AP 10th Class Maths Notes 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు

Students can go through AP Board 10th Class Maths Notes 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 10th Class Maths Notes 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు

→ బ్రహ్మగుప్త క్రీ.శ. 598 – 670 :

• బ్రహ్మగుప్త క్రీ.శ. 598లో ఉజ్జయినిలో జన్మించాడు.
• భారతీయ గణితాన్ని పునర్జీవింపజేసి ఒక స్థిరమైన స్థానాన్ని కల్పించిన ఆర్యభట్టకు సుమారు 100 సం||రాల తర్వాత కేవలం ఆర్యభట్ట ప్రతిపాదనలను వివరముగా చెప్పడమేగాక తనవైన గణిత సూత్రాలతో భారతదేశ గణిత చరిత్రకే గాక ప్రపంచ గణిత చరిత్రకే శోభను, విలువను ప్రసాదించాడు బ్రహ్మగుప్తుడు.
• క్రీ.శ. 628లో “బ్రహ్మస్పుట సిద్ధాంత” అనే గ్రంథాన్ని రచించాడు. ఇందులో 12, 13వ అధ్యాయాలలో గణితాన్ని గురించి రచించాడు. ఇవి పద్యరూపంలో ఉన్నాయి. అంక గణితం, పూర్ణ సంఖ్యలు, భిన్నాలు, శ్రేణులు, సామాన్య వడ్డీ, క్షేత్రగణితం, సమతల జ్యామితి ఉన్నాయి.
• ఇతను వరాహమిహిరునితో కలసి హెరాన్ త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రం ఆధారంగా చతుర్భుజ వైశాల్యానికి \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\) అనే సూత్రాన్ని రూపొందించాడు. కాని ఇది చక్రీయ చతుర్భుజానికి మాత్రమే వర్తిస్తుందని ఆ తర్వాత గుర్తించాడు.
• ఇతని బీజగణితం ముఖ్యంగా ఖగోళ శాస్త్రానికి వర్తిస్తుంది. ఇతడు x² + px + q² = 0 వంటి వర్గ సమీకరణాల సాధనకు కొన్ని నియమాలను ఇచ్చాడు. ఇతను రుణ సంఖ్యల ఉనికిని గుర్తించి
  డయోఫాంటస్ గుర్తించిన ax² + bx = c,

→ వర్గ బహుపది : p(x) = ax² + bx² + c, a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు a #0 రూపంలో ఉన్న రెండవ పరిమాణ బహుపదిని వర్గ బహుపది అంటాము.

→ వర్గ సమీకరణం : a, b, c లు వాస్తవ సంఖ్యలై a # 0 అయిన ax² + bx + c = 0 ను X లో వర్గ సమీకరణం అంటాము. అనగా p(x) ఒక వర్గబహుపది అవుతూ p(x) = 0 రూపంలో వున్న వాటిని వర్గ సమీకరణాలు అంటారు.
ఉదా :

• 2x² – 3x + 1 = 0
• 4 – 8x + 4x² = 0
• p(x) = x² + 7x + 10 ఒక వర్గ బహుపది.
  p(x) = 0 అయినపుడు x² + 7x + 10 = 0 ఒక వర్గ సమీకరణం అవుతుంది.

→ వర్గ సమీకరణ ప్రామాణిక రూపము ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, y = ax² + bx + c ను వర్గ ప్రమేయము అంటారు.

→ వర్గ సమీకరణం యొక్క సాధన లేక మూలాలు : ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తిపరిచే X యొక్క
విలువను వర్గ సమీకరణం యొక్క సాధన లేక మూలము అంటారు. ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణానికి aα² + bα + c = 0 అయితే α ఒక మూలము అవుతుంది.

గమనిక : ax² + bx + c బహుపది యొక్క శూన్య విలువలు మరియు ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఒక్కటే అనగా సమానాలు.

ఉదా :
x² – 7x + 10 = 0 వర్గ సమీకరణంలో x = 2 అయిన
(2)² – 7(2) + 10 = 0 .
4 – 14 + 10 = 0 ⇒ 14 – 14 = 0 = 0 = 0
x = 2 వర్గ సమీకరణం x² – 7x + 10 = 0 ను తృప్తిపరచుచున్నది. కావున. x² – 7x + 10 = 0 కు 2 ఒక మూలము.
x² – 7x + 10 = 0 అనే వర్గ బహుపదికి 2 ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది. అని గమనించగలరు.

→ మోనిక్ వర్గ సమీకరణము : ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 అనే వర్గ సమీకరణంలో a = 1 అయితే ఆ వర్గ సమీకరణాన్ని మోనిక్ వర్గ సమీకరణం అంటారు.
ఉదా : x² – 7x + 10 = 0
5 + 2x + x² = 0 లు మోనిక్ వర్గ సమీకరణాలు.
2x² – 5x + 20 = 0 మోనిక్ వర్గ సమీకరణం కాదు.

→ వర్గ సమీకరణాల యొక్క మూలాలను కనుగొనే పద్ధతులు :

1. కారణాంక విభజన పద్ధతి
2. వర్గమును పూర్తి చేయు పద్ధతి
3. సూత్ర పద్దతి

1. కారణాంక ‘విభజన పద్ధతి ద్వారా సాధించుట : ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణంలో మధ్య పదమును విడగొట్టుటకు p + 4 = b మరియు p × q = a × c అయ్యే విధంగా p, q అనే రెండు సంఖ్యలను కనుగొనాలి. ax² + bx + c = 0 ను ax² + px + 4x + c = 0 గా రాస్తాము. ఆ తరువాత ax² + px + qx + c = 0 ను రెండు రేఖీయ కారణాంకాల లబ్దంగా రాస్తాము. ఈ రెండు రేఖీయ కారణాంకాల శూన్యవిలువలను కనుగొనాలి. ఈ శూన్య . విలువలే ax² + bx + c = 0 కు మూలాలు అవుతాయి.

ఉదా : 2x² – 5x + 2 = 0 యొక్క వర్గమూలాలు కనుగొందాం.
a = 2, b = – 5, c = 2
b = (-4) + (-1), a × c = 2 × 2 = 4 = (- 4) × (-1)
2x² – 5x + 2 = 0
2x² – 4x – x + 2 = 0
2x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0
(x – 2) (2x – 1) = 0.
x – 2 = 0.
x = 2
(లేదా)
2x – 1 = 0
2x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
2x² – 5x + 2 = 0 యొక్క వర్గమూలాలు 2, \(\frac{1}{2}\)

2. వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా సాధించుట : పై కారణాంక విభజన పద్ధతి అన్ని సందర్భం సులభం కాకపోవచ్చును. అలాంటప్పుడు మనకు ఇతర పద్దతులు ఆ ముసలము, అలంలో పరులలో ఈ కుల ద్వారా సాధించు పద్ధతి ఒకటి. ఈ పద్ధతి a² + 2ab + b² = (a + b)² to a² – 2ab + b² = (a – b)² అనే సర్వసమీకరణాల రూపంలోకి ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాన్ని మార్చి సాధిస్తాము. ఈ పద్ధతిలో సాధించేటప్పుడు ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాన్ని మోనిక్ వర్గ సమీకరణంగా మార్చుకొని సాధనను మొదలుపెడతాము.

సాధన సోపాన క్రమము :
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 అనుకొనుము.
సోపానం – 1: సమీకరణాన్ని aతో భాగించి మోనిక్ వర్గ సమీకరణంగా మార్చడం.
\(\frac{a x^{2}}{a}+\frac{b x}{a}+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}\) ⇒ x² + \(\frac{b x}{a}+\frac{c}{a}\) = 0

సోపానం – 2 : స్థిరపదం ను కుడివైపుకు తీసుకెళ్ళడం. ⇒ x² + \(\frac{b x}{a}=-\frac{c}{a}\)
సోపానం – 3 : ఎడమ భాగం ఒక సంపూర్ణ వర్గం అవుటకు సమీకరణానికి ఇరువైపులా \(\) ను కలపదం.

సోపానం – 4 : ఎడమవైపు భాగాన్ని ద్విపది వర్గ విస్తరణ రూపం a² + 2ab + b² రూపంలో రాసి, ద్విపది వర్గం (a + b)² గా రాయడం. కుడి భాగాన్ని సూక్ష్మీకరించడం.

సోపానం – 5 : ఇరువైపులా వర్గమూలం తీసుకోని

సోపానం – 6 : \(\frac{b}{2a}\) కుడివైపుకు తీసుకెళ్ళడం

ఉదా : 2x² – 5x + 2 = 0 వర్గసమీకరణ మూలాలు కనుగొందాం.
సాధన : 2x² – 5x + 2 = 0, (ఇరువైపులా 2తో భాగించగా) .

3. సూత్ర పద్ధతి : ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించడానికి కారణాంక పద్ధతి అన్ని సందర్భాలలోనూ సాధ్యం కాదు. అలాగే వర్గం పూర్తి చేయడం ద్వారా సాధించడము.సుధీర్ఘమైన పద్ధతి. అన్ని సందర్భాలలోనూ అన్ని వర్గసమీకరణాలను సాధించడానికి అనువైన పద్ధతి సూత్ర పద్ధతి. ఈ పద్ధతిని మొట్టమొదట వివరించిన గణిత శాస్త్రవేత్త శ్రీధరాచార్య. ఇతను 10వ శతాబ్దానికి చెందిన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు. అందువలన వర్గ సమీకరణ సాధనకు ఉపయోగించే సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) ను. శ్రీధరాచార్య సూత్రంగా వ్యవహరిస్తారు. ఈ సూత్రాన్ని ప్రస్తుతం వర్గ సమీకరణ సాధనకు విరివిగా ఉపయోగిస్తూ వర్గసూత్రంగా పిలుస్తున్నారు.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం నుండి పై సూత్రాన్ని రాబట్టుదాం.
సాధన : ax² + bx + c = 0

b² – 4acని వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 యొక్క విచక్షణి అంటారు. దీనిని D లేదా Δ తో సూచిస్తారు.
b² – 4ac < 0 అయినప్పుడు \(\sqrt{b^{2}-4 a c}\) విలువ వాస్తవ సంఖ్యలలో వ్యవస్థితం కాదు. \(\sqrt{b^{2}-4 a c}\) ఒక కల్పిత సంఖ్య అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి వాస్తవ మూలాలు ఉండవు.

→ మూలాల స్వభావము :
ax² + bx + c = 0 యొక్క మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) వర్గ సమీకరణ మూలాలు విచక్షణి
D = b² – 4ac పై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఈ విచక్షణి D > 0 లేదా D = 0 లేదా ‘D < 0 కావచ్చును. సందర్భం -1: D > 0 ⇒ b² – 4ac > 0. కావున \(\sqrt{b^{2}-4 a c}\) విలువ ఒక వాస్తవ సంఖ్య అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి రెండు వేర్వేరు వాస్తవ సంఖ్యలు మూలాలు అవుతాయి.
D = b² – 4ac > 0 అయిన సందర్భంలో ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణ గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని రెండు బిందువులలో ఖండిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో గ్రాఫ్ క్రింది విధంగా ఉంటుంది. .

వర్గ సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు A (a, 0), B (B, 0) లలోని X – నిరూపకాలే వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు అవుతాయి.

సందర్భం – 2: D = 0 ⇒ b² – 4ac > 0. కావున \(\sqrt{b^{2}-4 a c}\) అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి రెండు సమాన వాస్తవ సంఖ్యలు మూలాలు అవుతాయి. ఈ సందర్భంలో మూలాలు x = \(\frac{-b \pm 0}{2 a}=\frac{-b}{2 a}, \frac{-b}{2 a}\) అవుతాయి.

D = b² – 4ac = 0 అయిన సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి గీచిన గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది. ఈ బిందువులోని X – నిరూపకమే సమాన మూలం. .

సందర్భం – 3:
D = 0 ⇒ b² – 4ac > 0. కావున \(\sqrt{b^{2}-4 a c}\) ఒక కల్పిత సంఖ్య అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి వాస్తవ మూలాలు ఉండవు. మూలాలు సంకీర్ణ సంఖ్యలు అవుతాయి. ఈ
D < b² – 4ac = 0 అయిన సందర్భంలో వర్గ సమీకరణానికి గీచిన గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని తాకదు.

గమనిక : ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణానికి b² – 4ac ≤ 0 అయినప్పుడు వాస్తవ మూలాలు,
b² – 4ac < 0 అయినపుడు సంకీర్ణ సంఖ్యలు మూలాలుగా ఉంటాయి.