Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 3 వర్గసమాసాలు to solve questions creatively.
AP Intermediate 2nd Year Maths 2A వర్గసమాసాలు Formulas
→ a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు లేదా సంకీర్ణ సంఖ్యలు అయి, a ≠ 0 అయినపుడు ax2 + bx + c రూపంలోని బహుపదిని, చలరాశి x లో వర్గ సమాసం అంటాం.
ఉదా: 4x2 – 2x + 3
→ aα2 + bα + c = 0 అయితే, సంకీర్ణ సంఖ్య ‘α’ ను ax2 + bx + c వర్గ సమాసానికి సున్న అంటాం.
→ a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు లేదా సంకీర్ణ సంఖ్యలు అయి, a ≠ 0 అయినపుడు ax2 + bx + c = 0 రూపంలో ఉన్న సమీకరణాన్ని చలరాశి x లో వర్గ సమీకరణం అంటాం. a, b, c లను ఈ సమీకరణ గుణకాలు అంటాం.
ఉదా: 2x2 – 5x + 6 = 0
→ aα2 + bα + c = 0 అయితే, సంకీర్ణ సంఖ్య α ను ax2 + bx + c = 0 సమీకరణానికి మూలం అనిగానీ, సాధన అనిగానీ అంటాం.
→ ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
→ α, β లు ax2 + bx + c = 0 లు వర్గ సమీకరణ మూలాలు అయితే α + β = \(\frac{-b}{a}\); αβ = \(\frac{c}{a}\)
→ α, β లు మూలాలు గల వర్గ సమీకరణం x2 – (α + β)x + αβ = 0
→ వర్గ సమీకరణం మూలాల స్వభావం: ∆ = b2 – 4ac ని వర్గ సమాసం ax2 + bx + c, వర్గ సమీకరణం ax2 + bx + c = 0 ల “విచక్షణి” అంటాం.
→ α, β లు వర్గ సమీకరణం ax2 + bx + c = 0 కి మూలాలు అనుకోండి.
సందర్భం 1: a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే అప్పుడు
- ∆ = 0 ⇔ α = β = \(\frac{-b}{2 a}\) (ax2 + bx + c = 0) కు ద్విరుక్త మూలం
- ∆ > 0 ⇔ α, β లు విభిన్న వాస్తవ సంఖ్యలు.
- ∆ < 0 ⇔ α, β లు వాస్తవేతర పరస్పర సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.
సందర్భం 2: a, b, c లు అకరణీయ సంఖ్యలు అయితే అప్పుడు
- ∆ = 0 ⇔ α, β లు సరిసమానమైన అకరణీయ సంఖ్యలు (= \(\frac{-b}{2 a}\), ద్విరుక్త మూలం).
- ∆ > 0 శూన్యేతర అకరణీయ సంఖ్య యొక్క వర్గం ⇔ α, β లు అకరణీయ సంఖ్యలు.
- ∆ ధనాత్మకం, కానీ అకరణీయ సంఖ్య యొక్క వర్గం కాదు ⇔ α, β లు సంయుగ్మ కరణులు.
- ∆ < 0 ⇔ α, β లు వాస్తవేతర పరస్పర సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్యలు.
→ \(a_1 x^2+b_1 x+c_1=0, a_2 x^2+b_2 x+c_2=0\) వర్గ సమీకరణాల మూలాలు, ఏకీభవించడానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
→ \(a_1 x^2+b_1 x+c_1=0, a_2 x^2+b_2 x+c_2=0\) వర్గ సమీకరణాలకు ఉమ్మడి మూలం ఉండటానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం (c1a2 – c2a1)2 = (a1b2 – a2b1) (b1c2 – b2c1) మరియు ఉమ్మడి మూలం = \(\frac{c_1 a_2-c_2 a_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\)
→ f(x) = ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణంకు మూలాలు α, β లు అనుకుందాం.
- c ≠ 0 అయితే, అప్పుడు αβ ≠ 0, \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\) లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(\(\frac{1}{x}\)) = 0;
- α + k, β + k లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(x – k) = 0.
- α – k, β – k లు మూలాలుగా గల సమీకరణం f(x + k) = 0.
- -α, -β లు మూలాలు గల సమీకరణం f(-x) = 0.
- kα, kβ లు మూలాలు గల సమీకరణం f(\(\frac{x}{k}\)) = 0
→ a, b, c ∈ R, a ≠ 0 అనుకొందాం. అప్పుడు R లోని అన్ని x లకు ax2 + bx + c = 0, ‘a’ లకు ఒకే గుర్తు ఉంటేనే ax2 + bx + c = 0 మూలాలు వాస్తవేతర సంకీర్ణ సంఖ్యలవుతాయి.
→ α, β లు ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలై, α < β అయితే, అప్పుడు
- α < x < β అయినప్పుడు, ax2 + bx + c, ‘a’ లకు వ్యతిరేక గుర్తులు ఉంటాయి.
- x < α లేదా x > β అయినప్పుడు, ax2 + bx + c, ‘a’ లకు ఒకే గుర్తులు ఉంటాయి.
→ a < 0 అయితే, ax2 + bx + c వర్గ సమాసానికి, x = \(\frac{-b}{2a}\) వద్ద పరమ గరిష్ఠ విలువ ఉంటుంది.
గరిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
→ a > 0 అయితే, ax2 + bx + c వర్గ సమాసానికి x = \(\frac{-b}{2a}\) వద్ద పరమ కనిష్ఠ విలువ ఉంటుంది.
కనిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)