AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Ex 1.5

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 పూర్ణ సంఖ్యలు Ex 1.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.5

ప్రశ్న1.
కింది వాటి విలువలను కనుగొనండి.
(i) log₂₅5
సాధన.
1వ పద్ధతి :
log₂₅5 = x అయిన 25^x = 5
[∵ log_an = x ⇒ a^x = n]
⇒ (5²)^x = 5
⇒ 5^2x = 5
⇒ 2x = 1
∴ x = \(\frac{1}{2}\)

2వ పద్దతి :
log₂₅5 = log₂₅ \(\sqrt{25}\)
= log₂₅ (25)^{\(\frac{1}{2}\)}
= \(\frac{1}{2}\) log₂₅ 25
[∵ log_a x^m = m log_a x)
∴ log₂₅ 5 = \(\frac{1}{2}\)

(లేదా)

3వ పద్ధతి :

\(\log _{a^{n}} x\) = log_a x
log₂₅ 5 = \(\log _{5^{2}} 5=\frac{1}{2} \log _{5} 5\)
log₂₅ 5 = \(\frac{1}{2}\) × 1 = \(\frac{1}{2}\)

(ii) log₈₁ 3
సాధన.
1వ పద్ధతి :
log₈₁ 3 = x అయిన
81^x = 3
(3⁴)^x = 3
3^4x = 3¹
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)
∴ log₈₁ 3 = \(\frac{1}{4}\)

(లేదా)

2వ పద్ధతి :
log₈₁ 3 = log₈₁ (81)^{\(\frac{1}{4}\)}
[∵ (81)^{\(\frac{1}{4}\)} = (3⁴)^{\(\frac{1}{4}\)} = 3]
= \(\frac{1}{4}\) log₈₁ 81
= \(\frac{1}{4}\) . 1 = \(\frac{1}{4}\)
∴ log₈₁ 3 = \(\frac{1}{4}\)

(లేదా)

3వ పద్ధతి :
\(\log _{a} n x=\frac{1}{n} \log _{a} x\)
∴ log₈₁ 3 = \(\log _{3^{4}} 3\)
= \(\frac{1}{4}\) log₃ 3
= \(\frac{1}{4}\) × 1 = \(\frac{1}{4}\)

(iii) log₂ (\(\frac{1}{16}\))
సాధన.
log₂ (\(\frac{1}{16}\)) = x అయిన 2^x = \(\frac{1}{16}\)
2^x = \(\frac{1}{2^{4}}\)
2^x = 2^-4
x = – 4
= -4 log 2
∴ log₂ (\(\frac{1}{16}\)) = – 4

(లేదా)

\(\log _{2} \frac{1}{16}=\log _{2} \frac{1}{2^{4}}\)
= log₂ 2^-4 [∵ \(\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\)]
= – 4 log₂ 2 [∵ log_a x^m = m log_a x]
= – 4 (1)
∴ log₂ (\(\frac{1}{16}\)) = – 4

(iv) log₇ 1
సాధన.
log₇ 1 = 0 [∵ log_a 1 = 0]
log₇1 = x అయిన 7^x = 1 = 7⁰
x = 0.
∴ log₇1 = 0 .

(v) log_x √x
సాధన.
log_x √x = y అయిన x^y = x^x
x^y = x^{\(\frac{1}{2}\)}
y = \(\frac{1}{2}\)
∴ log_x √x = \(\frac{1}{2}\)

(లేదా)

log_x √x = log_x x^{\(\frac{1}{2}\)}
= \(\frac{1}{2}\) log_x x
[∵ log_a x^m = m log_a x]
= \(\frac{1}{2}\) (1)
∴ log_x √x = \(\frac{1}{2}\)

(vi) log₂ 512
సాధన.
log₂ 512 = x అయిన 2^x = 512 = 2⁹
x = 9
∴ log₂ 512 = 9

(లేదా)

2వ పద్ధతి :
log₂ 512 = log₂ 2⁹
= 9 log₂ 2 = 9 × 1 = 9

 

(vii) log₁₀0.01
సాధన.
log₁₀ 0.01 = x అయిన 10^x = 0.01
10^x = \(\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2}}\)
10^x = 10^-2
∴ x = – 2

(లేదా)

log₁₀ 0.01 = log₁₀ \(\frac{1}{100}\)
= log₁₀ \(\frac{1}{10^{2}}\)
= log₁₀ 10^-2
= – 2 log₁₀ 10
= – 2 (1)
∴ log₁₀ 0.01 = – 2

(viii) \(\log _{\frac{2}{3}}\left(\frac{8}{27}\right)\)
సాధన.

 

(ix) 2^{2 + log₂ 3}
సాధన.
2^{2 + log₂ 3} = (2²) (2^{log₂ 3})
= 4(2^{log₂ 3})
= 4(3) = 12 [∵ a^{log_a N = n}]

 

ప్రశ్న2.
కింది వాటిని log N రూపంలో రాసి వీలగు సందర్భాలలో వాటి విలువలను కనుగొనండి
(i) log 2 + log 5
సాధన.
log 2 + log 5 = log 2 × 5 = log 10 = log N
∴ N = 10 (∴ log_a x + log_a y = log_a xy).

(ii) log₂ 16 – log₂ 2
సాధన.
log₂ 16 – log₂ 2 = log₂ \(\frac{16}{2}\)
[∵ log m – log n = log \(\frac{m}{n}\)]
= log₂ 8 = log₂ 2³[∵ 8 = 2³] = 3

(iii) 3 log₆₄ 4
సాధన.
3 log₆₄ 4 = log₆₄ 4³
= log₆₄ 64 = 1.

(iv) 2 log 3 – 3 log 2
సాధన.
2 log 3 – 3 log 2 = log 3² – log 2³
[∵ m log_a x = log_a x^m]
= log 9 – log 8
= log \(\frac{9}{8}\) = log N
[∵ log_a x – log_a y = log_a \(\frac{x}{y}\)]
∴ N = \(\frac{9}{8}\)

(v) log 10 + 2 log 3 – log 2
సాధన.
log 10 + 2 log 3 – log 2
= log 10 + log 3² – log 2
= log 10 + log 9 – log 2
= log (10 × 9) – log 2
(∵ log m + log n = log mn]
= log 90 – log 2
= log \(\frac{90}{2}\) [∵ log m – log n = log \(\frac{m}{n}\)]
= log 45.

ప్రశ్న3.
x = log₂ 3 మరియు y = log₂ 5 అని ఇవ్వబడిన, కింది వాటి విలువలను x మరియు y లలో తెలపండి.
(i) log₂ 15
సాధన.
log₂ 15 = log₂ (5 × 3)
= log₂ 5 + log₂ 3
= x + y

(ii) log₂ 7.5
సాధన.
log₂ 7.5 = log₂ \(\frac{15}{2}\)
= log₂ 15 – log₂ 2
= log₂ (5 × 3) – log₂ 2
= log₂ 5 + log₂ 3 – log₂ 2
= x + y – 1

(iii) log₂ 60
సాధన.
log₂ 60 = log₂ (4 × 15)
= log₂ (2² × 5 × 3) |
= log₂ 2² + log₂ 5 + log₂ 3
= 2 log₂ 2 + log₂ 5 + log₂ 3
= 2 + x + y

(iv) log₂ 6750
సాధన.
log₂ 6750 = log₂ 53 x 33 x 2
= log₂ 5³ + log₂ 3³ + log₂ 2
= 3 log₂ 5 + 3 log₂ 3 + log₂ 2
= 3y + 3x + 1

ప్రశ్న4.
కింది వాటిని విస్తరింతండి.
(i) log 1000
సాధన.
log 1000 = log 10³ = 3 log 10
[∵ log_a x^m = m log_a x]
= 3 log 5 × 2
= 3[log 5 + log 21
[∵ log_a xy = log_a x + log_a y]

(లేదా)

log 1000 = log 2³ × 5³
[∵ 1000 = 10³ = (2 × 5)³ = 2³ × 5³]
= log 2³ + log 5³
log 1000 = 3 log 2 + 3 log 5
= 3 (log 2 + log 5)

(ii) log(\(\frac{128}{625}\))
సాధన.
log(\(\frac{128}{625}\)) = log 128 – log 625
[∵ \(\log _{a} \frac{x}{y}\) = log_a x – log_a y]
= log 2⁷ – log 5⁴
[∵ log_a x = m log_a x]
= 7 log 2 – 4 log 5

(iii) log x²y³z⁴
సాధన.
log x²y³z⁴ = log x² + log y³ + log z⁴
= 2 log x + 3 log y + 4 log z

(iv) log \(\frac{\mathbf{p}^{2} \mathbf{q}^{3}}{\mathbf{r}}\)
సాధన.
log \(\frac{\mathbf{p}^{2} \mathbf{q}^{3}}{\mathbf{r}}\) = log p²q³ – log r
[∵ log \(\frac{x}{y}\) = log_a x – log_a y]
= log p² + log q³ – log r
[∵ log xy = log_a x + log_a y]
= 2 log p + 3 log q – logr .
[∵ log_a xm = m log_a x]

(v) log \(\sqrt{\frac{x^{3}}{y^{2}}}\)
సాధన.
log \(\sqrt{\frac{x^{3}}{y^{2}}}\) = \(\log \left(\frac{x^{3}}{y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \log \frac{x^{3}}{y^{2}}\)
= \(\frac{1}{2}\) [log x³ – log y²]
[∵ log_a \(\frac{x}{y}\) = log_a x – log_a y]
= \(\frac{1}{2}\) [3 log x – 2 log y]
[∵ log_a x^m = m log_a x]
= \(\frac{3}{2}\) log x – log y

(లేదా)
\(\log \sqrt{\frac{x^{3}}{y^{2}}}=\log \left(\frac{x^{3}}{y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\log \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y}\)
= log x^{\(\frac{3}{2}\)} – log y
= \(\frac{3}{2}\) log x – log y.

ప్రశ్న5.
x² + y² = 25xy అయిన 2 log (x + y) = 3 log 3 + log x + log y అని నిరూపించండి.
సాధన.
x² + y² = 25xy. ఇరువైపులా 2xy ను కలుపగా
x² + y² + 2xy = 25xy + 2xy = 27xy
(x + y)² = 27xy ఇరువైపులా సంవర్గమానం తీసుకోగా
log (x + y)² = log 27xy
∴ 2 log (x + y) = log 27 + log x + logy
[∵ log mn = log m + log n]
⇒ 2 log (x + y) = log 3³ + log x + logy
= 3 log 3 + log x + logy
∴ LHS = RHS అని నిరూపించడమైనది.

ప్రశ్న6.
log \(\left(\frac{x+y}{3}\right)\) = \(\frac{1}{2}\) (log x + log y) అయిన \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) విలువను కనుగొనండి.
సాధన.
log \(\left(\frac{x+y}{3}\right)\) = \(\frac{1}{2}\) (log x + log y)
log \(\frac{x+y}{3}\) = \(\frac{1}{2}\) log xy = log (xy)^{\(\frac{1}{2}\)}
log \(\frac{x+y}{3}\) = log (xy)^{\(\frac{1}{2}\)}
∴ \(\frac{x+y}{3}\) = (xy)^{\(\frac{1}{2}\)} = \(\sqrt{x y}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
\(\left(\frac{x+y}{3}\right)^{2}\) = xy
\(\frac{x^{2}+y^{2}+2 x y}{9}\) = xy
⇒ x² + y² + 2xy = 9xy
x² + y² = 9xy – 2xy = 7xy
x² + y² = 7xy ఇరువైపులా Xy చే భాగించగా
\(\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=\frac{7 x y}{x y}\)

\(\frac{x^{2}}{x y}+\frac{y^{2}}{x y}=\frac{7 x y}{x y}\) = 7

⇒ \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) = 7

ప్రశ్న7.
(2.3)^x = (0.23)^y = 1000 అయిన \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\) విలువను కనుగొనండి:
సాధన.
a^x = N అయితే log_a N = x అని తెలుసు. దీనిని మరో విధంగా
a = N^{\(\frac{1}{x}\)} అనగా N^{\(\frac{1}{x}\)} = a అయిన log_N a = \(\frac{1}{x}\) అని తెలుసు.
అయితే log_a N = x అయిన log_N a = \(\frac{1}{x}\) అగును అని గ్రహించాలి.
ప్రస్తుత సమస్యలో
(2.3^x = 1000
⇒ log_2.3 1000 = x మరియు
log₁₀₀₀2.3 = \(\frac{1}{x}\) అని వ్రాయవచ్చు. ………………. (1)
అదే విధంగా
(0.23)^y = 1000
⇒ log_0.23 1000 = y
అనగా log₁₀₀₀0.23 = \(\frac{1}{y}\) అగును ……. (2)
∴ సమీకరణం 1, 2 ల విలువలు ప్రతిక్షేపించగా
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\) = log₁₀₀₀2.3 – log₁₀₀₀0.23
= log₁₀₀₀ \(\frac{2.3}{0.23}\)
[∵ log m – log n = log mn]
= log₁₀₀₀10
= \(\log _{10^{3}} 10^{1}=\frac{1}{3}\)
[∵ \(\log _{a^{n}} a^{m}=\frac{m}{n} \log _{a} a\)]

(లేదా)

log₁₀₀₀10 = log₁₀₀₀1000^{\(\frac{1}{3}\)}
= \(\frac{1}{3}\) log₁₀₀₀1000
= \(\frac{1}{3}\)
కావున (2.3)^x = (0.23)^y అయిన \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\) అగును.

ప్రశ్న8.
2^{x + 1} = 3^{1 – x} అయిన x విలువను కనుగొనండి.
సాధన.
2^{x + 1} = 3^{1 – x} ఇరువైపులా సంవర్గమాన రూపంలో వ్రాయగా
(x + 1) log 2 = (1 – x) log 3
⇒ x log 2 + log 2 = log 3 – x log 3
∴ x log 2 + x log 3 = log 3 – log 2
x [log 2 + log 3] = log 3 – log 2
x [log 6] = log (\(\frac{3}{2}\)) = log 1.5
[∵ log m + log n = log mn
log m – log n = log \(\frac{m}{n}\)]
⇒ x = \(\frac{\log 1.5}{\log 6}\) (లేదా)
x = \(\left[\frac{\log 3-\log 2}{\log 3+\log 2}\right]\)

ప్రశ్న9.
(i) log 2 కరణీయ సంఖ్యనా లేదా అకరణీయ సంఖ్యనా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
log₁₀ 2 అకరణీయ సంఖ్య అనుకొందాం.
∴ log₁₀ 2 = \(\frac{p}{q}\), p, q ∈ Z, q#0 అయ్యేటట్లు రాయగలము.
∴ 10^{\(\frac{p}{q}\)} = 2
10^p = 2^q ………….. (1)
p, q లు పూర్ణసంఖ్యలు.
(1) p = q = 0 అయినప్పుడు మాత్రమే సత్యము.

కాని అకరణీయ సంఖ్యల నిర్వచనం ప్రకారం q ≠ 0.
∴ 10^p = 2^q, p, q ∈ Z అనడము ఒక విరుద్ధత.
కావున log₁₀ 2 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనే మన భావన తప్పు.
∴ log₁₀ 2 ఒక కరణీయ సంఖ్య.

(ii) log 100 కరణీయ సంఖ్యనా లేదా అకరణీయ సంఖ్యనా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
log₁₀ 100
log₁₀ 100 = log₁₀ 10²
= 2 log₁₀ 10 = 2
2 ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున log 100 కూడా అకరణీయ సంఖ్య.