AP 9th Class Maths Notes 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన

Students can go through AP Board 9th Class Maths Notes 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన to understand and remember the concept easily.

AP Board 9th Class Maths Notes 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన

→ (ఒక స్థిరరాశి) X (ఘాత రూపంలో గల ఒక చరరాశి) రూపంలో గల సమాసంను బీజీయ సమాసమంటారు.

→ ఒక బీజీయ సమాసంలో చరరాశుల యొక్క ఘాతాంకాలు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలైనప్పుడు ఆ సమాసాలను బహుపదులు అంటారు.
ఉదా : 5x³ – 2x + 8

→ బహుపదులను ఏకపది, ద్విపది, త్రిపది మొ|| వాటిగా, పదాల సంఖ్యను బట్టి వర్గీకరిస్తారు.

→ బహుపదులను రేఖీయ బహుపది, వర్గ బహుపది, ఘన బహుపది మొదలగు వాటిగా, పరిమాణాలను బట్టి వర్గీకరిస్తారు.

→ ఏక చరరాశి ‘x’ లో n వ పరిమాణ బహుపద సమాసం p(x)ను
p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ……. + a₂ x² + a₁x + a₀ అని చూపుతాము

→ p(x) నందు a₀, a₁, a₂, ……. . లను x⁰, x¹, x², ……. xⁿ ల యొక్క గుణకాలంటారు.

→ aⁿxⁿ, a^n-1x^n-1 ….. a⁰ లను బహుపది పదాలంటారు.

→ ఒకే ఒక పదము గల బహుపదిని ఏకపది అంటారు.
ఉదా : 2x, – 5x², \(\frac{6}{7}\)x³ మొ||నవి. …

→ రెండు ఏకపదులను కలిగివున్న బహుపదిని ద్విపది అంటారు.
ఉదా : 2x + 5y, – 3x* + 5X మొ||నవి.

→ మూడు ఏకపదులను కలిగివున్న బహుపదిని త్రిపది అంటారు.
ఉదా : 3x* + 5x – 8, 3x + 2y – 57 మొ||నవి.

→ బహుపది పదాలలో గల చరరాశుల యొక్క అత్యధిక ఘాతాంకంను బహుపది పరిమాణం అంటారు.
ఉదా : 3x* + 4xy + y యొక్క పరిమాణం 4.

→ సున్న యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్వచించలేము.

→ ఒక బహుపది యొక్క అన్ని గుణకాలు సున్న అయితే ఆ బహుపదిని “శూన్య బహుపది” అంటారు.

→ పరిమాణాల ఆధారంగా బహుపదులలో రకాలు :

బహుపది పరిమాణం	బహుపది పేరు	ఉదాహరణ
నిర్వచించబడదు	శూన్య బహుపది	0
సున్న	స్థిర బహుపది	-12, 5, \(\frac{3}{4}\), k మొ||నవి
1	ఏక బహుపది	x-12, -7x+8, ax+b మొ||నవి
2	వర్గ బహుపది	x2 + x + 7, 2y2 y – 7 మొ||నవి
3	ఘన బహుపది	3x3 – 2x2 + 5x + 7 మొ||నవి.
n (3 కన్నా ఎక్కువ)	n వ పరిమాణ బహుపది	p(x) = an xn + an-1 xn-1 + ……….. + a0 (an ≠ 0)

→ ప్రతి బహుపది ఒక బహుళపది అవుతుంది కాని అన్ని బహుళపదులు, బహుపదులు కానవసరము లేదు.

→ ఒక చరరాశితో కూడిన రేఖీయ బహుపది ఒక ఏకపది అయిననూ లేదా ద్విపది అయిననూ కావచ్చు.
ఉదా : 3x లేదా 21 – 5 O p(x) అనే బహుపదిలో ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య ‘a’ కు p(a) = 0 అయితే ‘a’ ను బహుపది శూన్య విలువ అంటారు.

→ ఏక చరరాశిలో గల రేఖీయ బహుపదికి ఒకే ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.
ఉదా : 7x + 8 యొక్క బహుపది శూన్య విలువ
7x + 8 = 0
7x = -8
x = \(\frac{-8}{7}\)

→ p(x) అనేది ఒక ఏకపరిమాణ లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ గరిష్ఠ పరిమాణం గల బహుపది మరియు ‘a’ అనేది వాస్త సంఖ్య అయినపుడు p(x) ను రేఖీయ బహుపది (x-a) చే భాగిస్తే వచ్చు శేషము p(a) అగును. దీనినే “శే.. సిద్ధాంతము” అంటారు.
ఉదా : p(x) = 4x³ + 3x + 8ను (x – 1) చే భాగించగా వచ్చు శేషము 15 అగును.
p(1) = 4 + 3 + 8 = 15

→ బహుపది పరిమాణం n ≥ 21 గా గల బహుపది p(x) మరియు ‘a’ ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య అయినపుడు

• p(a) = 0 అయిన (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అగును.
• (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(a) = 0 అగును. దీనినే కారణాంక సిద్ధాంతం అంటారు.
  ఉదా : p(x) = x – 5x + 6 మరియు p(2) = 2 – 5(2) + 6 = 0
  కావున p(x) కు (x – 2) కారణాంకమగును.

→ బీజగణిత సర్వసమీకరణాలు :

• (x + y)² = x² + 2xy + y²
• (x – y)² = x² – 2xy + y²
• (x + y) (x + y) = x² – y²
• (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab
• (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
• (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy (x + y)
• (x – y)³ = x³ + y³ – 3xy (x+y)
• (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
  = x³ + y³ + z³ – 3xyz
• x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
• x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)