AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Exercise 5(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Exercise 5(a)

అభ్యాసం – 5(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
nP3 = 1320 అయితే n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
సూచన : nPr = \(\frac{n !}{(n-r) !}\) = n(n – 1) (n – 2)…….(n – r + 1)
nP3 = 1320
= 10 × 132
= 10 × 12 × 11
= 12 × 11 × 10
= 12P3
∴ n = 12

ప్రశ్న 2.
nP7 = 42 . nP5, అయితే n ఎంత? (May ’11, ’07)
సాధన:
nP7 = (42) . nP5
⇒ (n)(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) (n – 5) (n – 6) = 42 (n) (n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4)
⇒ (n – 5) (n – 6) = 42
⇒ (n – 5) (n – 6) = 7 × 6
⇒ n – 5 = 7 లేదా n – 6 = 6
⇒ n = 12

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a)

ప్రశ్న 3.
(n+1)P5 : nP6 = 2 : 7 అయితే n విలువ కనుక్కోండి. [Mar. ’07]
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) I Q3
⇒ 2(n2 – 9n + 20) = 7n + 7
⇒ 2n2 – 22n – 3n + 33 = 0
⇒ 2n2 – 25n + 33 = 0
⇒ 2n(n – 11) – 3(n – 11) = 0
⇒ (n – 11) (2n – 3) = 0
⇒ n = 11 లేదా n = \(\frac{3}{2}\)
∴ n ధన పూర్ణాంకం కనుక n = 11

ప్రశ్న 4.
12P5 + 5 . 12P4 = 13Pr, అయితే r విలువ ఎంత?
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) I Q4

ప్రశ్న 5.
18Pr-1 : 17Pr-1 = 9 : 7, అయితే r విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) I Q5

ప్రశ్న 6.
ఒక వ్యక్తికి నలుగురు కొడుకులున్నారు. అతడికి అందుబాటులో 5 పాఠశాలలున్నాయి. ఏ ఇద్దరు పిల్లలు ఒకే పాఠశాలలో లేకుండా ఆ వ్యక్తి తన పిల్లలను ఎన్ని విధాలుగా పాఠశాలలో చేర్చవచ్చు?
సాధన:
ఏ ఇద్దరు పిల్లలు ఒకే పాఠశాలలో లేకుండా ఒక వ్యక్తి తన 4 గురు కొడుకులను 5 పాఠశాలలో చేర్చే విధాల సంఖ్య = 5P4
= 5 × 4 × 3 × 2
= 120

II.

ప్రశ్న 1.
ఒక రైల్వే లైనులో 25 స్టేషన్లున్నాయి. ఈ స్టేషన్లలో ఒక స్టేషన్ నుంచి మరొక స్టేషన్కు వెళ్ళడానికి అనుమతించేలా ఎన్ని విభిన్న రకాల రెండోతరగతి టిక్కెట్లు ముద్రించాలి?
సాధన:
రైల్వే లైనులో గల స్టేషన్ల సంఖ్య = 25
ఒక స్టేషన్ నుండి మరొక స్టేషన్కు వెళ్ళడానికి అనుమతించే రెండో తరగతి టిక్కెట్ల సంఖ్య = 25P2
= 25 × 24
= 600

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a)

ప్రశ్న 2.
ఒక తరగతిలో 30 మంది విద్యార్థులున్నారు. ప్రతి విద్యార్థి తన సహాధ్యాయులకు ఒక్కొక్కరికి నూతన సంవత్సర శుభాకాంక్షలతో ఒక కార్డు చొప్పున పంపించాలంటే మొత్తం ఎన్ని కార్డులు కావాలి?
సాధన:
తరగతిలో విద్యార్థుల సంఖ్య = 30
ప్రతి విద్యార్థి తన సహాధ్యాయులకు ఒక్కొక్కరికి నూతన సంవత్సర శుభాకాంక్షలతో ఒక కార్డు వంతున పంపించాలంటే కావలసిన కార్డుల సంఖ్య = 30P2
= 30 × 29
= 870

ప్రశ్న 3.
TRIANGLE పదంలోని అక్షరాలను అచ్చుల స్థానాల్లో ఎప్పుడూ అచ్చులు ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
TRIANGLE అనే పదంలో 3 అచ్చులు (I, A, E), 5 హల్లులు (T, R, N, G, L) ఉన్నాయి.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) II Q3
అచ్చుల స్థానాల్లో ఎప్పుడు అచ్చులే ఉండాలి. కనుక 3 అచ్చులను వాటి వాటి స్థానాల్లో 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
ఆ తరువాత మిగిలిన 5 స్థానాల్లో 5 హల్లులను 5! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
కనుక అచ్చుల స్థానాలను మార్చకుండా ఏర్పడే ప్రస్తారాల సంఖ్య = (3!) (5!)
= (6) (120)
= 720

ప్రశ్న 4.
0, 2, 4, 7, 8 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి. (పునరావృతం కానట్లుగా)
సాధన:
మొదటి పద్ధతి:
0, 2, 4, 7, 8 అంకెలతో ఏర్పడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = 5P44P3
= 120 – 24
= 96
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) II Q4
ఈ 96 సంఖ్యలలో
4P33P2 సంఖ్యలలో 2 యూనిట్ల స్థానంలో ఉంటుంది.
4P33P2 సంఖ్యలలో 2 పదుల స్థానంలో ఉంటుంది.
4P33P2 సంఖ్యలలో 2 వందల స్థానంలో ఉంటుంది.
4P3 సంఖ్యలలో 2 వేల స్థానంలో ఉంటుంది.
∴ 2 వల్ల వచ్చే మొత్తం = (4P33P2) 2 + (4P33P2) 20 +(4P33P2) 200 + 4P3 × 2000
= 4P3 (2 + 20 + 200 + 2000) – 3P2 (2 + 20 + 200)
= 24(2222) – 6(222)
= 24 × 2 × 1111 – 6 × 2 × 111
ఇదే విధంగా 4 వల్ల వచ్చే మొత్తం = 24 × 4 × 1111 – 6 × 4 × 111
7 వల్ల వచ్చే మొత్తం = 24 × 7 × 1111 – 6 × 7 × 111
8 వల్ల వచ్చే మొత్తం = 24 × 8 × 1111 – 6 × 8 × 111
∴ 96 సంఖ్యల మొత్తం = (24 × 1111) (2 + 4 + 7 + 8) – (6 × 111) (2 + 4 + 7 + 8)
= 26,664 (21) – 666 (21)
= 21 (26664 – 666)
= 21 (25,998)
= 5,45,958

రెండో పద్ధతి:
ఇచ్చిన n అంకెలలో ‘0’ కూడా ఉంటే, ఈ ‘n’ అంకెలతో ఏర్పరచగల ‘r’ అంకెల సంఖ్యల మొత్తం = (n-1)P(r-1) × దత్త అంకెల మొత్తం × {111…. 1 (r – 1 సార్లు)} (r – 1)
= (n-1)P(r-2) × దత్త అంకెల మొత్తం × {111……..1 (r సార్లు)} (r – 2)
ఇచ్చట n = 5, r = 4, ఇచ్చిన అంకెలు {0, 2, 4, 7, 8}
కనుక {0, 2, 4, 7, 8} అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే, 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం = (5-1)P(4-1) × (0 + 2 + 4 + 7 + 8) × (1111) (4 – 1)
= (5-2)P(r-2) × (0 + 2 + 4 + 7 + 8) × (111) (4 – 2)
= 4P3 (21) (1111) – 3P2 (21) (111)
= 21 [24 × 1111 – 6 × 111]
= 21 [26664 – 666]
= 21 (25 998)
= 5,45,958

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a)

ప్రశ్న 5.
0, 2, 4, 6, 8 అంకెలతో (వాడిన అంకెను వాడకుండా) 4000 కన్నా పెద్ద సంఖ్యలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్చు?
సాధన:
దత్త అంకెలలో ఏర్పడే 5 అంకెల సంఖ్యలు ప్రతీది 4000 కంటే పెద్దది అవుతుంది.
అయితే మొదటి స్థానాన్ని తప్ప మిగిలిన అంకెలలో {2, 4, 6, 8} నింపాలి.
కనుక పదివేల స్థానాన్ని (మొదటి స్థానాన్ని) 4 విధాలుగా నింపవచ్చు.
కనుక 5 అంకెలున్న సంఖ్యలు 4 × 4! = 4 × 24 = 96.
4, 6, 8 తో మొదలయ్యే ప్రతి నాలుగు అంకెల సంఖ్య 4000 కంటే పెద్దది అవుతుంది.
కనుక వేల స్థానాన్ని 3 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో AP విధాలుగా నింపవచ్చు.
కనుక 4000 కన్నా పెద్దవైన 4 అంకెలున్న స్థానాలు 3 × 4P3 = 3 × 24 = 72
∴ 4000 కన్నా పెద్దవైన సంఖ్యలు = 96 + 72 = 168

ప్రశ్న 6.
MONDAY పదంలోని అక్షరాలను అచ్చులు ఎప్పుడూ బేసిస్థానాల్లో ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
MONDAY పదంలో 2 అచ్చులు (O, A) 4 హల్లులు (M, N, D, Y) ఉన్నాయి.
MONDAY పదంలో 6 అక్షరాలున్నవి. అందు 3 సరిస్థానాలు, 3 బేసి స్థానాలు 3 సరిస్థానాల్లో 2 అచ్చులను 3P2 విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
మిగిలిన 4 స్థానాలలో 4 హల్లులను 4! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
ప్రాథమిక సూత్రం ప్రకారం ఈ రెండు పనులను 3P2 × 4! విధాలుగా చేయవచ్చు.
కనుక అచ్చులు ఎల్లప్పుడూ సరిస్థానాలలో ఉండేలా అమర్చే విధాల సంఖ్య = 3P2 × 4!
= 3! x 4!
= 6 × 24
= 144

ప్రశ్న 7.
5 విభిన్న గణిత పుస్తకాలు, 4 విభిన్న భౌతిక శాస్త్ర పుస్తకాలు, 3 విభిన్న రసాయన శాస్త్ర పుస్తకాలను ఒక వరసలో ఒక శాస్త్రానికి సంబంధించిన పుస్తకాలన్నీ ఒకేచోట కలిసి ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
5 విభిన్న గణిత పుస్తకాలు ఒక యూనిట్, 4 విభిన్న భౌతిక శాస్త్ర పుస్తకాలు ఒక యూనిట్, 3 విభిన్న రసాయన శాస్త్ర పుస్తకాలు ఒక యూనిట్ అనుకుంటే 3 యూనిట్లను ఒక వరుస క్రమములో 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఆ తరువాత ఒక యూనిట్లలోని 5 విభిన్న గణిత పుస్తకాలను వాటిలో వాటిని 5! విధాలుగా, వేరొక యూనిట్ లోని 4 విభిన్న భౌతిక శాస్త్ర పుస్తకాలను వాటిలో వాటిని 4! విధాలుగా, మరొక యూనిట్లో ఉన్న 3 విభిన్న రసాయనశాస్త్ర పుస్తకాలను 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
∴ ఒక వరుసలో ఒక శాస్త్రానికి సంబంధించిన పుస్తకాలన్నీ ఒకేచోట కలిసి ఉండేలా అమర్చే విధాల సంఖ్య = 3! × 5! × 4! × 3!

III.

ప్రశ్న 1.
CONSIDER పదంలోని అక్షరాలనుపయోగించి ఎన్ని 5 అక్షరాల పదాలు ఏర్పరచవచ్చు? వాటిలో ఎన్ని పదాలు ‘C’ తో మొదలవుతాయి? ఎన్ని పదాలకు R అక్షరం చివరి అక్షరం అవుతుంది? ఎన్ని పదాలు ‘C’ తో మొదలయి తో అంతమవుతాయి?
సాధన:
CONSIDER అనే పదంలో 8 విభిన్న అక్షరాలున్నాయి.
(i) 5 అక్షరాలతో ఏర్పడే పదాల సంఖ్య
8P5 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6,720
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q1

(ii) AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q1.1
‘C’ తో మొదలయ్యే 5 అక్షరాలున్న పదాల సంఖ్య = 1 × 7P4
= 7 × 6 × 5 × 4
= 840

(iii) AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q1.2
‘R’ తో అంతమయ్యే 5 అక్షరాలున్న పదాల సంఖ్య = 1 × 7P4 = 840

(iv) AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q1.3
‘C’ తో మొదలయి ‘R’ తో అంతమయ్యే 5 అక్షరాలున్న పదాల సంఖ్య = 6P3
= 6 × 5 × 4
= 120

ప్రశ్న 2.
A1, A2, A3,……., A10 అనే 10 మంది విద్యార్థులను ఒక వరుసలో
(i) A1, A2, A3 లు కలిసి ఉండేటట్లు
(ii) A1, A2, A3 లు నిర్దేశించిన క్రమంలో ఉండేటట్లు
(iii) A1, A2, A3, లు ‘నిర్దేశించిన క్రమంలో కలిసి ఉండేటట్లు ఎన్నివిధాలుగా అమర్చవచ్చు?
సాధన:
(i) A1, A2,……., A10 లు 10 మంది విద్యార్ధులు.
A1, A2, A3 లను ఒక యూనిట్గా అనుకుంటే, మిగిలిన 7 గురు, ఈ ఒక యూనిట్ మొత్తం 8 అవుతాయి.
ఈ ఎనిమిదింటిని 8! విధాలుగా అమర్చవచ్చు. ఇపుడు ఒక యూనిట్లో వున్న A1, A2, A3 లను వారిలో వారిని 3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
కనుక ప్రాథమిక సూత్రం ప్రకారం, ఈ రెండు పనులను (8!) (3!) విధాలుగా అమర్చవచ్చును.

(ii) A1, A2, A3 లు నిర్దేశించిన క్రమంలో ఉండేటట్లు అమర్చినివి.
A1, A2, A3 లను 10 స్థానాలలో నిర్దేశించిన ప్రకారం అమర్చే విధాల సంఖ్య = \(\frac{{ }^{10} P_3}{3 !}\)
మిగిలిన 7 గురుని మిగిలిన స్థానాలలో అమర్చే విధాల సంఖ్య = 7!
∴ A1, A2, A3 లు ఒక నిర్దేశించిన ప్రకారం అమర్చే విధాల సంఖ్య
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q2

(iii) A1, A2, A3 లు నిర్దేశించిన క్రమంలో కలిసి ఉండేటట్లు అమర్చాలి.
A1, A2, A3 లను ఒక యూనిట్ అనుకుంటే, మిగిలిన 7 గురు, ఈ ఒక యూనిట్ మొత్తం 8 అవుతాయి.
ఈ ఎనిమిదింటిని ఒక వరస క్రమంలో (8)! విధాలుగా అమర్చవచ్చును.
A1, A2, A3 లు నిర్దేశించిన క్రమంలో కలిసి ఉండాలి కనుక వారిలో వారు తమ తమ స్థానాలను మార్చుకోవటానికి వీలులేదు.
కనుక కోరిన ప్రకారం అమర్చే విధాల సంఖ్య = 8!

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a)

ప్రశ్న 3.
5 విభిన్న ఎర్రబంతులు, 4 విభిన్న నల్ల బంతులను ఒక వరుసలో
(i) ఏ రెండు ఒకే రంగు బంతులు పక్క పక్కన లేకుండా
(ii) ఒకే రంగు బంతులన్నీ ఒక చోట ఉండేటట్లు ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
సాధన:
ఎర్రబంతుల సంఖ్య = 5
నల్లబంతుల సంఖ్య = 4
(i) ఏ రెండు ఒకే రంగు బంతులు పక్క ప్రక్కన లేకుండా కావలసిన అమరిక కొరకు ముందుగా నలుగు నల్లని బంతులను అమ్మగల విధానాల సంఖ్య 4!
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q3
వాటి మధ్యగల 5 ఖాళీ స్థానాలలో 5 ఎర్రని బంతులను అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 5!
∴ ఏ రెండు ఒకేరంగు బంతులు పక్క పక్కన లేకండా అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 4! 5!

(ii) ఒకే రంగు, బంతులన్నీ ఒక చోట ఉండేటట్లు 4 నల్లని బంతులు ఒక యూనిట్ గాను, 5 ఎర్రబంతులను ఒక యూనిట్గాను అనుకుంటే ఈ రెండు యూనిట్లను అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 2!.
నాలుగు నల్ల బంతులను వాటి వాటిని మార్చి అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 4! అయిదు ఎర్రబంతులను వాటిలో వాటిని మార్చి అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 5!

ప్రశ్న 4.
1, 2, 5, 6, 7 అంకెలనుపయోగించి (i) 2 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 5 (v) 25 తో భాగించబడే 4అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్చు?
సాధన:
1, 2, 5, 6, 7 అంకెలనుపయోగించితే ఏర్పడే నాలుగు అంకెలున్న సంఖ్యలు = 5P4 = \(\frac{5 !}{1 !}\) = 120.
(i) ఆ విధంగా ఏర్పడిన 4 అంకెలున్న సంఖ్య 2తో భాగింపబడ వలయునన్న దాని చివరి (ఒకట్ల) స్థానంలో సరి సంఖ్య ఉండాలి.
ఆ స్థానాన్ని 2 లేదా 6తో నింపవచ్చు ఇప్పుడు మిగిలిన 3 స్థానాలను
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q4
మిగిలిన 4 అంకెలతో 4P3 విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 2తో భాగింపబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్యలు = 2 × 4P3
= 2 × 4!
= 2(24)
= 48

(ii) ఒక సంఖ్య 3తో భాగింపబడడానికి, ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3తో భాగించబడాలి.
మనకు ఇచ్చిన 5 అంకెల మొత్తం 21 కనుక వీటి నుంచి 4 అంకెలను మొత్తం 3తో భాగించబడే విధంగా ఎంచుకోవాలి అంటే 1, 2, 5, 7 లను ఎన్నుకోవాలి వాటి మొత్తం 15 కనుక
∴ 3తో భాగింపబడే నాలుగు అంకెలున్న సంఖ్యలు = 4! = 24

(iii) ఒక సంఖ్య 4తో భాగించబడాలంటే చివరి రెండు స్థానాల్లో (అంటే పదులు, ఒకట్ల స్థానాల్లో) ఉన్న రెండు అంకెల సంఖ్య 4తో భాగించబడాలి.
కనుక ఆ రెండు స్థానాలను 12, 16, 52, 56, 72, 76 అనే సంఖ్యలతో నింపాలి. అంటే 6 విధాలుగా ఆ రెండు స్థానాలు నింపవచ్చు.
ఇప్పుడు మిగిలిన రెండు స్థానాలను మిగిలిన 3అంకెలలో 3P2 విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 4తో భాగింపబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = 6 × 3P2
= 6 × 3!
= 6 × 6
= 36

(iv) ఒక సంఖ్య 5తో భాగించబడాలంటే చివరి (ఒకట్ల) స్థానంలో 5 ఉండాలి. (‘0’ కూడా ఉండవచ్చు. కాని ఇచ్చిన అంకెలలో సున్నా లేదు)
కనుక ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో 4P2 విధాలుగా నింపవచ్చు.
5తో భాగింపబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = 4P3 = 4! = 24

(v) ఒక సంఖ్య 25తో భాగించబడాలంటే చివరి రెండు స్థానాలలో 25 లేదా 75తో నింపాలి. (50 లేదా 00 తో కూడా నింప వచ్చు. కాని దత్త అంకెలలో ‘0’ లేదు)
అంటే ఈ స్థానాలు 2 విధాలుగా నింపవచ్చు.
ఇపుడు మిగిలిన రెండు స్థానాలను మిగిలిన 3 అంకెలలో 3P2 విధాలుగా నింపవచ్చు.
∴ 25తో భాగింపబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య 2 × 3P2
= 2 × 3!
= 2 × 6
= 12

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a)

ప్రశ్న 5.
MASTER పదంలోని అక్షరాలను ప్రసారించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలోరాస్తే ఆ వరుసలో (i) REMAST (ii) MASTER పదాల కోటిలను కనుక్కోండి. [(May ’11); T.S. Mar. ’16; Mar. ’08, ’07; May ’06’ 11, ’08, ’07]
సాధన:
దత్త పదం MASTER లోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం
A E M R S T
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q5
కనుక REMAST అనే పదం కోటి = 3 × 5! + 1 × 4! + 1 × 3! + 1
= 3(120) + 24 + 6 + 1
= 360 + 24 + 6 + 1
= 391

(ii) నిఘంటువులో ముందుగా A లో, తరువాత E లో, ఆ తరువాత M తో మొదలయ్యే పదాలు వస్తాయి.
వీటిలోనే మనకు కావలసిన పదం MASTER ఉంది.
కనుక వీటి నిఘంటువు క్రమాన్ని గమనిస్తే, వీటిలో ముందుగా MA తో మొదలయ్యేవి వస్తాయి.
ఈ విధంగా MASTER అనే పదం వచ్చేంత వరకు లెక్కించాలి.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q5.1
కనుక MASTER అనే పదం కోటి = 2 × 5! + 2 × 3! + 2 × 2! + 1
= 2 (120) + 2(6) + 2 × 2 + 1
= 240 + 12 + 4 + 1
= 257

ప్రశ్న 6.
BRING అనే పదంలోని అక్షరాలను వివిధ రకాలుగా అమరిస్తే వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాసినప్పుడు ఆ క్రమంలో 59వ పదం ఏది?
సాధన:
BRING అనే పదంలో అక్షరాలు నిఘంటువు క్రమం
B, G, I, N, R
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q6
∴ 59వ పదం IGRBN అవుతుంది.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a)

ప్రశ్న 7.
1, 2, 4, 5, 6 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే నాలుగు అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి. (పునరావృతం కాకుండా)
సాధన:
మొదటి పద్ధతి:
1, 2, 4, 5, 6 అనే 5 అంకెలతో ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = 5P4 = 5! = 120
ముందుగా ఈ 120 సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోవాలి. ముందుగా ఈ 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కనుక్కొందాం.
ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉంచితే AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a) III Q7 మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో 4P3 విధాలుగా నింపవచ్చు.
అంటే పైన చెప్పిన 120 నాలుగు అంకెల సంఖ్యలలో 4P3 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలో 1 వస్తుంది.
ఇట్లే 2, 4, 5, 6 అంకెలు ఒక్కొక్కటి 4P3 సార్లు ఒకట్ల స్థానంలో వస్తాయి.
ఈ అంకెలన్నీ కలిపితే మనకు 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని మొత్తం = 4P3 × 1 + 4P3 × 2 + 4P3 × 4 + 4P3 × 5 + 4P3 × 6
= 4P3 (1 + 2 + 4 + 5 + 6)
= 4P3 (18)
ఇదే విధంగా ఈ 120 సంఖ్యల పదుల స్థానంలో కూడా పైన చెప్పిన అంకెలు మాత్రమే వస్తాయి.
కనుక పదుల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కూడా 4P3 (18).
కాని పదుల స్థానంలోని మొత్తం కనుక దాని విలువ = 4P3 (1 + 2 + 4 + 5 + 6) 10 = 4P3 (18) (10)
ఇలాగే వందల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం విలువ = 4P3 × 18 × 100
వేల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం విలువ = 4P3 × 18 × 1000
∴ 1, 2, 4, 5, 6 అంకెలతో ఏర్పడే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం = 4P3 × 18 × 1 + 4P3 × 18 × 10 + 4P3 (18) (100) + 4P3 (18) (1000)
= 4P3 × 18 (1 + 10 + 100 + 1000)
= 24 × 18 × 1111
= 4,79,952
రెండో పద్ధతి :
n శూన్యేతర అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పర్చ గల ‘r’ అంకెల సంఖ్యల మొత్తం = (n-1)P(r-1) × దత్త n అంకెల మొత్తం × (111…….1) r సార్లు
ఇచ్చట n = 5, r = 4, దత్త అంకెలు = {1, 2, 4, 5, 6}
∴ {1, 2, 4, 5, 6} అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం (పునరావృతం కాకుండా) = (5-1)P(4-1) × (1 + 2 + 4 + 5 + 6) × (1111)
= 4P3 × 18 × 1111
= 24 × 18 × 1111
= 4,79,952

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 5 ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు Ex 5(a)

ప్రశ్న 8.
9 వస్తువులు, 9 పెట్టెలు కలవు. వాటిలో 5 వస్తువులు మూడు చిన్న పెట్టెలలో సరిపోవు. ఒక్కొక్క పెట్టెలో ఒక్కొక్క వస్తువు ఉండేట్లుగా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
సాధన:
వస్తువుల సంఖ్య = 9
పెల సంఖ్య = 9
కావలసిన అమరిక కొరకు, 9 వస్తువులలో 5 వస్తువులు మూడు చిన్న పెట్టిలలో సరిపోవు.
కనుక అయిదు వస్తువులను 6 పెట్టెలలో అమర్చగల విధానల సంఖ్య = 6P5
మిగిలిన 4 వస్తువులను 4 పెట్టెలలో అమర్చగల విధానాల సంఖ్య = 4!
కావలసిన అమరికల సంఖ్య = 6P5 4!