Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(b) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 3 వర్గసమాసాలు Exercise 3(b)
అభ్యాసం – 3(బి)
I.
ప్రశ్న 1.
ax2 + 2bx + c = 0, ax2 + 2cx + b = 0, (b ≠ c) వర్గ సమీకరణాలకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, అప్పుడు a + 4b + 4c = 0 అని చూపండి.
సాధన:
ax2 + 2bx + c = 0,
ax2 + 2cx + b = 0 లకు α ఉమ్మడి మూలం అనుకుంటే
aα2 + 2bα + c = 0 ……(1)
aα2 + 2ca + b = 0 …….(2)
(1) – (2) ⇒ 2α(b – c) + c – b = 0
2α(b – c) = b – c
2α = \(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{\mathrm{b}-\mathrm{c}}\) = 1, (∵ b ≠ c)
α = \(\frac{1}{2}\)
α = \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా ax2 + 2bx + c = 0
\(a\left(\frac{1}{4}\right)+2 b \frac{1}{2}+c=0\)
⇒ a + 4b + 4c = 0
∴ a + 4b + 4c = 0 కావలసిన నియమం.
ప్రశ్న 2.
x2 – 6x + 5 = 0, x2 – 12x + p = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, p కనుక్కోండి.
సాధన:
x2 – 6x + 5 = 0, x2 – 12x + p = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం α అనుకుంటే అప్పుడు
α2 – 6α + 5 = 0, α2 – 12α + p = 0
⇒ α2 – 6α + 5 = 0
⇒ (α – 1) (α – 5) = 0
⇒ α = 1 లేదా 5
α = 1 అయిన α2 – 12α + p = 0
⇒ 1 – 12 + p = 0
⇒ p = 11
α = 5 అయిన α2 – 12α + p = 0
⇒ 25 – 60 + p = 0
⇒ p = 35
∴ p = 11 లేదా 35
ప్రశ్న 3.
x2 – 6x + 5 = 0, x2 – 3ax + 35 = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, ‘a’ కనుక్కోండి.
సాధన:
x2 – 6x + 5 = 0
⇒ (x – 1) (x – 5) = 0
⇒ x = 1, x = 5
Case (i): x = 1 ఉమ్మడి మూలమైన, అది
x2 – 3ax + 35 = 0 కు కూడ మూలం అగును.
⇒ (1)2 – 3a (1) + 35 = 0
⇒ a = 12
Case (ii): x = 5 ఉమ్మడి మూలమైన
⇒ (5)2 – 3a(5) + 35 = 0
⇒ 60 – 15a = 0
⇒ a = 4
∴ a = 12 లేదా a = 4
ప్రశ్న 4.
x2 + ax + b = 0, x2 + cx + d = 0 లకు ఉమ్మడి మూలము ఉండి, మొదటి సమీకరణానికి సమాన మూలాలుంటే, అపుడు 2(b + d) = ac అని నిరూపించండి.
సాధన:
x2 + ax + b = 0, x2 + cx + d = 0 లకు మూలం α అనుకొనుము.
x2 + ax + b = 0 కు మూలాలు సమానం కనుక α, α లు దీని మూలాలు
α + α = -a ⇒ α = \(\frac{-a}{2}\)
α . α = b ⇒ α2 = b
∴ x2 + cx + d = 0 కు α మూలం కనుక
⇒ α2 + cα + d = 0
⇒ b + c (\(\frac{-a}{2}\)) + d = 0
⇒ 2(b + d) = ac
ప్రశ్న 5.
x వాస్తవసంఖ్య అయినపుడు క్రింది సమాసాల గుర్తులను చర్చించండి.
(i) x2 – 5x + 4
సాధన:
x2 – 5x + 4 = (x – 1) (x – 4)
a = 1 > 0
x < 1 లేదా x > 4 అయిన x2 – 5x + 4 ధనాత్మకం
1 < x < 4 అయిన x2 – 5x + 4 ఋణాత్మకం
(ii) x2 – x + 3
సాధన:
∆ = b2 – 4ac
= (-1)2 – 4 . 1 . 3
= 1 – 12
= -11 < 0
a = 1 > 0, ∆ < 0
⇒ x ∈ R కు x2 – x + 3 ధనాత్మకం.
ప్రశ్న 6.
ఏయే x విలువలకు క్రింది సమాసాలు ధనాత్మకం?
(i) x2 – 5x + 6 [May ’11]
సాధన:
x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
x2 – 5x + 6 = 0 మూలాలు 2, 3 లు. అవి వాస్తవాలు.
x < 2 లేదా x > 3 అయిన x2 – 5x + 6 ధనాత్మకం.
∵ a = 1 > 0
(ii) 3x2 + 4x + 4
సాధన:
ఇచ్చట a = 3, b = 4, c = 4,
∆ = b2 – 4ac
= 16 – 48
= -32 < 0
∴ 3x2 + 4x + 4 ధనాత్మకం ∀ x ∈ R,
∵ a = 3 > 0 మరియు ∆ < 0
ax2 + bx + c, ‘a’ లకు ఒకే గుర్తు ఉంటాయి. ∀ x ∈ R అయిన ∆ < 0
(iii) 4x – 5x2 + 2
సాధన:
4x – 5x2 + 2 = 0 కు మూలాలు \(\frac{-4 \pm \sqrt{16+40}}{-10}\)
i.e., \(\frac{2 \pm \sqrt{14}}{5}\) అవి వాస్తవాలు.
∴ 4x – 5x2 + 2 ధనాత్మకం
\(\frac{2-\sqrt{14}}{5}\) < x < \(\frac{2+\sqrt{14}}{5}\) అయిన a = -5 < 0.
(iv) x2 – 5x + 14
సాధన:
ఇచ్చట a = 1, b = -5, c = 14,
∆ = b2 – 4ac
= 25 – 56
= -31 < 0
∴ ∆ < 0
∵ a = 1 > 0 మరియు ∆ < 0
∴ x2 – 5x + 14 ధనాత్మకం ∀ x ∈ R.
ప్రశ్న 7.
ఏయే x విలువలకు క్రింది సమాసాలు ఋణాత్మకం.
(i) x2 – 7x + 10
సాధన:
x2 – 7x + 10 = (x – 2) (x – 5)
x2 – 7x + 10 = 0 కు మూలాలు 2, 5
a = 1 > 0
∴ 2 < x < 5 అయిన x2 – 7x + 10 ఋణాత్మకం
(ii) 15 + 4x – 3x2
సాధన:
15 + 4x – 3x2 = 0 కు మూలాలు
\(\frac{-4 \pm \sqrt{16+180}}{-6}=\frac{-5}{3}, 3\)
a = -3 < 0
∴ x < \(\frac{-5}{3}\) లేక x > 3 అయిన 15 + 4x – 3x2 ఋణాత్మకం
(iii) 2x2 + 5x – 3
సాధన:
2x2 + 5x – 3 = 0 మూలాలు
\(\frac{-5 \pm \sqrt{25+24}}{4}=-3, \frac{1}{2}\)
a = 2 > 0
∴ -3 < x < \(\frac{1}{2}\) అయిన 2x2 + 5x – 3 ఋణాత్మకం.
(iv) x2 – 5x – 6
సాధన:
x2 – 5x – 6 = (x – 6) (x + 1)
x2 – 5x – 6 = 0 కు మూలాలు -1, 6.
a = 1 > 0
∴ -1 < x < 6 అయిన x2 – 5x – 6 ఋణాత్మకం.
ప్రశ్న 8.
క్రింది సమాసాల గుర్తులతో మార్పులను కనుక్కోండి. వాటి అంత్య విలువలను కనుక్కోండి.
సూచన : α, β లు ax2 + bx + c = 0 కు మూలాలు α < β అయిన
1) -x < α లేదా x > β అయిన ax2 + bx + c, ‘a’ లకు ఒకే గుర్తు ఉంటుంది.
2) α < x < β అయిన ax2 + bx + c, ‘a’ లకు వ్యతిరేక గుర్తులుంటాయి.
(i) x2 – 5x + 6
సాధన:
x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
1) 2 < x < 3 అయిన x2 – 5x + 6 ఋణాత్మకం.
∵ a = 1 > 0
2) x < 2 (లేదా) x > 3, అయిన x2 – 5x + 6 ధనాత్మకం.
∵ a = 1 > 0
a > 0 కనుక x2 – 5x + 6 కనిష్ట విలువ
\(\frac{4 a c-b^2}{4 a}=\frac{4(1)(6)-(-5)^2}{4(1)}\)
= \(\frac{24-25}{4}\)
= \(\frac{-1}{4}\)
కనుక x2 – 5x + 6 కు కనిష్ట విలువ \(\frac{-1}{4}\)
(ii) 15 + 4x – 3x2
సాధన:
15 + 4x – 3x2 = 15 + 9x – 5x – 3x2
= 3(5 + 3x) – x(5 + 3x)
= (3 – x) (5 + 3x)
1) \(\frac{-5}{3}\) < x < 3 అయిన 15 + 4x – 3x2 ధనాత్మకం.
∵ a = -3 < 0
2) x < \(\frac{-5}{3}\) లేదా x > 3, 15 + 4x – 3x2 ఋణాత్మకం.
∵ a = -3 < 0
a < 0 కనుక 15+ 4x – 3x2 గరిష్ఠ విలువ
\(\frac{4 a c-b^2}{4 a}=\frac{4(-3)(15)-16}{4(-3)}=\frac{49}{3}\)
15 + 4x – 3x2 కు గరిష్ఠ విలువ \(\frac{49}{3}\)
ప్రశ్న 9.
R మీద x మారుతున్నప్పుడు క్రింది సమాసాల గరిష్ట లేదా కనిష్ఠ విలువలను కనుక్కోండి.
(i) x2 – x + 7
సాధన:
a = 1 > 0
కనిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{28-1}{4}=\frac{27}{4}\)
(ii) 12x – x2 – 32 [May ’06]
సాధన:
a = -1 < 0
గరిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{128-144}{-4}\)
= 4
(iii) 2x + 5 – 3x2
సాధన:
a = -3 < 0
గరిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{(4)(-3)(5)-(2)^2}{4 \times-3}\)
= \(\frac{16}{3}\)
(iv) ax2 + bx + a, (a, b ∈ R, a ≠ 0)
సాధన:
a < 0 కు గరిష్ట విలువ, a > 0 కు కనిష్ఠ విలువ ఉంటుంది.
ఆ విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
ఇచ్చట a = a, b = b, c = a
= \(\frac{4(a)(a)-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{4 a^2-b^2}{4 a}\)
II.
ప్రశ్న 1.
క్రింది సమాసాల వ్యాప్తిని నిర్ణయించండి.
(i) \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) (Mar. ’04)
సాధన:
y = \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) అనుకోండి.
⇒ x2y – xy + y = x2 + x + 1
⇒ x2y – xy + y – x2 – x – 1 = 0
⇒ x2(y – 1) – x(y + 1) + (y – 1) = 0
x వాస్తవం ⇒ x = b2 – 4ac ≥ 0
⇒ (y + 1)2 – 4(y – 1)2 ≥ 0
⇒ (y + 1)2 – (2y – 2)2 ≥ 0
⇒ (y + 1 + 2y – 2) (y + 1 – 2y + 2) ≥ 0
⇒(3y – 1) (y + 3) ≥ 0
⇒ (3y – 1) (y – 3) ≥ 0
a = y2 గుణకం = -3 < 0 కాని సమాసం ≥ 0
⇒ y విలువ \(\frac{1}{3}\), 3 ల మధ్య ఉంటుంది
∴ \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) వ్యాప్తి [\(\frac{1}{3}\), 3]
(ii) \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\)
సాధన:
y = \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) అనుకోండి.
అప్పుడు 2yx2 + 3yx + 6y = x + 2
⇒ 2yx2 + (3y – 1)x + (6y – 2) = 0
x వాస్తవాలు ⇒ విచక్షణి ≥ 0
⇒ (3y – 1)2 – 4(2y) (6y – 2) ≥ 0
⇒ 9y2 + 1 – 6y – 48y2 + 16y ≥ 0
⇒ -39y2 + 10y + 12 ≥ 0
⇒ 39y2 – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 39y2 – 13y + 3y – 1 ≤ 0
⇒ 13y(3y – 1) + 1(3y – 1) ≤ 0
⇒ (3y – 1) (13y + 1) ≤ 0
∴ a = y2 గుణకం = 39 > 0, సమాసము ≤ 0
⇒ y విలువ \(\frac{-1}{13}, \frac{1}{3}\) లచే మధ్య ఉంటుంది
∴ కనుక \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) వ్యాప్తి [latex]\frac{-1}{13}, \frac{1}{3}[/latex]
(iii) \(\frac{(x-1)(x+2)}{x+3}\)
సాధన:
y = \(\frac{(x-1)(x+2)}{x+3}\)
⇒ yx + 3y = x2 + x – 2 అనుకోండి.
⇒ x2 + (1 – y)x – 3y – 2 = 0
x ∈ R
⇒ (1 – y2) – 4(-3y – 2) ≥ 0
⇒ 1 + y2 – 2y + 12y + 8 ≥ 0
⇒ y2 + 10y + 9 ≥ 0
⇒ y2 + 10y + 9 ≥ 0
⇒ (y + 1) (y + 9) = 0
⇒ y = -1, -9
y2 + 10y + 9 ≥ 0
∴ a = y2 గుణకం = 1 > 0, సమాసం ≥ 0
y ≤ -9 లేదా y ≥ -1
వ్యాప్తి = (-∞, -9] ∪ (-1, ∞)
(iv) \(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\)
సాధన:
y = \(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\)
⇒ yx2 – 3yx + 2y = 2x2 – 6x + 5
⇒ (y – 2)x2 + (6 – 3y)x + (2y – 5) = 0
x ∈ R
⇒ (6 – 3y)2 – 4(y – 2) (2y – 5) ≥ 0
⇒ 36 + 9y2 – 36y – 4(2y2 – 9y + 10) ≥ 0
⇒ 36 + 9y2 – 36y – 8y2 + 36y – 40 ≥ 0
⇒ y2 – 4 ≥ 0
y2 – 4 = 0
⇒ y2 = 4
⇒ y = ±2
y2 – 4 ≥ 0
⇒ y ≤ -2 లేదా y ≥ 2
⇒ y విలువ -2, 2 ల మధ్య ఉండదు.
∵ y2 గుణకం > 0, సమాసం ≥ 0
∴ \(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\) వ్యాప్తి (-∞, -2] ∪ [2, ∞)
ప్రశ్న 2.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి. [AP & TS Mar. ’16, Mar. ’11]
సాధన:
y = \(\frac{1}{3 x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకోండి.
⇒ y = \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
⇒ y = \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx2 + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx2 + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R
⇒ (4y – 4)2 – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y2 + 16 – 32y – 12y2 + 12y ≥ 0
⇒ 4y2 – 20y + 16 ≥ 0
4y2 – 20y + 16 = 0
⇒ y2 – 5y + 4 = 0
⇒ (y – 1)(y – 4) = 0
⇒ y = 1, 4
4y2 – 20y + 16 ≥ 0
y ≤ 1 లేదా y ≥ 4
∵ y2 గుణకం, సమాసం ≥ 0
⇒ y విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదు.
ప్రశ్న 3.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే, \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ 1, \(\frac{-1}{11}\) ల మధ్య ఉంటుందని నిరూపించండి. [Mar. ’14, ’08, ’02; May ’11, ’07]
సాధన:
y = \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\)
⇒ yx2 – 5yx + 9y = x
⇒ yx2 + (-5y – 1)x + 9y = 0
x ∈ R
⇒ (-5y – 1)2 – 4y(9y) ≥ 0
⇒ 25y2 + 1 + 10y – 36y2 ≥ 0
⇒ -11y2 + 10y + 1 ≥ 0 ………(1)
-11y2 + 10y + 1 = 0
⇒ -11y2 + 11y – y + 1 = 0
⇒ 11y(-y + 1) + 1(-y + 1) = 0
⇒ (-y + 1) (11y + 1) = 0
⇒ y = 1, \(\frac{-1}{11}\)
-11y2 + 10y + 1 ≥ 0
∴ y2 గుణకం < 0, సమాసం ≥ 0
(1) నుండి \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
⇒ y విలువ 1, \(\frac{-1}{11}\) ల మధ్య ఉంటుంది.
ప్రశ్న 4.
R లోని ప్రతి x కి \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) సమాసం వాస్తవమైతే, అప్పుడు p అవధులను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) (y వాస్తవం)
అప్పుడు yx2 – 3yx + 2y = x – p
⇒ yx2 + (-3y – 1)x + (2y + p) = 0
∵ x ∈ R
⇒ (-3y – 1)2 – 4y(2y + p) ≥ 0
⇒ 9y2 + 6y + 1 – 8y2 – 4py ≥ 0
⇒ y2 + (6 – 4p)y + 1 ≥ 0
∵ y ∈ R, y2 + (6 – 4p)y + 1 ≥ 0
మూలాలు సంకీర్ణ సంఖ్యలు లేదా సమాన వాస్తవాలు
⇒ ∆ ≤ 0
⇒ (6 – 4p)2 – 4 ≤ 0
⇒ 4(3 – 2p)2 – 4 ≤ 0
⇒ (3 – 2p)2 – 1 ≤ 0
⇒ 4p2 – 12p + 8 ≤ 0
⇒ p2 – 3p + 2 ≤ 0
⇒ (p – 1) (p – 2) ≤ 0
p = 1 లేదా p = 2 అయిన \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) నిర్వచితం కాదు.
∴ 1 < p < 2
ప్రశ్న 5.
c2 ≠ ab అయి (c2 – ab)x2 – 2(a2 – bc)x + (b2 – ac) = 0 సమీకరణం మూలాలు సమానమైతే, అప్పుడు a3 + b3 + c3 = 3abc లేదా a = 0 అని చూపండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం (c2 – ab)x2 – 2(a2 – bc)x + (b2 – ac) = 0
విచక్షణి = 4(a2 – bc)2 – 4(c2 – ab) (b2 – ac)
= 4[(a2 – bc)2 – (c2 – ab) (b2 – ac)]
= 4(a4 + b2c2 – 2a2bc – b2c2 + ac3 + ab3 – a2bc)
= 4(a4 + ab3 + ac3 – 3a2bc)
= 4a(a3 + b3 + cc – 3abc)
మూలాలు సమానం కనుక విచక్షణి = 0
4a(a2 + b2 + c2 – 3abc) = 0
a = 0 లేదా a2 + b2 + c2 – 3abc = 0
i.e., a = 0 లేదా a2 + b2 + c2 = 3abc