AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 9 సంభావ్యత

Students get through AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 9 సంభావ్యత which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Important Questions Chapter 9 సంభావ్యత

ప్రశ్న 1
రెండు పాచికలను ఒకే తడవ దార్లంచినప్ణుడు ఆ పాచికల ముఖాలపై ఒకే సంఖ్ల రావడానికి గల సంఖావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు పాచికల ముఖాలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటనను ‘E’ అనుకొందాం.
‘E’ జరగడానికి దోహదం చేసే సందర్భాల సంఖ్య = 6 శాంపిల్ ఆవరణంలోని మొత్తం లఘు ఘటనల సంఖ్య

ప్రశ్న 2.
1 నుంచి 20 వరకు గల 20 సంఖ్లల నుంచి ఒక సంఖ్యను ఎన్నుకొన్నాం. ఆ సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
శాంపుల్ ఆవరణ S లో 20 మూలకాలున్నాయి. ఎన్నుకన్న సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే ఘటన E అనుకోండి. అప్పుడు

ప్రశ్న 3.
ఒక సంచిలో 4 ఎర్రని, 5 నల్లని, 6 నీలం రంగును కలిగిన ఐంతులున్నాయి. యాదృచ్చింగా ఏకకాలంలో ఎన్నుకొన్న రెండు బంతులలో ఒకట ఎర్రది అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు బంతులను ఒకసారి తీసినపుడు ఒకటి నల్ల బంతి, ఒకటి ఎర్రబంతి వచ్చే ఫుటన ‘E’ మరియు ‘S’ అనేది శాంపుల్ ఆవరణం. నంచిలోని వెుత్తం బంతుల నంఖ్ = 4+5+6 = 15

ప్రశ్న 4.
పది పాచికలను ఒకే తడవ దొర్లించినప్పుడు అందుల ఏ పాచికా 1 చూపకపోవడానికి గల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఏ పాచిక 1 చూపని ఘటనను A అనుకొందాం.

ప్రశ్న 5.
{1,2,3, ………… 100} నుంచి ఒక సంఖ్య x ను యాదృచ్ఛికంగా తీయడంజరిగింది. \(\left(x+\frac{100}{x}\right)\)> 29 అయ్యే సంఖావ్యత ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 100.
{1,2,3, ………….. 100} లో నుంచి ఎన్నుకొన్న సంఖ్య x
అనేది \({x}+\frac{100}{\mathrm{x}}\) > 29 ని ధ్రువపరిచే ఘటనను A అనుకొందాం.
అప్పుడు x+ \(\frac{100}{\mathrm{x}}\) >29
⇔ x² -29 x+100 > 0
⇔ (x-4)(x-25) > 0
⇔ x < 4 లేదా x > 25
⇔ x ∈ {1,2,3,26,27, ………………….. 100} = A (అనుకొందాం)
∴ A అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య 78
∴ కావలసిన సంభావ్యత = P(A) = \(\frac{78}{100}\) = 0.78

ప్రశ్న 6.
ఒక చదరంగం బల్లపై రెండు చతురస్రాలను యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొన్నారు. వాటికి ఉమ్మడి భుం ఉండటానికి గల సంభావ్యత \(\frac{1}{18}\) అని చూపండి.
సాధన:
మొదటి చతురస్సాన్ని 64 విధాలుగా, రెండోదాన్ని 63 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
కాబట్టి రెండు చతురస్సాలను ఎన్నుకొనే విధాలు 64× 63
ఈ చతురస్రాలు ఒక ఉమ్మడి భుజాన్ని కలిగిఉండే ఘటన E అనుకొందాం.
ఇప్పుడు E అనుకూల ఫలితాల సంఖ్యను కనుక్కొందాం. మొదటగా ఎగ్నుకొన్న చతురస్రం మూలనున్న నాలుగు చతురస్సాల్లో ఒకటి అయితే రెండో చతురస్సాన్ని (ఉమ్మడి భుజం ఉండేటట్లు) రెండు రకాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
మొదటిగా ఎన్నుకొన్న చతురస్సం చదరంగం ఐల్ల భుజం వెంబడి గల (మూలల వద్ద ఉన్నవాటిని మినహాయిస్తే) 24 చదరాల్లో ఒకటి అయితే, రెండో చతురప్రాన్ని 3 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
మొదటిగా ఎన్నుక్న్న చతురక్సం మిగిలిన 36 చతురస్సాల్లో ఒకటి అయితే రెండోదాన్ని 4 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
కాబట్టి అనుకూల ఫలితాల సంఖ్
(4 × 2)+(24 × 3)+(36 × 4)=224
∴ కావలసిన సంభావ్యత = \(\frac{224}{64 \times 63}=\frac{1}{18}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక నిష్బాక్షక నాణేన్ని 200 సార్లు ఎగరవేశారు. జేసి సంఖ్యలో (అన్నిసార్ల) ణొమ్మహడే సంఖావ్యత కనుక్కోండి.
సాధన:
మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 2²⁰⁰
బేసి సంఖ్యలో దొమ్మపడే ఘటనను E అనుకొందాం.
E కి అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య

ప్రశ్న 8.
యాదృచ్ఛికంగా ఒక గుండ్రని ణల్ల చుట్టా కూర్చన్న 20 మంది వ్యక్తలలో A, Bలు ఉన్నారు. A, Bల మధ్య ఎవరైనా ఆరుగురు వ్యక్తులండే సంఖావ్యత కనుక్రోండి.
సాధన:
గుండ్రటి బల్లచుట్టూ ఏ ఆసనం పైనెనా ‘A’ కూర్చోవచ్చు. అప్పుడు Bకి అందుబాటులో ఉన్న ఆసనాల సంఖ్ 19. కాని A, Bల మధ్య ఆరుగురు వ్యక్తులు ఉండాలంటే Bకి గల అవకాశాలు రెండే.
∴ కావలసిన సంభావ్యత \(\frac{2}{19}\).

ప్రశ్న 9.
30 వరస హార్ణాంకాల నుంచి రెండింటిని యాదృచ్కంగా ఎన్నకకొన్నారు. వాటి మొత్తం జేసససంఖ్య అజ్యే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
30 సంఖ్యల నుంచి 2 సంఖ్యలను ఎన్నుకొనే విధాలు ³⁰C₂. ఈ 30 సంఖ్లల్లో 15 సంఖ్యలు జేసి కాగా 15 సంఖ్యలు సరి సంఖ్యలు. ఎన్నుకొన్న రెండు సంఖ్యల మొత్తం బేసిసంఖ్య కావాలంటే అందులో ఒకటి సరిసంఖ్య మరాకటి దేసిపంఖ్య కావాలి. కాబట్టి అనుకూల ఫలిజాల సంఖ్య = ¹⁵C₁ x ¹⁵C₁
∴ కావలసిన సంభావ్యత

ప్రశ్న 10.
పుట్టిన పిల్లలు 1,00,000 మందిలో 20 సంవత్సరాల వయస్సు వచ్చే వరకు జీవించేవారి సంఖ్య 77,181. ఇప్పుడు పుట్టిన ఐిడ్డ 20 సంవత్సరాల వరకు జీవించగల సంఖావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ m=77,181
n=1,00,000
కావలసిన సంభావ్యత = \(\frac{m}{n} = \frac{77,181}{1,00,000}\)
= 0.77181

ప్రశ్న 11.
సంఖావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతం.
సాధన:
ప్రవచనం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂ ఏవైనా రెండు ఘటనలు, P సంభావ్యతా ప్రమేయం అయితే

ప్రశ్న 12.
రెండు పాణికలతో మొత్తం స్కోరు 7 దొర్లించే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చిన (పయోగం శాంపిల్ ఆవరణం
S={(1,1),(1,2), ……………… (1,6),
(2,1),(2,2), …………….. ,(2,6),
..
..
..
..
(6,1,(6,2), …………….. ,(6,6)}
ఏదైనా ఒక మూలకంలోని మొదటి నిరూపకం మొదటి పాచికపై స్కోరును, రెండో నిరూపకం రెండో పాచికపై స్కరును సూచిస్తాయి. Sలో మొత్తం 36 మూలకాలున్నాయి. S లోని మూలకాలన్నీ సమసంభవాలు.
మొత్తం స్కోరు 7 పొందే ఘటనను E అనుకోండి. అప్పుడు
E={(1,6),(2,5),(3,400),(4,3),(5,2), (6,1)}, E లో మొత్తం 6 మూలకాలున్నాయి.
∴ P(E) = \(\frac{6}{36}\) = \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 13.
మాడు నాణేలను ఎగరవేసినప్పండు రెండు ణొరుసులు, ఒక జొమ్ము పొందే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
మూడు నాణేలను ఎగరవేసే ప్రయోగం శాంపిల్ ఆవరణం S = {H H H, H H T, H T H, H T T, T H H, T H T, T T H,TT T}
n(S)=, 8
రెండు బొరుసులు, ఒక దొమ్మ పడే ఘటనను E అనుకోండి.
అప్పుడు E = {H TT, T H T, TT H}
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
∴ P(E) \(\frac{3}{8}\)

ప్రశ్న 14.
200 పేజీలు గల ఒక పుస్తకంలో నుంచి ఒక పేజీని యాదృచ్చికంగా తెరిచారు. పేజీ సంఖ్య సంపూర్ద వర్గమయ్యే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
పై సమస్యలోని ప్రయోగపు శాంపిల్ ఆవరణం
S = {1,2,3, ………………… , n(S) = 200
తెరిచిన పేజీపై సంఖ్య సంపూర్ణ వర్గమయ్యే ఘటన E అనుకోండి. అప్పుడు
E = {1,4,9, ………………….. 196}, n(E)=14
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{14}{200}=\frac{7}{100}=0.07\)

ప్రశ్న 15.
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసు గాని, ఇన్పేటి గాని అహ్యే సంఖావ్యత ఎంత? గమనిక : పేక ముక్కల కట్ట అంటే 52 కార్కులు ఉన్న పేక ముక్కల కట్ట అని అర్థం. అందులో 26 ఎర్రనివి, 26 నల్లనివి. ఈ 52 కార్డును నాలుగు సెట్లుగా విభజిస్తూ వీటిని ఆఠీను, కళావరు, డైమండ్, స్పేడ్ (ఇస్పేటు) అనే పేర్లతో పిలుస్తారు. ప్రతి సెట్లోనూ 13 కార్డులుంటాయి. అవి A, 2,3,4,5,6,7,8,9,10, K, Q, J
( A= ఆసు, K= రాజు, Q= రాణి, J = జాకీ)
సాధన:
తీసిన ముక్క ఇస్పేటు అయ్యే ఘటన E₁, ఆసు అయ్యే ఘటన E₂ అనుకోండి. E₁, E₂ లు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు కావని గమనించండి. P(E₁ ∪ E₂) ని కనుక్కోవాలి.

ప్రశ్న 16.
A, B లు రెండు ఘటనలైతే
(i) P(A∩B^c)=P(A) – P(A∩B),
(ii) A, B లలో ఒక్కటి మాత్రమే జరిగే సంభావ్యత P(A)+P(B) – 2P(A∩B) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
A, B ఫటనలల P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B) = 0.3 అయ్యేటట్లు ఉన్నాయనుకోండ.
i) A జరగకపోవడానికి
ii) A కానీ, B కానీ (A, B లు రెండూ) జరగకపోవడానికి సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) A జరగకపోమే ఘటన A^c; A కానీ, B కానీ జరగకపోయే ఘటన P(A∪B)^c , అని మనకు తెలుసు.
∴ P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – 0.5 = 0.5

ii) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
కాబట్టి P(A∪B) = 0.5 + 0.4 – 0.3
= 0.6
∴ P[(A∪B)^c ] = 1 P(A∪B)
= 1 – 0.6 = 0.4

ప్రశ్న 18.
A, B, C లు మాడు ఘటనలైతే, P(A∪B∪C) P(A) + P(B) + P(C)  – P(A∩B) – P(B∩C) – p(C∩A) + P(A∩B∩C) అని చూపండి.
సాధన:
B∪C = D అని వ్రాస్తే P(A∪B∪C) = P(A∪D)
P(A∪D) = P(A) + P(D) – P(A∩D)

ప్రశ్న 19.
సంభావ్యతకం గుణాన సిద్ధాంతం.
సాధన:
ప్రవచనం : P(A)>0, P(B) > 0 తో A, B లు ఒక యాద్చిక (పయోగపు ఘటనలు అయితే,
P(A∩B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B)
ఉపపత్తి : యాద్యచ్చక (పయోగంతో సాహచర్యమైన శాంపల్ ఆవరణాన్ని S అనుకొందాం.
P(A) > 0, P(B) > 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లు S లో ఘటనలు. అప్పుడు షరతు సంభావ్యత నిర్వచనం నుంచి,
\(P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
∴ P(B∩A) = P(A).P(B|A)
P(B) > 0 కాబట్టి పై సమీకరణంలో A, B లను తారుమారు (వినియమం) చేస్తాం.
P(A∩B)=P(B∩A)=P(B).P(A|B)

ప్రశ్న 20.
ఒక పాచిక ఆ యుగ్మాన్ని దార్లించారు. పాచికలపై సంఖ్యల మొత్తం 6 అయినప్పుడు వాటిలో ఏదో ఒకట 2ను చూపే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
రెండు పాచికలను దొర్లంచినప్పుడు, ఏదైనా ఒక పాచికపై 2 వచ్చే ఘటన ‘A’, పాచికలపై సంఖ్యల మొత్తం 6 అయ్యే ఘటన ‘B’ అనుకొందాం.
A = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}
n(A) = 11
P(A) = \(\frac{11}{36}\)
B = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2)(5,1)}
n(B)=5
P(B)= \(\frac{5}{36}\)
A∩B = {(2,4),(4,2)}

ప్రశ్న 21.
ఒక పెట్టెలో 4 పనిచేయని, 6 పనిచేసే బల్టలి ఉన్నాయి. దీని నుంచి తీసిన బల్బాను తిరి భర్తీచేయని రీతిలో రెండు ఐల్బులను తీశారు. తీసిన రెండు బల్బులు పనిచేసే ఐల్కాలు అమ్యే సంభావ్యతను కనుక్రోండి.
సాధన:
పది బంతులలో 6 బంతులు ఎర్రటివి కాబట్టి ముందుగా తీసిన బంతి ఎర్రటిదయ్యే సంభావ్యత ‘A’ రెండోసారి తీస్తే ఎర్రటిదయ్యే సంభావ్యత ‘B’, మరియు ‘S’ అనేది శాంపిల్ల ఆవరణం అనుకొందాం.

ప్రశ్న 22.
ఒక తరగతిలో పన్నెండుమంది బాలురు, నలుగురు బాలికలున్నారు. ఒకరి తరువాత ఒకరిని వరుసగా ముగ్గురు పిల్లలను ఎన్నుకొంటే, ఆ ముగ్గురూ బాలురు ఆయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
iవ ప్రయత్నంలో బాలుడిని ఎన్నుకొనే ఘటన E_i  అనుకొందాం.
అప్పుడు కనుక్కోవలసిన సంభావ్యత
(i = 1,2,3) P(E₁∩E₂∩E₃) లబ్ద సిద్ధాంతం నుంచి,
P(E₁∩E₂∩E₃) = P(E₁) P(E₂/E₁) P(E₃/E₁∩E₂)
\(=\frac{12}{16} \times \frac{11}{15} \times \frac{10}{14}=\frac{11}{28}\)

ప్రశ్న 23.
75 % సందర్భాలలో A నిజం మాట్లాడతాడు, B 80% సందర్భాలలో B నిజం మాట్లాడతాడు. ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించడానికి సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఒక సంఘటన గురించి A, B లు నిజం చెప్పే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకోండి. అప్పుడు

ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించే ఘటన E అనుకొండాం. ఇది రెండు విధాలుగా జరగవచ్చు.
i) A నిజం, B అబద్ధం చెబుతాడు.
ii) A అబద్ధం, B నిజం చెబుతాడు.

ప్రశ్న 24.
కలన గణితంలోని ఒక సమస్యను ఇద్దరు విద్యార్థులు A, Bలకు ఇస్తే వారు సమస్యను సాధించే సంభావ్యతలు వరుసగా \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\). వారిద్దరూ స్వతంత్గా సమస్యను సాధించడానికి (పయత్నిస్తే, ఆ సమస్ల సాధించగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
A, Bలతో సమస్య సాధించబడే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ లు అనుకుందాం.
దత్తాంశం ప్రకారం
\(\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_1\right)=\frac{1}{3}, \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_2\right)=\frac{1}{4}\)
ఈ రెండు ఘటనలు, స్వతంత్త ఘటనలని గమనిద్దాం.
కాబట్టి కావలసిన సంభావ్యత

ప్రశ్న 25.
A, B లు ఒక్కొక్కరు ఒక నాణేన్ని 50 సార్లు ఏకకాలంలో ఎగరవేస్తారు. ఇద్దరికీ ఒకే ఎగరవేతలో దొరుసు పడక పోవటానికి సంభావ్యతను కనుక్రోండి.
సాధన:
A, B లు ఇద్దరికి ఒక ఎగరవేతలో దొరుసు పడకపోతే ఫటనను E తీసుకొందాం.
ప్రతి ఎగరవేతలో నాలుగు రకాల అవకాశాలున్నాయి.
i) A కి H రావడం, B కి H రావడం
ii) A కి T రావడం, B కి H రావడం
iii) A కి H రావడం, B కి T రావడం
iv) A కి T రావడం, B కి T రావడం
ఇక్కడ 50 యత్నలు.
కాబట్టి మొత్తం అవకాశాల సంఖ్య 4⁵⁰. పైన పేర్కొన్న నాలుగు సందర్భాల్లో, (i), (ii), (iii) లు మా(తమే ఘటన E కు అనుకూల సందర్భాలు. E కి (iv) అనుకూలం కాదు.
∴ \(\mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{3^{50}}{4^{50}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{50}\)

ప్రశ్న 26.
ఒక యాద్చ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలైతే A^c,B^c లూ రెండూ స్వతంత్ర ఘటలని చూపండి.
సాధన:
A; B స్వతంత్ర ఘటనలు కాబట్టి

ప్రశ్న 27.
ఒక సంచిలో 10 ఒకే మాదిరి బంతులున్నాయి. వీటిలో 4 నీలం రంగువి, 6 ఎర్ర రంగువి. ఒకదాని తరువాత ఒకటి మూడు బంతులను యాధృచ్ఛికంగా ఆ సంచి నుంచి తీస్తే ఆ మూడూ ఎర్రటి బంతులు అయ్యే సంభావ్యతను కనుకొందాం.
సాధన:
మొదట తీసినపుడు అది ఎర్రటి బంతి అడ్యేసంభావ్యత \(\frac{6}{10}\),
రెండోసారి తీసినపుడు ఎర్ర బంతి అమ్యే సంభావ్యత \(\frac{5}{9}\)
మూడోసారి తీసినపుడు ఎర్ర బంతి అమ్యే సంభావ్యత \(\frac{4}{8}\)
కాబట్టి గుణన సిద్ధాంతం నుంచి, కావలసిన సంభావ్యత
\( =\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8}=\frac{1}{6}\).

ప్రశ్న 28.
ఒక పాత్రలో 7 ఎర్రని, 3 నల్లని బంతులున్నాయి. తీసన ఐంతిని తిరిగి పాత్రలో పెట్టకంండా, రెండు బంతులను తీశారు. ముందుగా తీసన బంతి ఎర్రదని తెలిస్తే, రెండోబంతి ఎర్రనిదయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
మొదట తీసిన బంతి ఎర్రనిదడ్యే ఘటన R₁ రెండో బంతి ఎళ్రనిదమ్యే ఘటన R₂ అనుకాందాం.

ప్రశ్న 29.
A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలా
P(A)=0.2, P(B)=0.5
(i) \(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(ii) \(\mathrm{P}\left(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{A}}\right)\)
(iii)P(A∩B)
(iv) P(A∪B) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినది P(A) = 0.2, P(B) = 0.5
మరియు A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలు.

ప్రశ్న 30.
సంచి B₁ లో 4 తెల్లటి, 2 నల్లటి బంతులున్నాయి. సంచి B₂ లో 3 తెల్లటి, 4 నల్లటి బంతులున్నాయి. ఒక సంచిని యాధృచ్ఛికంగా ఎంచుకొని, అందులో నుంచి ఒక బంతిని యాధృచ్ఛికంగా తీస్తే, అది తెల్లటి బంతి అయ్యే సంఖావ్యత ఎంత ?
సాధన:
B₁, B₂ సంచులను ఎంచుకొనే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొందాం.

ప్రశ్న 31.
బేయీ సిద్ధాంతం.
సాధన:
ప్రవచనం : ఒక యాధృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂, ……………………. E_n లు n పరస్పర వివరిత, పూర్ణ ఘటనలు: P(E_i )≠ 0,


ప్రశ్న 32.
మూడు పెట్టెలు B_{1 ,} B₂, B₃ లలోని ఐంతులు క్రింద వివరించిన రంగులలో ఉన్నాయి.

ఒక పాచికను దొర్లించారు. పాచిక పై ముఖంపై 1 లేదా 2 వస్తే B₁ ను ఎన్నుకొంటారు ; 3 లేదా 4 వస్తే B₂ ను ఎన్నుకొంటారు ; 5 లేదా 6 వస్తే B₃ ను ఎన్నుకొంటారు. ఈ విధంగా ఒక పెట్టెను ఎన్నుకొన్నాక, అందులో నుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొన్నారు. అలా ఎన్నుకొన్న బంతి ఎర్రనిదైతే అది పెట్టె B₂ నుంచి వచ్చే సంభావ్త ఎంత ?
సాధన:
పెట్టె B_i ను ఎన్నుకొనే సంభావ్యత P(E_i)(i=1,2,3) అనుకొందాం. అప్పుడు
\(P\left(E_i\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} ; i=1,2,3\)
పెట్టె B_i ఎర్రనిదయ్యే సంభావ్యత P(R / E_i) అనుకొంటే

ప్రశ్న 33.
ఒక పార్రలో w తెల్లని b నల్లని బంతులున్నాయి. Q, R అనే ఇద్దరు ఆటగాళ్ళు పాత్ర నుంచి ఒకరి తరువాత ఒకరు, తీసిన బంతిని తిరిగి ఫర్తీ చేస్తూ, బంతులను తోస్తున్నారు. తెల్లటి బంతి ఎవరు ముందుగా తీస్తే వారు గెలిచినట్లు. Q ఆటను వైదలుపెడితే, Q గెలిచే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
తెల్లటి బంతిని తీసే ఘటన W తో, నల్లని బంతిని తీసే ఘటనను B తో సూచించామనుకోండి. అప్పుడు