AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Exercise 5(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Exercise 5(a)

అభ్యాసం – 5(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
ⁿP₃ = 1320 అయితే n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
సూచన : ⁿP_r = \(\frac{n !}{(n-r) !}\) = n(n – 1) (n – 2)…….(n – r + 1)
ⁿP₃ = 1320
= 10 × 132
= 10 × 12 × 11
= 12 × 11 × 10
= ¹²P₃
∴ n = 12

ప్రశ్న 2.
ⁿP₇ = 42 . ⁿP₅, అయితే n ఎంత? (May ’11, ’07)
సాధన:
ⁿP₇ = (42) . ⁿP₅
⇒ (n)(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) (n – 5) (n – 6) = 42 (n) (n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4)
⇒ (n – 5) (n – 6) = 42
⇒ (n – 5) (n – 6) = 7 × 6
⇒ n – 5 = 7 లేదా n – 6 = 6
⇒ n = 12

ప్రశ్న 3.
⁽ⁿ⁺¹⁾P₅ : ⁿP₆ = 2 : 7 అయితే n విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’07]
సాధన:

⇒ 2(n² – 9n + 20) = 7n + 7
⇒ 2n² – 22n – 3n + 33 = 0
⇒ 2n² – 25n + 33 = 0
⇒ 2n(n – 11) – 3(n – 11) = 0
⇒ (n – 11) (2n – 3) = 0
⇒ n = 11 లేదా n = \(\frac{3}{2}\)
∴ n ధన పూర్ణాంకం కనుక n = 11

ప్రశ్న 4.
¹²P₅ + 5 . ¹²P₄ = ¹³P_r, అయితే r విలువ ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 5.
¹⁸P_r-1 : ¹⁷P_r-1 = 9 : 7, అయితే r విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
ఒక వ్యక్తికి నలుగురు కొడుకులున్నారు. అతడికి అందుబాటులో 5 పాఠశాలలున్నాయి. ఏ ఇద్దరు పిల్లలు ఒకే పాఠశాలలో లేకుండా ఆ వ్యక్తి తన పిల్లలను ఎన్ని విధాలుగా పాఠశాలలో చేర్చవచ్చు?
సాధన:
ఏ ఇద్దరు పిల్లలు ఒకే పాఠశాలలో లేకుండా ఒక వ్యక్తి తన 4 గురు కొడుకులను 5 పాఠశాలలో చేర్చే విధాల సంఖ్య = ⁵P₄
= 5 × 4 × 3 × 2
= 120

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక రైల్వే లైనులో 25 స్టేషన్లున్నాయి. ఈ స్టేషన్లలో ఒక స్టేషన్ నుంచి మరొక స్టేషన్కు వెళ్ళడానికి అనుమతించేలా ఎన్ని విభిన్న రకాల రెండోతరగతి టిక్కెట్లు ముద్రించాలి?
సాధన:
రైల్వే లైనులో గల స్టేషన్ల సంఖ్య = 25
ఒక స్టేషన్ నుండి మరొక స్టేషన్కు వెళ్ళడానికి అనుమతించే రెండో తరగతి టిక్కెట్ల సంఖ్య = ²⁵P₂
= 25 × 24
= 600

ప్రశ్న 2.
ఒక తరగతిలో 30 మంది విద్యార్థులున్నారు. ప్రతి విద్యార్థి తన సహాధ్యాయులకు ఒక్కొక్కరికి నూతన సంవత్సర శుభాకాంక్షలతో ఒక కార్డు చొప్పున పంపించాలంటే మొత్తం ఎన్ని కార్డులు కావాలి?
సాధన:
తరగతిలో విద్యార్థుల సంఖ్య = 30
ప్రతి విద్యార్థి తన సహాధ్యాయులకు ఒక్కొక్కరికి నూతన సంవత్సర శుభాకాంక్షలతో ఒక కార్డు వంతున పంపించాలంటే కావలసిన కార్డుల సంఖ్య = ³⁰P₂
= 30 × 29
= 870

ప్రశ్న 3.
TRIANGLE పదంలోని అక్షరాలను అచ్చుల స్థానాల్లో ఎప్పుడూ అచ్చులు ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
TRIANGLE అనే పదంలో 3 అచ్చులు (I, A, E), 5 హల్లులు (T, R, N, G, L) ఉన్నాయి.

అచ్చుల స్థానాల్లో ఎప్పుడు అచ్చులే ఉండాలి. కనుక 3 అచ్చులను వాటి వాటి స్థానాల్లో 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
ఆ తరువాత మిగిలిన 5 స్థానాల్లో 5 హల్లులను 5! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
కనుక అచ్చుల స్థానాలను మార్చకుండా ఏర్పడే ప్రస్తారాల సంఖ్య = (3!) (5!)
= (6) (120)
= 720

ప్రశ్న 4.
0, 2, 4, 7, 8 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి. (పునరావృతం కానట్లుగా)
సాధన:
మొదటి పద్ధతి:
0, 2, 4, 7, 8 అంకెలతో ఏర్పడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = ⁵P₄ – ⁴P₃
= 120 – 24
= 96

ఈ 96 సంఖ్యలలో
⁴P₃ – ³P₂ సంఖ్యలలో 2 యూనిట్ల స్థానంలో ఉంటుంది.
⁴P₃ – ³P₂ సంఖ్యలలో 2 పదుల స్థానంలో ఉంటుంది.
⁴P₃ – ³P₂ సంఖ్యలలో 2 వందల స్థానంలో ఉంటుంది.
⁴P₃ సంఖ్యలలో 2 వేల స్థానంలో ఉంటుంది.
∴ 2 వల్ల వచ్చే మొత్తం = (⁴P₃ – ³P₂) 2 + (⁴P₃ – ³P₂) 20 +(⁴P₃ – ³P₂) 200 + ⁴P₃ × 2000
= ⁴P₃ (2 + 20 + 200 + 2000) – ³P₂ (2 + 20 + 200)
= 24(2222) – 6(222)
= 24 × 2 × 1111 – 6 × 2 × 111
ఇదే విధంగా 4 వల్ల వచ్చే మొత్తం = 24 × 4 × 1111 – 6 × 4 × 111
7 వల్ల వచ్చే మొత్తం = 24 × 7 × 1111 – 6 × 7 × 111
8 వల్ల వచ్చే మొత్తం = 24 × 8 × 1111 – 6 × 8 × 111
∴ 96 సంఖ్యల మొత్తం = (24 × 1111) (2 + 4 + 7 + 8) – (6 × 111) (2 + 4 + 7 + 8)
= 26,664 (21) – 666 (21)
= 21 (26664 – 666)
= 21 (25,998)
= 5,45,958

రెండో పద్ధతి:
ఇచ్చిన n అంకెలలో ‘0’ కూడా ఉంటే, ఈ ‘n’ అంకెలతో ఏర్పరచగల ‘r’ అంకెల సంఖ్యల మొత్తం = ^(n-1)P_(r-1) × దత్త అంకెల మొత్తం × {111…. 1 (r – 1 సార్లు)} (r – 1)
= ^(n-1)P_(r-2) × దత్త అంకెల మొత్తం × {111……..1 (r సార్లు)} (r – 2)
ఇచ్చట n = 5, r = 4, ఇచ్చిన అంకెలు {0, 2, 4, 7, 8}
కనుక {0, 2, 4, 7, 8} అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే, 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం = ^(5-1)P_(4-1) × (0 + 2 + 4 + 7 + 8) × (1111) (4 – 1)
= ^(5-2)P_(r-2) × (0 + 2 + 4 + 7 + 8) × (111) (4 – 2)
= ⁴P₃ (21) (1111) – ³P₂ (21) (111)
= 21 [24 × 1111 – 6 × 111]
= 21 [26664 – 666]
= 21 (25 998)
= 5,45,958

ప్రశ్న 5.
0, 2, 4, 6, 8 అంకెలతో (వాడిన అంకెను వాడకుండా) 4000 కన్నా పెద్ద సంఖ్యలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్చు?
సాధన:
దత్త అంకెలలో ఏర్పడే 5 అంకెల సంఖ్యలు ప్రతీది 4000 కంటే పెద్దది అవుతుంది.
అయితే మొదటి స్థానాన్ని తప్ప మిగిలిన అంకెలలో {2, 4, 6, 8} నింపాలి.
కనుక పదివేల స్థానాన్ని (మొదటి స్థానాన్ని) 4 విధాలుగా నింపవచ్చు.
కనుక 5 అంకెలున్న సంఖ్యలు 4 × 4! = 4 × 24 = 96.
4, 6, 8 తో మొదలయ్యే ప్రతి నాలుగు అంకెల సంఖ్య 4000 కంటే పెద్దది అవుతుంది.
కనుక వేల స్థానాన్ని 3 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో AP విధాలుగా నింపవచ్చు.
కనుక 4000 కన్నా పెద్దవైన 4 అంకెలున్న స్థానాలు 3 × ⁴P₃ = 3 × 24 = 72
∴ 4000 కన్నా పెద్దవైన సంఖ్యలు = 96 + 72 = 168

ప్రశ్న 6.
MONDAY పదంలోని అక్షరాలను అచ్చులు ఎప్పుడూ బేసిస్థానాల్లో ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
MONDAY పదంలో 2 అచ్చులు (O, A) 4 హల్లులు (M, N, D, Y) ఉన్నాయి.
MONDAY పదంలో 6 అక్షరాలున్నవి. అందు 3 సరిస్థానాలు, 3 బేసి స్థానాలు 3 సరిస్థానాల్లో 2 అచ్చులను ³P₂ విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
మిగిలిన 4 స్థానాలలో 4 హల్లులను 4! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
ప్రాథమిక సూత్రం ప్రకారం ఈ రెండు పనులను ³P₂ × 4! విధాలుగా చేయవచ్చు.
కనుక అచ్చులు ఎల్లప్పుడూ సరిస్థానాలలో ఉండేలా అమర్చే విధాల సంఖ్య = ³P₂ × 4!
= 3! x 4!
= 6 × 24
= 144

ప్రశ్న 7.
5 విభిన్న గణిత పుస్తకాలు, 4 విభిన్న భౌతిక శాస్త్ర పుస్తకాలు, 3 విభిన్న రసాయన శాస్త్ర పుస్తకాలను ఒక వరసలో ఒక శాస్త్రానికి సంబంధించిన పుస్తకాలన్నీ ఒకేచోట కలిసి ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
5 విభిన్న గణిత పుస్తకాలు ఒక యూనిట్, 4 విభిన్న భౌతిక శాస్త్ర పుస్తకాలు ఒక యూనిట్, 3 విభిన్న రసాయన శాస్త్ర పుస్తకాలు ఒక యూనిట్ అనుకుంటే 3 యూనిట్లను ఒక వరుస క్రమములో 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఆ తరువాత ఒక యూనిట్లలోని 5 విభిన్న గణిత పుస్తకాలను వాటిలో వాటిని 5! విధాలుగా, వేరొక యూనిట్ లోని 4 విభిన్న భౌతిక శాస్త్ర పుస్తకాలను వాటిలో వాటిని 4! విధాలుగా, మరొక యూనిట్లో ఉన్న 3 విభిన్న రసాయనశాస్త్ర పుస్తకాలను 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
∴ ఒక వరుసలో ఒక శాస్త్రానికి సంబంధించిన పుస్తకాలన్నీ ఒకేచోట కలిసి ఉండేలా అమర్చే విధాల సంఖ్య = 3! × 5! × 4! × 3!

III.

ప్రశ్న 1.
CONSIDER పదంలోని అక్షరాలనుపయోగించి ఎన్ని 5 అక్షరాల పదాలు ఏర్పరచవచ్చు? వాటిలో ఎన్ని పదాలు ‘C’ తో మొదలవుతాయి? ఎన్ని పదాలకు R అక్షరం చివరి అక్షరం అవుతుంది? ఎన్ని పదాలు ‘C’ తో మొదలయి తో అంతమవుతాయి?
సాధన:
CONSIDER అనే పదంలో 8 విభిన్న అక్షరాలున్నాయి.
(i) 5 అక్షరాలతో ఏర్పడే పదాల సంఖ్య
⁸P₅ = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6,720

(ii)
‘C’ తో మొదలయ్యే 5 అక్షరాలున్న పదాల సంఖ్య = 1 × ⁷P₄
= 7 × 6 × 5 × 4
= 840

(iii)
‘R’ తో అంతమయ్యే 5 అక్షరాలున్న పదాల సంఖ్య = 1 × ⁷P₄ = 840

(iv)
‘C’ తో మొదలయి ‘R’ తో అంతమయ్యే 5 అక్షరాలున్న పదాల సంఖ్య = ⁶P₃
= 6 × 5 × 4
= 120

ప్రశ్న 2.
A₁, A₂, A₃,……., A₁₀ అనే 10 మంది విద్యార్థులను ఒక వరుసలో
(i) A₁, A₂, A₃ లు కలిసి ఉండేటట్లు
(ii) A₁, A₂, A₃ లు నిర్దేశించిన క్రమంలో ఉండేటట్లు
(iii) A₁, A₂, A₃, లు ‘నిర్దేశించిన క్రమంలో కలిసి ఉండేటట్లు ఎన్నివిధాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
(i) A₁, A₂,……., A₁₀ లు 10 మంది విద్యార్ధులు.
A₁, A₂, A₃ లను ఒక యూనిట్గా అనుకుంటే, మిగిలిన 7 గురు, ఈ ఒక యూనిట్ మొత్తం 8 అవుతాయి.
ఈ ఎనిమిదింటిని 8! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇపుడు ఒక యూనిట్లో వున్న A₁, A₂, A₃ లను వారిలో వారిని 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
కనుక ప్రాథమిక సూత్రం ప్రకారం, ఈ రెండు పనులను (8!) (3!) విధాలుగా అమర్చవచ్చును.

(ii) A₁, A₂, A₃ లు నిర్దేశించిన క్రమంలో ఉండేటట్లు అమర్చినివి.
A₁, A₂, A₃ లను 10 స్థానాలలో నిర్దేశించిన ప్రకారం అమర్చే విధాల సంఖ్య = \(\frac{{ }^{10} P_3}{3 !}\)
మిగిలిన 7 గురుని మిగిలిన స్థానాలలో అమర్చే విధాల సంఖ్య = 7!
∴ A₁, A₂, A₃ లు ఒక నిర్దేశించిన ప్రకారం అమర్చే విధాల సంఖ్య

(iii) A₁, A₂, A₃ లు నిర్దేశించిన క్రమంలో కలిసి ఉండేటట్లు అమర్చాలి.
A₁, A₂, A₃ లను ఒక యూనిట్ అనుకుంటే, మిగిలిన 7 గురు, ఈ ఒక యూనిట్ మొత్తం 8 అవుతాయి.
ఈ ఎనిమిదింటిని ఒక వరస క్రమంలో (8)! విధాలుగా అమర్చవచ్చును.
A₁, A₂, A₃ లు నిర్దేశించిన క్రమంలో కలిసి ఉండాలి కనుక వారిలో వారు తమ తమ స్థానాలను మార్చుకోవటానికి వీలులేదు.
కనుక కోరిన ప్రకారం అమర్చే విధాల సంఖ్య = 8!

ప్రశ్న 3.
5 విభిన్న ఎర్రబంతులు, 4 విభిన్న నల్ల బంతులను ఒక వరుసలో
(i) ఏ రెండు ఒకే రంగు బంతులు పక్క పక్కన లేకుండా
(ii) ఒకే రంగు బంతులన్నీ ఒక చోట ఉండేటట్లు ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
సాధన:
ఎర్రబంతుల సంఖ్య = 5
నల్లబంతుల సంఖ్య = 4
(i) ఏ రెండు ఒకే రంగు బంతులు పక్క ప్రక్కన లేకుండా కావలసిన అమరిక కొరకు ముందుగా నలుగు నల్లని బంతులను అమ్మగల విధానాల సంఖ్య 4!

వాటి మధ్యగల 5 ఖాళీ స్థానాలలో 5 ఎర్రని బంతులను అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 5!
∴ ఏ రెండు ఒకేరంగు బంతులు పక్క పక్కన లేకండా అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 4! 5!

(ii) ఒకే రంగు, బంతులన్నీ ఒక చోట ఉండేటట్లు 4 నల్లని బంతులు ఒక యూనిట్ గాను, 5 ఎర్రబంతులను ఒక యూనిట్గాను అనుకుంటే ఈ రెండు యూనిట్లను అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 2!.
నాలుగు నల్ల బంతులను వాటి వాటిని మార్చి అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 4! అయిదు ఎర్రబంతులను వాటిలో వాటిని మార్చి అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 5!

ప్రశ్న 4.
1, 2, 5, 6, 7 అంకెలనుపయోగించి (i) 2 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 5 (v) 25 తో భాగించబడే 4అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్చు?
సాధన:
1, 2, 5, 6, 7 అంకెలనుపయోగించితే ఏర్పడే నాలుగు అంకెలున్న సంఖ్యలు = ⁵P₄ = \(\frac{5 !}{1 !}\) = 120.
(i) ఆ విధంగా ఏర్పడిన 4 అంకెలున్న సంఖ్య 2తో భాగింపబడ వలయునన్న దాని చివరి (ఒకట్ల) స్థానంలో సరి సంఖ్య ఉండాలి.
ఆ స్థానాన్ని 2 లేదా 6తో నింపవచ్చు ఇప్పుడు మిగిలిన 3 స్థానాలను

మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 2తో భాగింపబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్యలు = 2 × ⁴P₃
= 2 × 4!
= 2(24)
= 48

(ii) ఒక సంఖ్య 3తో భాగింపబడడానికి, ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3తో భాగించబడాలి.
మనకు ఇచ్చిన 5 అంకెల మొత్తం 21 కనుక వీటి నుంచి 4 అంకెలను మొత్తం 3తో భాగించబడే విధంగా ఎంచుకోవాలి అంటే 1, 2, 5, 7 లను ఎన్నుకోవాలి వాటి మొత్తం 15 కనుక
∴ 3తో భాగింపబడే నాలుగు అంకెలున్న సంఖ్యలు = 4! = 24

(iii) ఒక సంఖ్య 4తో భాగించబడాలంటే చివరి రెండు స్థానాల్లో (అంటే పదులు, ఒకట్ల స్థానాల్లో) ఉన్న రెండు అంకెల సంఖ్య 4తో భాగించబడాలి.
కనుక ఆ రెండు స్థానాలను 12, 16, 52, 56, 72, 76 అనే సంఖ్యలతో నింపాలి. అంటే 6 విధాలుగా ఆ రెండు స్థానాలు నింపవచ్చు.
ఇప్పుడు మిగిలిన రెండు స్థానాలను మిగిలిన 3అంకెలలో 3P2 విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 4తో భాగింపబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = 6 × ³P₂
= 6 × 3!
= 6 × 6
= 36

(iv) ఒక సంఖ్య 5తో భాగించబడాలంటే చివరి (ఒకట్ల) స్థానంలో 5 ఉండాలి. (‘0’ కూడా ఉండవచ్చు. కాని ఇచ్చిన అంకెలలో సున్నా లేదు)
కనుక ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₂ విధాలుగా నింపవచ్చు.
5తో భాగింపబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = ⁴P₃ = 4! = 24

(v) ఒక సంఖ్య 25తో భాగించబడాలంటే చివరి రెండు స్థానాలలో 25 లేదా 75తో నింపాలి. (50 లేదా 00 తో కూడా నింప వచ్చు. కాని దత్త అంకెలలో ‘0’ లేదు)
అంటే ఈ స్థానాలు 2 విధాలుగా నింపవచ్చు.
ఇపుడు మిగిలిన రెండు స్థానాలను మిగిలిన 3 అంకెలలో ³P₂ విధాలుగా నింపవచ్చు.
∴ 25తో భాగింపబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య 2 × ³P₂
= 2 × 3!
= 2 × 6
= 12

ప్రశ్న 5.
MASTER పదంలోని అక్షరాలను ప్రసారించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలోరాస్తే ఆ వరుసలో (i) REMAST (ii) MASTER పదాల కోటిలను కనుక్కోండి. [(May ’11); T.S. Mar. ’16; Mar. ’08, ’07; May ’06’ 11, ’08, ’07]
సాధన:
దత్త పదం MASTER లోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం
A E M R S T

కనుక REMAST అనే పదం కోటి = 3 × 5! + 1 × 4! + 1 × 3! + 1
= 3(120) + 24 + 6 + 1
= 360 + 24 + 6 + 1
= 391

(ii) నిఘంటువులో ముందుగా A లో, తరువాత E లో, ఆ తరువాత M తో మొదలయ్యే పదాలు వస్తాయి.
వీటిలోనే మనకు కావలసిన పదం MASTER ఉంది.
కనుక వీటి నిఘంటువు క్రమాన్ని గమనిస్తే, వీటిలో ముందుగా MA తో మొదలయ్యేవి వస్తాయి.
ఈ విధంగా MASTER అనే పదం వచ్చేంత వరకు లెక్కించాలి.

కనుక MASTER అనే పదం కోటి = 2 × 5! + 2 × 3! + 2 × 2! + 1
= 2 (120) + 2(6) + 2 × 2 + 1
= 240 + 12 + 4 + 1
= 257

ప్రశ్న 6.
BRING అనే పదంలోని అక్షరాలను వివిధ రకాలుగా అమరిస్తే వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాసినప్పుడు ఆ క్రమంలో 59వ పదం ఏది?
సాధన:
BRING అనే పదంలో అక్షరాలు నిఘంటువు క్రమం
B, G, I, N, R

∴ 59వ పదం IGRBN అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
1, 2, 4, 5, 6 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే నాలుగు అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి. (పునరావృతం కాకుండా)
సాధన:
మొదటి పద్ధతి:
1, 2, 4, 5, 6 అనే 5 అంకెలతో ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = ⁵P₄ = 5! = 120
ముందుగా ఈ 120 సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోవాలి. ముందుగా ఈ 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కనుక్కొందాం.
ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు.
అంటే పైన చెప్పిన 120 నాలుగు అంకెల సంఖ్యలలో ⁴P₃ సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలో 1 వస్తుంది.
ఇట్లే 2, 4, 5, 6 అంకెలు ఒక్కొక్కటి ⁴P₃ సార్లు ఒకట్ల స్థానంలో వస్తాయి.
ఈ అంకెలన్నీ కలిపితే మనకు 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని మొత్తం = ⁴P₃ × 1 + ⁴P₃ × 2 + ⁴P₃ × 4 + ⁴P₃ × 5 + ⁴P₃ × 6
= ⁴P₃ (1 + 2 + 4 + 5 + 6)
= ⁴P₃ (18)
ఇదే విధంగా ఈ 120 సంఖ్యల పదుల స్థానంలో కూడా పైన చెప్పిన అంకెలు మాత్రమే వస్తాయి.
కనుక పదుల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కూడా ⁴P₃ (18).
కాని పదుల స్థానంలోని మొత్తం కనుక దాని విలువ = ⁴P₃ (1 + 2 + 4 + 5 + 6) 10 = ⁴P₃ (18) (10)
ఇలాగే వందల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం విలువ = ⁴P₃ × 18 × 100
వేల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం విలువ = ⁴P₃ × 18 × 1000
∴ 1, 2, 4, 5, 6 అంకెలతో ఏర్పడే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం = ⁴P₃ × 18 × 1 + ⁴P₃ × 18 × 10 + ⁴P₃ (18) (100) + ⁴P₃ (18) (1000)
= ⁴P₃ × 18 (1 + 10 + 100 + 1000)
= 24 × 18 × 1111
= 4,79,952
రెండో పద్ధతి :
n శూన్యేతర అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పర్చ గల ‘r’ అంకెల సంఖ్యల మొత్తం = ^(n-1)P_(r-1) × దత్త n అంకెల మొత్తం × (111…….1) r సార్లు
ఇచ్చట n = 5, r = 4, దత్త అంకెలు = {1, 2, 4, 5, 6}
∴ {1, 2, 4, 5, 6} అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం (పునరావృతం కాకుండా) = ^(5-1)P_(4-1) × (1 + 2 + 4 + 5 + 6) × (1111)
= ⁴P₃ × 18 × 1111
= 24 × 18 × 1111
= 4,79,952

ప్రశ్న 8.
9 వస్తువులు, 9 పెట్టెలు కలవు. వాటిలో 5 వస్తువులు మూడు చిన్న పెట్టెలలో సరిపోవు. ఒక్కొక్క పెట్టెలో ఒక్కొక్క వస్తువు ఉండేట్లుగా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
సాధన:
వస్తువుల సంఖ్య = 9
పెల సంఖ్య = 9
కావలసిన అమరిక కొరకు, 9 వస్తువులలో 5 వస్తువులు మూడు చిన్న పెట్టిలలో సరిపోవు.
కనుక అయిదు వస్తువులను 6 పెట్టెలలో అమర్చగల విధానల సంఖ్య = ⁶P₅
మిగిలిన 4 వస్తువులను 4 పెట్టెలలో అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 4!
కావలసిన అమరికల సంఖ్య = ⁶P₅ 4!