SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 పూర్ణ సంఖ్యలు Ex 1.5 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.5
ప్రశ్న1.
కింది వాటి విలువలను కనుగొనండి.
(i) log255
సాధన.
1వ పద్ధతి :
log255 = x అయిన 25x = 5
[∵ logan = x ⇒ ax = n]
⇒ (52)x = 5
⇒ 52x = 5
⇒ 2x = 1
∴ x = \(\frac{1}{2}\)
2వ పద్దతి :
log255 = log25 \(\sqrt{25}\)
= log25 (25)\(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) log25 25
[∵ loga xm = m loga x)
∴ log25 5 = \(\frac{1}{2}\)
(లేదా)
3వ పద్ధతి :
\(\log _{a^{n}} x\) = loga x
log25 5 = \(\log _{5^{2}} 5=\frac{1}{2} \log _{5} 5\)
log25 5 = \(\frac{1}{2}\) × 1 = \(\frac{1}{2}\)
(ii) log81 3
సాధన.
1వ పద్ధతి :
log81 3 = x అయిన
81x = 3
(34)x = 3
34x = 31
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)
∴ log81 3 = \(\frac{1}{4}\)
(లేదా)
2వ పద్ధతి :
log81 3 = log81 (81)\(\frac{1}{4}\)
[∵ (81)\(\frac{1}{4}\) = (34)\(\frac{1}{4}\) = 3]
= \(\frac{1}{4}\) log81 81
= \(\frac{1}{4}\) . 1 = \(\frac{1}{4}\)
∴ log81 3 = \(\frac{1}{4}\)
(లేదా)
3వ పద్ధతి :
\(\log _{a} n x=\frac{1}{n} \log _{a} x\)
∴ log81 3 = \(\log _{3^{4}} 3\)
= \(\frac{1}{4}\) log3 3
= \(\frac{1}{4}\) × 1 = \(\frac{1}{4}\)
(iii) log2 (\(\frac{1}{16}\))
సాధన.
log2 (\(\frac{1}{16}\)) = x అయిన 2x = \(\frac{1}{16}\)
2x = \(\frac{1}{2^{4}}\)
2x = 2-4
x = – 4
= -4 log 2
∴ log2 (\(\frac{1}{16}\)) = – 4
(లేదా)
\(\log _{2} \frac{1}{16}=\log _{2} \frac{1}{2^{4}}\)
= log2 2-4 [∵ \(\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\)]
= – 4 log2 2 [∵ loga xm = m loga x]
= – 4 (1)
∴ log2 (\(\frac{1}{16}\)) = – 4
(iv) log7 1
సాధన.
log7 1 = 0 [∵ loga 1 = 0]
log71 = x అయిన 7x = 1 = 70
x = 0.
∴ log71 = 0 .
(v) logx √x
సాధన.
logx √x = y అయిన xy = xx
xy = x\(\frac{1}{2}\)
y = \(\frac{1}{2}\)
∴ logx √x = \(\frac{1}{2}\)
(లేదా)
logx √x = logx x\(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) logx x
[∵ loga xm = m loga x]
= \(\frac{1}{2}\) (1)
∴ logx √x = \(\frac{1}{2}\)
(vi) log2 512
సాధన.
log2 512 = x అయిన 2x = 512 = 29
x = 9
∴ log2 512 = 9
(లేదా)
2వ పద్ధతి :
log2 512 = log2 29
= 9 log2 2 = 9 × 1 = 9
(vii) log100.01
సాధన.
log10 0.01 = x అయిన 10x = 0.01
10x = \(\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2}}\)
10x = 10-2
∴ x = – 2
(లేదా)
log10 0.01 = log10 \(\frac{1}{100}\)
= log10 \(\frac{1}{10^{2}}\)
= log10 10-2
= – 2 log10 10
= – 2 (1)
∴ log10 0.01 = – 2
(viii) \(\log _{\frac{2}{3}}\left(\frac{8}{27}\right)\)
సాధన.
(ix) 22 + log2 3
సాధన.
22 + log2 3 = (22) (2log2 3)
= 4(2log2 3)
= 4(3) = 12 [∵ aloga N = n]
ప్రశ్న2.
కింది వాటిని log N రూపంలో రాసి వీలగు సందర్భాలలో వాటి విలువలను కనుగొనండి
(i) log 2 + log 5
సాధన.
log 2 + log 5 = log 2 × 5 = log 10 = log N
∴ N = 10 (∴ loga x + loga y = loga xy).
(ii) log2 16 – log2 2
సాధన.
log2 16 – log2 2 = log2 \(\frac{16}{2}\)
[∵ log m – log n = log \(\frac{m}{n}\)]
= log2 8 = log2 23[∵ 8 = 23] = 3
(iii) 3 log64 4
సాధన.
3 log64 4 = log64 43
= log64 64 = 1.
(iv) 2 log 3 – 3 log 2
సాధన.
2 log 3 – 3 log 2 = log 32 – log 23
[∵ m loga x = loga xm]
= log 9 – log 8
= log \(\frac{9}{8}\) = log N
[∵ loga x – loga y = loga \(\frac{x}{y}\)]
∴ N = \(\frac{9}{8}\)
(v) log 10 + 2 log 3 – log 2
సాధన.
log 10 + 2 log 3 – log 2
= log 10 + log 32 – log 2
= log 10 + log 9 – log 2
= log (10 × 9) – log 2
(∵ log m + log n = log mn]
= log 90 – log 2
= log \(\frac{90}{2}\) [∵ log m – log n = log \(\frac{m}{n}\)]
= log 45.
ప్రశ్న3.
x = log2 3 మరియు y = log2 5 అని ఇవ్వబడిన, కింది వాటి విలువలను x మరియు y లలో తెలపండి.
(i) log2 15
సాధన.
log2 15 = log2 (5 × 3)
= log2 5 + log2 3
= x + y
(ii) log2 7.5
సాధన.
log2 7.5 = log2 \(\frac{15}{2}\)
= log2 15 – log2 2
= log2 (5 × 3) – log2 2
= log2 5 + log2 3 – log2 2
= x + y – 1
(iii) log2 60
సాధన.
log2 60 = log2 (4 × 15)
= log2 (22 × 5 × 3) |
= log2 22 + log2 5 + log2 3
= 2 log2 2 + log2 5 + log2 3
= 2 + x + y
(iv) log2 6750
సాధన.
log2 6750 = log2 53 x 33 x 2
= log2 53 + log2 33 + log2 2
= 3 log2 5 + 3 log2 3 + log2 2
= 3y + 3x + 1
ప్రశ్న4.
కింది వాటిని విస్తరింతండి.
(i) log 1000
సాధన.
log 1000 = log 103 = 3 log 10
[∵ loga xm = m loga x]
= 3 log 5 × 2
= 3[log 5 + log 21
[∵ loga xy = loga x + loga y]
(లేదా)
log 1000 = log 23 × 53
[∵ 1000 = 103 = (2 × 5)3 = 23 × 53]
= log 23 + log 53
log 1000 = 3 log 2 + 3 log 5
= 3 (log 2 + log 5)
(ii) log(\(\frac{128}{625}\))
సాధన.
log(\(\frac{128}{625}\)) = log 128 – log 625
[∵ \(\log _{a} \frac{x}{y}\) = loga x – loga y]
= log 27 – log 54
[∵ loga x = m loga x]
= 7 log 2 – 4 log 5
(iii) log x2y3z4
సాధన.
log x2y3z4 = log x2 + log y3 + log z4
= 2 log x + 3 log y + 4 log z
(iv) log \(\frac{\mathbf{p}^{2} \mathbf{q}^{3}}{\mathbf{r}}\)
సాధన.
log \(\frac{\mathbf{p}^{2} \mathbf{q}^{3}}{\mathbf{r}}\) = log p2q3 – log r
[∵ log \(\frac{x}{y}\) = loga x – loga y]
= log p2 + log q3 – log r
[∵ log xy = loga x + loga y]
= 2 log p + 3 log q – logr .
[∵ loga xm = m loga x]
(v) log \(\sqrt{\frac{x^{3}}{y^{2}}}\)
సాధన.
log \(\sqrt{\frac{x^{3}}{y^{2}}}\) = \(\log \left(\frac{x^{3}}{y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \log \frac{x^{3}}{y^{2}}\)
= \(\frac{1}{2}\) [log x3 – log y2]
[∵ loga \(\frac{x}{y}\) = loga x – loga y]
= \(\frac{1}{2}\) [3 log x – 2 log y]
[∵ loga xm = m loga x]
= \(\frac{3}{2}\) log x – log y
(లేదా)
\(\log \sqrt{\frac{x^{3}}{y^{2}}}=\log \left(\frac{x^{3}}{y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\log \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y}\)
= log x\(\frac{3}{2}\) – log y
= \(\frac{3}{2}\) log x – log y.
ప్రశ్న5.
x2 + y2 = 25xy అయిన 2 log (x + y) = 3 log 3 + log x + log y అని నిరూపించండి.
సాధన.
x2 + y2 = 25xy. ఇరువైపులా 2xy ను కలుపగా
x2 + y2 + 2xy = 25xy + 2xy = 27xy
(x + y)2 = 27xy ఇరువైపులా సంవర్గమానం తీసుకోగా
log (x + y)2 = log 27xy
∴ 2 log (x + y) = log 27 + log x + logy
[∵ log mn = log m + log n]
⇒ 2 log (x + y) = log 33 + log x + logy
= 3 log 3 + log x + logy
∴ LHS = RHS అని నిరూపించడమైనది.
ప్రశ్న6.
log \(\left(\frac{x+y}{3}\right)\) = \(\frac{1}{2}\) (log x + log y) అయిన \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) విలువను కనుగొనండి.
సాధన.
log \(\left(\frac{x+y}{3}\right)\) = \(\frac{1}{2}\) (log x + log y)
log \(\frac{x+y}{3}\) = \(\frac{1}{2}\) log xy = log (xy)\(\frac{1}{2}\)
log \(\frac{x+y}{3}\) = log (xy)\(\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{x+y}{3}\) = (xy)\(\frac{1}{2}\) = \(\sqrt{x y}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
\(\left(\frac{x+y}{3}\right)^{2}\) = xy
\(\frac{x^{2}+y^{2}+2 x y}{9}\) = xy
⇒ x2 + y2 + 2xy = 9xy
x2 + y2 = 9xy – 2xy = 7xy
x2 + y2 = 7xy ఇరువైపులా Xy చే భాగించగా
\(\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=\frac{7 x y}{x y}\)
\(\frac{x^{2}}{x y}+\frac{y^{2}}{x y}=\frac{7 x y}{x y}\) = 7
⇒ \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) = 7
ప్రశ్న7.
(2.3)x = (0.23)y = 1000 అయిన \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\) విలువను కనుగొనండి:
సాధన.
ax = N అయితే loga N = x అని తెలుసు. దీనిని మరో విధంగా
a = N\(\frac{1}{x}\) అనగా N\(\frac{1}{x}\) = a అయిన logN a = \(\frac{1}{x}\) అని తెలుసు.
అయితే loga N = x అయిన logN a = \(\frac{1}{x}\) అగును అని గ్రహించాలి.
ప్రస్తుత సమస్యలో
(2.3x = 1000
⇒ log2.3 1000 = x మరియు
log10002.3 = \(\frac{1}{x}\) అని వ్రాయవచ్చు. ………………. (1)
అదే విధంగా
(0.23)y = 1000
⇒ log0.23 1000 = y
అనగా log10000.23 = \(\frac{1}{y}\) అగును ……. (2)
∴ సమీకరణం 1, 2 ల విలువలు ప్రతిక్షేపించగా
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\) = log10002.3 – log10000.23
= log1000 \(\frac{2.3}{0.23}\)
[∵ log m – log n = log mn]
= log100010
= \(\log _{10^{3}} 10^{1}=\frac{1}{3}\)
[∵ \(\log _{a^{n}} a^{m}=\frac{m}{n} \log _{a} a\)]
(లేదా)
log100010 = log10001000\(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{1}{3}\) log10001000
= \(\frac{1}{3}\)
కావున (2.3)x = (0.23)y అయిన \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\) అగును.
ప్రశ్న8.
2x + 1 = 31 – x అయిన x విలువను కనుగొనండి.
సాధన.
2x + 1 = 31 – x ఇరువైపులా సంవర్గమాన రూపంలో వ్రాయగా
(x + 1) log 2 = (1 – x) log 3
⇒ x log 2 + log 2 = log 3 – x log 3
∴ x log 2 + x log 3 = log 3 – log 2
x [log 2 + log 3] = log 3 – log 2
x [log 6] = log (\(\frac{3}{2}\)) = log 1.5
[∵ log m + log n = log mn
log m – log n = log \(\frac{m}{n}\)]
⇒ x = \(\frac{\log 1.5}{\log 6}\) (లేదా)
x = \(\left[\frac{\log 3-\log 2}{\log 3+\log 2}\right]\)
ప్రశ్న9.
(i) log 2 కరణీయ సంఖ్యనా లేదా అకరణీయ సంఖ్యనా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
log10 2 అకరణీయ సంఖ్య అనుకొందాం.
∴ log10 2 = \(\frac{p}{q}\), p, q ∈ Z, q#0 అయ్యేటట్లు రాయగలము.
∴ 10\(\frac{p}{q}\) = 2
10p = 2q ………….. (1)
p, q లు పూర్ణసంఖ్యలు.
(1) p = q = 0 అయినప్పుడు మాత్రమే సత్యము.
కాని అకరణీయ సంఖ్యల నిర్వచనం ప్రకారం q ≠ 0.
∴ 10p = 2q, p, q ∈ Z అనడము ఒక విరుద్ధత.
కావున log10 2 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనే మన భావన తప్పు.
∴ log10 2 ఒక కరణీయ సంఖ్య.
(ii) log 100 కరణీయ సంఖ్యనా లేదా అకరణీయ సంఖ్యనా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
log10 100
log10 100 = log10 102
= 2 log10 10 = 2
2 ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున log 100 కూడా అకరణీయ సంఖ్య.