AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు Ex 8(a)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు Exercise 8(a) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 8 విస్తరణ కొలతలు Exercise 8(a)

అభ్యాసం – 8(ఎ)

I.

ప్రశ్న 1.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
(i) 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44
సాధన:
దత్తాంశానికి అంకమధ్యమము
\(\bar{x}=\frac{38+70+48+40+42+55+63+46+54+44}{10}\)
= \(\frac{500}{10}\)
= 50
విచలనాల పరమ మూల్యాలు \(\left|x_i-\bar{x}\right|\)
|50 – 38|, |50 – 70|, |50 – 48|, |50 – 40|, |50 – 42|, |50 – 55|, |50 – 63|, |50 – 46|, |50 – 54|, |50 – 44|
= 12, +20, 2, 10, 8, +5, +13, 4, +4, 6
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{\sum_{i=1}^{10}\left|x_i-\bar{x}\right|}{10}\)
= \(\frac{12+20+2+10+8+5+13+4+4+6}{10}\)
= \(\frac{84}{10}\)
= 8.4

(ii) 3, 6, 10, 4, 9, 10
సాధన:
దత్తాంశానికి అంకమధ్యమము
\(\bar{x}=\frac{3+6+10+4+9+10}{6}\)
= \(\frac{42}{6}\)
= 7
విచలనాల పరమ మూల్యాలు \(\left|x_i-\bar{x}\right|\)
|3 – 7|, |16 – 7|, |10 – 7|, |4 – 7|, |9 – 7|, |10 – 7|
= 14, 1, 3, 3, 2, 3
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{\sum_{i=1}^6\left|x_i-\bar{x}\right|}{6}\)
= \(\frac{4+1+3+3+2+3}{6}\)
= \(\frac{16}{6}\)
= 2.666

ప్రశ్న 2.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి. [A.P. Mar. ’16]
(i) 13, 17, 16, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17
సాధన:
అవర్గీకృత దత్తబిందువులు
13, 17, 16, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17
దత్తబిందువులను పరిమాణం పరంగా ఆరోహణక్రమంలో వ్రాయగా
10, 11, 11, 12, 13, 13, 16, 16, 17, 17, 18
∴ మధ్యగతం = 13 = b (అనుకొనిన)
పరమ మూల్య విలువలు
|13 – 10|, |13 – 11|, |13 – 11|, |13 – 12|, |13 – 13|, |13 – 13|, |13 – 16|, |13 – 16|, |13 – 17|, |13 – 17|, |13 – 18|
= 3, 2, 2, 1, 0, 0, 3, 3, 4, 4, 5
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{\sum_{i=1}^{11}\left|x_i-b\right|}{11}\)
= \(\frac{3+2+2+1+0+0+3+3+4+4+5}{11}\)
= \(\frac{27}{11}\)
= 2.45

(ii) 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2
సాధన:
అవర్గీకృత దత్తబిందువులు
4, 6, 9, 3, 10, 13, 2
దత్తబిందువులను పరిమాణం పరంగా ఆరోహణక్రమంలో వ్రాయంగా
2, 3, 4, 6, 9, 10, 13
∴ మధ్యగతం = 6 = b (అనుకొనిన)
పరమ మూల్య విలువలు
|6 – 2|, |6 – 3|, |6 – 4|, |6 – 6|, |6 – 9|, |6 – 10|, |6 – 13|
= 4, 3, 2, 0, 3, 4, 7
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{\sum_{i=1}^7\left|x_i-b\right|}{7}\)
= \(\frac{4+3+2+0+3+4+7}{7}\)
= 3.285

ప్రశ్న 3.
క్రింది విభాజనానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
(i)

సాధన:
పట్టికను నిర్మిద్దాం

(ii)

సాధన:
పట్టికను నిర్మిద్దాం

ప్రశ్న 4.
క్రింది పౌనఃపున్య విభాజనానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమవిచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:

\(\frac{N}{2}\) = 13
∴ మధ్యగతం = 7
మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\) Σf_i |x_i – మధ్యగతం|
= \(\frac{1}{26}\) (84)
= 3.23

II.

ప్రశ్న 1.
(i) క్రింది అవిచ్ఛిన్న విభాజనాలకు మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
పట్టికను నిర్మిద్దాం

\(\frac{N}{2}\) = 25 వ పరిశీలన, 20-30 తరగతి అంతరంలో ఉన్నది.
ఇదే మధ్యగత తరగతి
∴ మధ్యగతం = \(L+\left\{\frac{\frac{N}{2}-P \cdot C \cdot f}{f}\right\}i\)
= 20 + \(\left\{\frac{25-14}{14}\right\} 10\)
= 20 + 7.857
= 27.857
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^6 f_1 \mid x_i\) – మధ్యగతం|
= \(\frac{1}{50}\) (517.1)
= 10.34

(ii)

సాధన:
\(\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{100}{2}\) = 50వ పరిశీలన, 40-50 తరగతి అంతరంలో ఉన్నది.
ఇదే మధ్యగత తరగతి
∴ మధ్యగతం = \(L+\left\{\frac{\frac{N}{2}-P \cdot C \cdot f}{f}\right\} \times i\)
= 40 + \(\left\{\frac{50-32}{28}\right\} \times 10\)
= 40 + 6.43
= 46.43
పట్టికను నిర్మిద్దాం

∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^8 f_i \mid x_i\) – మధ్యగతం|
= \(\frac{1}{100}\) (1428.6)
= 14.286

ప్రశ్న 2.
క్రింది అవిచ్ఛిన్న విభాజనానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహత్మక మధ్యమం a = 130 మరియు h = 10
పట్టికను నిర్మిద్దాం

\(\bar{x}=a+\left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right) h\)
= 130 + \(\left(\frac{-47}{100}\right) 10\)
= 130 – 4.7
= 125.3
మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^6 f_i\left|x_i-\bar{x}\right|\)
= \(\frac{1}{100}\) (1428.8)
= 14.288

ప్రశ్న 3.
క్రింది ఇచ్చిన విచ్ఛిన్న దత్తాంశానికి విస్తృతిని కనుక్కోండి.
(i) 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12
సాధన:
ఇచ్చిన విచ్ఛిన్న దత్తాంశం 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12
మధ్యమం \(\overline{\mathrm{x}}=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}\)
= \(\frac{72}{8}\)
= 9
పట్టికను నిర్మిద్దాం

విస్తృతి σ² = \(\frac{1}{n} \sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2\)
= \(\frac{1}{8}\) (74)
= 9.25

(ii) 350, 361, 370, 373, 376, 379, 385, 387, 394, 395
సాధన:
ఇచ్చిన విచ్ఛిన్న దత్తాంశం 350, 361, 370, 373, 376, 379, 385, 387, 394, 395
మధ్యమం \(\bar{x}=\frac{350+361+370+373+376+379+385+387+394+395}{10}\) = 377
పట్టికను నిర్మిద్దాం

విస్తృతి σ² = \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{10}\left(x_i-\bar{x}\right)^2\)
= \(\frac{1}{10}\) (1832)
= 183.2

ప్రశ్న 4.
క్రింది పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి, ప్రామాణిక విచలనాలను కనుక్కోండి.

సాధన:
పట్టికను నిర్మిద్దాం

\(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{N}=\frac{760}{40}=19\)
విస్తృతి σ² = \(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^7 f_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2\)
= \(\frac{1}{40}\) (1736)
= 43.4
∴ ప్రామాణిక విచలనం σ = \(\sqrt{43.4}\) = 6.59

III.

ప్రశ్న 1.
542 సభ్యుల వయస్సు విభాజనం తెలిపే క్రింది పట్టికలోని దత్తాంశానికి సోపాన విచలన పద్ధతినుపయోగించి మధ్యమాన్ని, విస్తృతిని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహత్మక మధ్యమం A = 55 మరియు h = 10
అపుడు y_i = \(\frac{x_i-55}{10}\)
పట్టికను నిర్మిద్దాం

మధ్యమం \(\bar{x}=A+\left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right) h\)
= 55 + \(\left(\frac{-15}{542}\right) 10\)
= 55 – 0.277
= 54.723 సం॥
విస్తృతి σ² = \(\frac{h^2}{N^2}\left[N \sum f_i y_i^2-\left(\sum f_i y_i\right)^2\right]\)
= \(\frac{100}{(542)^2}\) [542(765) – (-15)²]
= \(\frac{100}{293764}\) [414630 – 225]
= \(\frac{100}{293764}\) (414405)
= 141.07 సం॥

ప్రశ్న 2.
రెండు విభాజనాల విచలనాంకాలు 60, 70 వాటి ప్రామాణిక విచలనాలు వరసగా 21, 16 వాటి అంకమధ్యమాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన విభాజనాల విచలనాంకం C.V = 60
ప్రామాణిక విచలనం σ = 21
విచలనాంకం = \(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\)
⇒ \(\bar{x}=\frac{\sigma}{C . V} \times 100\) = \(\frac{21}{60}\) × 100
అంకమధ్యమం = 35
ఇచ్చిన విభాజనాల విచలనాంకం C.V = 70
ప్రామాణిక విచలనం = 16
విచలనాంకం = \(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\)
⇒ \(\bar{x}=\frac{\sigma}{C . V} \times 100\)
= \(\frac{16}{70}\) × 100
= 22.85

ప్రశ్న 3.
10 రోజులపాటు జరిగిన వర్తకంలో క్రింది ఇచ్చిన X, Y వాటాల (షేరుల) ధరల నుంచి, ఏ షేరు (వాటా) ఎక్కువ నిలకడ కలిగినదో కనుక్కోండి.

సాధన:
X వాటాల మధ్యమం
\(\bar{x}=\frac{35+54+52+53+56+58+52+50+51+49}{10}=\frac{510}{10}\) = 51
Y వాటాల మధ్యమం
\(\bar{y}=\frac{108+107+105+105+106+107+104+103+104+101}{10}\)
= \(\frac{1050}{10}\)
= 105

X వాటాల ప్రామాణిక విచలనం = σ_x = \(\sqrt{\frac{1}{n} \Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)^2}\)
= \(\sqrt{\frac{1}{10}(350)}\)
= 5.92
Y వాటాల ప్రామాణిక విచలనం = σ_y = \(\sqrt{\frac{1}{n} \sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}\)
= \(\sqrt{\frac{1}{10}(40)}\)
= 2
X వాటాల విచలనాంకం = \(\frac{\sigma_x}{\bar{x}} \times 100\)
= \(\frac{5.92}{51}\) × 100
= 11.61
Y వాటాల విచలనాంకం = \(\frac{\sigma_y}{\bar{y}} \times 100\)
= \(\frac{2}{105}\) × 100
= 1.91
\(\bar{x}<\bar{y}\) మరియు X వాటాల విచలనాంకం > Y వాటాల విచలనాంకం కావున
∴ Y షేరు (వాటా) ఎక్కువ నిలకడ కలిగి ఉన్నది.

ప్రశ్న 4.
5 పరిశీలనల మధ్యమం 4.4. వాటి నిస్తృతి 8.24. వాటిలో మూడు పరిశీలనలు 1, 2, 6 అయితే మిగిలిన రెండు పరిశీలనలను కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన రెండు పరిశీలనలు x, y అనుకొనుము.
దత్తాంశాల నుండి 5 పరిశీలనల మధ్యమం 4.4
⇒ \(\frac{1+2+6+x+y}{5}\) = 4.4
⇒ 9 + x + y = 22
⇒ x + y = 13 ……..(1)
5 పరిశీలనల విస్తృతి = 8.24
⇒ \(\frac{1}{5}\) [(1 – 4.4)² + (2 – 4.4)² + (6 – 4.4)² + (x – 4.4)² + (y – 4.4)²] = 8.24
⇒ (-3.4)² + (-2.4)² + (1.6)² + x² – 8.8x + 19.36 + y² – 8.8y + 19.36 = 41.2
⇒ x² + y² – (8.8) (x + y) = 41.2 – 11.56 – 5.76 – 2.56 – 19.36 – 19.36
⇒ x² + y² – (8.8) (13) = -17.4
⇒ x² + y² = -17.4 + 114.4
⇒ x² + y² = 97
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ 169 = 97 + 2xy
⇒ 2xy = 72
⇒ xy = 36
(x – y)² = (x + y)² – 4xy
= 169 – 144
= 25
⇒ x – y = 5 …….(2)
(1) + (2) ⇒ 2x = 18
⇒ x = 9
(1) – (2) ⇒ 2y = 8
⇒ y = 4
∴ కావలసిన మిగిలిన రెండు పరిశీలనలు 4, 9.

ప్రశ్న 5.
9 అంశాలు కలిగిన ఒక సమితి యొక్క అంకమధ్యమం, ప్రామాణిక విచలనాలు వరసగా 43, 5. ఈ సమితికి 63 విలువ గల ఒక అంశం చేర్చితే, ఇచ్చిన 10 అంశాల సమితికి కొత్త మధ్యమం, ప్రామాణిక విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి 9 అంశాల అంకమధ్యమం = 43
∴ \(\bar{x}=\frac{1}{9} \sum_{i=1}^9 x_i\) = 43
⇒ Σx_i = 387
9 అంశాలు కలిగిన సమితికి 63 విలువగల ఒక అంశం చేర్చగా
Σy_i = Σx_i + 63
= 387 + 63
= 450
∴ \(\frac{1}{10} \sum y_i\) = \(\frac{1}{10}\) (450) = 45
∴ కొత్త మధ్యమం = 45
దత్తాంశం నుండి 9 అంశాల ప్రామాణిక విచలనం = 5
⇒ σ = 5
⇒ σ² = 25
⇒ \(\frac{1}{9} \sum_{i=1}^9\left(x_i-\bar{x}\right)^2\) = 5
⇒ \(\sum_{i=1}^9\left(x_i-43\right)^2\) = 225 …….(1)
కొత్త విస్తృతి σ² = \(\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10}\left(y_i-45\right)^2\)
= \(\frac{1}{10}\) [(x₁ – 45)² + (x₂ – 45)² + …….. + (x₉ – 45)² + (63 – 45)²]
మొదట 9 అంశాలు ఒకే రకం i.e, x_i = y_i, i = 1, 2, 3, …., 9
= \(\frac{1}{10}\) [(x₁ – 43 – 2)² + (x₂ – 43 – 2)² + ……. + (x₉ – 43 – 2)² + 324]
= \(\frac{1}{10}\) [(x₁ – 43)² + 4 – 2 . 2 . (x₁ – 43) + (x₂ – 43)² + 4 – 2 . 2 . (x₂ – 43) + …. + (x₉ – 43)² + 4 – 2 . 2 . (x₉ – 43) + 324]
= \(\frac{1}{10}\) [(x₁ – 43)² + (x₂ – 43)² + …… + (x₉ – 43)² + 36 – 4{x₁ – 43 + x₂ – 43 ….. + x₉ – 43} + 324]
= \(\frac{1}{10}\) [225 + 36 – 4(x₁ + x₂ + ……. + x₉ – 387) + 324]
= \(\frac{1}{10}\) [225 + 36 – 4(387 – 387) + 324]
= \(\frac{1}{10}\) [585]
= 58.5
కొత్త ప్రామాణిక విచలనం σ = \(\sqrt{58.5}\) = 7.65