AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు

Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు

→ వస్తువులను లెక్కించుటకు మనం ఉపయోగించే 1,2,3,4,……. సంఖ్యలను సహజసంఖ్యలు (Natural numbers) అంటారు.

→ సహజ సంఖ్యాసమితిని N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…} గా సూచిస్తాము.
ఏదైనా ఒక సహజసంఖ్యకు వెంటనే తర్వాత గల సంఖ్యను ఉత్తర సంఖ్య (Successor) అని, వెంటనే ముందు వచ్చే సంఖ్యను పూర్వసంఖ్య (Predecessor) అని అంటారు.
ఉదా : 10కి ఉత్తర సంఖ్య (Successor) = 11
10కి పూర్వసంఖ్య (Predecessor) = 9

→ ‘0’ ను సహజ సంఖ్యల సమితికి చేర్చగా పూర్ణాంకాల సమితి (Whole numbers) ఏర్పడుతుంది. పూర్ణాంకాల సమితి W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… –

→ సంఖ్యారేఖ :
ఒక సరళరేఖపై సమానదూరంలో బిందువులను గుర్తించి ఒక బిందువును ‘0’ గా గుర్తించి దానికి కుడివైపున గల బిందువులను వరుసగా 1,2,3,4,….. గా గుర్తించి సంఖ్యారేఖను నిర్మిస్తాము. :
AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు 1

→ సంఖ్యారేఖపై ఏ సంఖ్యకైనా దాని ఉత్తర సంఖ్య వెంటనే కుడివైపున, పూర్వసంఖ్య దానికి వెంటనే ఎడమవైపున ఉంటుంది.

AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు

→ సంఖ్యారేఖపై గల ఒక సంఖ్యకు కుడివైపున గల సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్యకన్నా పెద్దవి. అలాగే ఎడమవైపున గల సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్యకన్నా చిన్నవి.
AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు 2
6,7,8,9, 10, …. సంఖ్యలు 5కు కుడివైపు కలవు. ఇవి అన్నీ 5 కన్నా పెద్ద సంఖ్యలు.
అలాగే ……. 6,7,8,9,10,11 సంఖ్యలు 12కు ఎడమవైపు కలవు. ఇవి అన్నీ 12 కన్నా చిన్నవి.

→ సంఖ్యారేఖపై సంకలనం (కూడిక) చేయడానికి మనం కుడివైపుకు కదులుతాము.
AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు 3
3 + 2 సంకలనాన్ని మనం 3 వద్ద మొదలు పెట్టి 2 ప్రమాణ దూరాలను కుడివైపుకు సంఖ్యారేఖ పై కదలాలి.

→ సంఖ్యారేఖపై వ్యవకలనం చేయడానికి, మనం ఎడమవైపుకు కదలాలి.
AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు 4
3-2 వ్యవకలనాన్ని మనం సంఖ్యారేఖ పై చేయడానికి 3 వద్ద కదలాలి. 3-2 = 1

→ సంఖ్యారేఖపై పూర్ణాంకాల గుణకారానికి మనం కుడివైపుకు కదలాలి.
AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు 5
3 × 2 ను సంఖ్యారేఖపై గుణించడానికి మనం ‘0’ నుండి ప్రారంభించి 2 ప్రమాణాలు 3 సార్లు కుడివైపుకు కదలాలి.

→ పూర్ణాంకాల ధర్మాలు :
సంవృతధర్మం (Closure Property) : ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల మొత్తం పూర్ణాంకమే అవుతుంది. దీనినే పూర్ణాంకాల సంకలన సంవృత ధర్మం అంటారు.
2, 3లు ఒక జత పూర్ణాంకాలు అనుకొంటే
2+3 = 5 కూడా ఒక పూర్ణాంకము

ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల లబ్ధం కూడా పూర్ణాంకమే అవుతుంది. దీనినే పూర్ణాంకాల గుణకార సంవృత ధర్మం అంటారు.
2 × 3 = 6 ఒక పూర్ణాంకము
2 × 0 = 0 ఒక పూర్ణాంకము

ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల వ్యవకలన ఫలితము పూర్ణాంకము కాకపోవచ్చును.
కావున పూర్ణాంకాల వ్యవకలనము సంవృత ధర్మాన్ని పాటించదు.
2 – 3 = పూర్ణాంకము కాదు. అలాగే పూర్ణాంకాల భాగహారము కూడా సంవృత ధర్మాన్ని పాటించదు.
2 ÷ 3 = \(\frac{2}{3}\) ఒక పూర్ణాంకము కాదు.

→ పూర్ణాంకాలు సంకలనం, గుణకారాలలో సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలన, భాగాహారాలలో సంవృత ధర్మాన్నిపాటించవు.

→ స్థిత్యంతర (వినిమయ) ధర్మం (Commutative property) :
ఒక జత పూర్ణాంకాలను కూడే క్రమం మారినప్పటికి వాటి మొత్తం మారదు. దీనిని పూర్ణాంకాల సంకలన స్థిత్యంతర ధర్మం అంటారు.
2 + 3 = 5. అలాగే 3 + 2 = 5

ఒక జత పూర్ణాంకాలను క్రమం మార్చి గుణించినా లబ్దంలో ఎలాంటి మార్పురాదు. ఒకే లబ్దం వస్తుంది. దీనిని పూర్ణాంకాల స్థిత్యంతర ధర్మం అంటారు.
2 × 3 = 6 అలాగే 3 × 2 = 6

ఒక జత పూర్ణాంకాల వ్యవకలనంలో క్రమం మారితే ఒకే ఫలితం రాదు. అలాగే భాగహారంలోను ఒకే ఫలితాన్ని ఇవ్వదు. కావున పూర్ణాంకాల వ్యవకలనం మరియు భాగహారములు స్థిత్యంతర ధర్మమును పాటించవు. .
3 – 2 = 1, కాని 2 – 3 = 1 కాదు .
6 ÷ 2 = 3 కాని 2 ÷ 3 = 6 కాదు

AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు

→ పూర్ణాంకాలు సంకలన, గుణకారాలలో స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలన, భాగహారాలలో స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటించవు.

→ సంకలన, గుణకారాలలో సహచర ధర్మం (Associative property) :
మూడు పూర్ణాంకాలు 3, 4, 5 తీసుకొని 3,4 లను కూడి ఆ మొత్తానికి 5 కలిపితే మొత్తం = 12
3 + 4 = 7,
7 + 5 = 12 .
అలాగే మొదట 4, 5 లను కూడి ఆ మొత్తాన్ని 3 కు కలిపితే వచ్చే మొత్తం = 12, 4 + 5 = 9, 3 + 9 = 12 అనగా మొత్తంలో ఎలాంటి మార్పులేదు.
(3 + 4) + 5 = 12,
3 + (4 + 5) = 12,
(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)
ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల సంకలన సహచర ధర్మం అంటారు.

→ పై విధంగానే గుణకారంలో కూడా
(3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60
3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60
(3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)
ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల గుణకార సహచర ధర్మం అంటారు. అనగా పూర్ణాంకాలు సంకలనం మరియు గుణకారములలో సహచరధర్మాన్ని పాటిస్తాయి.

→ తత్సమాంశం (Identity) :
3 + 0 = 3, 0+ 3 = 3
‘0’ ను ఒక పూర్ణాంకానికి కలిపినా, లేదా ‘0’ కు మరొక పూర్ణాంకాన్ని కలిపినా మొత్తం అదే పూర్ణాంకం వస్తుంది. ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల సంకలన తత్సమ ధర్మం అంటారు.

‘0’ సంకలన తత్సమాంశము.
అలాగే 3 × 1 = 3, 1 × 3 = 3 ఒక పూర్ణాంకాన్ని ‘1’ తో గుణించినా, 1ని వేరొక పూర్ణాంకంతో గుణించినా అదే పూర్ణాంకం వస్తుంది. ‘1’ గుణకార తత్సమాంశం.

→ పూర్ణాంకాలలో అమరికలు : పూర్ణాంకాలను ప్రాథమిక జ్యామితీయ ఆకారాలుగా చుక్కలతో అమర్చవచ్చును. 1.
AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు 6
పై విధంగా కొన్ని సంఖ్యలను సరళరేఖలుగా, దీర్ఘచతురస్రాలుగా, చతురస్రాలుగా, త్రిభుజాలుగా సూచించవచ్చును. * ప్రధాన సంఖ్యలను సరళరేఖలో అమర్చగలము.

→ దీర్ఘచతురస్రాలుగా, చతురస్రాలుగా అమర్చలేము.

→ సంయుక్త సంఖ్యలను దీర్ఘ చతురస్రాలుగా అమర్చగలము

→ పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యలైన 4, 9, …. లను చతురస్రాకారంలో అమర్చగలము.

→ కొన్ని సంఖ్యలను త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలలో సమానంగా చుక్కలు ఉండునట్లు అమర్చవచ్చును. పై శీర్షంలో ఒక చుక్క మాత్రమే ఉంటుంది. అనగా ప్రతి వరుసలోను ……. 4, 3, 2, 1 చుక్కలు ఉంటాయి.
AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు 7
3, 6, 10, 15 లను త్రిభుజ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని మనం 1 మొదలై వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా రాయగలము.
(మొదటి వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా)

→ సంఖ్యల అమరికలు సమస్యల పరిష్కారానికి సులభతర మార్గాలను సూచిస్తాయి.
(9,99, 999… ల కూడికను, గుణకారాన్ని పరిశీలిద్దాము )

  • 296 + 9 = 296 + 10 -1 = 306 – 1 = 305
  • 296 – 9 = 296 – 10+1 = 286 + 1 = 287
  • 296 + 99 = 296 + 100 – 1 = 396 – 1 = 395
  • 296 – 99 = 296 – 100 + 1 = 196 + 1 = 197
    • 65 × 9 = 65 (10 – 1) = 650 – 65 = 585
    • 65 × 99 = 65 (100 – 1) = 6500 – 65 = 6435
    • 65 × 999 = 65(1000 – 1) = 65000 – 65 = 64935
      …………………………………

ఇక్కడ మనం 9,99, 999, …. రూపంలో గల సంఖ్యల కూడిక, గుణకారంలను గమనించాము. ఇలాంటి అమరికలు చేసి సులభమార్గాల ద్వారా మనోగణిత సమస్యలను సాధించే సామర్థ్యాన్ని పెంచుకొనవచ్చును.

AP 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు

→ 5, 15, 25, 50, ……. లతో గుణించే మార్గాలను గమనిద్దాము.
46 × 5 = 46 × \(\frac{10}{2}=\frac{460}{2}\) = 230 × 1
46 × 15 = 46(10 + 5)
= 46 × 10 + 46 × 5 = 460 + 230 = 690 = 230 × 3
46 × 25 = 46 × (20 + 5) = 46 × 20 + 46 × 5
= 920 + 230 = 1150 = 230 × 5
(లేదా)
46 × 25 = 46 × \(\frac{100}{4}=\frac{4600}{4}\) = 1150
46 × 50 = 46 × \(\frac{100}{2}=\frac{4600}{2}\) = 2300

→ సున్నాతో భాగహారం నిర్వచించబడదు.