Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు to understand and remember the concept easily.
AP Board 6th Class Maths Notes 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు
→ వస్తువులను లెక్కించుటకు మనం ఉపయోగించే 1,2,3,4,……. సంఖ్యలను సహజసంఖ్యలు (Natural numbers) అంటారు.
→ సహజ సంఖ్యాసమితిని N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…} గా సూచిస్తాము.
ఏదైనా ఒక సహజసంఖ్యకు వెంటనే తర్వాత గల సంఖ్యను ఉత్తర సంఖ్య (Successor) అని, వెంటనే ముందు వచ్చే సంఖ్యను పూర్వసంఖ్య (Predecessor) అని అంటారు.
ఉదా : 10కి ఉత్తర సంఖ్య (Successor) = 11
10కి పూర్వసంఖ్య (Predecessor) = 9
→ ‘0’ ను సహజ సంఖ్యల సమితికి చేర్చగా పూర్ణాంకాల సమితి (Whole numbers) ఏర్పడుతుంది. పూర్ణాంకాల సమితి W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… –
→ సంఖ్యారేఖ :
ఒక సరళరేఖపై సమానదూరంలో బిందువులను గుర్తించి ఒక బిందువును ‘0’ గా గుర్తించి దానికి కుడివైపున గల బిందువులను వరుసగా 1,2,3,4,….. గా గుర్తించి సంఖ్యారేఖను నిర్మిస్తాము. :
→ సంఖ్యారేఖపై ఏ సంఖ్యకైనా దాని ఉత్తర సంఖ్య వెంటనే కుడివైపున, పూర్వసంఖ్య దానికి వెంటనే ఎడమవైపున ఉంటుంది.
→ సంఖ్యారేఖపై గల ఒక సంఖ్యకు కుడివైపున గల సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్యకన్నా పెద్దవి. అలాగే ఎడమవైపున గల సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్యకన్నా చిన్నవి.
6,7,8,9, 10, …. సంఖ్యలు 5కు కుడివైపు కలవు. ఇవి అన్నీ 5 కన్నా పెద్ద సంఖ్యలు.
అలాగే ……. 6,7,8,9,10,11 సంఖ్యలు 12కు ఎడమవైపు కలవు. ఇవి అన్నీ 12 కన్నా చిన్నవి.
→ సంఖ్యారేఖపై సంకలనం (కూడిక) చేయడానికి మనం కుడివైపుకు కదులుతాము.
3 + 2 సంకలనాన్ని మనం 3 వద్ద మొదలు పెట్టి 2 ప్రమాణ దూరాలను కుడివైపుకు సంఖ్యారేఖ పై కదలాలి.
→ సంఖ్యారేఖపై వ్యవకలనం చేయడానికి, మనం ఎడమవైపుకు కదలాలి.
3-2 వ్యవకలనాన్ని మనం సంఖ్యారేఖ పై చేయడానికి 3 వద్ద కదలాలి. 3-2 = 1
→ సంఖ్యారేఖపై పూర్ణాంకాల గుణకారానికి మనం కుడివైపుకు కదలాలి.
3 × 2 ను సంఖ్యారేఖపై గుణించడానికి మనం ‘0’ నుండి ప్రారంభించి 2 ప్రమాణాలు 3 సార్లు కుడివైపుకు కదలాలి.
→ పూర్ణాంకాల ధర్మాలు :
సంవృతధర్మం (Closure Property) : ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల మొత్తం పూర్ణాంకమే అవుతుంది. దీనినే పూర్ణాంకాల సంకలన సంవృత ధర్మం అంటారు.
2, 3లు ఒక జత పూర్ణాంకాలు అనుకొంటే
2+3 = 5 కూడా ఒక పూర్ణాంకము
ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల లబ్ధం కూడా పూర్ణాంకమే అవుతుంది. దీనినే పూర్ణాంకాల గుణకార సంవృత ధర్మం అంటారు.
2 × 3 = 6 ఒక పూర్ణాంకము
2 × 0 = 0 ఒక పూర్ణాంకము
ఏదైనా ఒక జత పూర్ణాంకాల వ్యవకలన ఫలితము పూర్ణాంకము కాకపోవచ్చును.
కావున పూర్ణాంకాల వ్యవకలనము సంవృత ధర్మాన్ని పాటించదు.
2 – 3 = పూర్ణాంకము కాదు. అలాగే పూర్ణాంకాల భాగహారము కూడా సంవృత ధర్మాన్ని పాటించదు.
2 ÷ 3 = \(\frac{2}{3}\) ఒక పూర్ణాంకము కాదు.
→ పూర్ణాంకాలు సంకలనం, గుణకారాలలో సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలన, భాగాహారాలలో సంవృత ధర్మాన్నిపాటించవు.
→ స్థిత్యంతర (వినిమయ) ధర్మం (Commutative property) :
ఒక జత పూర్ణాంకాలను కూడే క్రమం మారినప్పటికి వాటి మొత్తం మారదు. దీనిని పూర్ణాంకాల సంకలన స్థిత్యంతర ధర్మం అంటారు.
2 + 3 = 5. అలాగే 3 + 2 = 5
ఒక జత పూర్ణాంకాలను క్రమం మార్చి గుణించినా లబ్దంలో ఎలాంటి మార్పురాదు. ఒకే లబ్దం వస్తుంది. దీనిని పూర్ణాంకాల స్థిత్యంతర ధర్మం అంటారు.
2 × 3 = 6 అలాగే 3 × 2 = 6
ఒక జత పూర్ణాంకాల వ్యవకలనంలో క్రమం మారితే ఒకే ఫలితం రాదు. అలాగే భాగహారంలోను ఒకే ఫలితాన్ని ఇవ్వదు. కావున పూర్ణాంకాల వ్యవకలనం మరియు భాగహారములు స్థిత్యంతర ధర్మమును పాటించవు. .
3 – 2 = 1, కాని 2 – 3 = 1 కాదు .
6 ÷ 2 = 3 కాని 2 ÷ 3 = 6 కాదు
→ పూర్ణాంకాలు సంకలన, గుణకారాలలో స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. వ్యవకలన, భాగహారాలలో స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటించవు.
→ సంకలన, గుణకారాలలో సహచర ధర్మం (Associative property) :
మూడు పూర్ణాంకాలు 3, 4, 5 తీసుకొని 3,4 లను కూడి ఆ మొత్తానికి 5 కలిపితే మొత్తం = 12
3 + 4 = 7,
7 + 5 = 12 .
అలాగే మొదట 4, 5 లను కూడి ఆ మొత్తాన్ని 3 కు కలిపితే వచ్చే మొత్తం = 12, 4 + 5 = 9, 3 + 9 = 12 అనగా మొత్తంలో ఎలాంటి మార్పులేదు.
(3 + 4) + 5 = 12,
3 + (4 + 5) = 12,
(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)
ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల సంకలన సహచర ధర్మం అంటారు.
→ పై విధంగానే గుణకారంలో కూడా
(3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60
3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60
(3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)
ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల గుణకార సహచర ధర్మం అంటారు. అనగా పూర్ణాంకాలు సంకలనం మరియు గుణకారములలో సహచరధర్మాన్ని పాటిస్తాయి.
→ తత్సమాంశం (Identity) :
3 + 0 = 3, 0+ 3 = 3
‘0’ ను ఒక పూర్ణాంకానికి కలిపినా, లేదా ‘0’ కు మరొక పూర్ణాంకాన్ని కలిపినా మొత్తం అదే పూర్ణాంకం వస్తుంది. ఈ ధర్మాన్ని పూర్ణాంకాల సంకలన తత్సమ ధర్మం అంటారు.
‘0’ సంకలన తత్సమాంశము.
అలాగే 3 × 1 = 3, 1 × 3 = 3 ఒక పూర్ణాంకాన్ని ‘1’ తో గుణించినా, 1ని వేరొక పూర్ణాంకంతో గుణించినా అదే పూర్ణాంకం వస్తుంది. ‘1’ గుణకార తత్సమాంశం.
→ పూర్ణాంకాలలో అమరికలు : పూర్ణాంకాలను ప్రాథమిక జ్యామితీయ ఆకారాలుగా చుక్కలతో అమర్చవచ్చును. 1.
పై విధంగా కొన్ని సంఖ్యలను సరళరేఖలుగా, దీర్ఘచతురస్రాలుగా, చతురస్రాలుగా, త్రిభుజాలుగా సూచించవచ్చును. * ప్రధాన సంఖ్యలను సరళరేఖలో అమర్చగలము.
→ దీర్ఘచతురస్రాలుగా, చతురస్రాలుగా అమర్చలేము.
→ సంయుక్త సంఖ్యలను దీర్ఘ చతురస్రాలుగా అమర్చగలము
→ పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యలైన 4, 9, …. లను చతురస్రాకారంలో అమర్చగలము.
→ కొన్ని సంఖ్యలను త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలలో సమానంగా చుక్కలు ఉండునట్లు అమర్చవచ్చును. పై శీర్షంలో ఒక చుక్క మాత్రమే ఉంటుంది. అనగా ప్రతి వరుసలోను ……. 4, 3, 2, 1 చుక్కలు ఉంటాయి.
3, 6, 10, 15 లను త్రిభుజ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని మనం 1 మొదలై వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా రాయగలము.
(మొదటి వరుస సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా)
→ సంఖ్యల అమరికలు సమస్యల పరిష్కారానికి సులభతర మార్గాలను సూచిస్తాయి.
(9,99, 999… ల కూడికను, గుణకారాన్ని పరిశీలిద్దాము )
- 296 + 9 = 296 + 10 -1 = 306 – 1 = 305
- 296 – 9 = 296 – 10+1 = 286 + 1 = 287
- 296 + 99 = 296 + 100 – 1 = 396 – 1 = 395
- 296 – 99 = 296 – 100 + 1 = 196 + 1 = 197
- 65 × 9 = 65 (10 – 1) = 650 – 65 = 585
- 65 × 99 = 65 (100 – 1) = 6500 – 65 = 6435
- 65 × 999 = 65(1000 – 1) = 65000 – 65 = 64935
…………………………………
ఇక్కడ మనం 9,99, 999, …. రూపంలో గల సంఖ్యల కూడిక, గుణకారంలను గమనించాము. ఇలాంటి అమరికలు చేసి సులభమార్గాల ద్వారా మనోగణిత సమస్యలను సాధించే సామర్థ్యాన్ని పెంచుకొనవచ్చును.
→ 5, 15, 25, 50, ……. లతో గుణించే మార్గాలను గమనిద్దాము.
46 × 5 = 46 × \(\frac{10}{2}=\frac{460}{2}\) = 230 × 1
46 × 15 = 46(10 + 5)
= 46 × 10 + 46 × 5 = 460 + 230 = 690 = 230 × 3
46 × 25 = 46 × (20 + 5) = 46 × 20 + 46 × 5
= 920 + 230 = 1150 = 230 × 5
(లేదా)
46 × 25 = 46 × \(\frac{100}{4}=\frac{4600}{4}\) = 1150
46 × 50 = 46 × \(\frac{100}{2}=\frac{4600}{2}\) = 2300
→ సున్నాతో భాగహారం నిర్వచించబడదు.