AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Ex 1.4

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 పూర్ణ సంఖ్యలు Ex 1.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

ప్రశ్న1.
క్రింది వానిని కరణీయ సంఖ్యలుగా నిరూపించండి.
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\)
(iii) 6 + √2
(iv) √5
(v) 3 + 2√5

సాధన.
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}\), a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0 గా రాయవచ్చును. ………… (1)
b = √2 a …………….. (2)
b2 = 2a2 (ఇరువైపులా వర్గం చేయగా)
అనగా b2 ను 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
∴ b ను 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది (a2 ను పై భాగిస్తే, a ను కూడా పై భాగిస్తుంది.)
కావున b = 2c గా రాయవచ్చును.
b2 = 4c2
2a2 = 4c2 ((2) నుండి)
a2 = 2c2
a2 ను 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
∴ a ను 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
అనగా a మరియు b లకు 2 సామాన్య కారణాంకము.
a మరియు b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు కాదు. ……………. (3)
(1) మరియు (3) లు పరస్పర విరుద్దాలు. కావున \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) కరణీయసంఖ్య కాదు అనే మన ఊహ విరోధాభాసం.
∴ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) కరణీయ సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

2వ పద్ధతి :
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ను కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున 2 × \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), అకరణీయ సంఖ్య (∵ అకరణీయ సంఖ్యల . లబ్ధం అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.)
= \(\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) = √2 అకరణీయ సంఖ్య
ఇది √2 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము.
∴ మన ఊహ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) కరణీయసంఖ్య కాదు అనుకోవడం విరోధాభాసము.
కావున \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) కరణీయ సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

(ii) \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\)
\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) = \(\frac{a}{b}\), a, b లు పరస్పర • ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0 గా రాయవచ్చును.
√5 = \(\frac{a}{b}\) – √3
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4 1

a, b లు పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన \(\frac{a^{2}-2 b^{2}}{2 a b}\) అకరణీయ సంఖ్య కావున √3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.
ఇది √3 ఒక కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము.
కావున , మన ఊహ \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) ఒక కరణీయసంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) కరణీయ సంఖ్య.

2వ పద్ధతి :
\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) కరణీయసంఖ్య .కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) = a అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) = a, a ∈ Q అనుకొందాం
√5 = a – √3 ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
5 = a2 – 2a√3 + 3
2a√3 = a2 + 3 – 5
√3 = \(\frac{a^{2}-2}{2 a}\)
a ∈ Q అయిన \(\frac{a^{2}-2}{2 a}\) కూడా అకరణీయ సంఖ్య
కావున √3 అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √3 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము.
కావున మన ఊహ \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) కరణీయ సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

(iii) 6 + √2
6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు 6 + √2 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
∴ 6 + √2 = \(\frac{a}{b}\), a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0 గా రాయవచ్చు.
√2 = \(\frac{a}{b}\) – 6 = \(\frac{a-6 b}{b}\)
a, b లు పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన \(\frac{a-6 b}{b}\) అకరణీయ సంఖ్య.
కావున √2 అకరణీయ సంఖ్య.
ఇది √2 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున మన ఊహ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య.

2వ పద్ధతి :
6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు 6 + √2 అకరణీయ సంఖ్య.
∴ (6 + √2) – 6 అకరణీయ సంఖ్య (∵ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల భేదం అకరణీయ సంఖ్య)
√2 అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √2 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున మన ఊహ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

(iv) √5
√5 కరణీయసంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు √5 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున √5 = \(\frac{a}{b}\) ;
a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు, b ≠ 0 గా రాయవచ్చును. ………………. (1)
5 = \(\frac{a^{2}}{b^{2}}\)
a2 = 5b2 ………………. (2)
∴ a2 ను 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
∴ a ను కూడా 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
కావున a = 5c గా రాయవచ్చును.
a2 = 25c2
5b2 = 25c2 ((2) నుండి)
b2 = 5c2
b2 ను 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
∴ b ను కూడా 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. అనగా a మరియు b లకు 5 సామాన్య కారణాంకము.
∴ a మరియు b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు కాదు. ………………. (3)
(1) మరియు (3) లు పరస్పర విరుద్ధాలు. కావున మన ఊహ √5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ √5 కరణీయ సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

(v) 3 + 2√5
3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొనుము.
అప్పుడు 3 + 2√5 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
3 + 2√5 = \(\frac{a}{b}\); a, b లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు మరియు b ≠ 0 గా రాయవచ్చు.
2√5 = \(\frac{a}{b}\) – 3
√5 = \(\frac{a-3 b}{2 b}\)
a, b లు పూర్ణాంకాలైతే \(\frac{a-3 b}{2 b}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున √5 అకరణీయ సంఖ్య.
కాని ఇది √5 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము కావున మన ఊహ 3+ 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య.

2వ పద్ధతి :
3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొంగాం.
3 + 2√5 అకరణీయ సంఖ్య.
(3 + 2√5) – 3 = 2√5 అకరణీయ సంఖ్య .
(∵ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల భేదం అకరణీయ సంఖ్య)
⇒ \(\frac{1}{2}\) × 2√5 (∵ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల లబ్దం అకరణీయ సంఖ్య)
= √5 అకరణీయ సంఖ్య
కాని ఇది √5 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

ప్రశ్న2.
p, q లు ప్రధానారకాలు అయితే √p + √q ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.
p, qలు ప్రధానాంకాలు అయితే √p + √q ఒక కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు √p + √q అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
√p + √q = a, a ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనుకొందాం.
√q = a – √p ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
(√q)2 = (a – √p)2
q = a2 – 2a . √p + p .
2a√p = a2 + p – q
√p = \(\frac{a^{2}+p-q}{2 a}\)
a అకరణీయ సంఖ్య, p, q లు ప్రధాన సంఖ్యలు అయిన \(\frac{a^{2}+p-q}{2 a}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున √p ఒక అకరణీయ సంఖ్య. ఇది p ప్రధాన సంఖ్య అయిన √p కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము.
కావున మన ఊహ p, q లు ప్రధాన సంఖ్యలు అయిన √p + √q కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకోవడం విరోధాభాసం.
∴ p, qలు ప్రధాన సంఖ్యలు అయిన √p + √q కరణీయ సంఖ్య.