయ సమీకరణం లేదా బహుపది సమీకరణం అంటాం. ఇచ్చట a₀ ≠ 0

→ f(α) = 0 అయితే, సంకీర్ణ సంఖ్య α ను బహుపది f(x) = 0 సమీకరణానికి మూలం అని అంటాం.

→ f(α) = 0 అయిన f(x) సమాసానికి (x – α) ఒక కారణాంకం అవుతుంది.

→ సమీకరణ మూలాలు, గుణకాల మధ్య సంబంధం:
(i) x³ + p₁x² + p₂x + p₃ = 0 సమీకరణ మూలాలు α₁, α₂, α₃, అయితే, అప్పుడు

• s₁ = α₁ + α₂ + α₃ = -p₁
• s₂ = α₁α₂ + α₂α₃ + α₃α₁ = p₂
• s₃ = α₁α₂α₃ = -p₃

(ii) x⁴ + p₁x³ + p₂x² + p₃x + p₄ = 0 సమీకరణ మూలాలు α₁, α₂, α₃, α₄ అయిన, అప్పుడు

• s₁ = α₁ + α₂ + α₃ + α₄ = -p₁
• s₂ = α₁α₂ + α₂α₃ + α₃α₄ + α₁α₃ + α₁α₄ + α₂α₄ = p₂
• s₃ = α₁α₂α₃ + α₂α₃α₄ + α₃α₄α₁ + α₁α₂α₄ = -p₃
• s₄ = α₁α₂α₃α₄ = p₄

→ ఒక ఘన సమీకరణ మూలాలు

• అంకశ్రేఢిలో ఉంటే వాటిని a – d, a, a + d గా తీసుకొంటాం.
• గుణశ్రేఢిలో ఉంటే \(\frac{a}{r}\), a, ar గా తీసుకుంటాం.
• హరాత్మక శ్రేఢిలో ఉంటే వాటిని \(\frac{1}{a-d}, \frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}\) గా తీసుకొంటాం.

→ ఒక ద్వివర్గ సమీకరణ మూలాలు

• అంకశ్రేఢిలో ఉంటే వాటిని a – 3d, a – d, a + d, a + 3d గా తీసుకొంటాం.
• గుణశ్రేఢిలో ఉంటే వాటిని \(\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}\), ar, ar³ గా తీసుకొంటాం.
• హరాత్మక శ్రేఢిలో ఉంటే వాటిని \(\frac{1}{a-3 d}, \frac{1}{a-d}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+3 d}\) గా తీసుకొంటాం.

→ వాస్తవ సంఖ్యలు గుణకాలుగా గల బహుపదీయ సమీకరణానికి సంకీర్ణ మూలాలు సంయుగ్మంగా ఉంటాయి.

→ అకరణీయ సంఖ్యలు గుణకాలుగా గల బహుపదీయ సమీకరణానికి కరణీయ మూలాలు సంయుగ్మాలు.
ఉదా: 2 + √3 ఒక మూలమైతే, 2 – √3 కూడా మూలం అవుతుంది.

→ α₁, α₂, ….., α_n లు f(x) = 0 కు మూలాలైన,

• -α₁, -α₂, ……, -α_n లు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణం f(-x) = 0 అవుతుంది.
• kα₁, kα₂, ….. kα_n లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(\(\frac{x}{k}\)) = 0, (k ≠ 0)
• \(\frac{1}{\alpha_1}, \frac{1}{\alpha_2}, \ldots \frac{1}{\alpha_n}\) లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(\(\frac{1}{x}\)) = 0
• α₁ + h, α₂ + h, ……., α_n + h లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(x – h) = 0
• α₁ – h, α₂ – h, ……, α_n – h లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(x + h) = 0
• \(\alpha_1^2, \alpha_2^2, \ldots \alpha_n^2\) లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(√x) = 0

→ f(x) = p₀ xⁿ + p₁ x^n-1 + p₂ x^n-2 + …… + p_n = 0 సమీకరణంలో రెండవ పదం తొలగింపు చేయటానికి f(x) = 0 ను f(x + h) = 0 గా రూపాంతరం చెందించాలి. ఇచ్చట h = \(\frac{-p_1}{\text { (n) } p_0}\) అవుతుంది.

→ f(x) = 0 బహుపది సమీకరణంలో x బదులు \(\frac{1}{x}\) ప్రతిక్షేపించినా, ఆ సమీకరణంలో మార్పు లేనట్లయితే f(x) = 0 ను వ్యుత్కృమ సమీకరణం (Reciprocal equation) అంటారు.

→ f(x) = 0 వ్యుత్కృమ సమీకరణంలోని గుణకాలన్నీ p_i = p_n-i (i = 0, 1, 2, …., n) పాటిస్తే మొదటి కోవకు (Class one) చెందిన వ్యుత్త మ సమీకరణమనీ; p_i = -p_n-i; పాటిస్తే రెండో కోవకు (Class two) చెందిన వృత్తమ సమీకరణమనీ అంటాం.

→ మొదటి కోవకు చెందిన బేసి వ్యుత్ప్రమ సమీకరణానికి -1 ఒక మూలం అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో రెండో కోవకు చెందిన వ్యుతమ సమీకరణానికి 1 మూలం అవుతుంది.

→ రెండో కోవకు చెందిన సరిపరిమాణ వ్యుతమ సమీకరణానికి 1, -1 లు మూలాలు అవుతాయి.

→ f(x) = 0 సమీకరణం n వ తరగతికి చెందినదై, దానిలో ‘r’ వ పదాన్ని తొలగించటానికి దానిని f(x + h) = 0 కు రూపాంతరం చెందించిన, (h స్థిరాంకం) f^(n-r+1) (h) = 0 కావలయును (i.e.,.) f(x) యొక్క (n – r + 1) వ అవకలనం x = h వద్ద సున్నా కావలయును.

→ f(x) = 0 మూలాన్ని కనుక్కోవటానికి f(x) = 0 ని తృప్తిపరిచే x విలువను కనుక్కోవాలి. కొన్ని సందర్భాలలో పరిశీలన ద్వారా ఈ పని చేయవచ్చు. ఈ పద్ధతిని యత్న-దోష పద్ధతి అంటాం.