AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Ex 9(c)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2A Textbook Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Exercise 9(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 9 సంభావ్యత Exercise 9(c)

అభ్యాసం – 9(సి)

I.

ప్రశ్న 1.
ఒక గుట్టలో గల 50 స్కూలలో 5 చెడిపోయినవి. ఈ గుట్టలో నుంచి మూడు స్క్రూలను యాదృచ్ఛికంగా తీశారు. (a) తీసిన స్కూలను తిరిగి భర్తీ చేసే విధంగా (b) తీసిన స్క్రూలను తిరిగి భర్తీ చేయని విధంగా వీటిని ఎంపిక చేశారనుకుంటే, మూడు స్క్రూలు పనిచేసేవి అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
మొత్తం స్క్రూల సంఖ్య = 50
అందు చెడిపోయినవి = 5
మంచివి = 45
E అనేది 3 స్క్రూలు చెడిపోయినవి అయ్యే ఘటన.
(a) ఒక స్క్రూను ఎన్నుకొన్న వెంటనే తిరిగి అందులోకే చేర్చడం.
P(E) = \(\frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1} \times \frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1} \times \frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1}\) {తీసిన స్క్రూలను తిరిగి భర్తీ చేయబడినది}
= \(\frac{45}{50} \times \frac{45}{50} \times \frac{45}{50}\)
= \(\frac{9}{10} \times \frac{9}{10} \times \frac{9}{10}\)
= \(\left(\frac{9}{10}\right)^3\)
(b) ఒక స్క్రూను ఎన్నుకొన్న వెంటనే తిరిగి అందులోకి చేర్చకపోవడం
P(E) = \(\frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1} \times \frac{{ }^{44} C_1}{{ }^{49} C_1} \times \frac{{ }^{43} C_1}{{ }^{48} C_1}\)
= \(\frac{45}{50} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48}\)
= \(\frac{1419}{1960}\)

ప్రశ్న 2.
ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B, C లు మూడు స్వతంత్ర ఘటనలవుతూ P(A ∩ B^C ∩ C) = \(\frac{1}{4}\), P(A^C ∩ B ∩ C^C) = \(\frac{1}{8}\)‚ P(A^C ∩ B^C ∩ C^C) = \(\frac{1}{4}\) అయినప్పుడు P(A), P(B), P(C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B, C లు మూడు స్వతంత్ర ఘటనలు

ప్రశ్న 3.
ఒక సంచిలో 3 నల్లని, 4 తెల్లని బంతులు ఉన్నాయి. రెండో సంచిలో 4 నల్లని, 3 తెల్లని బంతులు ఉన్నాయి. ఒక పాచికను, దొర్లించి దానిపై 1 లేదా 3 పడినప్పుడు మొదటి సంచిని ఎంపిక చేస్తారు. మిగిలిన సందర్భాలలో రెండో సంచిని ఎంపిక చేస్తారు. ఒక సంచిని ఈ విధంగా ఎంపిక చేసినప్పుడు ఒక నల్లని బంతిని తీసే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
పాచికపై 1 లేదా 3 పడినప్పుడు మొదటి సంచిని ఎంపిక చేస్తారు.
∴ మొదటి సంచిని ఎన్నుకొనేందుకు సంభావ్యత = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
∴ రెండవ సంచిని ఎన్నుకొనేందుకు సంభావ్యత = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
మొదటి సంచిని ఎంపికచేసి అందులో నల్లబంతి తీసేందుకు సంభావ్యత = \(\frac{1}{3} \times \frac{3}{7}=\frac{3}{21}\)
ఇక రెండవ సంచిని ఎంపికచేసి అందులో నల్ల బంతి తీసేందుకు సంభావ్యత = \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{7}=\frac{8}{21}\)
∴ ఎన్నుకొన్న సంచి నుంచి నల్లని బంతి వచ్చే సంభావ్యత = \(\frac{3}{21}+\frac{8}{21}=\frac{11}{21}\)

ప్రశ్న 4.
A, B, C లు ఒక బుడగను పేల్చడానికి ప్రయత్నం చేస్తారు. 5 ప్రయత్నాలలో 4 సార్లు A సఫలమవుతాడు. 4 ప్రయత్నాలలో 3 సార్లు B, 3 ప్రయత్నాలలో 2 సార్లు C సఫలం అవుతారు. ముగ్గురు ఏకకాలంలో బుడగను పేల్చడానికి సంసిద్ధం అయితే, కనీసం ఇద్దరు బుడగను పేల్చివేసే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
A అనేవాడు బుడగను పేల్చడానికి సంభావ్యత P(A) = \(\frac{4}{5}\)

వారి ముగ్గురిలో కనీసం ఇరువురు బుడగను పేల్చడానికి సంభావ్యత.
A, B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు

ప్రశ్న 5.
A, B లు రెండు ఘటనలైతే \(P\left(\frac{A}{B}\right) P(B)+P\left(\frac{A}{B^C}\right) P\left(B^C\right)=P(A)\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
ఒక జత పాచికలను దొర్లించారు. ఏ పాచిక 2ను చూప నట్లయితే, ఆ పాచికలపై మొత్తం 7 రాగల సంభావ్యత ఎంత?
సాధన:
A అనేది రెండు పాచికలపై మొత్తం 7 రాగల ఘటన. అప్పుడు
A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
B అనేది ఏ పాచిక 2 ను చూపనట్టి ఘటన.
B = {(1,1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(B) = 25
A ∩ B = ((1, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 1)}
n(A ∩ B) = 4
కావలసిన సంభావ్యత
\(P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{4}{25}\)

ప్రశ్న 7.
ఒక జత పాచికలను దొర్లించారు. ఆ పాచికలపై మొత్తం 7 అయినప్పుడు, ఏ ఒక పాచిక రెండు చూపకపోయే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
పాచికలపై మొత్తం 7 రావటం అనే ఘటన A అనుకుంటే,
A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
∴ n(A) = 6
ఏ ఒక పాచిక రెండు చూపకపోవటం అనే ఘటన B అనుకుంటే,
B = {(1,1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A ∩ B = {(1, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 1)}
n(A ∩ B) = 4
∴ కావలసిన సంభావ్యత
\(P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{n(A \cap B)}{n(A)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 8.
A, B లు ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఘటనలు; P(B) ≠ 1, \(P\left(\frac{A}{B^C}\right)=\frac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)}\) అని చూపండి.
సాధన:
నియత సంభావ్యతా నిర్వచనం నుండి
\(P\left(\frac{A}{B^C}\right)=\frac{P\left(A \cap B^C\right)}{P\left(B^C\right)}=\frac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)}\)
[∵ A ∩ B^C = A – (A ∩ B), P(B^C) = 1 – P(B)]

ప్రశ్న 9.
ఒక పాత్రలో 12 ఎర్రని బంతులు, 12 ఆకుపచ్చని బంతులు ఉన్నాయి. ఒకదాని వెంబడి మరొకటి, భర్తీ చేయని విధంగా రెండు బంతులను తీశారు. మొదట తీసిన బంతి ఎర్రనిది అయినప్పుడు, రెండో బంతి ఆకుపచ్చనిది కాగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
పాత్రలోని బంతుల సంఖ్య = 12 + 12 = 24
అందులో ఒక బంతిని ఎన్నుకొనే విధానాలు = ²⁴C₁ = 24 = n(S)
E₁ అనేది మొదటిసారి తీసిన బంతి ఎర్రనిది అయ్యే ఘటన
n(E₁) = ¹²C₁ = 12
P(E₁) = \(\frac{n\left(E_1\right)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\)
మొదటిసారి తీసిన బంతి సంచిలో చేర్చలేదు కనుక ఇప్పుడు సంచిలోని బంతుల సంఖ్య = 23
రెండవసారి తీసిన బంతి ఆకుపచ్చనిది అయ్యే ఘటన E₂ అనుకుందాం.
\(P\left(\frac{E_2}{E_1}\right)=\frac{12}{23}\)
P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁) . P(E₁/E₂)
కావలసిన సంభావ్యత = \(\frac{1}{2} \times \frac{12}{23}=\frac{6}{23}\)

ప్రశ్న 10.
ఒక పాచికను, వరుసగా 2 సార్లు దొర్లించారు. రెండో ప్రయత్నంలో చూపే సంఖ్య, మొదటి ప్రయత్నంలో చూపే సంఖ్య కంటే పెద్దది కాగల సంభావ్యత ఎంత?
సాధన:
ఒక పాచికను వరుసగా రెండుసార్లు దొర్లించారు.
కనుక n(S) = 6 × 6 = 36
E అనేది మొదటి ప్రయత్నంలో దొర్లించినప్పుడు పాచికపై వచ్చే సంఖ్య కంటే రెండో ప్రయత్నంలో దొర్లించినప్పుడు దానిపై వచ్చే సంఖ్య పెద్దది అయ్యే ఘటన
E = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)}
n(E) = 15
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\)

ప్రశ్న 11.
ఒక చీట్ల పేక కట్ట నుంచి ఒక పేక ముక్కను యాదృచ్ఛికంగా తీశారు. తీసినది ఆసు అయ్యే ఘటన, ఆటీను అయ్యే ఘటన స్వతంత్ర ఘటనలని చూపండి. [May ’13]
సాధన:
ఒక చీట్లపేక కట్టనుంచి ఒక ముక్కను యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే ఆసు అయ్యే ఘటన A అని, ఆటీను అయ్యే ఘటన B అని అనుకొనుము.
∴ P(A) = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
P(B) = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
A ∩ B అనునది ఆటీను ఆసు అయ్యే ఘటన
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{52}=\frac{1}{13} \cdot \frac{1}{4}\) = P(A) . P(B)
∴ A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు.

ప్రశ్న 12.
A అనే బాలుడు స్కాలర్షిప్ పొందే సంభావ్యత 0.9, B అనే మరో బాలుడు స్కాలర్షిప్ పొందే సంభావ్యత 0.8, వీరిలో కనీసం ఒకరు స్కాలర్షిప్ పొందే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన:
బాలుడు A స్కాలర్షిప్ పొందడానికి సంభావ్యత P(A) = 0.9
బాలుడు B స్కాలర్షిప్ పొందడానికి సంభావ్యత P(B) = 0.8
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) P(B)
= 0.9 + 0.8 – (0.9) (0.8)
= 1.7 – 0.72
= 0.98
n(S) = ⁵²C₁ = 52
n(A) = ⁴C₁ = 4
n(B) = ¹³C₁ = 13
∴ A, B లో కనీసం ఒకరు స్కాలర్షిప్ పొందడానికి సంభావ్యత = P(A ∪ B) = 0.98

ప్రశ్న 13.
P(A ∪ B) = 0.65, P(A ∩ B) = 0.15 అయ్యేటట్లు A, Bలు రెండు ఘటనలు. అప్పుడు P(A^C) + P(B^C) విలువను కనుక్కోండి. [May ’11; Mar. ’05]
సాధన:
A, B లు రెండు ఘటనలు.
P(A ∪ B) = 0.65, P(A ∩ B) = 0.15
∵ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
⇒ 0.65 = P(A) + P(B) – 0.15
⇒ P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.80
ఇప్పుడు P(A^C) + P(B^C) = [1 – P(A)] + [1 – P(B)]
= 2 – (P(A) + P(B))
= 2 – 0.80
= 1.2
∴ P(A^C) + P(B^C) = 1.2

ప్రశ్న 14.
A, B, C స్వతంత్ర ఘటనలు అయితే, A ∪ B మరియు C కూడా స్వతంత్ర ఘటనలని చూపండి.
సాధన:
A, B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు కనుక A, B; B, C; C, Aలు కూడా స్వతంత్ర ఘటనలే.
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C) ……(1)
P(A ∩ C) = P(A) . P(C)
P(B ∩ C) = P(B) . P(C)
P[(A ∪ B) ∩ C] = P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)]
= P(A ∩ C) + P(B ∩ C) – P[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)]
= P(A) . P(C) + P(B) . P(C) – P(A ∩ B ∩ C)
= P(A) . P(C) + P(B) . P(C) – P(A) . P(B) . P(C)
= P(C) [P(A) + P(B) – P(A) – P(B)]
= P(C) [P(A ∪ B)]
∴ P[(A ∪ B) ∩ C) = P(A ∪ B) . P(C)
కనుక A ∪ B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు.

ప్రశ్న 15.
రెండు ఘటనలు జరిగే సంభావ్యత \(\frac{1}{6}\) అయ్యేటట్లు, రెండూ జరగకపోవడానికి గల సంభావ్యత \(\frac{1}{3}\) అయ్యేటట్లుగా A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలు. P(A) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\)
⇒ P(A) . P(B) = \(\frac{1}{6}\) …….(1)

ప్రశ్న 16.
ఒక నిష్పాక్షిక పాచికను దొర్లించారు.
A = {1, 3, 5}, B = {2, 3}, C = {2, 3, 4, 5} ఘటనలను తీసుకోండి.
(i) P(A ∩ B), P(A ∪ B) (ii) \(P\left(\frac{A}{B}\right), P\left(\frac{B}{A}\right)\) (iii) \(P\left(\frac{A}{C}\right), P\left(\frac{C}{A}\right)\) (iv) \(P\left(\frac{B}{C}\right), P\left(\frac{C}{B}\right)\) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక పాచికను దొర్లించారు.
n(S) = 6
∵ A = {1, 3, 5)
⇒ P(A) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
B = {2, 3)
⇒ P(B) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
C = {2, 3, 4, 5}
⇒ P(C) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
(i) A ∩ B = {3}
∴ P(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\)
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
P(A ∪ B) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 17.
A, B, C ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని మూడు ఘటనలు. క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
(i) \(P\left(\frac{A}{A}\right)\) = 1
సాధన:
\(P\left(\frac{A}{A}\right)=\frac{P(A \cap A)}{P(A)}=\frac{P(A)}{P(A)}=1\)

(ii) \(P\left(\frac{\phi}{A}\right)\) = 0
సాధన:
\(P\left(\frac{\phi}{A}\right)=\frac{P(A \cap \phi)}{P(A)}=\frac{P(\phi)}{P(A)}=\frac{0}{P(A)}=0\)

(iii) A ⊆ B ⇒ \(P\left(\frac{A}{C}\right) \leq P\left(\frac{B}{C}\right)\)
సాధన:

(iv) P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B)
సాధన:
A – B = {x/x ∈ A ∩ x ∉ B}
∴ A-B = A – (A ∩ B)

P(A – B) = P[A – (A ∩ B) = P(A) – P(A ∩ B)]

(v) A, B లు పరస్పర వివర్జితాలై, P(B) > 0 అయితే \(P\left(\frac{A}{B}\right)\) = 0.
సాధన:
A, B లు పరస్పర వివర్జితాలు.
∴ A ∩ B = φ
\(P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(\phi)}{P(B)}=\frac{0}{P(B)}=0\)

(vi) A, B లు పరస్పర వివర్జితాలైతే, \(P\left(\frac{A}{B^C}\right)=\frac{P(A)}{1-P(B)}\); P(B) ≠ 1.
సాధన:
A, B లు పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు.
A ∩ B = φ
∴ P(A ∩ B) = 0

(vii) A, B పరస్పర వివర్జితాలైతే, P(A ∪ B) ≠ 0 అయితే \(\mathbf{P}\left(\frac{\mathbf{A}}{\mathbf{A} \cup \mathbf{B}}\right)=\frac{\mathbf{P}(\mathbf{A})}{\mathbf{P}(\mathbf{A})+\mathbf{P}(\mathbf{B})}\)
సాధన:

ప్రశ్న 18.
ఒక నాణేన్ని మూడుసార్లు ఎగురవేశారనుకోండి. మూడు బొమ్మలు వచ్చే ఘటన A, మొదటిసారి ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మ వచ్చే ఘటన B అనుకోండి. అప్పుడు A, B లు అస్వతంత్ర ఘటలని చూపండి.
సాధన:
నాణేన్ని మూడు సార్లు ఎగురవేశారు కనుక
n(S) = 2³ = 8
A అనేది 3 బొమ్మలు వచ్చే ఘటన
n(A) = ³C₃ = 1
∴ P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{8}\)
B అనేది మొదటిసారి ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ వచ్చే ఘటన.
B{(HTT), (HHT), (HHH), (HTH)}
P(B) = \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
A ∩ B = {HHH}
n(A ∩ B) = 1
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{8}\)
P(A) . P(B) = \(\frac{1}{8} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{16}\)
∴ P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)
∴ A, B లు అస్వతంత్ర ఘటనలు.

ప్రశ్న 19.
ఒక నిష్పాక్షిక పాచికల యుగ్మాన్ని దొర్లించారు. రెండింటి పై ముఖాలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటన A అనుకోండి. రెండింటి ముఖాల పైన వచ్చే సంఖ్యల మొత్తం 7 కంటే ఎక్కువ అయ్యే ఘటన B అనుకోండి. అప్పుడు (i) \(P\left(\frac{A}{B}\right)\) (ii) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు నిష్పాక్షిక పాచికలను దొర్లించారు. కనుక
n(S) = 36
A అనేది రెండు పాచికలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చే ఘటన
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,6)}
n(A) = 6
B అనేది రెండింటి పైన వచ్చే సంఖ్యల మొత్తం 7 కంటే ఎక్కువ అయ్యే ఘటన.
B = {(2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5) (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(B) = 15
A ∩ B = {(4, 4), (5, 5), (6, 6)}
n(A ∩ B) = 3

ప్రశ్న 20.
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలనడానికి ఆవశ్యక పర్యాప్త నియమం \(P\left(\frac{A}{B}\right)=P\left(\frac{A}{B^C}\right)\) అని చూపండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు అని నిరూపించటానికి P(A ∩ B) = P(A) . P(B) అని చూపాలి.

II.

ప్రశ్న 1.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.75 తో A, B స్వతంత్ర ఘటనలనుకోండి. అప్పుడు (i) P(A ∩ B) (ii) P(A ∪ B) (iii) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) (iv) P(A^C ∩ B^C) లను కనుక్కోండి. [Mar. ’14]
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7
(i) P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
= 0.6 × 0.7
= 0.42
(ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
= 0.6 + 0.7 – 0.42
= 1.3 – 0.42
= 0.88
(iii) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) = P(B) = 0.7
∵ A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు
(iv) P(A^C ∩ B^C) = P(A^C) . P(B^C)
(∵ A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలైన A^C, B^C లు కూడా స్వతంత్ర ఘటనలు)
= [1 – P(A)] [1 – P(B)]
= (1 – 0.6) (1 – 0.7)
= (0.4) (0.3)
= 0.12

ప్రశ్న 2.
ఒక క్రికెట్ ఆటలో ఇండియాపై ఆస్ట్రేలియా గెలిచే సంభావ్యత \(\frac{1}{3}\). ఇండియా, ఆస్ట్రేలియా 3 ఆటలలో ఆడితే,
(i) ఆస్ట్రేలియా మూడు ఆటలు ఓడిపోయే సంభావ్యతను,
(ii) ఆస్ట్రేలియా కనీసం ఒక ఆట గెలిచే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
E అనేది ఇండియాపై ఆస్ట్రేలియా గెలిచే ఘటన అనుకుందాం.
P(E) = \(\frac{1}{3}\)
P(\(\bar{E}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{2}{3}\)
(i) ఆస్ట్రేలియా మూడు ఆటలు ఓడిపోవడానికి సంభావ్యత = (P(\(\bar{E}\)))3
= \(\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
= \(\frac{8}{27}\)
(ii) ఆస్ట్రేలియా కనీసం ఒక ఆట గెలిచే సంభావ్యత = 1 – (P(\(\bar{E}\)))3
= 1 – \(\frac{8}{27}\)
= \(\frac{19}{27}\)

ప్రశ్న 3.
I, II, III అంకెలను కలిగిన మూడు పెట్టెలలో క్రింది విధంగా బంతులు ఉన్నాయి. [A.P. Mar. ’16]

ఒక పెట్టెను ఎంచుకొని అందులోనుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీశారు. బంతి ఎర్రనిదైతే అది పెట్టె II నుంచి తీయగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
E₁, E₂, E₃ లు వరుసగా I, II, III పెట్టెలను ఎన్నుకునే ఘటనలు అనుకుందాం.
P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\)
పెట్టె I నుండి ఎర్ర బంతిని ఎన్నుకోవటానికి సంభావ్యత
P(R/E₁) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
ఇట్లే P(R/E₂) = \(\frac{1}{4}\), P(R/E₃) = \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
తీసిన బంతి ఎర్రనిది అయితే అది పెట్టె II నుంచి తీయగల సంభావ్యత (బేయీ సిద్ధాంతం నుంచి)

ప్రశ్న 4.
ఒకనికి నిర్మాణపు కంపెనీలో ఉద్యోగం లభించింది. ఆ కంపెనీలోని పనివారు సమ్మెకు దిగే సంభావ్యత 0.65 సమ్మె లేనప్పుడు నిర్మాణం పని సరైన సమయంలో పూర్తయ్యే సంభావ్యత 0.80. సమ్మె ఉన్నప్పటికీ, నిర్మాణం పని పూర్తయ్యే సంభావ్యత 0.32, అయితే నిర్మాణం పని సరైన సమయంలో పూర్తయ్యే సంభావ్యతను నిర్ధారించండి.
సాధన:
P(S) = కంపెనీలోని పనివారు సమ్మెకు దిగే సంభావ్యత = 0.65
P(\(\bar{S}\)) = కంపెనీలోని పనివారు సమ్మెకు దిగకుండా ఉండుటకు సంభావ్యత
= 1 – P(S)
= 1 – 0.65
= 0.35
\(P\left(\frac{E}{S}\right)\) = సమ్మె ఉన్నప్పటికీ, నిర్మాణం పని పూర్తయ్యే సంభావ్యత = 0.32
\(P\left(\frac{E}{\bar{S}}\right)\) = సమ్మె లేకుండా నిర్మాణ పని సరైన సమయంలో పూర్తయ్యే సంభావ్యత = 0.80
P(E) = నిర్మాణపని సరైన సమయంలో పూర్తి కావడానికి సంభావ్యత
= \(P(S) P\left(\frac{E}{S}\right)+P(\bar{S}) P\left(\frac{E}{\bar{S}}\right)\)
= (0.65) (0.32) + (0.35) (0.08)
= 0.2080 + 0.2800
= 0.4880

ప్రశ్న 5.
ఏవైనా రెండు ఘటనలు A, B లకు P(A ∩ B) – P(A) . P(B) = P(A^C) P(B) – P(A^C ∩ B) = P(A) P(B^C) – P(A ∩ B^C) అని చూపండి.
సాధన:
P(A^C) P(B) – P(A^C ∩ B)
= [1 – P(A)] P(B) – P[B – (A ∩ B)]
= P(B) – P(A) P(B) – P(B) + P(A ∩ B)
= P(A ∩ B) – P(A) P(B)
∴ P(A^C) P(B) – P(A^C ∩ B) = P(A ∩ B) – P(A) P(B) …….(1)
P(A) P(B^C) – P(A ∩ B^C) = P(A) [1 – P(B)] – P[A – (A ∩ B)]
= P(A) – P(A) P(B) – P(A) + P(A ∩ B)
= P(A ∩ B) – P(A) P(B)
∴ P(A) P(B^C) – P(A ∩ B^C) = P(A ∩ B) – P(A) P(B) ……..(2)
∴ (1), (2) ల నుండి,
P(A ∩ B) – P(A) P(B) = P(A^C) P(B) – P(A^C ∩ B) = P(A) P(B^C) – P(A ∩ B^C)

III.

ప్రశ్న 1.
మూడు పాత్రలు క్రింది విధంగా బంతులను కలిగి ఉన్నాయి.
పాత్ర I: 1 తెల్లనిది, 2 నల్లనివి
పాత్ర II: 2 తెల్లనివి, 1 నల్లనివి
పాత్ర III: 2 తెల్లనివి, 2 నల్లనివి
ఒక పాత్రను యాదృచ్ఛికంగా ఎంపికచేసి, దాని నుంచి ఒక బంతిని తీశారు. అది తెల్లనిదిగా గుర్తించారు. ఆ బంతి పాత్ర III నుంచి తీయగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
i పాత్రను ఎన్నుకొనే ఘటనను E_i (i = 1, 2, 3) తో సూచిస్తే, i అనే పాత్రను ఎన్నుకోవటానికి సంభావ్యత P(E_i)
ఇచ్చట P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\)
i పాత్ర నుండి తెల్లబంతి రావటం అనే ఘటనను (W/E_i) తో సూచిస్తే, దాని సంభావ్యత P(W/E_i) అవుతుంది.
ఇప్పుడు P(W/E₁) = \(\frac{1}{3}\)
P(W/E₂) = \(\frac{2}{3}\)
P(W/E₃) = \(\frac{2}{4}\)
తీసిన బంతి తెల్లనిది అయితే అది పాత్ర III నుంచి రావటానికి సంభావ్యత (బేయీ సిద్ధాంతం నుంచి)

ప్రశ్న 2.
ఒక కాల్పుల పోటీలో A, B, C లక్ష్యాన్ని ఛేదించే సంభావ్యతలు వరుసగా \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}\). వీరందరూ ఒకే లక్ష్యాన్ని కాల్పులు జరిపినప్పుడు
(i) ఒకే ఒకరు లక్ష్యాన్ని ఛేదించే
(ii) కనీసం ఒకరు లక్ష్యాన్ని ఛేదించే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
కాల్పుల పోటీలో A, B, C లక్ష్యాన్ని ఛేదించే సంభావ్యతలు వరుసగా

ప్రశ్న 3.
ఒక కళాశాలలో 25% బాలురు, 10% బాలికలు గణితాన్ని అభ్యసిస్తున్నారు. విద్యార్థుల సంఖ్యలో బాలికలు 60% యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక విద్యార్థి గణితం చదువుతున్నట్లయితే, ఆ విద్యార్థి బాలిక కాగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఎన్నుకోబడిన విద్యార్థి బాలిక కాగల సంభావ్యత
P(G) = \(\frac{60}{100}=\frac{6}{10}\)
ఎన్నుకోబడిన విద్యార్థి బాలుడు కాగల సంభావ్యత
P(B) = 1 – P(G)
= 1 – \(\frac{6}{10}\)
= \(\frac{4}{10}\)
బాలుడు గణితం అభ్యసించడానికి సంభావ్యత
P(M/B) = \(\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\)
ఇట్లే P(M/G) = \(\frac{10}{100}=\frac{1}{10}\)
ఎంపిక చేసిన విద్యార్థి గణితం చదువుతున్నట్లయితే, ఆ విద్యార్థి బాలిక కాగల సంభావ్యత (బేయీ సిద్ధాంతం ప్రకారం)

ప్రశ్న 4.
ఒకనికి ‘3’ సార్లలో ‘2’ సార్లు నిజం చెప్పే అలవాటు ఉంది. అతడు ఒక పాచికను దొర్లించి అది ‘1’ అని నివేదిస్తాడు. అది నిజంగా ‘1’ అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(T) = ప్రతి 3 సార్లలో 2 సార్లు నిజం చెప్తే అంతని సంభావ్యత = \(\frac{2}{3}\)
P(F) = 1 – P(T)
= 1 – \(\frac{2}{3}\)
= \(\frac{1}{3}\)
అతడు 1 అని నివేదించిన తరువాత పాచిక 1 చూపితే నిజం చెప్పినట్లు మరియు 1 చూపకపోతే అబద్ధం చెప్పినట్లు.
P(1) = \(\frac{1}{6}\) మరియు P(T) = \(\frac{5}{6}\)
P(T/1) = P(1 పడితే నిజం చెప్పినట్లు) = \(\frac{2}{3}\)
P(F/T) = P(అబద్ధం చెప్పినట్లు నిజం కాకపోతే) = \(\frac{1}{3}\)
బేయీ సిద్ధాంతం నుంచి

∴ అది నిజంగా 1 అయ్యే సంభావ్యత = \(\frac{2}{7}\)