AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 6 సమాకలనం Ex 6(c)

Practicing the Intermediate 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(c) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 6 సమాకలనం Exercise 6(c)

అభ్యాసం 6(సి)

I. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫x sec² x dx, x ∈ I ⊂ R \ {\(\frac{(2 n+1) \pi}{2}\) ; nపూర్ణాంకం}
సాధన:
∫ x sec² x dx = x (tan x) – ∫ tan x dx
= x tan x – log | sec x | + C

ప్రశ్న 2.
∫e^x(Tan^-1 x + \(\frac{1}{1+x^2}\))dx, x ∈ R.
సాధన:
∫e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x. f(x) + C
f(x) = tan^-1 x so that f'(x) = \(\frac{1}{1+x^2}\)
∴ ∫e^x(tan^-1 x + \(\frac{1}{1+x^2}\))dx = e^x tan^-1 x + C

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{\log x}{x^2}\)dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫(log x)² dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:
∫(log x)² dx = (log x)² x – ∫x. 2 log x . \(\frac{1}{x}\) dx
= x (log x)² – 2∫ log x dx
= x(log x)² – 2(x. log x – ∫x\(\frac{1}{x}\) dx)
= x(log x)² – 2x. log x + 2x + C

ప్రశ్న 5.
∫e^x(sec x + sec x tan x) dx, x ∈ I ⊂ R \ {(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) : n ∈ Z}.
సాధన:
∫e^x(sec x + sec x tan x) dx = e^x. sec x + C
[∫e^x[f(x) + f'(x)] dx = e^xf(x) + C]

ప్రశ్న 6.
∫e^x cos x dx, x ∈ R.
సాధన:
I = ∫e^x cos x dx = e^x sin x – ∫sin x. e^x dx
= e^x. sin x + e^x . cos x – ∫e^x . cos x dx
= e^x(sin x + cos x) – I
2I = e^x(sin x + cos x)
I = \(\frac{e^x}{2}\)(sin x + cos x) + C

ప్రశ్న 7.
∫e^x (sin x + cos x)dx, x ∈ R.
సాధన:
∫e^x (sin x + cos x)dx
f(x) = sin x ⇒ f'(x) = cos x
∴ ∫e^x (sin x + cos x)dx = e^x. sin x + C

ప్రశ్న 8.
∫(tan x + log sec x)e^x dx, x ∈ ((2n – \(\frac{1}{2}\)π, (2n + \(\frac{1}{2}\)π)) n ∈ Z. (May. ’07, Mar. 08)
సాధన:
t = log |sec x| ⇒ dt = \(\frac{1}{\sec x}\). sec x. tan x dx
= tan x dx
∫(tan x + log sec x)e^x dx = e^x. log|sec x| + C

II. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫xⁿ log x dx x ∈ (0, ∞), n వాస్తవ సంఖ్య n ≠ -1.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
∫log (1 + x²) dx, x ∈ R.
సాధన:
∫log (1 + x²) dx
= [log(1 + x²) . x – ∫x \(\frac{1}{1+x^2}\) 2x dx
= x log (1 + x²) – 2∫\(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\) dx
= x log (1 + x²) – 2∫dx + 2∫\(\frac{d x}{1+x^2}\)
= x log (1 + x²) – 2x + 2 tan^-1x + C

ప్రశ్న 3.
∫\(\sqrt{\mathbf{x}}\) log x dx, x ∈ (0, ∞). (TS. Mar. 16)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫\(e^{\sqrt{x}}\) dx, x ∈ (0, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 5.
∫x² cos x dx, x ∈ R.
సాధన:
∫x² cos x dx = x² (sin x) – ∫ sin x (2x dx)
= x² sin x + 2∫x(-sin x) dx
= x². sin x +2 [x cos x – ∫ cos x dx]
= x² sin x + 2x cos x – 2 sin x + C.

ప్రశ్న 6.
∫x sin²x dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫x cos²x dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
∫cos \(\sqrt{\mathbf{x}}\) dx, x ∈ R.
సాధన:
x = t² ⇒ dx = 2t dt
I = 2∫t . cos t dt = 2(t sin t – ∫ sin t dt)
= 2(t sin t + cos t) + C
= 2\(\sqrt{x}\)sin \(\sqrt{x}\) + 2 cos \(\sqrt{x}\) + C

ప్రశ్న 9.
∫x sec² 2x, x ∈ R \ {(2nπ + 1)\(\frac{\pi}{4}\) : n ∈ Z}
సాధన:

ప్రశ్న 10.
∫x cot² x dx, x ∈ I ⊂ R {nπ : n ∈ Z}.
సాధన:
∫x cot² x dx
= ∫x(cosec²x – 1) dx
= ∫x cosec²x dx – ∫x dx
= x(-cot x) + ∫cot x dx – \(\frac{x^2}{2}\)
= -x cot x + log |sin x| – \(\frac{x^2}{2}\) + C

ప్రశ్న 11.
∫e^x (tan x + sec² x) dx. x ∈ I ⊂ R \ {(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) : n ∈ Z}.(Mar.’06)
సాధన:
f(x) = tanx ⇒ f'(x) = sec²x dx
I = ∫e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x. f(x) + C
= e^x. tan x + C

ప్రశ్న 12.
∫e^x\(\left(\frac{1+x \log x}{x}\right)\)dx, x ∈ (0, ∞) (Mar. 13)
సాధన:
∫e^x\(\left(\frac{1+x \log x}{x}\right)\) dx = ∫e^x(log x + \(\frac{1}{x}\))dx
= e^x. log x + C

ప్రశ్న 13.
∫e^ax sin bx dx , x ∈ R, a, b ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
∫\(\frac{x e^x}{(x+1)^2}\) dx, x ∈ R \ {-1}
సాధన:

ప్రశ్న 15.
∫\(\frac{d x}{\left(x^2+a^2\right)^2}\), (a > 0), x ∈ R.
సాధన:
x = a tan t ప్రతిక్షేపిస్తే
dx = a sec² t dt అవుతాయి.

ప్రశ్న 16.
∫e^xlog (e2x + 5ex + 6) dx, x ∈ R.
సాధన:
∫e^x log (e^2x + 5e^x + 6)dx
∵ e^2x + 5e^x + 6 = (e^x + 2) (e^x + 3)
= ∫e^x. log ((e^x + 2) (e^x + 3)) dx
= ∫e^x {log (e^x + 2) + log (e^x + 3)} dx
= ∫e^x log (e^x + 2)dx + ∫e^x log (e^x + 3) dx
e^x = t ⇒ e^x dx = dt

ప్రశ్న 17.
∫e^x \(\frac{x+2}{(x+3)^2}\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {3}.
సాధన:

ప్రశ్న 18.
∫cos (log x) dx, x = (0, ∞).
సాధన:
log x = t అయితే
x = e^t
dx = e^t. dt
I = ∫e^t. cos t. dt
= e^t sint – ∫sint. e^t dt
= e^t. sin t + cost. e^t – ∫e^t. cost dt
2I = e^t. (sin t + cos t)
I = \(\frac{e^t}{2}\) (sin t + cos t)
= \(\frac{x}{2}\)[sin (log x) + cos (log x)] + C

III. కింది సమాకలనులను గణించండి.

ప్రశ్న 1.
∫x tan^-1 x dx, x ∈ R. (Mar. 05)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
∫x² tan^-1 x dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
∫\(\frac{\tan ^{-1} x}{x^2}\) dx, x ∈ I ⊂ R \ {0}.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
∫x cos^-1x dx, x ∈ (-1, 1)
సాధన:

ప్రశ్న 5.
∫x² sin^-1x dx, x ∈ (-1, 1).
సాధన:

ప్రశ్న 6.
∫x log (1 + x)dx, x ∈ (-1, ∞).
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫sin \(\sqrt{x}\) dx, x ∈ (0, ∞)
సాధన:
x = t² ⇒ dx = 2t dt
∫sin \(\sqrt{x}\) dx = 2 ∫ t. sin t dt
= 2(t(-cos t) + ∫cos t dt)
= -2t cos t + 2 sin t
= -2\(\sqrt{x}\) cos \(\sqrt{x}\) + 2 sin \(\sqrt{x}\) + C

ప్రశ్న 8.
∫e^axsin(bx + c)dx, (a, b, c ∈ R, b ≠ 0), x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
∫a^x cos 2x dx, x ∈ R (a > 0, a ≠ 1).
సాధన:

ప్రశ్న 10.
∫tan^-1 \(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)dx, x ∈ I ⊂ R \ {-\(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)}.
సాధన:
x = tan t ⇒ dx = sec² t dt

ప్రశ్న 11.
∫sinh^-1x dx, x ∈ R.
సాధన:

ప్రశ్న 12.
∫cosh^-1x dx, x ∈ [-1, ∞].
సాధన:

ప్రశ్న 13.
∫tanh^-1x dx, x ∈ (-1, 1).
సాధన: