AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Exercise 2(a)

అభ్యాసం 2(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
n పూర్ణాంకం అయితే (1 + i)2n + (1 – i)2n = \(2^{n+1} \cos \frac{n \pi}{2}\) అని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) I Q1
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) I Q1.1
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) I Q1.2

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a)

ప్రశ్న 2.
క్రింది విలువలు కనుక్కోండి.
(i) (1 + i√3)3
సాధన:
1 + i√3 = r (cos θ + i sin θ) అనుకుందాం.
r cos θ = 1, r sin θ = √3
r2(1) = 1 + 3 = 4
r = 2
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) I Q2(i)

(ii) (1 – i)8 [Mar. ’07]
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) I Q2(ii)

(iii) (1 + i)16
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) I Q2(iii)

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a)

(iv) \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^5-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^5\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) I Q2(iv)

II.

ప్రశ్న 1.
x2 – 2x + 4 = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే n ∈ N కు αn + βn = \(2^{n+1} \cos \left(\frac{n \pi}{3}\right)\) అని చూపండి. [Mar. ’14, ’11]
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) II Q1
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) II Q1.1

ప్రశ్న 2.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయితే
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos(α + β + γ)
(ii) sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin(a + β + γ)
(iii) cos (α + β) + cos (β + γ) + cos (γ + α) = 0 అని రుజువు చేయండి. [May, Mar ’08]
సాధన:
cos α +cos β + cos γ = 0
sin α + sin β + sin γ = 0
∴ (cos α + cos β + cos γ) + i(sin α + sin β + sin γ) = 0
i.e., (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) +(cos γ + i sin γ) = 0
a + b + c = 0 అయితే a3 + b3 + c3 = 3abc
కాబట్టి (cos α + i sin α)3 + (cos β + i sin β)3 + (cos γ + i sin γ)3 = 3(cos α + i sin α) (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
i.e., cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3γ + i sin 3γ = 3[cos(α + β + γ) + i sin (α + β + γ)] – (1)
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా,
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos(α + β + γ)
(ii) sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin(α + β + γ)
(iii) a = cos α + i sin α అయితే \(\frac{1}{a}\) = cos α – i sin α
b = cos β + i sin β అయితే \(\frac{1}{b}\) = cos β – i sin β
c = cos γ + i sin γ అయితే \(\frac{1}{c}\) = cos γ – i sin γ
ఇప్పుడు \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) = (cos α + cos β + cos γ) – i(sin α + sin β + sin γ)
= 0 – i(0)
= 0
⇒ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
⇒ bc + ca + ab = 0
⇒ [cos(β + γ)+ i sin(β + γ)] + [cos(γ + α) + i sin(γ + α)] + [cos(α + β) + i sin(α + β)] = 0
⇒ [cos(α + β) + cos(β + γ) + cos(γ + α)] + i[sin(α + β) sin(β + γ) + sin(γ + α)] = 0
వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా,
cos(α + β) + cos(β + γ) + cos(γ + α) = 0

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a)

ప్రశ్న 3.
n పూర్ణాంకం, z = cis θ, (θ ≠ (2n + 1) π/2) అయితే \(\frac{z^{2 n}-1}{z^{2 n}+1}\) = i tan nθ అని చూపండి.
సాధన:
z = cis θ = cos θ + i sin θ, θ ≠ (2n + 1)π/2
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) II Q3

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a)

ప్రశ్న 4.
(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + …… anxn, n ∈ N అయితే
(i) a0 – a2 + a4 – a6 + ……. = \(2^{n / 2} \cos \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)
(ii) a1 – a3 + a5 – a7 + ….. = \(2^{n / 2} \sin \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)
సాధన:
ఇచ్చినది (1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + …… anxn
x = i అయితే
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 డిమోయర్ సిద్ధాంతం Ex 2(a) II Q4
వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగములను పోల్చగా,
(i) a0 – a2 + a4 – a6 + ……. = \(2^{n / 2} \cos \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)
(ii) a1 – a3 + a5 – a7 + ….. = \(2^{n / 2} \sin \left[\frac{n \pi}{4}\right]\)