AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
n ఒక సహజ సంఖ్యగా కలిగిన సంఖ్య 6n యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉంటుందా ? కారణాలు తెలపండి.
సాధన.
6n = (2 × 3)n = 2n × 3n
6n యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉండదు.
కారణం:
n ఒక సహజ సంఖ్య అయిన 6n యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 లేదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 1stLesson వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise

ప్రశ్న 2.
7 × 5 × 3 × 2 + 3 అనేది సంయుక్త సంఖ్య అగునా? నీ జవాబును సమర్థించండి.
సాధన.
7 × 5 × 3 × 2 + 3 = 3 (7 × 5 × 2 + 1)
= 3 × (70 + 1)
= 3 × 71
7 × 5 × 3 × 2 + 3 యొక్క కారణాంకాలు 3 మరియు 71. కావున సంయుక్త సంఖ్య అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 1stLesson వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise

ప్రశ్న 3.
2√3 + √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి. ఇదేవిధంగా (2√3 + √5) (2√3 – √5) అకరణీయ మగునో, కరణీయమగునో సరిచూడండి.
సాధన.
(i) 2√3 + √5 = x, x, ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనుకుందాము.
2√3 = x – √5
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
(2√3)2 = (x – √5)2
12 = x2 – 2√5 x +5
2√5x = x2 + 5 -12
√5 = \(\frac{x^{2}-7}{2 x}\)
x అకరణీయ సంఖ్య అయితే \(\frac{x^{2}-7}{2 x}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున √5 అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √5 ఒక కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున మన ఊహ 2√3 + √5 అకరణీయ సంఖ్య అనడం విరోధాభాసం.
∴ 2√3 + √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య.

(ii) (2√3 + √5) (2√3 – √5)
= (2√3) – (√5)
= 12 – 5 = 7
ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున (2√3 + √5) (2√3 – √5) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 1stLesson వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise

ప్రశ్న 4.
x2 + y2 = 6xy అయిన 2 log (x + y) = log x + log y + 3 log 2 అని చూపండి.
ధన.
x2 + y2 = 6xy
x2 + y2 + 2xy = 6xy + 2xy
(x + y)2 = 8xy
ఇరువైపులా log తీసుకొనగా
log (x + y)2 = log 8xy
2 log(x + y) = log 8 + log x + log y
[∵ log xm = m log x]
[∵ log xy = log x + log y]
= log 23 + log x + log y
= 3 log 2 + log x + log y
∴ 2 log(x + y)= log x + log y + 3 log 2

AP Board 10th Class Maths Solutions 1stLesson వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise

ప్రశ్న 5.
log10 2 = 0.3010 అయిన 42013 సంఖ్యలో ఎన్ని అంకెలుంటాయో తెలపండి.
సాధన.
x = 42013 అనుకుందాము
log x = log 42013
= log (22)2013
= log 24026
= 4026 log 2 [∵ log xm = m logy)
= 4026 × 0.3010 [ log 2 = 0.3010]
log x = 1211.826
log x యొక్క లాక్షణిక (పూర్ణాంకభాగం) 1211.
కావున X లో 1211 + 1 = 1212 అంకెలుంటాయి.
∴ 42013 సంఖ్యలో 1212 అంకెలుంటాయి.
సూచన :
ఒక సంఖ్య సంవర్గమానంలో పూర్ణాంక భాగం గురించి, దశాంశ భాగం గురించి మీ ఉపాధ్యాయుడిని అడిగి తెలుసుకోండి.