Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు Exercise 7(b) will help students to clear their doubts quickly.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 7 పాక్షిక భిన్నాలు Exercise 7(b)
అభ్యాసం – 7 (బి)
క్రింది భిన్నాలను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
ప్రశ్న 1.
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) [May, Mar. ’11]
సాధన:
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^2+2}\) అనుకుందాం.
2x2 + 3x + 4 = A(x2 + 2) + (Bx + C) (x – 1) …….(1)
x = 1 వ్రాస్తే, 2 + 3 + 4 = A(1 + 2)
⇒ 9 = 3A
⇒ A = 3
(1) లో x2 గుణకాలను పోల్చగా
2 = A + B
⇒ B = 2 – A
⇒ B = 2 – 3
⇒ B = -1
(1) లో స్థిరపదాలను పోల్చగా
4 = 2A – C
⇒ C = 2A – 4
= 6 – 4
= 2
∴ A = 3, B = -1, C = 2
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}=\frac{3}{x-1}+\frac{-x+2}{x^2+2}\)
ప్రశ్న 2.
\(\frac{3 x-1}{\left(1-x+x^2\right)(x+2)}\)
సాధన:
\(\frac{3 x-1}{\left(1-x+x^2\right)(x+2)}=\frac{A}{2+x}+\frac{B x+C}{1-x+x^2}\) అనుకుందాం.
3x – 1 = A(1 – x + x2) (Bx + C) (2 + x) …….(1)
x = -2 వ్రాస్తే, -7 = A(1 + 2 + 4)
⇒ -7 = 7A
⇒ A = -1
(1) లో x2 గుణకాలను పోల్చగా
0 = A + B
⇒ B = -A = 1
స్థిరపదాలను పోల్చగా
-1 = A + 2C
⇒ 2C = -1 – A
⇒ 2C = -1 + 1
⇒ 2C = 0
⇒ C = 0
∴ A = -1, B = 1, C = 0
\(\frac{3 x-1}{\left(1-x+x^2\right)(2+x)}=-\frac{1}{2+x}+\frac{x}{1-x+x^2}\)
ప్రశ్న 3.
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\)
సాధన:
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B x+C}{x^2+1}\) అనుకుందాం.
x2 – 3 = A(x2 + 1) + (Bx + C) (x + 2) …..(1)
x = -2 వ్రాస్తే, 4 – 3 = A(4 + 1)
⇒ 1 = 5A
⇒ A = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో x2 గుణకాలను పోల్చగా
1 = A + B
⇒ B = 1 – A
⇒ B = 1 – \(\frac{1}{5}\)
⇒ B = \(\frac{4}{5}\)
(1) లో స్థిరపదాలను పోల్చగా
-3 = A + 2C
⇒ 2C = -3 – A
⇒ 2C = -3 – \(\frac{1}{5}\)
⇒ 2C = \(-\frac{16}{5}\)
⇒ C = \(-\frac{8}{5}\)
∴ A = \(\frac{1}{5}\), B = \(\frac{4}{5}\), C = \(-\frac{8}{5}\)
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}=\frac{1}{5(x+2)}+\frac{4 x-8}{5\left(x^2+1\right)}\)
ప్రశ్న 4.
\(\frac{x^2+1}{\left(x^2+x+1\right)^2}\)
సాధన:
\(\frac{x^2+1}{\left(x^2+x+1\right)^2}=\frac{A x+B}{x^2+x+1}+\frac{C x+D}{\left(x^2+x+1\right)^2}\) అనుకుందాం.
x2 + 1 = (Ax + B) (x2 + x + 1) + (Cx + D) ……(1)
(1) లో x3 గుణకాలను పోల్చగా, A = 0
(1) లో x2 గుణకాలను పోల్చగా, A + B = 1 ⇒ B = 1
(1) లో x గుణకాలను పోల్చగా, A + B + C = 0
⇒ 1 + C = 0
⇒ C = -1
(1) లో స్థిరపదాలను పోల్చగా, B + D = 1
⇒ D = 1 – B
= 1 – 1
= 0
∴ A = 0, B = 1, C = -1, D = 0
∴ Ax + B = 1, Cx + D = -x
∴ \(\frac{x^2+1}{\left(x^2+x+1\right)^2}=\frac{1}{x^2+x+1}-\frac{x}{\left(x^2+x+1\right)^2}\)
ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^3+x^2+1}{(x-1)\left(x^3-1\right)}\)
సాధన:
∴ x3 + x2 + 1 = A(x – 1) (x2 + x + 1) + B(x2 + x + 1) + (Cx + D) (x – 1)2 ……(2)
x = 1 ను (2) లో వ్రాయగా
1 + 1 + 1 = A(0) + B(1 + 1 + 1) + (C(1) + D) (0)
⇒ 3B = 3
⇒ B = 1
(2) లో x3 గుణకాలను పోల్చగా
1 = A + C ….(3)
(2) లో x2 గుణకాలను పోల్చగా
1 = A(1 – 1) + B(1) + C(-2) + D(1)
⇒ 1 = B – 2C + D
⇒ 1 = 1 – 2C + D
⇒ 2C = D ……..(4)
x = 0 ను (2) లో వ్రాయగా
1 = A(-1) (1) + B(1) + D(-1)2
⇒ A + B + D = 1
⇒ -A + 1 + D = 1
⇒ A = D ……..(5)
(3), (4), (5) ల నుండి
1 = D + \(\frac{D}{2}\)
⇒ \(\frac{3D}{2}\) = 1
⇒ D = \(\frac{2}{3}\)
(5) నుండి A = \(\frac{2}{3}\)
(4) నుండి C = \(\frac{\mathrm{D}}{2}=\frac{\left(\frac{2}{3}\right)}{2}=\frac{1}{3}\)
