Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(a) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 4 సమీకరణ వాదం Exercise 4(a)
అభ్యాసం – 4(ఎ)
I.
ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన మూలాలు గల కనిష్ఠ తరగతి బహుపది సమీకరణాలను రూపొందించండి.
(i) 1, -1, 3
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
(x – 1) (x + 1) (x – 3) = 0
⇒ (x2 – 1) (x – 3) = 0
⇒ x3 – 3x2 – x + 3 = 0
(ii) 1 ± 2i, 4, 2
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
[x – (1 + 2i)] [x – (1 – 2i)] (x – 4) (x – 2) = 0
⇒ (x – 1 – 2i) (x – 1 + 2i) (x – 4) (x – 2) = 0
⇒ [(x – 1)2 – 4i2] (x2 – 6x + 8) = 0
⇒ (x2 – 2x + 1 + 4) (x2 – 6x + 8) = 0
⇒ (x2 – 2x + 5) (x2 – 6x + 8) = 0
⇒ x4 – 8x3 + 25x2 – 46x + 40 = 0
(iii) 2 ± √3, 1 ± 2i
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
[x – (2 + √3)] [x – (2 – √3)] [x – (1 + 2i)] [x – (1 – 2i)] = 0
⇒ [(x – 2) – √3] [(x – 2) + √3] [(x – 1) – 2i] [(x – 1) + 2i] = 0
⇒ [(x – 2)2 – 3] [(x – 1)2 – (2i)2] = 0
⇒ (x2 – 4x + 4 – 3) (x2 – 2x + 1 – 4i2) = 0
⇒ (x2 – 4x + 1)(x2 – 2x + 5) = 0
⇒ x4 – 4x3 + x2 – 2x3+ 8x2 – 2x + 5x2 – 20x + 5 = 0
⇒ x4 – 6x3 + 14x2 – 22x + 5 = 0
(iv) 0, 0, 2, 2, -2, -2
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
(x – 0) (x – 0) (x – 2) (x – 2) (x + 2) (x + 2) = 0
⇒ x2 (x – 2)2 (x + 2)2 = 0
⇒ x2 (x2 – 4)2 = 0
⇒ x2 (x4 + 16 – 8x2) = 0
⇒ x6 – 8x4 + 16x2 = 0
(v) 1 ± √3, 2, 5
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
[x – (1 + √3)] [x – (1 – √3)] [(x – 2) (x – 5)] = 0
⇒ [(x – 1)- √3] [(x – 1) + √3] (x2 – 7x + 10) = 0
⇒ [(x – 1)2 – (√3)2] (x2 – 7x + 10) = 0
⇒ (x2 – 2x + 1 – 3) (x2 – 7x + 10) = 0
⇒ (x2 – 2x – 2) (x2 – 7x + 10) = 0
⇒ x4 – 2x3 – 2x2 – 7x3 + 14x2 + 14x + 10x2 – 20x – 20 = 0
⇒ x4 – 9x3 + 22x2 – 6x – 20 = 0
(vi) 0, 1, \(\frac{-3}{2}\), \(\frac{-5}{2}\)
సాధన:
కావలసిన బహుపది సమీకరణం
(x – 0) (x – 1) (x + \(\frac{3}{2}\)) (x + \(\frac{5}{2}\)) = 0
⇒ x(x – 1) (2x + 3) (2x + 5) = 0
⇒ (x2 – x) (4x2 + 16x + 15) = 0
⇒ 4x4 – 4x3 + 16x3 – 16x2 + 15x2 – 15x = 0
⇒ 4x4 + 12x3 – x2 – 15x = 0
ప్రశ్న 2.
4x3 – 6x2 + 7x + 3 = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, αβ + βγ + γα విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
α, β, γ లు 4x3 – 6x2 + 7x + 3 = 0 మూలాలు
α + β + γ = \(-\frac{a_1}{a_0}=\frac{6}{4}\)
αβ + βγ + γα = \(\frac{a_2}{a_0}=\frac{7}{4}\)
ప్రశ్న 3.
x3 – 6x2 + 9x – 4 = 0 కు 1, 1, α లు మూలాలైన α విలువను కనుగొనుము. [May ’11]
సాధన:
1, 1, α లు x3 – 6x2 + 9x – 4 = 0 కు మూలాలు కనుక
మూలాల మొత్తం = 1 + 1 + α = \(-\left(-\frac{6}{1}\right)\) = 6
⇒ 2 + α = 6
⇒ α = 6 – 2 = 4
ప్రశ్న 4.
2x3 + x2 – 7x – 6 = 0 మూలాలు -1, 2, α అయితే, α ను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
-1, 2, α లు 2x3 + x2 – 7x – 6 = 0 కు మూలాలు
కనుక -1 + 2 + α = \(\frac{-1}{2}\)
α + 1 = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ α = -1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{-3}{2}\)
ప్రశ్న 5.
x3 – 2x2 + ax + 6 = 0 కు మూలాలు 1, -2, 3 అయితే a ను కనుక్కోండి. [Mar. ’04]
సాధన:
x3 – 2x2 + ax + 6 = 0 కు 1 మూలం కనుక
(1)3 – 2(1)2 + a(1) + 6 = 0
⇒ a + 5 = 0
⇒ a = -5
ప్రశ్న 6.
4x3 + 16x2 – 9x – a = 0 సమీకరణ మూలాల లబ్ధం 9 అయిన a విలువను కనుగొనుము. [T.S. Mar. ’16]
సాధన:
α, β, γ మూలాల లబ్దం
4x3 + 16x2 – 9x – a = 0
αβγ = \(\frac{a}{4}\) = 9
⇒ a = 36
ప్రశ్న 7.
క్రింది సమీకరణాలకు s1, s2, s3, s4 లను కనుగొనుము.
(i) x4 – 16x3 + 86x2 – 176x + 105 = 0
(ii) 8x4 – 2x3 – 27x2 + 6x + 9 = 0
సాధన:
II.
ప్రశ్న 1.
x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 కు మూలాలు α, β, 1 అయితే α, β లను కనుక్కోండి. [Mar. ’08]
సాధన:
x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 కు α, β, 1 లు మూలాలు
α + β + 1 = 2
⇒ α + β = 1
లబ్ధం = αβ = -6
(α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ
= 1 + 24
= 25
α – β = 5
α + β = 1
కలుపగా 2α = 6
⇒ α = 3
α + β = 1
⇒ β = 1 – α
= 1 – 3
= -2
∴ α = 3, β = -2
ప్రశ్న 2.
x3 – 2x2 + 3x – 4 = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, (i) Σα2β2 (ii) Σαβ(α + β) లను కనుక్కోండి. [May ’07]
సాధన:
x3 – 2x2 + 3x – 4 = 0 మూలాలు α, β, γ కనుక
α + β + γ = 2
αβ + βγ + γα = 3
αβγ = 4
(i) Σα2β2 = α2β2 + β2γ2 + γ2α2
= (αβ + βγ + γα)2 – 2αβγ(α + β + γ)
= 9 – 2 (2) (4)
= 9 – 16
= -7
(ii) Σαβ(α + β) = α2β + β2γ + γ2α + αβ2 + βγ2 + γα2
= (αβ + βγ + γα) (α + β + γ) – 3αβγ
= 2(3) – 3(4)
= 6 – 12
= -6
ప్రశ్న 3.
x3 + px2 + qx + r = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, క్రింది వాటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
x3 + px2 + qx + r = 0 మూలాలు α, β, γ లు
కనుక α + β + γ = -p
αβ + βγ + γα = q
αβγ = -r
(i) \(\sum \frac{1}{\alpha^2 \beta^2}\)
సాధన:
(ii) \(\frac{\beta^2+\gamma^2}{\beta \gamma}+\frac{\gamma^2+\alpha^2}{\gamma \alpha}+\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta}\) లేదా \(\Sigma \frac{\beta^2+\gamma^2}{\beta \gamma}\)
సాధన:
(iii) (β + γ – 3α) (γ + α – 3β) (α + β – 3γ)
సాధన:
(β + γ – 3α) (γ + α – 3β) (α + β – 3γ)
= (α + β + γ – 4α) (α + β + γ – 4β) (α + β + γ – 4γ)
= (-p – 4α) (-p – 4β) (-p – 4γ)
= -(p + 4α) (p + 4β) (p + 4γ)
= -[(p3 + 4p2 (α + β + γ) + 16p (αβ + βγ + γα) + (64αβy)]
= -(p3 – 4p3 + 16pq – 64r)
= 3p3 – 16pq + 64r
(iv) Σα3β3
సాధన:
Σα3β3 = α3β3 + β3γ3 + γ3α3
(αβ + βγ + γα)2 = α2β2 + β2γ2 + γ2α2 + 2αβγ (α + β + γ)
q2 = α2β2 + β2γ2 + γ2α2 + 2pr
α2β2 + β2γ2 + γ2α2 = q2 – 2pr
∴ α3β3 + β3γ3 + γ3α3 = (α2β2 + β2γ2 + γ2α2) (αβ + βγ + γα) – αβγ Σα2β
= (q2 – 2pr) . q + r[(αβ + βγ + γα) (α + β + γ) – 3αβγ]
= q3 – 2pqr + r(-pq + 3r)
= q3 – 2pqr – pqr + 3r2
= q3 – 3pqr + 3r2
III.
ప్రశ్న 1.
x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 సమీకరణ మూలాలు α, β, γ అయితే, α2 + β2, β2 + γ2, γ2 + α2 మూలాలుగా గల సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
1వ పద్ధతి:
α, β, γ లు x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 కు మూలాలు,
∴ α + β + γ = 6, αβ + βγ + γα = 11
y = α2 + β2 = α2 + β2 + γ2 – γ2 అనుకొనుము.
= (α + β + γ)2 – 2(αβ + βγ + γα) – x2 (∵ α, β, γ లు మూలాలు)
= 36 – 22 – x2
⇒ x2 = 14 – y
⇒ x = \(\sqrt{14-y}\) ను x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 లో వ్రాయగా
⇒ (\(\sqrt{14-y}\))3 – 6(\(\sqrt{14-y}\))2 + 11(\(\sqrt{14-y}\)) – 6 = 0
⇒ (14-y) \(\sqrt{14-y}\) – 6(14 – y) + 11\(\sqrt{14-y}\) – 6 = 0
⇒ -6(14 – y + 1) = \(\sqrt{14-y}\) [-11 – 14 + y]
⇒ -6(15 – y) = (\(\sqrt{14-y}\)) (y – 25)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
i.e., [-6(15 – y)]2 = [\(\sqrt{14-y}\) (y – 25)]2
⇒ 36(225 – 30y + y2) = (14 – y) (y2 – 50y + 625)
⇒ 8100 – 1080y + 36y2 = 14y2 – 700y + 8750 – y3 + 50y2 – 625y
⇒ 8100 – 1080y + 36y2 = -y3 + 64y2 – 1325y + 8750
⇒ y3 – 28y2 + 245y – 650 = 0
∴ కావలసిన సమీకరణం x3 – 28x2 + 245x – 650 = 0
2వ పద్ధతి :
α, β, γ లు x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 కు మూలాలు,
ఇది రెండవ కోవకు చెందిన వ్యుతమ సమీకరణం
∴ x – 1 అనేది x3 – 6x2 + 11x – 6 కు ఒక కారణాంకం
∴ x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1) (x2 – 5x + 6) = (x – 1) (x – 2) (x – 3)
∴ x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 కు మూలాలు
α = 1, β = 2, γ = 3
ఇప్పుడు α2 + β2 = 12 + 22 = 5
β2 + γ2 = 22 + 32 = 13
γ2 + α2 = 32 + 12 = 10
α2 + β2, β2 + γ2, γ2 + α2 లు మూలాలుగా గల ఘన సమీకరణం (x – 5) (x – 13) (x – 10) = 0
⇒ x3 – (5 + 13 + 10)x2 +(65 + 130 + 50)x – 650 = 0
⇒ x3 – 28x2 + 245x – 650 = 0
ప్రశ్న 2.
x3 – 7x + 6 = 0, సమీకరణ మూలాలు α, β, γ అయితే (α – β)2, (β – γ)2, (γ – α)2 మూలాలుగా గల సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
1వ పద్ధతి :
x3 – 7x + 6 = 0 …..(1) మూలాలు α, β, γ
కనుక α + β + γ = 0, αβγ = -6
y = (α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ అనుకొనుము.
= (-γ)2 – 4(\(\frac{-6}{\gamma}\))
= γ2 + \(\frac{24}{\gamma}\)
= x2 + \(\frac{24}{x}\)
⇒ xy = x3 + 24
⇒ xy = 7x – 6 + 24 [(1) నుండి]
⇒ x(y – 7) = 18
⇒ x = \(\frac{18}{y-7}\)
x3 – 7x + 6 = 0 లో x = \(\frac{18}{y-7}\) ను వ్రాయగా
\(\left(\frac{18}{y-7}\right)^3-7\left(\frac{18}{y-7}\right)+6=0\)
⇒ (18)3 – 7(18) (y – 7)2 + 6(y – 7)3 = 0
⇒ 5832 – 126(y2 – 14y + 49) + 6(y3 – 21y2 + 147y – 343) = 0
⇒ 972 – 21(y2 – 14y + 49) + (y3 – 21y2 + 147y – 343) = 0
⇒ y3 – 42y2 + 441y – 400 = 0
(α – β)2, (β – γ)2, (γ – α)2 మూలాలుగా గల సమీకరణం x3 – 42x2 + 441x – 400 = 0
2వ పద్ధతి :
x3 – 7x + 6 = 0 మూలాలు α, β, γ లు యత్నదోష పద్ధతిన x = 1 సమీకరణాన్ని ధృవీకరిస్తుంది.
x3 – 7x + 6 కు x – 1 ఒక కారణాంకం
∴ x3 – 7x + 6 = (x – 1) (x2 + x – 6) = (x – 1) (x + 3) (x – 2)
∵ x3 – 7x + 6 = 0 మూలాలు
α = 1, β = 3, γ = 2
ఇప్పుడు (α – β)2 = [1 – (-3)]2 = (4)2 = 16
(β – γ)2 = [-3 – 2)2 = 25
(γ – α)2 = [2 – 1]2 = 1
∴ (α – β)2, (β – γ)2, (γ – α)2 మూలాలుగా గల సమీకరణం (x – 16) (x – 25) (x – 1) = 0
⇒ x3 – (16 + 25 + 1)x2 + (400 + 25 + 16)x – 400 = 0
⇒ x3 – 42x2 + 441x – 400 = 0
ప్రశ్న 3.
x3 – 3ax + b = 0 యొక్క సమీకరణం యొక్క మూలాలు α, β, γ అయితే, Σ(α – β) (α – γ) = 9a అని నిరూపించండి.
సాధన:
α, β, γ లు x3 – 3ax + b = 0 మూలాలు
α + β + γ = 0, αβ + βγ + γα = -3a, αβγ = -b
Σ(α – β) (α – γ) = Σ[α2 – α(β + γ) + βγ
= Σ(α2 + α2 + βγ)
= 2(α2 + β2 + γ2) + (βγ + γα + αβ)
= 2(α + β + γ)2 – 4(αβ + βγ + γα) + (αβ + βγ + γα)
= 0 – 4(-3a) + (-3a)
= 9a