AP 7th Class Maths Notes 3rd Lesson సామాన్య సమీకరణాలు

Students can go through AP Board 7th Class Maths Notes 3rd Lesson సామాన్య సమీకరణాలు to understand and remember the concept easily.

AP Board 7th Class Maths Notes 3rd Lesson సామాన్య సమీకరణాలు

→ భాస్కర – 2 : ప్రాచీన భారతదేశపు ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు. అతను 1150 A.D. లో 36 సంవత్సరాల వయస్సులో సిద్ధాంత శిరోమణి రాశాడు మరియు ఈ’ రచన (సుమారు 1450 శ్లోకాలను కలిగి ఉంది). నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడింది.

1. లీలావతి (ARITHMETIC) లో 278 శ్లోకాలు ఉన్నాయి.
2. జగణితం (ALGEBRA) గణితంలో 213 శ్లోకాలు ఉన్నాయి.
3. గోలాధ్యయ (గోళ | ఖగోళ భూగోళం) 451 శ్లోకాలను కలిగి ఉంది. మరియు
4. గ్రహగణిత్ (గ్రహాల గణితం)లో 501 శ్లోకాలు ఉన్నాయి.

ఒక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు (సామాన్య సమీకరణాలు), ఒకటి కంటే ఎక్కువ చరరాసులలో రేఖీయ సమీకరణాలు వాటి సాధనాల మీద ఎక్కువ పరిశోధనలు చేసారు.

→ భాస్కర – 2 లీలావతి గణితంలో వ్రాసిన ఒక సమస్య :
“తేనెటీగల సమూహంలో ఐదవ భాగం కదంబ పువ్వు మీద, మూడవవంతు సిలిండా పువ్వు మీద విశ్రాంతి తీసుకుంది. ఈ రెండు సంఖ్యల మధ్య తేడాకు మూడు రెట్లు తేనె టీగలు క్రుతాజా పువ్వుపైకి ఎగిరాయి. మరియు ఒక తేనెటీగ ఒంటరిగా గాలిలో ఉండిపోయింది. అయిన సమూహంలో ఎన్ని తేనెటీగలు ఉన్నాయి ?

→ ‘ = ‘ గుర్తును కలిగిన అనిశ్చిత వాక్యాన్ని సమీకరణం అంటారు.

→ ఒకే చరరాశి గల సమీకరణంలో గరిష్ఠ ఘాతాంకం 1 అయితే అటువంటి సమీకరణాన్ని సామాన్య సమీకరణం అంటారు.

→ సమీకరణంను తృప్తిపరచే చరరాశి యొక్క విలువను సాధన లేదా సమీకరణం యొక్క మూలం అంటారు.

→ సామాన్య సమీకరణాలు సాధించేటపుడు పాటించే నియమాలు :
(a) సమీకరణం ఇరువైపులా ఒకే విలువను కలుపడం వలన సమీకరణంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.
(b) సమీకరణం ఇరువైపులా ఒకే విలువను తీసివేయడం వలన సమీకరణంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.
(c) సమీకరణం ఇరువైపులా ఒకే విలువతో గుణించడం వలన సమీకరణంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.
(d) సమీకరణం ఇరువైపులా ఒకే విలువ (0 శూన్యేతర సంఖ్య)తో భాగించడం వలన సమీకరణంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.

→ సమీకరణంలో ఒక వైపునున్న పదాన్ని మరొక వైపుకు మార్చే ప్రక్రియను పక్షాంతరం అంటారు. పక్షాంతరం చెందినపుడు గుర్తును మార్చి, సమీకరణం యొక్క మరొక వైపుకు తీసుకువెళతాము.
ఈ విధంగా, LHS నుండి RHS కు పదాలను మార్చడంలో

• ‘ + పరిమాణం’ ‘ – పరిమాణం’ అవుతుంది.
• ‘-‘ పరిమాణం’ ‘ +’ పరిమాణం’ అవుతుంది.
• ‘×’ పరిమాణం’ ‘ ÷’ పరిమాణం’ అవుతుంది.
• ‘÷’ పరిమాణం’ ‘ ×’ పరిమాణం’ అవుతుంది.

→ సమీకరణం : సమానత్వపు గుర్తు ‘=’ ను కలిగిన అనిశ్చిత వాక్యాన్ని సమీకరణం అంటారు.
ఉదా :

• 3x + 5 = 20
• x² + 4x + 5 = 3x³ -9 .
• 3x + 4y = 9
• x – 2y = 37

→ సామాన్య (సరళ) సమీకరణం : ఒకే చరరాశి గల సమీకరణంలో చరరాశి గరిష్ఠ ఘాతాంకం 1 అయితే అటువంటి సమీకరణాన్ని సామాన్య సమీకరణం అంటారు.
ఉదా :

• x + 5 = 12
• 2y + 9 = 3y + 1
• 3m – 15 = 3
• p + 2 =6

→ సాధన లేదా మూలం : ఒక సమీకరణమును తృప్తిపరిచే చరరాశి యొక్క విలువను ఆ సమీకరణం యొక్క సాధన లేదా మూలం అంటారు.
ఉదా : x + 3 = 5
x = 2 అయినపుడు (2) + 3 = 5 అవుతుంది.
అనగా x + 3 = 5 సమీకరణం X = 2 అయినపుడు సత్యమవుతుంది. కావున, x + 3 = 5 సమీకరణం యొక్క సాధన లేదా మూలం 2 అవుతుంది.

→ L.H.S (Left Hand Side) : సమీకరణంలో సమానత్వపు గుర్తుకు ఎడమవైపు గల సమీకరణ భాగాన్ని L.H.S అంటారు.
ఉదా : 2x-3 = x + 4 సమీకరణంలో 2x-3 అనేది L.H.S అవుతుంది.

→ R.H.S (Right Hand Side) : సమీకరణంలో సమానత్వపు గుర్తుకు కుడివైపు గల సమీకరణ భాగాన్ని R.H.S అంటారు.
ఉదా : 2X – 3 = x + 4 సమీకరణంలో x + 4 అనేది R.H.S అవుతుంది.

→ సామాన్య సమీకరణాన్ని సాధించు పద్ధతులు :

1. చరరాశిని వేరు చేసి సాధించడం.
2. పడ్డాంతర పద్ధతి.

(1) చరరాశిని వేరు చేసి సాధించు పద్ధతిలో పాటించే నియమాలు :
() సమీకరణం ఇరువైపులా ఒకే విలువను కలుపడం వలన సమీకరణంలోని సమానత్వపు గుర్తులో ఎటువంటి మార్పు రాదు.
ఉదా : x – 9 = 71
ఇరువైపులా 9ని కలుపగా

(ii) సమీకరణం ఇరువైపులా ఒకే విలువను తీసివేయడం వలన సమీకరణంలోని సమానత్వపు గుర్తులో ఎటువంటి మార్పు రాదు.
ఉదా : x + 4 = 9
ఇరువైపులా 4ను తీసివేయగా .

(iii) సమీకరణంలో ఇరువైపులా ఒకే విలువతో గుణించడం వలన సమీకరణంలోని సమానత్వపు గుర్తులో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.
ఉదా : \(\frac{x}{4}\) = -2
ఇరువైపులా 4తో గుణించగా

∴ x = -8

(iv) సమీకరణంలో ఇరువైపులా ఒకే విలువ (‘0’ కాని సంఖ్య)తో భాగించడం వలన సమీకరణంలోని సమానత్వపు గుర్తు మారదు.
ఉదా : 4x = 8
ఇరువైపులా 4తో భాగించగా
4x ÷ 4 = 8 ÷ 4

x = 2

(2) పక్షాంతర పద్ధతి (Method of transposition) : సమీకరణంలో సమానత్వపు గుర్తుకు ఒక వైపు గల పదాన్ని లేదా రాశి మరొక వైపుకు మార్చే ప్రక్రియను పక్షాంతరం అంటారు. ఈ విధంగా సాధనను కనుగొను పద్దతిని పక్షాంతర పద్దతి అంటారు. పదాన్ని లేదా రాశిని పక్షంతరం చేసినపుడు పదం లేదా రాశి యొక్క గుర్తులు క్రింది విధంగా మారుతాయి.

→ పదాన్ని లేదా రాశిని i) LHS నుండి RHS కు లేదా ii) RHS నుండి LHS కు మార్చడంలో

• ‘+’ గుర్తు గల పదం, ‘ ‘ గుర్తు గల పదంగా
• ‘-‘ గుర్తు గల పదం, ‘+’ గుర్తు గల పదంగా,
• ‘×’ గుర్తు గల రాశి, ‘÷’ గుర్తు గల రాశిగా
• ‘÷’ గుర్తు గల రాశి, “×” గుర్తు గల రాశిగా మారుతుంది.

ఉదా : 5x + 8 = 2x-7 ను సాధించండి.
5x = 2x-1-8 (+8 ని LHS నుండి RHS కు పక్షాంతరం చేశాము..)
5x = 2x – 15
5x – 2x = -15 (+ 2x ను RHS నుండి LHS కు పక్షాంతరం చేశాము.)
3x = -15
x =- 15 ÷ 3 (×3 ని LHS నుండి RHS కు పక్షాంతరం చేశాము. )

∴ x = -5

→ తుల్య సమీకరణాలు : ఒకే సాధనను కలిగిన సమీకరణాలను తుల్య సమీకరణాలు అంటారు.
ఉదా :

• x – 4 = 2
• 2x = 12

పై మూడు సమీకరణాలకు సాధన x = 6. కావున, పై మూడు సమీకరణాలను తుల్య సమీకరణాలు అంటారు.