AP Inter 2nd Year Maths 2A Formulas Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

Use these Inter 2nd Year Maths 2A Formulas PDF Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం to solve questions creatively.

AP Intermediate 2nd Year Maths 2A ద్విపద సిద్ధాంతం Formulas

→ n ఒక ధన పూర్ణాంకం, x, a లు వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే
(x + a)ⁿ = ⁿC₀ . xⁿ . a⁰ + ⁿC₁ . x^n-1 . a¹ + ⁿC₂ . x^n-2 . aⁿ + …… + ⁿC_r . x^n-r a^r +……. + ⁿC_n . x⁰ . aⁿ = \(\sum_{r=0}^n{ }^n C_r \cdot x^{n-r} \cdot a^r\)

→ (x + a)ⁿ విస్తరణలో (n + 1) పదాలున్నాయి.

→ (x + a)ⁿ విస్తరణలోని rవ పదాన్ని T_r తో సూచిస్తే T_r = ⁿC_(r-1) x^n-r+1 a^r-1, 1 ≤ r ≤ n+1

→ (x + a)ⁿ విస్తరణలో (r + 1)వ పదాన్ని ‘సాధారణ పదం’ (General Term) అంటాం.
i.e., T_r+1 = ⁿC_r . x^n-r. a^r ; r = 0, 1, 2, ….., n.

→ (a + b + c)ⁿ విస్తరణలో పదాల సంఖ్య = \(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

→ n సరిసంఖ్య (ధన పూర్ణాంకం) అయితే (x + a)ⁿ విస్తరణలో మధ్య పదం = \(T_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\)

→ n బేసిసంఖ్య (ధన పూర్ణాంకం) అయితే (x + a)ⁿ విస్తరణలో రెండు మధ్య పదాలుంటాయి. అవి \(T_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}\), \(T_{\left(\frac{n+3}{2}\right)}\)

→ \(\frac{(n+1)|x|}{|x|+1}\) = p, ధన పూర్ణాంకమైన, (1 + x)ⁿ విస్తరణలో pవ, (p + 1)వ పదాలు సంఖ్యాత్మకంగా గరిష్ఠ పదాలు అవుతాయి. మరియు |T_p| = |T_p+1|

→ \(\frac{(n+1)|x|}{|x|+1}\) = p + F; p ధన పూర్ణాంకం, 0 < F < 1 అయిన (1 + x)ⁿ విస్తరణలో (p + 1)వ పదం సంఖ్యాత్మకంగా గరిష్ఠ పదం అవుతుంది.

→ C₀, C₁, C₂, …….., C_n లు ద్విపద గుణకాలు అంటాం. ఇచ్చట C_r = ⁿC_r, r = 0, 1, 2, ….. n

C₀ + C₁ + C₂ + …… + C_n = \(\sum_{r=0}^n c_r\) = 2ⁿ
C₀ – C₁ + C₂ – C₃ + ……. (-1)ⁿ C_n = 0
C₀ + C₂ + C₄ + …… = C₁ + C₃ + C₅ + …….. = 2^n-1
\(\sum_{r=0}^n r \cdot{ }^n C_r\) = n . 2^n-1
\(\sum_{r=2}^n(r)(r-1) \cdot{ }^n C_r\) = (n) (n – 1) . 2^n-2
\(\sum_{r=1}^n r^2 \cdot{ }^n C_r\) = (n) (n + 1) . 2^n-2
a . C₀ + (a + d) . C₁ + (a + 2d) . C₂ + ……. + (a + nd) . C_n = (2a + nd) 2^n-1
C₀C_r + C₁C_r+1 + C₂C_r+2 + C_n-rC_n = ⁽²ⁿ⁾C_(n-r) = ⁽²ⁿ⁾C_(n+r) = \(\frac{(2 n) !}{(n+r) !(n-r) !}\)

→ f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ….. + a_nxⁿ అయిన

గుణకాల మొత్తం = f(1)
x యొక్క సరి ఘాతాల గుణకాల మొత్తం = \(\frac{f(1)+f(-1)}{2}\)
x యొక్క బేసి ఘాతాల గుణకాల మొత్తం = \(\frac{f(1)-f(-1)}{2}\)

→ m అకరణీయ సంఖ్య, x ఒక వాస్తవ సంఖ్య, |x| < 1 అయితే
(1 + x)^m = \(1+\frac{m}{1} x+\frac{(m)(m-1)}{1.2} x^2+\frac{(m)(m-1) \ldots .(m-r+1)}{1.2 .3 \ldots . .(r)} \cdot x^r+\ldots \ldots\)
= \(1+\sum_{r=1}^{\infty} \frac{(m n)(m-1) \ldots .(m-r+1)}{1.2 \cdot 3 \ldots . . r^{\prime}} x^r\)

→ (1 – x)^-n = \(1+n x+\frac{(n)(n+1)}{1.2} x^2+\ldots+\frac{(n)(n+1) \ldots(n+r-1)}{1: 2.3 \ldots \ldots(r)} x^r+\ldots\)

→ |x| < 1, p, q ∈ N అయిన
\((1-x)^{-p / q}=1+\frac{p}{1}\left(\frac{x}{q}\right)+\frac{(p)(p+q)}{1.2}\left(\frac{x}{q}\right)^2+\ldots .+\frac{(p)(p+q) \ldots .[p+(r-1) q]}{1.2 .3 \ldots . . r}\left(\frac{x}{q}\right)^r+\ldots .\)

→ \((1+x)^{-p / q}=1-p\left(\frac{x}{q}\right)+\frac{(p)(p+q)}{1.2}\left(\frac{x}{q}\right)^2+\ldots \ldots\) \(+(-1)^r \frac{(p)(p+q) \ldots(p+(\overline{r-1}) q)}{1.2 \cdot 3.4 \ldots .(r)} \cdot\left(\frac{x}{q}\right)^r+\ldots .\)

→ \((1+x)^{p / q}=1+\frac{p}{1 !}\left(\frac{x}{q}\right)+\frac{(p)(p-q)}{1.2}\left(\frac{x}{q}\right)^2+\ldots\) \(+\frac{(p)(p-q)(p-2 q) \ldots \ldots(p-(\overline{r-1}) q)}{r !}\left(\frac{x}{q}\right)^r+\ldots .\)

→ \((1-x)^{p / q}\) లో Tr+1 = \((-1)^r \frac{(p)(p-q)(p-2 q) \ldots \ldots(p-(\overline{r-p}) q)}{r !}\left(\frac{x}{q}\right)^r\)

→ n ధన పూర్ణాంకం, x ఒక వాస్తవ సంఖ్య ; |x| < 1 అయితే

(1 + x)^-n = \(1-\frac{n}{1 !} x+\frac{(n)(n+1)}{2 !} x^2+\ldots . .+\ldots .+(-1)^r \frac{(n)(n+1) \ldots .(n+r-1)}{r !} x^r\) \(+\ldots \infty=\sum_{r=0}^{\infty}(-1)^{r(n+r-1)} C_r \cdot x^r\)
(1 – x)^-n = \(1+\frac{n}{1 !} x+\frac{(n)(n+1)}{2 !} x^2+\ldots .+\ldots .+\frac{(n)(n+1)(n+2) \ldots \ldots(n+r-1)}{r !} x^r\) \(+\ldots \infty=\sum_{r=0}^{\infty}{ }^{(n+r-1)} C_r \cdot x^r\)

→ x², ఆపై x ఘాతాలు ఉపేక్షించేంతగా, |x| చిన్నదయితే (1 + x)ⁿ = 1 + nx

→ x³, ఆపై x ఘాతాలు ఉపేక్షించేంతగా, |x| చిన్నదయితే, (1 + x)ⁿ = 1 + nx + \(\frac{(n)(n-1)}{1.2} x^2\)

→ x⁴, ఆపై x ఘాతాలు ఉపేక్షించేంతగా, |x| చిన్నదయితే, (1 + x)ⁿ = 1 + nx + \(\frac{(n)(n-1)}{2 !} x^2+\frac{(n)(n-1)(n-2)}{3 !} x^3\)