AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 1.
(2 a+3b)⁶ మొక్క విస్తరణను (వాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
(3 x-4 y)⁷ విస్తరణలో 5వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
(2 a+5 b)⁸ విస్తరణలో చివరి నుంచి 4వ పదం కనుక్హోండ.
సాధన:
దత్త విస్తరణలో 9 పదాలుంటాయి. కనుక చివరినుంచి 4వ పదం మొదటినుంచి లెక్కిస్తే 6వ పదం అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
క్రింది విస్తరణలో మధ్యపదం కనుక్రోండి.
(i) (3 a-5 b)⁶ (ii) (2 x+3 y)⁷
సాధన:
(i) ఇక్కడ n = 6 (సరిసంఖ్య)

(ii) ఇక్కడ n = 7 (బేసిసంఖ్య)

ప్రశ్న 5.
n ఒక ధన హూ్్ణాంకం అయితే
(i) C₀ + C₁ + C₂ +………………… + C_n = 2ⁿ

(ii) n సరిపూర్ణాంకం అయితే
(a) C₀ + C₂ + C₄ +………………… + C_n = 2^n-1
b) n బేసి హూర్ణాంకం అయితే C₀ + C₂ + C₄ +………………… + C_n-1 = 2^n-1

(iii)
(a) n సరిహ్ణాంకం అయితే C₁ + C₃ + C₅ +………………… + C_n-1 = 2^n-1
(b) n బేసి పూర్ణాంకం అయితే C₁ + C₃ + C₅ +………………… + C_n = 2^n-1
సాధన:

ప్రశ్న 6.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే C₀ + 3.C₃ + 5.C₂ +………………… +(2n +1) . C_n = (2n + 2) = 2^n-1 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
x= \(\frac{2}{3}\) అయినప్పుడు (1 – 5x)¹² విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గిష్ఠపదం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ n=12 మరియు X=-5x

ప్రశ్న 8.
\(x=\frac{3}{4}, y=\frac{2}{7}\), n=17 అయనప్పు (3 x-5 y)ⁿ విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్రపదం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం\(x=\frac{3}{4}, y=\frac{2}{7}\) మరియు n=17

ప్రశ్న 9.
కింది పదాల విస్తరణలో గరిష్య ద్విపద గుణకం (గుణకాలు) కనుక్కోండి.
(i) (1+x)¹⁹
(ii) (1+x)²⁴
సాధన:
(i) n=19 బేసి పూర్ణాంకం కనుక గరిష్ట గుణకాలు

(ii) n=24 సరి పూర్ణాంకం కనుక (1+x)²⁴ లో గరిష్ఠ ద్విపద గుణకం
\(={ }^n C_{\left(\frac{n}{2}\right)} \text { (i.e.) }{ }^{24} C_{12}\)

ప్రశ్న 10.
(1+x)²² విస్తరణలో గరిష్ఠ ద్విపద గుణకం ²²C_r అయితే ¹³C_r విలువ కనుక్కోండి
సాధన:
n = 22 సరీసంఖ్య. కనుక ఒకే గరిష్ఠ గుణకం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 11.
\(\left(\frac{4}{x^3}+\frac{x^2}{2}\right)^{14}\) విస్తరణలో 7వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
\(\left(x^{-2 / 3}-\frac{3}{x^2}\right)^8\) విస్తరణలో చివరి నుండి 3వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
\(\left(2 x^2-\frac{1}{x}\right)^{20}\) విస్తరణలో x⁹, x¹⁰ ల గుణకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
\(\left(\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{2 x^{-2}}\right)^{10}\) విస్తరణలో x పై ఆధారపడని పదం (స్థిర పదం) కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\left(a x^2+\frac{1}{b x}\right)^{11}\) విస్తరణలో x¹⁰ గుణకం \(\left(a x-\frac{1}{b x^2}\right)^{11}\) విస్తరణలో x^-10 గుణకం సమానమైతే; a, b ల మధ్య సంబంధం కనుక్కోండి. (ఇక్కడ a, b లు వాస్తవ సంఖ్యలు)
సాధన:

ప్రశ్న 16.
\(\left(x^2-\frac{1}{2 x}\right)^{20}\) విస్తరణలో T_k మధ్యపదం అయితే  T_k+3
సాధన:

ప్రశ్న 17.
(1+x)¹⁸ విస్తరణలో (2 r+4),(r-2) పదాల గుణకాలు సమానం అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
‘n’ ధన హార్ణాంకం అయితే 2. C₀ + 7.C₁ + 12.C₂ +………………… +(5n +2) C_n = (5n + 4) = 2^n-1 అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
(i) \(C_0+3 \cdot c_1+3^2 \cdot C_2+\ldots \ldots+3^n \cdot C_n=4^n\)
(ii) \(\frac{C_1}{C_0}+2 \cdot \frac{C_2}{C_1}+3 \cdot \frac{C_3}{C_2}+\ldots . .+n \cdot \frac{C_n}{C_{n-1}}=\frac{n(n+1)}{2}\) అని నిరాపించండి.
సాధన:


ప్రశ్న 20.
n = 0,1,2,3, …………………… 0

సాధన:

ప్రశ్న 21.
3.C₀ + 7.C²₁ + 11.C²₂ +………………… + (4n +2) C²_n = (2n + 3) = ²ⁿC_n ఆనిచూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
i) x= \(\frac{11}{8}\) యయనపుడ (2+3x)¹⁰ విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్ఠ పదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ii) x=8, y=3 అయినపుడు (3 x-4 y)¹⁴ విస్తరణలో సంఖ్యా పరంగా గరిష్డ పదాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
n ఒక ధన హార్ణాంకం అయితే 6²ⁿ-35 n-1 ను 1225 నిశ్ళేషంగా భాగిస్తుందని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
n ఒక ధన హూర్ణాంకం అయితే \((7+4 \sqrt{3})^n\) సంఖ్యకు హార్ణాంక భాగం, భిన్న భాగాలు వరుసగా I, F అయితే
(i) I ఒక బేసి హార్ణాంకం
(ii) (I+F) (1 – F) = 1 అని చూపండ
సాధన:

ప్రశ్న 25.
(3+2 x+x²)⁶ విస్తరణలో x⁶ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 26.
n ధన పూర్ణాంకం అయిన \(C_0+\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{3}+\ldots \ldots +\frac{C_n}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 27.
n ఒక ధన హార్ణాంకం మరియు x ఏదేని శూన్యేతర వాస్తవ సంఖ్య అయిన,\(c_0+c_1 \frac{x}{2}+c_2 \cdot \frac{x^2}{3}+ C_3 \cdot \frac{x^3}{4}+\ldots . .+C_n \cdot \frac{x^n}{n+1}=\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 28.

సాధన:

ప్రశ్న 29.
క్రింది పదాలకు ద్విపద విస్తరణలు వ్యవస్థితం చేసే x ల సమితి E కనుక్కోండి.
(i) (3-4 x)^(3/4)
(ii) (2+5 x)^-1/2
(iii) (7-4 x)^-5
(iv) (4+9 x)^(-2/3)
(v) (a+b x)^r
సాధన:

ప్రశ్న 30.
క్రింద సూచించిన పదాలను కనుక్కోండి.
(i) \(\left(2+\frac{x}{3}\right)^{-5}\) విస్తరణలో 9వ పడం
(ii) \(\left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\) విస్తరణలో 10వ పడం
(iii) \(\left(1-\frac{5 x}{2}\right)^{-3 / 5}\) విస్తరణలో 8వ పడం
(iv) \(\left(3+\frac{2 x}{3}\right)^{3 / 2}\) విస్తరణలో 6వ పడం

(i) \(\left(2+\frac{x}{3}\right)^{-5}\) విస్తరణలో 9వ పడం
సాధన:

(ii) \(\left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\) విస్తరణలో 10వ పడం
సాధన:

(iii) \(\left(1-\frac{5 x}{2}\right)^{-3 / 5}\) విస్తరణలో 8వ పడం
సాధన:

(iv) \(\left(3+\frac{2 x}{3}\right)^{3 / 2}\) విస్తరణలో 6వ పడం
సాధన:

ప్రశ్న 31.
క్రింది విస్తరణలో మొదటి పదాలు వ్రాయండి.
(i) \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-5}\)
(ii) (3 + 4x)^-2/3
(iii) (4 –  5x)^-1/2

(i) \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-5}\)
సాధన:

(ii) (3 + 4x)^-2/3

సాధన:

(iii) (4 –  5x)^-1/2

సాధన:

ప్రశ్న 32.
క్రింది ద్విపద విస్తరణలో సాధారణ పదం కనుక్కోండి.
(i) \(\left(3+\frac{x}{2}\right)^{-2 / 3}\)
(ii) \(\left(2+\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\)
(iii) (1 – 4x)^-3
(iv) ( 2- 3x)^-2/3

(i) \(\left(3+\frac{x}{2}\right)^{-2 / 3}\)
సాధన:

(ii) \(\left(2+\frac{3 x}{4}\right)^{4 / 5}\)
సాధన:

(iii) (1 – 4x)^-3
సాధన:

(iv) ( 2- 3x)^-2/3
సాధన:

ప్రశ్న 33.
\(\frac{1+3 x}{(1-4 x)^4}\) విస్తరణలో x¹² గుణకం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 34.
(1 – 3x)^-2/5 విస్తరణలో x⁶ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 35.
క్రింది ఆనంతశేణ మొత్తం కనుక్కోండి.
\(1+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2.5}{3.6}\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{2.5 .8}{3.6 .9}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\ldots \ldots \infty\)
సాధన:

ప్రశ్న 36.
క్రింది ఆనంతశేణ మొత్తం కనుక్కోండి.
\(\frac{3.5}{5.10}+\frac{3.5 .7}{5.10 .15}+\frac{3.5 .7 .9}{5.10 .15 .20}+\ldots \ldots \infty\)
సాధన:

ప్రశ్న 37.
\(x=\frac{1}{5}+\frac{1.3}{5 \cdot 10}+\frac{1 \cdot 3.5}{5 \cdot 10.15}+\ldots \ldots \infty\) అయితే  3x² + 6x విలువ కనుక్కోండి
సాధన:

ప్రశ్న 38.
(i) \(\frac{1}{\sqrt[3]{999}}\)
(ii) (627)^1/4 మొక్క ఉజ్ణాయింప విలువలా దశాంశాలకు సవరించి కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 39.
x³ ఆపై  x ఘాతాలను ఉపేక్షించేంతగా |x| స్వల్పమైతే \(\frac{(4-7 x)^{1 / 2}}{(3+5 x)^3}\) ఉజ్ణాయింపు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 40.
\(\sqrt[6]{63}\) మొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను దశాంశాలకు సవరించి కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 41.
x³ ఆపై  x ఘాతాలను ఉపేక్షించేంతగా |x| స్వల్పమైతే \(\frac{\left(1+\frac{3 x}{2}\right)^{-4}(8+9 x)^{1 / 3}}{(1+2 x)^2}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 42.
x⁴ ఆపై  x ఘాతాలను వదిలివేసేంతగా |x| చిన్నదయితే \(\sqrt[4]{x^2+81}-\sqrt[4]{x^2+16}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 43.
x, y లు ధన వాస్తవ సంఖ్యలు. yతో పోలిస్తే విలావ చాలా చిన్నదయతే, \(\left(\frac{y}{y+x}\right)^{3 / 4}-\left(\frac{y}{y+x}\right)^{4 / 5}\) ఉజ్జాయింపు విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 44.
\(5 \sqrt{5} \text { ను } \frac{4}{5}\) యొక్క ఆరోహణ ఘాతాలలో విస్తరించి ప్రాయండి.
సాధన: