Students can go through AP Board 7th Class Maths Notes 2nd Lesson భిన్నాలు మరియు దశాంశాలు to understand and remember the concept easily.
AP Board 7th Class Maths Notes 2nd Lesson భిన్నాలు మరియు దశాంశాలు
→ జాన్ నేపియర్ (1550 – 1617): మెర్కిస్టన్‌కు చెందిన జాన్ నేపియర్ 1550వ సంవత్సరంలో జన్మించాడు. ఆనాటి సంప్రదాయం ప్రకారం అతను 13 సంవత్సరాల వయస్సులో తన సాధారణ విద్యను అభ్యసించాడు. అయినప్పటికీ అతను కొద్ది కాలంలోనే పాఠశాలకు వెళ్లడం మానివేసి యూరప్ వెళ్ళాడు. అతను 21 సంవత్సరాల వయస్సులో స్కాట్లాండుకు తిరిగి వచ్చాడు.
‘జాన్ నేపియర్’ ఖగోళశాస్త్రం యొక్క సుదీర్ఘ గణనలు చేయుటలో ఎక్కువ గంటలు గడుపుట వున్న సమస్యలను అధిగమించే క్రమంలో ‘లాగరిథం’లను కనుగొన్నాడు. అతను ‘నేపియర్ పట్టీలు’ అని పిలవబడే వాటిని కనుగొన్నాడు. అవి కాలిక్యులేటర్లుగా ఉపయోగించబడే పరికరాలు. ‘నేపియర్’ దశాంశ బిందువు వాడకాన్ని ప్రారంభించడం ద్వారా దశాంశ భిన్నం యొక్క ఆలోచనలను విస్తృతం చేశాడు. ఈ పద్ధతి బ్రిటన్ అంతటా చాలా సాధారణమైంది. ‘నేపియర్’ గణితం మరియు ఖగోళ శాస్త్రంలో చేసిన కృషికి ప్రత్యేకంగా గుర్తింపు పొందాడు. అతను 1617 సంవత్సరంలో మరణించాడు.
→ భిన్నాలను కలపడానికి లేదా తీసివేత చేయుటకు అవి ఒకే హారం కలిగి ఉండాలి. (సజాతి భిన్నాలు)
→ భిన్నాల గుణకారం చేయుట కొరకు, మనం వాటి లవాలను లవాలతోను మరియు హారాలను హారాలతోను గుణిస్తాం.
→ ఒక భిన్నాన్ని మరో భిన్నంతో భాగించాలంటే, ఒక భిన్నాన్ని మరో భిన్నం యొక్క గుణకార విలోమంతో గుణించాల్సి ఉంటుంది.
→ దశాంశ సంఖ్యలను 10, 100, 1000తో గుణించాలంటే, సంఖ్య మరియు భాగఫలం యొక్క అంకెలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అయితే, 1 తరువాత సున్నాల సంఖ్యకు సమానంగా దశాంశ బిందువును కుడివైపుకు మార్చండి.
→ రెండు దశాంశ సంఖ్యలను గుణించినపుడు లబ్దంలో దశాంశ స్థానాల సంఖ్య, గుణించబడిన సంఖ్యల దశాంశ స్థానాల సంఖ్యల మొత్తానికి సమానం.
→ ఒక దశాంశ సంఖ్యను 10, 100 లేదా 1000 తో భాగించేటప్పుడు, సంఖ్య మరియు భాగఫలం యొక్క అంకెలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అయితే, 1 తరువాత సున్నాల సంఖ్యకు సమానంగా దశాంశ బిందువును ఎడమ వైపుకు మార్చండి.
→ భిన్నం: భిన్నం అనగా మొత్తంలో కొంత భాగం.
→ క్రమభిన్నం: హారం కన్నా లవము చిన్నదిగా గల భిన్నము.
ఉదా: \(\frac{1}{4}, \frac{5}{7}, \frac{12}{17}\)…………….
→ అపక్రమ భిన్నం: హారం కన్నా లవము పెద్దదిగా గాని, సమానంగా గాని గల భిన్నము.
ఉదా: \(\frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{3}{3}\)…………….
→ మిశ్రమ భిన్నము: పూర్ణాంకము మరియు క్రమ భిన్నములను కలిగిన భిన్నము.
ఉదా: \(2 \frac{1}{3}, 3 \frac{2}{5}, 10 \frac{4}{7}\)…………..
→ సజాతి భిన్నాలు: ఒకే హారాన్ని కలిగిన భిన్నాలు.
ఉదా: \(\frac{7}{5}, \frac{3}{5}, \frac{14}{5}\)………….
→ భిన్నాల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం:
(i) భిన్నాలను కలపడానికి లేదా తీసివేత చేయుటకు అవి ఒకే హారాన్ని కలిగి ఉండాలి. అనగా అవి సజాతి భిన్నాలై ఉండాలి.
ఉదా: \(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3+2}{4}=\frac{5}{4}\)
\(\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{3-2}{4}=\frac{1}{4}\)
(ii) సజాతి భిన్నాలు కానిచో మొదట ఇచ్చిన భిన్నాలను సజాతి భిన్నాలుగా మార్చి తరువాత కలపడం లేదా తీసివేయడం చేయాలి.
ఉదా: \(\frac{3}{4}+\frac{1}{6}\)
(హారాన్ని 4, 6 ల క.సా.గు. 12 కు పెంచాలి).
\(\frac{3 \times 3}{4 \times 3}+\frac{1 \times 2}{6 \times 2}=\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9+2}{12}=\frac{11}{12}\)
→ భిన్నాల గుణకారం: భిన్నాల గుణకారం చేయుట కొరకు మనం వాటి లవాలను గుణించి, లబ్దం భిన్నం యొక్క లవంగాను, హారాలను గుణించి ఫలిత భిన్నం హారంగాను రాస్తాము.
ఉదా:
- \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{6}=\frac{3 \times 1}{4 \times 6}=\frac{3}{24}\)
- \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{3}=\frac{3 \times 2 \times 5}{4 \times 7 \times 3}=\frac{30}{84}\)
→ భిన్నాల భాగహారం: ఒక భిన్నాన్ని మరొక భిన్నంతో భాగించాలంటే, భాగింపబడుతున్న భిన్నాన్ని భాగిస్తున్న భిన్నం యొక్క గుణకార విలోమంతో (వ్యుత్తమం)తో గుణించాలి.
ఉదా:
\(\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}\) (\(\frac{3}{4}\) ను \(\frac{2}{5}\) యొక్క గుణకార విలోమం \(\frac{5}{2}\) తో గుణించాలి).
→ దశాంశ భిన్నాలు: హారం 10, 100, 1000 (10 యొక్క ఘాత సంఖ్యలు) …………. గా గల భిన్నాలు.
ఉదా:
\(\frac{3}{10}, \frac{7}{100}, \frac{834}{1000}, \frac{76}{10}\),…………..
\(\frac{3}{10}\) = 0.3, \(\frac{7}{100}\) = 0.07, \(\frac{834}{1000}\) = 0.834, \(\frac{76}{10}\) = 7.6, ……….
దశాంశ భిన్నాలను దశాంశ సంఖ్యలు అని కూడా అనవచ్చును.
→ దశాంశ సంఖ్యలు – స్థానవిలువలు:
ఉదా: 495.836 = 4 × 100 + 9 × 10 + 5 × 1 + 8 × \(\frac{1}{10}\) + 3 × \(\frac{1}{100}\) + 6 × \(\frac{1}{1000}\)
= 400 + 90 + 5 + \(\frac{8}{10}+\frac{3}{100}+\frac{6}{1000}\)
దీనినే మనం దశాంశ సంఖ్యల విస్తరణ రూపం అని అంటాము.
495.836 లో 3 యొక్క స్థాన విలువ \(\frac{3}{100}\)
→ దశాంశ సంఖ్యల గుణకారం: రెండు దశాంశ సంఖ్యలను గుణించినపుడు లబ్దంలో దశాంశ స్థానాల సంఖ్య గుణించబడిన సంఖ్యల దశాంశ స్థానాల సంఖ్యల మొత్తానికి సమానం.
ఉదా:
2.64 × 3.6 = 9.504 (రెండు దశాంశ సంఖ్యలలోని దశాంశ స్థానాలు 2 మరియు 1. కావున, లబ సంఖ్యలోని దశాంశ స్థానాలు, 2 + 1 = 3)
→ దశాంశ సంఖ్యలను 10, 100, 1000 లతో గుణించాలంటే, సంఖ్య మరియు లబ్దం యొక్క అంకెలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అయితే 1 తరువాత సున్నాల సంఖ్యకు సమానంగా దశాంశ బిందువును కుడివైపుకు మార్చాలి.
ఉదా:
253.746 × 100 = 25374.6
1 తరువాత రెండు సున్నాలు కలవు. కావున, దశాంశ బిందువును రెండు అంకెలు కుడివైపుకు జరపాలి. అనగా 4 తరువాత దశాంశ బిందువును ఉంచాలి.
→ దశాంశ సంఖ్యలను 10, 100, 1000, …………….. లతో భాగించినపుడు సంఖ్య మరియు భాగఫలం యొక్క అంకెలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అయితే 1 తరువాత సున్నాల సంఖ్యకు సమానంగా దశాంశ బిందువును ఎడమవైపుకు మార్చాలి.
ఉదా:
253.746 ÷ 100 = 2.53746