AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Exercise 6(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Exercise 6(a)

అభ్యాసం – 6(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి క్రింది సమాసాలను విస్తరించి వ్రాయండి.
(i) (4x + 5y)7
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q1(i)

(ii) \(\left(\frac{2}{3} x+\frac{7}{4} y\right)^5\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q1(ii)

(iii) \(\left(\frac{2 p}{5}-\frac{3 q}{7}\right)^6\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q1(iii)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q1(iii).1

(iv) (3 + x – x2)4
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q1(iv)

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 2.
క్రింది పదాలు వ్రాసి సూక్ష్మీకరించండి.
(i) \(\left(\frac{2 x}{3}+\frac{3 y}{2}\right)^9\) లో 6వ పదం [May ’13]
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q2(i)

(ii) (3x – 4y)10 లో 7వ పదం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q2(ii)

(iii) \(\left(\frac{3 p}{4}-5 q\right)^{14}\) లో 10వ పదం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q2(iii)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q2(iii).1

(iv) \(\left(\frac{3 a}{5}+\frac{5 b}{7}\right)^8\) లో rవ పదం (1 ≤ r ≤ 9)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q2(iv)

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమాసాల ద్విపద విస్తరణలలో పదాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
(i) \(\left(\frac{3 a}{4}+\frac{b}{2}\right)^9\)
సాధన:
(x + a)n విస్తరణలో n పదాల సంఖ్య = (n + 1)
∴ \(\left(\frac{3 a}{4}+\frac{b}{2}\right)^9\) ద్విపద విస్తరణలో పదాల సంఖ్య = 9 + 1 = 10

(ii) (3p + 4q)14
సాధన:
(3p + 4q)14 ద్విపద విస్తరణలో పదాల సంఖ్య = 14 + 1 = 15

(iii) (2x + 3y + z)7 [Mar. ’07; Mar. ’14, ’13]
సాధన:
(a + b + c)n విస్తరణలో పదాల సంఖ్య = \(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
n ధన పూర్ణాంకం కనుక
(2x + 3y + z)7 లో పదాల సంఖ్య = \(\frac{(7+1)(7+2)}{2}\)
= \(\frac{8 \times 9}{2}\)
= 36

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 4.
(4x – 7y)49 + (4x + 7y)49 విస్తరణలో శూన్యేతర గుణకాలు కలిగిన పదాలు ఎన్ని?
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q4

ప్రశ్న 5.
(1 + x)39 విస్తరణలో చివరి 20 గుణకాల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q5

ప్రశ్న 6.
(1 + x)2n, (1 + x)2n-1 విస్తరణలలో A, B లు వరుసగా xn గుణకాలు అయితే \(\frac{A}{B}\) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశం ప్రకారం (1 + x)2n మరియు (1 + x)2n-1 విస్తరణలో xn గుణకాలు A మరియు B అనుకొందాం.
∴ A = 2nCn
B = 2n-1Cn
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) I Q6

II.

ప్రశ్న 1.
క్రింది గుణకాలను కనుక్కోండి.
(i) \(\left(3 x-\frac{4}{x}\right)^{10}\) లో x-6 గుణకం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q1(i)

(ii) \(\left(2 x^2+\frac{3}{x^3}\right)^{13}\) లో x11 గుణకం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q1(ii)

(iii) \(\left(7 x^3-\frac{2}{x^2}\right)^9\) లో x2 గుణకం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q1(iii)

(iv) \(\left(\frac{2 x^2}{3}-\frac{5}{4 x^5}\right)^7\) లో x-7 గుణకం
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q1(iv)

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమాసాల ద్విపద విస్తరణలలో x లేని పదం (స్థిర పదం) కనుక్కోండి.
(i) \(\left(\frac{\sqrt{x}}{3}-\frac{4}{x^2}\right)^{10}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q2(i)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q2(i).1

(ii) \(\left(\frac{3}{\sqrt[3]{x}}+5 \sqrt{x}\right)^{25}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q2(ii)

(iii) \(\left(4 x^3+\frac{7}{x^2}\right)^{14}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q2(iii)

(iv) \(\left(\frac{2 x^2}{5}+\frac{15}{4 x}\right)^9\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q2(iv)

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమాసాల ద్విపద విస్తరణలలో మధ్యపదం (పదాలు) కనుక్కోండి.
(i) \(\left(\frac{3 x}{7}-2 y\right)^{10}\)
సాధన:
(x + a)n విస్తరణలో n సరిసంఖ్య అయిన మధ్యపదం \(T_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}\), n బేసిసంఖ్య అయిన రెండు పదాలు \(\frac{T_{n+1}}{2}\), \(\frac{T_{n+3}}{2}\) మధ్యపదాలు అవుతాయి.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q3(i)

(ii) \(\left(4 a+\frac{3}{2} b\right)^{11}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q3(ii)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q3(ii).1

(iii) (4x2 + 5x3)17
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q3(iii)

(iv) \(\left(\frac{3}{a^3}+5 a^4\right)^{20}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q3(iv)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q3(iv).1

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 4.
క్రింది సమాసాల ద్విపద విస్తరణలలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్ఠ పదం (పదాలు) కనుక్కోండి.
(i) (4 + 3x)15, x = \(\frac{7}{2}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q4(i)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q4(i).1

(ii) (3x + 5y)12, x = \(\frac{1}{2}\), y = \(\frac{4}{3}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q4(ii)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q4(ii).1

(iii) (4a – 6b)13, a = 3, b = 5
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q4(iii)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q4(iii).1
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q4(iii).2

(iv) (3 + 7x)n, x = \(\frac{4}{5}\), n = 15
సాధన:
(3 + 7x)n = \(\left[3\left(1+\frac{7}{3} x\right)\right]^n\)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q4(iv)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q4(iv).1

ప్రశ్న 5.
క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) 2.C0 + 5.C1 + 8.C2 + ….. + (3n+2).Cn = (3n + 4) . 2n-1
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q5(i)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q5(i).1

(ii) n ఒక సరిధన పూర్ణంకమైతే C0 – 4 . C1 + 7 . C2 – 10 . C3 + …… = 0
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q5(ii)

(iii) \(\frac{C_1}{2}+\frac{C_3}{4}+\frac{C_5}{6}+\frac{C_7}{8}+\ldots \ldots=\frac{2^n-1}{n+1}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q5(iii)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q5(iii).1

(iv) \(C_0+\frac{3}{2} \cdot C_1+\frac{9}{3} \cdot C_2+\frac{27}{4} \cdot C_3+\ldots \ldots\) \(+\frac{3^n}{n+1} \cdot C_n=\frac{4^{n+1}-1}{3(n+1)}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q5(iv)

(v) C0 + 2 . C1 + 4 . C2 + 8 . C3 + ….. + 2n . Cn = 3n [May ’07]
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q5(v)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q5(v).1

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 6.
క్రింది మొత్తాలను కనుక్కోండి.
(i) \(\frac{{ }^{15} C_1}{{ }^{15} C_0}+2 \cdot \frac{{ }^{15} C_2}{{ }^{15} C_1}+3 \cdot \frac{{ }^{15} C_3}{{ }^{15} C_2}+\ldots \ldots\) \(+15 \cdot \frac{{ }^{15} C_{15}}{{ }^{15} C_{14}}\)
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q6(i)

(ii) C0 . C3 + C1 . C4 + C2 . C5 + ….. + Cn-3 . Cn
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q6(ii)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q6(ii).1

(iii) 22 . C0 + 32 . C1 + 42 . C2 + …… + (n+2)2 . Cn
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q6(iii)

(iv) 3C0 + 6C1 + 12C2 + …… + 3 . 2n . Cn
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q6(iv)

ప్రశ్న 7.
ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి ప్రతి ధన పూర్ణాంకం nకు 50n – 49n – 1 ను 492 భాగిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q7
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q7.1

ప్రశ్న 8.
ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి ప్రతి ధన పూర్ణాంకం nకు 54n + 52n – 1 ను 676 భాగిస్తుందని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q8

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 9.
(1 + x + x2)n = a0 + a1x + a2x2 + …… + a2n x2n, అయితే
(i) a0 + a1 + a2 + ……. + a2n = 3n
(ii) a0 + a2 + a4 + …… + a2n = \(\frac{3^n+1}{2}\)
(iii) a1 + a3 + a5 + …….. + a2n-1 = \(\frac{3^n-1}{2}\)
(iv) a0 + a3 + a6 + a9 + …… = 3n-1 అని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q9
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q9.1
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q9.2

ప్రశ్న 10.
(1 + x + x2 + x3)7 = b0 + b1x + b2x2 + ……. + b21 x21 అయితే
(i) b0 + b2 + b4 + …… + b20
(ii) b1 + b3 + b5 + ….. + b21 విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q10
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q10.1

ప్రశ్న 11.
\(\left(2+\frac{8 x}{3}\right)^n\) విస్తరణలో x11, x12 గుణకాలు సమానమైతే n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q11

ప్రశ్న 12.
22013 ను 17 తో భాగించగా వచ్చే శేషాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
24 = 16
24 ను 17 తో భాగించగా వచ్చే శేషం – 1
22013 = (24)503 . 21
∴ 22013 ను 17 తో భాగించగా వచ్చే శేషం (-1)503 . 2
= (-1) . 2
= -2

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 13.
(1 + x)21 ద్విపద విస్తరణలో (2r + 4), (3r + 4) పదాల గుణకాలు సమానమయితే విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) II Q13

III.

ప్రశ్న 1.
(1 + x)n విస్తరణలో x9, x10, x11 పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉంటే, n2 – 41n + 398 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q1

ప్రశ్న 2.
(1 + x)n విస్తరణలో 3 వరస గుణకాలు 36, 84, 126 అయితే n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q2

ప్రశ్న 3.
(a + x)n విస్తరణలో 2, 3, 4 పదాల గుణకాలు వరుసగా 40, 70, 1080 అయితే a, x, n విలువలు కనుక్కోండి. [T.S. Mar ’16, May ’06]
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q3
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q3.1

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 4.
(1 + x)n విస్తరణలో r, (r + 1), (r + 2) పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉంటే n2 – (4r + 1)n + 4r2 – 2 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q4

ప్రశ్న 5.
\(\left(2 x^3-\frac{3}{x^2}\right)^{14}\) విస్తరణలో x32, x-18 గుణకాల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q5
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q5.1

ప్రశ్న 6.
(x + a)n ద్విపద విస్తరణలో బేసిపదాల మొత్తం P, సరిపదాల మొత్తం Q అయితే (i) P2 – Q2 = (x2 – a2)n (ii) 4PQ = (x + a)2n – (x – a)2n అని నిరూపించండి. [A.P. Mar. ’16]
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q6
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q6.1

ప్రశ్న 7.
(1 + x)n ద్విపద విస్తరణలో 4 వరుస పదాల గుణకాలు వరుసగా a1, a2, a3, a4 అయితే \(\frac{a_1}{a_1+a_2}+\frac{a_3}{a_3+a_4}=\frac{2 a_2}{a_2+a_3}\) అని చూపండి. [Mar. ’11; May ’07]
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q7
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q7.1

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 8.
\(\left({ }^{2 n} C_0\right)^2-\left({ }^{2 n} C_1\right)^2+\left({ }^{2 n} C_2\right)^2-\left({ }^{2 n} C_3\right)^2+\) ……. \(+\left({ }^{2 n} C_{2 n}\right)^2=(-1)^{22 n} C_n\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q8

ప్రశ్న 9.
(C0 + C1) (C1 + C2) (C2 + C3) …. (Cn-1 + Cn) = \(\frac{(n+1)^n}{n !}\) · C0 . C1 . C2 …… Cn అని నిరూపించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q9
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q9.1

ప్రశ్న 10.
\((1+3 x)^n\left(1+\frac{1}{3 x}\right)^n\) విస్తరణలో x లేని పదం (స్థిర పదం) కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q10

ప్రశ్న 11.
(1 + x)2n ద్విపద విస్తరణలోని మధ్యపదం \(\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)}{n !}(2 x)^n\) అనిచూపండి. [May ’06]
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q11
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q11.1

ప్రశ్న 12.
(1 + 3x – 2x2)10 = a0 + a1x + a2x2 + …. + a20x20 అయితే
(i) a0 + a1 + a2 + …… + a20 = 210
(ii) a0 – a1 + a2 – a3 + ……… + a20 = 410 అని నిరూపించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q12

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 13.
(3√3 + 5)2n+1 = x, f = x – [x] అయితే (ఇక్కడ [x] అనేది x పూర్ణాంక భాగాన్ని సూచిస్తుంది.), x . f విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
(3√3 + 5)2n+1 = x
f = x – [x] ⇒ 0 < f < 1
F = (3√3 – 5)2n+1 అనుకోండి.
5 < 3√3 < 6
⇒ 0 < 3√3 – 5 < 1
⇒ 0 < (3√3 – 5)2n+1 < 1
⇒ 0 < F < 1
⇒ 0 > -F > -1
⇒ -1 < -F < 0
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q13

ప్రశ్న 14.
R, n లు ధన పూర్ణాంకాలు, n బేసి పూర్ణాంకం, 0 < F < 1, (5√5 + 11)n = R + F అయితే
(i) R ఒక సరి పూర్ణాంకం
(ii) (R + F) . F = 4n అని చూపండి.
సాధన:
(i) R, n లు ధన పూర్ణాంకాలు
0 < F < 1, (5√5 + 11)n = R + F
(5√5 – 11)n = f అనుకోండి.
121 < 125 < 144 కనుక
ఇప్పుడు 11 < 5√5 < 12
⇒ 0 < 5√5 – 11 < 1
⇒ 0 < (5√5 – 11)n < 1
⇒ 0 < f < 1
⇒ 0 > -f > -1
∴ -1 < -f < 0
R + F – f = (5√5 + 11)n – (5√5 – 11)n
= \(\left[{ }^n C_0(5 \sqrt{5})^n+{ }^n C_1(5 \sqrt{5})^{n-1}(11)\right.\)
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q14

ప్రశ్న 15.
I, n లు ధన పూర్ణాంకాలు 0 < f < 1, (7 + 4√3)n = I + f అయితే
(i) I ఒక బేసి పూర్ణాంకం
(ii) (I + f) (I – f) = 1 అని చూపండి.
సాధన:
I, n లు ధన పూర్ణాంకాలు
(7 + 4√3)n = I + f, 0 < f < 1
7 – 4√3 = F అనుకోండి.
∴ 36 < 48 < 49
ఇప్పుడు 6 < 4√3 < 7
⇒ -6 > 4√3 > -7
⇒ -7< -4√3 < -6
⇒ 0 < (7 – 4√3)n < 1
∴ 0 < F < 1
I + f + F = (7 + 4√3)n + (7 – 4√3)n
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q15
= \(2\left[{ }^n C_0 7^n+{ }^n C_2 7^{n-2}(4 \sqrt{3})^2+\ldots . .\right]\)
= 2k, k పూర్ణాంకం
∴ I + f + F సరిపూర్ణాంకం.
⇒ f + F పూర్ణాంకం, (I పూర్ణాంకం కనుక)
కానీ 0 < f < 1, 0 < F < 1
⇒ 0 < f + F < 2
∴ f + F = 1 …….(1)
⇒ I + 1 సరి పూర్ణాంకం.
∴ I బేసి పూర్ణాంకం.
(I + f) (I – f) = (I + f) F, (1) నుండి
= (7 + 4√3)n (7 – 4√3)n
= [(7 + 4√3) (7 – 4√3)]n
= (49 – 48)n
= 1

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a)

ప్రశ్న 16.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే \(\sum_{r=1}^n r^3\left(\frac{{ }^n C_r}{{ }^n C_{r-1}}\right)^2=\frac{(n)(n+1)^2(n+2)}{12}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 6 ద్విపద సిద్ధాంతం Ex 6(a) III Q16

ప్రశ్న 17.
\(\left(5^{1 / 6}+2^{1 / 8}\right)^{100}\) విస్తరణలో కరణీయ పదాల సంఖ్యను కనుకోండి.
సాధన:
సాధారణ పదం
\(T_{r+1}={ }^{100} C_r\left(5^{1 / 6}\right)^{100-r}\left(2^{1 / 8}\right)^r\) = \({ }^{100} C_r 5^{\frac{100-r}{6}} \cdot 2^{\frac{r}{8}}\)
0 ≤ r ≤ 100 లో r = 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70, 76, 82, 88, 94, 100 అయితే \(\frac{100-r}{6}\) ఒక పూర్ణాంకం
0 ≤ r ≤ 100 లో r = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96\(\frac{r}{8}\) ఒక పూర్ణాంకం
0 ≤ r ≤ 100 అయితే r = 16, 40, 64, 88 అయితే \(\frac{100-r}{6}, \frac{r}{8}\) లు రెండూ పూర్ణాంకాలు
∴ \(\left(5^{1 / 6}+2^{1 / 8}\right)^r\) విస్తరణలో అకరణీయ పదాలు = 4
∴ \(\left(5^{1 / 6}+2^{1 / 8}\right)^r\) విస్తరణలో కరణీయ పదాల సంఖ్య = 101 – 4 = 97