Students can go through AP Board 6th Class Maths Notes 3rd Lesson గ.సా.కా – క.సా.గు to understand and remember the concept easily.
AP Board 6th Class Maths Notes 3rd Lesson గ.సా.కా – క.సా.గు
→ భాజనీయతా సూత్రాలు :
- 2 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
ఒక సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0,2,4,6 లేదా 8 అయినచో ఆ సంఖ్య ‘2’చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. - 3 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం, 3చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 3చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. - 4 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
ఒక సంఖ్య యొక్క చివరి రెండు అంకెలతో (ఒకట్ల, పదుల స్థానాలలోని) ఏర్పడిన సంఖ్య 4చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 41 నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. - 5 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
ఒకట్ల స్థానంలో ) లేదా 5 గల సంఖ్యలన్నీ 5చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడతాయి. - 6 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
2 మరియు 3లచే నిశ్శేషంగా భాగింపబడే సంఖ్యలన్నీ 6చే నిశ్శేషంగా భాగింపబతాయి. - 8 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
ఒక సంఖ్య యొక్క చివరి మూడు అంకెలతో (వందలు, పదులు, ఒకట్లు) ఏర్పడిన సంఖ్య 8చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే ఆ సంఖ్య 8చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. - 9 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే, ఆ సంఖ్య 9చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. - 10 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం :
ఒకట్ల స్థానంలో ‘0’ గల సంఖ్యలన్నీ 10చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడతాయి. - 11 యొక్క భాజనీయతా సూత్రం ::
సంఖ్యలోని బేసి స్థానాలలోని అంకెల మొత్తం, సరిస్థానాలలోని అంకెల మొత్తముల తేడా ‘0’ లేదా 11 యొక్క గుణిజం అయిన ఆ సంఖ్య 11చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది.
→ కారణాంకాలు (Factors) :
ఒక సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్యలన్నీ ఆ సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలు అవుతాయి.
ఉదా : ‘6’ అనే సంఖ్యను 1, 2, 3, 6 అనే సంఖ్యలు నిశ్శేషంగా భాగిస్తాయి. కావున 6 యొక్క కారణాంకాలు
1, 2, 3, 6.
- ప్రతి సంఖ్యకు 1 కారణాంకము. ఇది ఆ సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలన్నింటిలోను చిన్నది.
- ప్రతి సంఖ్య దానికదే కారణాంకము. ఇది ఆ సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలన్నింలోను పెద్దది.
- ప్రతి కారణాంకం ఆ సంఖ్యకు సమానం లేదా ఆ సంఖ్య కంటే చిన్నది.
- ప్రతి సంఖ్యకు గల కారణాంకాలు పరిమితం.
→ పరిపూర్ణసంఖ్య (Perfect number) :
ఒక సంఖ్య యొక్క కారణాంకాలన్నింటి మొత్తం ఆ సంఖ్యకు రెట్టింపు అయినచో ఆ సంఖ్యను పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటారు.
ఉదా : 6 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 3, 6
వీని మొత్తం = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 12 అనేది 6 కు రెట్టింపు.
కావున 6 అనేది ఒక పరిపూర్ణ సంఖ్య. 28, 496, 8128 లు ఆ తర్వాతి పరిపూర్ణసంఖ్యలు.
→ ప్రధాన సంఖ్యలు (Prime numbers) :
1 మరియు అదే సంఖ్య కారణాంకాలుగా గల్గిన సంఖ్యలను “ప్రధాన సంఖ్యలు” అంటారు.
ఉదా : 2, 3, 5, 7, 100 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
→ సంయుక్త సంఖ్యలు (Composite numbers) :
రెండు కన్నా ఎక్కువ కారణాంకాలు కలిగిన సంఖ్యలను సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు.
ఉదా : 4, 6, 8, ………….
4 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 4 (కారణాంకాల సంఖ్య 3)
→ 1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు మరియు సంయుక్త సంఖ్య కాదు.
→ కవల ప్రధాన సంఖ్యలు (Twin primes) :
2 భేదంగా గల ప్రధాన సంఖ్యలను కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
ఉదా : (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (41,43), (59,61), (71,73), ……..
→ పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (లేదా) సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు (Relatively primes (or) Mutually primes (or) Co-primes) :
1 మాత్రమే ఉమ్మడి కారణాంకంగా కలిగిన సంఖ్యలను పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు – అంటారు.
ఉదా : 2 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2
9 యొక్క కారణాంకాలు 1, 3, 9
2 మరియు 9 యొక్క ఉమ్మడి కారణాంకం 1 మాత్రమే.
కావున 2, 9లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
- రెండు వరుస సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
- రెండు వరుస బేసి సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
- అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు కాని సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలలోని అన్ని సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు కానవసరంలేదు.
→ ప్రధాన కారణాంక విభజన (Prime factorization) : ఒక సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయడాన్ని ప్రధాన కారణాంక విభజన అంటారు.
ఉదా : 60 = 2 × 2 × 3 × 5
ఈ విభజనలో ముఖ్యంగా రెండు పద్ధతులు కలవు. (1) భాగహార పద్ధతి, (2) వృక్ష పద్ధతి. భాగహార పద్ధతి
→ సామాన్య కారణాంకాలు (Common factors) :
రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క కారణాంకాలలో ఉమ్మడిగా ఉన్న కారణాంకాలను ఆ సంఖ్యల యొక్క “సామాన్య కారణాంకాలు” అంటారు.
ఉదా : 12 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 యొక్క కారణాంకాలు 1, 2, 3, 6, 9, 18 12,
18 యొక్క సామాన్య కారణాంకాలు 1, 2, 3, 6.
→ గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా) [Greatest Common Divisor (GCD)] :
-రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క సామాన్య కారణాంకాలలో గరిష్ఠ సంఖ్యను గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం (గ.సా. కా) (G.C.F) లేదా గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం’ (గ.సా.భా) (G.C.D) అంటారు.
12, 18 ల ఉమ్మడి కారణాంకాలు 1,2,3,6
12, 18ల గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం = 6
→ సామాన్య గుణిజాలు (Common Multiples) :
రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క గుణిజాలలో ఉమ్మడిగా గల గుణిజాలను ఆ సంఖ్యల యొక్క సామాన్య గుణిజాలు అంటారు.
ఉదా : 2 గుణిజాలు : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ………….
3 గుణిజాలు : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,24,
2 మరియు 3 యొక్క సామాన్య గుణిజాలు = 6, 12, 18, ………
→ కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు) (Least Common Multiples (LCM]] :
రెండు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య గుణిజాలలో కనిష్ఠ సంఖ్యను కనిష్ఠ సామాన్యగుణిజం (క.సా.గు) అంటారు.
2 మరియు 3ల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు) = 6.
→ రెండు కవల ప్రధాన సంఖ్యల క.సా.గు, వాని లబ్దానికి సమానం మరియు వాని గ.సా.భా 1 అవుతుంది.
→ రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా మరియు క.సా.గుల మధ్య సంబంధము :
క.సా.గు మరియు గ.సా.భాల లబ్ధం = రెండు సంఖ్యల లబ్ధం
a, b అనే సంఖ్యల క.సా.గు 1, గ.సా.భా 9 అయితే a × b = l × g
→ ద్విముఖసంఖ్య (పాలి డ్రోమ్ సంఖ్య) : కుడి నుండి ఎడమవైపుకు లేదా ఎడమ నుండి కుడివైపుకు మార్చి రాసినా సంఖ్య మారదు.
ఉదా : 1221