AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 5 వర్గ సమీకరణాలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 5th Lesson వర్గ సమీకరణాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలు వర్గ సమీకరణాలో, కాదో తెలపండి. (పేజీ నెం. 102)
(i) x² – 6x – 4 = 0
సాధన.
x² – 6x – 4 = 0
అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

(ii) x³ – 6x² + 2x – 1 = 0
సాధన.
x² – 6x² + 2x – 1 = 0
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా దీని పరిమాణము 3.

(iii) 7x = 2x²
సాధన.
7x = 2x² అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

(iv) x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
సాధన.
x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
⇒ \(\) = 2
⇒ x⁴ – 2x² + 1 = 0
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా పరిమాణము 4.

v) (2x + 1) (3x + 1) = b(x – 1) (x – 2)
సాధన. (2x + 1) (3x + 1) = b(x – 1) (x – 2)
కాదు. ఇది వర్గ సమీకరణము కాదు. ఎందుకనగా
ఇరువైపులా x- గుణకము

(vi) 3y² = 192.
సాధన.
3y² = 192
అవును. ఇది వర్గ సమీకరణమే.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
1 మరియు \(\frac{3}{2}\) లు 2x² – 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 2x² – 5x + 3 = 0
x = 1 ⇒ 2(1)² – 5(1) + 3 = 0.
2 – 5 + 3 = 0
5 – 5 = 0
0 = 0.
x = \(\frac{3}{2}\) ⇒ 2 (\(\frac{3}{2}\))² – 5 (\(\frac{3}{2}\)) + 3 = 0
⇒ 2(\(\frac{9}{4}\)) – \(\frac{15}{2}\) + 3 = 0
⇒ \(\frac{9-15+6}{2}\) = 0
⇒ \(\frac{0}{2}\) = 0
⇒ 0 = 0
∴ x = 1 మరియు x = \(\frac{3}{2}\) వర్గ సమీకరణాన్ని తృప్తి పరుస్తున్నాయి. కావున మూలాలు అవుతాయి.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా క్రింది వర్గ సమీకరణాలను సాధించుము. (పేజీ నెం. 113)
(i) x² – 10x + 9 = 0
సాధన.
x² – 10x + 9 = 0.
x² – 10x = – 9
x² – 2.x.5 = – 9
x² – 2.x.5 + 5² = – 9 + 5²
(ఇరువైపులా 5² కలుపగా)
(x – 5)² = – 9 + 25
[∵ a² – 2ab + b² = (a – b)²]
(x – 5)² = 16
∴ x – 5 = √16 = ± 4
x – 5 = 4 లేదా x – 5 = – 4
x = 4 + 5 = 9 లేదా x = – 4 + 5 = 1
x = 9 లేదా 1.

(ii) x² – 5x + 5 = 0
సాధన.
x² – 5x + 5 = 0
x² – 5x = – 5
x² – 2.x.\(\frac{5}{2}\) + (\(\frac{5}{2}\))² = – 5 + (\(\frac{5}{2}\))²
(ఇరువైపులా (\(\frac{5}{2}\))² ను కలుపగా)

(iii) x² + 7x – 630
సాధన.
x² + 7x – 6 = 0
x² + 7x = 6
x² + 2. \(\frac{1}{2}\).x.7 = 6
x² + 2.x.\(\frac{7}{2}\) + (\(\frac{7}{2}\))² = 6 + (\(\frac{7}{2}\))²
(ఇరువైపులా (\(\frac{7}{2}\))² ను కలుపగా,

అలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించుటకు పై మూడు పద్ధతులలో నీవు ఏ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తావు ? (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
సందర్భాన్ని బట్టి వర్గ సమీకరణ సాధనకు ఇచ్చిన మూడు పద్ధతులలో ఏదో ఒక దానిని ఎన్నుకొంటాను.
సందర్భం -1:
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 లోని మధ్య పదంలోని x గుణకం b ని p + q = b మరియు p × q = a × c గా రాయగలిగినప్పుడు కారణాంక పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

సందర్భం – 2:
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 కచ్చిత వర్గంగా రాయగల సందర్భంలో వర్గం పూర్తి చేయు పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

సందర్భం – 3:
పై రెండు సందర్భాలు సాధ్యం కానప్పుడు లేదా ఎలాంటి వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించే సందర్భంలోనైనా వర్గ సూత్ర పద్ధతిని ఎన్నుకొంటాను.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించటానికి ముందు దాని యొక్క విచక్షణిని కనుగొనటం వల్ల కలిగే లాభం ఏమిటో వివరించండి. దీని విలువ ఎందుకు ముఖ్యమైనది ? (పేజీ నెం. 122)
సాధన.ఒక వర్గ సమీకరణమును సాధించుటానికి ముందు దాని యొక్క విచక్షణి (D = b² – 4ac) ని కనుగొనటం వలన ఆ వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు వాస్తవాలా, కాదా నిర్ణయించగలము. అలాగే మూలాలు వాస్తవాలైతే సమానాలా, విభిన్నాలా అని తెలుసుకొనగలము.

ఈ విచక్షణి విలువ ఆధారంగా ఇచ్చిన సమస్యల సాధన సందర్భంలో వాస్తవ మూలాలు లేనిచో సమస్యకు వాస్తవ సాధనలు లేవని నిర్ణయిస్తాము.
విచక్షణి D = b² – 4ac విలువపై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఆధారపడి ఉంటాయి. కావున దీని విలువ వర్గ సమీకరణ సాధనలో చాలా ముఖ్యమైనది.

ప్రశ్న 2.
మూడు వేరువేరు .వర్గ సమీకరణాలను తయారు చేయుము. అందులో ఒకటి రెండు వేరువేరు వాస్తవ మూలాలను, మరియొకటి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలను, ఇంకొకటి వాస్తవ మూలాలను కలిగిలేని విధంగా ఉండాలి. (పేజీ నెం. 122)
సాధన.
(1) x² + 2x – 3 = 0,
b² – 4ac = 2² – 4.1. (- 3)
= 4 + 12 = 16 > 0 .

(2) x² + 2x + 1 = 0 .
b² – 4ac = 2² – 4 (1) (1) = 4 – 4 = 0

(3) x² + 2x + 3 = 0
b² – 4ac = 2² – 4 (3) (1)
= 4 – 12 = – 8 < 0
(1) మూలాలు వాస్తవాలు, విభిన్నాలు.
(2) మూలాలు వాస్తవాలు, సమానాలు.
(3) మూలాలు సంకీర్ణాలు.

ఉదాహరణలు :

ప్రశ్న 1.
రాణి వద్ద ఒక చతురస్రాకారపు లోహపు రేకు గలదు పటంలో చూపిన విధంగా దీని నాలుగు మూలం నుంచి 9 సెం.మీ. భుజంగల చతురస్రాలను తొలగించి మిగిలిన భాగంతో ఒక మూతలేని పెట్టెను తయారుచేసింది ఇలా తయారైన పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణము 144 ఘ. సెం.మీ. అయిన మొదట తీసుకున్న లోహపు రేకు యొక్క భుజం పొడవును కనుగొనగలమా ? (పేజీ నెం. 101)
సాధన.
చతురస్రాకారపు లోహపు రేకు భుజం పొడవు x సెం.మీ. అనుకొనిన తయారుచేయబడిన పెట్టె యొక కొలతలు 9 సెం.మీ. × (x – 18) సెం.మీ. × (x – 18) సెం.మీ.
పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణము 144 సెం.మీ
కనుక 9 (x – 18) (x – 18) = 144
(x – 18)² = 16
x² – 36x + 308 = 0

అనగా పై సమీకరణమును తృప్తిపరచే ‘x’ విలువే మొదట తీసుకున్న లోహపు రేకు యొక్క భుజం అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానికి సరియగు సమీకరణాలను రాయుము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 103)
(i) రాజు మరియు రాజేందర్ ఇద్దరి వద్ద కలిపి 45 గోళీలు కలవు. అయితే ఇద్దరూ చెరి 5 గోళీలను పోగొట్టుకున్నారు. ఇద్దరి వద్ద మిగిలిన గోళీల సంఖ్య యొక్క లబ్దము 124 అయిన ఇద్దరి వద్ద మొదట వున్న గోళీల సంఖ్యను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే సమీకరణమును కనుగొనుము/ రాయుము.
(ii) ఒక లంబకోణ త్రిభుజము యొక్క కర్ణము 25 సెం.మీ. మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవుల భేదము 5 సెం.మీ. అని ఇవ్వబడింది. అయిన మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను కనుగొనుటకు అవసరమయ్యే సమీకరణమును రాయుము.
సాధన.
1) రాజు వద్ద గల గోళీల సంఖ్య ‘x’ అనుకొనిన రాజేందర్ వద్ద గల గోళీల సంఖ్య = 45 – x
5 గోళీలను పొగొట్టుకున్న తరువాత రాజు వద్ద వుండే గోళీల సంఖ్య = x – 5
అదే విధంగా రాజేందర్ వద్ద వుండే గోళీల సంఖ్య = (45 – x) – 5 = 40 – x
∴ ఇద్దరి వద్ద మిగిలిన గోళీల సంఖ్య యొక్క లబ్దం = 124
(x – 5) (40 – x) = 124
40x – x² – 200 + 5x = 124
– x² + 45x – 200 – 124 = 0
– x² + 45x – 324 = 0
∴ x² – 45x + 324 = 0 (∵’ ఇరువైపులా ‘- 1’ చే గుణించగా)
అనగా x² – 45x + 324 = 0 సమీకరణాన్ని గోళీల సంఖ్యను ఇస్తుంది.
కావలసిన గణిత సమీకరణం x² – 45x + 324 = 0

(ii) చిన్న భుజము యొక్క పొడవును x సెం.మీ. అనుకొనిన పెద్ద భుజం పొడవు = (x + 5) సెం.మీ.
ఇవ్వబడిన కర్ణము యొక్క పొడవు = 25 సెం.మీ.
లంబకోణ త్రిభుజములో (భుజము)² + (భుజము)² = (కర్ణము)²
x² + (x + 5)² = (25)²
x² + x² + 10x + 25 = 625
2x² + 10x – 600 = 0 .
2(x² + 5x – 300) = 0
∴ x² + 5x – 300 = 0 పై సమీకరణంను సాధించుట ద్వారా పొందే x విలువ ఆధారంగా లంబకోణ త్రిభుజంలోని మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను గణించవచ్చు.

ప్రశ్న 3.
క్రిందివి వర్గ సమీకరణాలేమో పరిశీలించండి.
(i) (x – 2)² + 1 = 2x – 3
(ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2)
(iii) x(2x + 3) = x2+1 0
(iv) (x + 2)³ = x³ – 4 (పేజీ నెం. 104)
సాధన.
(i) (x – 2)² + 1 = 2x – 3
(x² – 4x + 4) + 1 = 2x – 3.
[∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
x² – 4x + 5 = 2x – 3
x² – 6x + 8 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం.

(ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2) .
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
x² + x + 8 = x² – 4
x² + x + 8 – x² + 4 = 0
∴ x + 12 = 0
దీని పరిమాణం 1. ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో లేదు. కావున ఇది వర్గ సమీకరణం కాదు.

(iii) x (2x + 3) = x² + 1
2x² + 3x = x² + 1
2x² + 3x – x² – 1 = 0
x² + 3x – 1 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది. ఒక వర్గ సమీకరణం.

(iv) (x + 2)³ = x³ – 4.
x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ – 4
x³ + 6x² + 12x + 8 – x³ + 4 = 0
∴ 6x² + 12x + 12 = 0
ఇది ax² + bx + c = 0 రూపంలో కలదు. కనుక ఇది ఒక వర్గ సమీకరణం.

ప్రశ్న 4.
కారణాంక పద్దతిని 2x² – 5x + 3 = 0 యొక్క మూలాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం 2x² – 5x + 3 = 0

2x² – 2x – 3x + 3 = 0
2x (x – 1) – 3(x – 1) = 0
(x – 1) (2x – 3) = 0
x – 1 = 0
x = 1
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac{3}{2}\)

ఇచ్చిన వర్గ ‘సమీకరణం యొక్క మూలాలు = 1 మరియు \(\frac{3}{2}\).

ప్రశ్న 5.
x – \(\frac{1}{3 x}\) = \(\frac{1}{6}\) వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 107)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x – \(\frac{1}{3 x}\) = \(\frac{1}{6}\)
⇒ \(\frac{3 x^{2}-1}{3 x}=\frac{1}{6}\) (అడ్డ గుణకారం చేయగా)

⇒ 6(3x² – 1) = 1 × 3x
⇒ 18x² – 3x – 6 = 0
⇒ 3(6x² – x – 2) = 0
∴ 6x² – x – 2 = 0
⇒ 6x² – 4x + 3x – 2 = 0
⇒ 2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0
⇒ (3x – 2) (2x + 1) = 0
3x – 2 = 0
3x = 2
x = \(\frac{2}{3}\)
2x + 1 = 0. . . – –
2x = – 1
x = \(-\frac{1}{2}\)
∴ 6x² – x – 2 = 0 యొక్క మూలాలు \(\frac{2}{3}\) మరియు \(-\frac{1}{2}\).

ప్రశ్న 6.
శీర్షిక 5,1 లో చర్చించిన సమస్యలోని ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 108)
చర్చించిన సమస్య :
కస్పా పురపాలక పాఠశాల క్రీడల కమిటీ పాఠశాల ఆవరణలో 29మీ. × 16మీ. కొలతలతో ఒక ఖో-ఖో కోర్టును నిర్మించాలని భావించింది. ఇందుకుగాను వారికి 558 చ.మీ. వైశాల్యం గల ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం అందుబాటులో ఉంది. అందువల్ల వారు ఖో-ఖో కోర్టు చుట్టూ ప్రేక్షకుల కొరకు కొంత ఖాళీ స్థలమును కూడా వదలాలని భావించారు. అయితే వదిలే ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు కోర్టు చుట్టూ ఒకే విధంగా వుండేటట్లు వదిలితే దాని వెడల్పు ఎంత వుండాలి ?
సాధన.
శీర్షికలో 5.1 చర్చించిన సమస్యలోని ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు x మీ. అనుకొనిన అది 2x² + 45x – 47 = 0 ను తృప్తిపరిచే ఒక విలువ. కారణాంక పద్ధతిని ఈ సమీకరణంనకు అనువర్తింపచేసిన
2x² – 2x + 47x – 47 = 0
2x (x – 1) + 47 (x – 1) = 0
i.e., (x – 1) (2x + 47) = 0
అనగా x = 1 మరియు x = \(-\frac{47}{2}\), లు 2x² – 2x + 47x – 47 = 0 యొక్క మూలాలు.
అయితే x అనేది ప్రేక్షకుల కొరకు వదిలిన ఖాళీ స్థలము యొక్క వెడల్పు కనుక దీని విలువ ఋణాత్మకం కాజాలదు.
∴ ఖాళీ స్థలం యొక్క వెడల్పు = x = 1 మీ.

ప్రశ్న 7.
వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా వర్గ సమీకరణమును – సాధించే పద్ధతి ద్వారా 5x² – 6x – 2 = 0 ను సాధించుము. (పేజీ నెం. 112)
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణము 5x² – 6x – 2 = 0
⇒ x² – \(\frac{6}{5}\)x – \(\frac{2}{5}\) = 0 (ఇరువైపులా 5 చే భాగించగా)
⇒ x² – 2.\(\frac{1}{2}\) x.\(\frac{6}{5}\) = \(\frac{2}{5}\)
(ఇరువైపులా (3)² ను కలుపగా)
x² – 2.\(\frac{3}{5}\) + (\(\frac{3}{5}\))² = \(\frac{2}{5}\) + (\(\frac{3}{5}\))²
(x – \(\frac{3}{2}\) )² = \(\frac{2}{5}+\frac{9}{25}\)
[∵ a² – 2ab + b² = (a – b)²]
x – \(\frac{3}{5}\) = \(\pm \sqrt{\frac{19}{25}}=\frac{\pm \sqrt{19}}{5}\)

∴ x = \(\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{19}}{5}\) లేదా x = \(\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{19}}{5}\)

x = \(\frac{3+\sqrt{19}}{5}\) లేదా x = \(\frac{3-\sqrt{19}}{5}\)

ప్రశ్న 8.
4x² + 3x + 5 = 0 ను వర్గమును పూర్తి చేయుట ద్వారా సాధించుము.(పేజీ నెం. 112)
సాధన.
4x² + 3x + 5 = 0 (ఇరువైపులా 4 చే భాగించగా)

ఒక వాస్తవ సంఖ్య యొక్క వర్గం ఎల్లప్పుడు ఋణాత్మకం కాదు. కావున x యొక్క ఏ వాస్తవ విలువ పై సమీకరణాన్ని తృప్తి పరచదు. కనుక ఇచ్చిన సమీకరణానికి వాస్తవ మూలాలు లేవు.

ప్రశ్న 9.
అభ్యాసము 5.1 లోని 2(i) వ ప్రశ్నను పై సూత్రమును 1 ఉపయోగించి సాధించుము. (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం యొక్క వెడల్పు ‘x’ మీ.
అనుకొనిన దాని పొడవు = (2x + 1) మీ.
లెక్క ప్రకారం దాని వైశాల్యము 528 చ.మీ.
∴ x(2x + 1) = 528
2x² + x – 528 = 0.
ఇది ax² + bx + c = 0రూపంలో కలదు.
ఇచ్చట a = 2, b = 1, c = – 528.
వర్గ సూత్రం x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2}-4(2)(-528)}}{2.2}\)

= \(\frac{-1 \pm \sqrt{1+4224}}{4}=\frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4}\)

x = \(\frac{-1 \pm 65}{4}\)

∴ x = \(\frac{-1+65}{4}=\frac{64}{4}\) = 16

x = \(\frac{-1-65}{4}=\frac{-66}{4}=\frac{-33}{2}\)

దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క కొలతలు రుణాత్మకం కాదు.
కావున వెడల్పు x = 16 మరియు
పొడవు = 2x + 1
= 2(16) + 1 = 32 + 1 = 33 మీ.

సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 16 × 33 = 528 చ.మీ.

ప్రశ్న 10.
రెండు వరుసధన బేసిసంఖ్యల మొత్తము 290 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
మొదటి బేసి సంఖ్య = ‘x’ అనుకొనిన
రెండవ బేసి సంఖ్య (x + 2)
రెండు వరుస ధన బేసి సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 290.
∴ x² + (x + 2)² = 290
x² + x² + 4x + 4 = 290
2x² + 4x + 4 – 290 = 0
2x² + 4x – 286 = 0
2(x² + 2x – 143) = 0
∴ x² + 2x – 143 = 0 (∵ 2 ≠ 0)
వర్గ సూత్రం ప్రకారం
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(-143)}}{2(1)}\)

= \(\frac{-2 \pm \sqrt{4+572}}{2}\)

= \(\frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2}=\frac{-2 \pm 24}{2}\)

∴ x = \(\frac{-2+24}{2}\) లేదా x = \(\frac{-2-24}{2}\)

x = \(\frac{22}{2}\) = 11 లేదా x = \(-\frac{26}{2}\) = – 13
కాని x ఒక ధన బేసి సంఖ్య. ∴ x = 11
రెండవ బేసి సంఖ్య = x + 2 = 11 + 2 = 13

సరిచూసుకోవడం :
112 + 132 = 121 + 169 = 290.

ప్రశ్న 11.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు తయారుచేయ బడుతుంది. దీని వెడల్పు, పొడవు కంటే 3 మీ. తక్కువ. దీని వైశాల్యము, దీని వెడల్పుకు సమానమైన భూమి మరియు 12 మీ. ఎత్తు గల ఒక సమద్విబహు త్రిభుజ వైశాల్యం కంటే 4 చ.మీ. ఎక్కువ. అయిన దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు యొక్క పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 116)
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు = x మీ. అనుకొనిన
వెడల్పు పొడవు కన్నా 3 మీ . తక్కువ.
వెడల్పు = (x – 3) మీ.”
∴ దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యము = x(x – 3) చ.యూ.
త్రిభుజ భూమి = x – 3; త్రిభుజ ఎత్తు = 12 మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × (x – 3) × 12 = 6 (x – 3)

కాని లెక్క ప్రకారం దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం త్రిభుజ ∴వైశాల్యము కన్నా 4 యూనిట్లు ఎక్కువ.
∴ x(x – 3) = 6 (x – 3) + 4
x² – 3x = 6x – 18 + 4
x² – 3x – 6x + 18 – 4 = 0
x – 9x + 14 = 0
వర్గ సూత్రం నుండి x = \(\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^{2}-4 \cdot(1)(14)}}{2 \cdot(1)}\)

= \(\frac{9 \pm \sqrt{81-56}}{2}\)

x = \(\frac{9 \pm \sqrt{25}}{2}=\frac{9 \pm 5}{2}\)

x = \(\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 లేదా x = \(\frac{9-5}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
పొడవు x = 7 మీ. అయిన వెడల్పు = x – 3 = 7 – 3 = 4 మీ.
పొడవు x = 2 మీ. అయిన వెడల్పు x – 3 = 2 – 3 = – 1 మీ.
ఇది సాధ్యం కాదు కాబట్టి
∴. దీర్ఘ చతురస్ర కొలతలు పొడవు = 7 మీ.
వెడల్పు = 4 మీ.

సరిచూచుట :
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 7 × 4 = 28 చ.మీ.
త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × 4 × 12 = 24 చ.మీ.

ప్రశ్న 12.
క్రింది వర్గ సమీకరణాలకు మూలాలు వుంటే వానిని సూత్రము ద్వారా కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 116)
(i) x² + 4x + 5 = 0
(ii) 2x² – 2√2x + 1 = 0
సాధన.
(i) x² + 4x + 5 = 0,
-ఇక్కడ a = 1, b = 4, c = 5
b² – 4ac = (4)² – 4(1)(5)
= 16 – 20 = – 4 < 0
b² – 4ac < 0 కావున వాస్తవ మూలాలు లేవు.

(ii) 2x² – 2√2 x + 1 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = 2/2 , c = 1.
b² – 4ac = (-2√2)² – 4.2.1 .
= 8 – 8 = 0
b² – 4ac = 0 కావున మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు.
మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-2 \sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)}\)

= \(\frac{2 \sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ మూలాలు \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 13.
క్రింది సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనుము.

(i) x + \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-2}\) = 3, x ≠ 0, 2.
సాధన.
(i) x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = 3
∴ x² + 1 = 3x
x² – 3x + 1 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = – 3, c = 1
b² – 4ac = (- 3)² – 4(1) (1)
= 9 -4 = 5 > 0
మూలాలు వాస్తవాలు.

మూలాలు x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)

∴ మూలాలు \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) మరియు \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

(ii) \(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x-2}\) = 3, x ≠ 0, 2

⇒ \(\frac{(x-2)-x}{x(x-2)}\) = 3

⇒ \(\frac{x-2-x}{x^{2}-2 x}\) = 3

⇒ \(\frac{-2}{x^{2}-2 x}\) = 3
⇒ 3(x² – 2x) = – 2
3x² – 6x + 2 = 0
ఇక్కడ a = 3, b = – 6, c = 2.
b² – 4ac = (- 6)² – 4(3) (2)
= 36 – 24 = 12 > 0
మూలాలు వాస్తవాలు.
x = \(\frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(3)}\)

= \(\frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}=\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}\)
[∵ \(\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=2 \sqrt{3}\)]

= \(\frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{6}\)

= \(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}\)

∴ మూలాలు = \(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\) మరియి \(\frac{3-\sqrt{3}}{3}\).

ప్రశ్న 14.
నిశ్చల నీటిలో ఒక మోటారు బోటు యొక్క వేగము గంటకు 18 కి.మీ. నీటి ప్రవాహమునకు ఎదురుగా 24 కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టే కాలము, తిరిగి బయలుదేరిన స్థానమునకు వచ్చుటకు పట్టే కాలం కంటే 1 గంట ఎక్కువ. అయిన నీటి వేగమెంత ? (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
నిశ్చల నీటిలో బోటు వేగము = 18 కి.మీ./గం.
నీటి ప్రవాహ వేగము = x కి. మీ./గం. అనుకొందాం.
నీటి ప్రవాహానికి ఎదురుగా బోటు వేగం = (18 – x) కి.మీ./గం.
తిరుగు ప్రయాణంలో (ప్రవాహ దిశలో) బోటు వేగం = (18 + x) కి.మీ./గం.
నీటి ప్రవాహానికి ఎదురుగా 24 కి.మీ. పోవుటకు పట్టే కాలం =
తిరుగు ప్రయాణానికి (ప్రవాహ దిశలో) పట్టే కాలం = \(\)
లెక్క ప్రకారం
\(\frac{24}{18-x}=\frac{24}{18+x}+1\)

⇒ \(\frac{24}{18-x}-\frac{24}{18+x}\) = 1

\(\frac{24(18+x)-24(18-x)}{(18-x)(18+x)}\) = 1

24 × 18 + 24x – 24 × 18 + 24x = (18 – x) (18 + x)
48x = 18² – x²
∴ x² + 48x – 324 = 0
ఇక్కడ a = 1, b = 48, c = – 324
b² – 4ac = 48² – 4(1)(- 324)
= 2304 + 1296 = 3600
వర్గ సూత్రం నుండి x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2(1)}\)

= \(\frac{-48 \pm 60}{2}\)

మూలాలు x = \(\frac{-48+60}{2}=\frac{12}{2}\) = 6

x = \(\frac{-48-60}{2}=\frac{-108}{2}\) = – 54
ప్రవాహ వేగం ఋణాత్మకం కాదు కావున x = 6.
∴ నీటి ప్రవాహము యొక్క వేగము = 6 కి.మీ/గం.

ప్రశ్న 15.
2x² – 4x + 3 = 0 యొక్క విచక్షణిని కనుగొని తద్వారా మూలాల స్వభావమును చర్చించుము. (పేజీ నెం. 121)
సాధన.
2x²న – 4x + 3 = 0
ఇక్కడ a = 2, b = – 4, c = 3. విచక్షణి b² – 4ac = (- 4)² – (4 × 2 × 3) .
= 16.- 24 = – 8 < 0.
ఇచ్చిన సమీకరణం వాస్తవ మూలాలను కలిగి వుండదు.

ప్రశ్న 16.
18 సెం.మీ. వ్యాసం గల ఒక వృత్తాకార పార్కు సరిహద్దు మీద ఒక స్తంభమును ఏర్పాటు చేయాలని అనుకున్నారు. పార్కు యొక్క సరిహద్దు మీద ఎదురెదురుగా అనగా ఒక వ్యాసం యొక్క చివరి బిందువుల వద్ద ఏర్పాటు చేయబడిన A మరియు B అనే రెండు గేట్ల నుంచి ఈ స్తంభము వరకూ గల దూరాల భేదము 7 మీ. వుండునట్లు స్తంభమును ఏర్పాటు చేయగలమా ? ఒకవేళ చేయగలిగితే రెండు గేట్ల నుంచి ఈ స్తంభం ఎంత దూరంలో ఉంటుంది ? (పేజీ నెం. 121)
సాధన.
క్రింది పటంలో A మరియు B లు రెండు గేట్లు మరియు ఏర్పాటు చేయవలసిన స్తంభము P అనుకొందాము.

B గేటు నుండి P కి గల దూరం = x మీ అనుకుందాం.
BP = x మీ.
AP = (x + 7) మీ.
[∵ AP, BPల మధ్య భేదము 7 మీ.]
AB = 13 మీ.
(లెక్క ప్రకారం AB వ్యాసం = 13 మీ.)
∆ ABP లో ∠P = 90°. [∵ అర్థ వృత్తంలోని కోణము]
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారము –
AP² + BP² = AB²
(x + 7)² + x²2 = 13²
x² + 14x + 49 + x² = 169
2x² + 14x + 49 + x² – 169 = 0
2x² + 141 – 120 = 0
2(x² +7x – 60) = 0
x² + 7x – 60 = 0 ను తృప్తి పరిచే x విలువ B గేటు నుండి P కు గల దూరం అవుతుంది.
కావున x² + 7x – 60 = 0 కు వాస్తవ మూలాలు. ఉన్నప్పుడే స్తంభం ఏర్పాటు చేయగలము.
∴ విచక్షణి b² – 4ac = 7² – 4 (1) (- 60)
= 49 + 240
= 289 > 0.
వర్గ సమీకరణంకు రెండు విభిన్న వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి. కాబట్టి స్తంభాన్ని ఇచ్చిన షరతులకు అనుగుణంగా ఏర్పాటు చేయగలము.
వర్గ సూత్రం నుంచి x =\(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2(1)}=\frac{-7 \pm 17}{2}\)

∴ x = \(\frac{-7+17}{2}=\frac{10}{2}\) = 5 లేదా

x = \(\frac{-7-17}{2}=\frac{-24}{2}\) = – 12

దూరము రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 5.
∴ B నుంచి స్తంభమునకు దూరం x = 5 మీ.
A నుంచి P స్తంభమునకు దూరం. x + 7 = 5 + 7 = 12 మీ.

ప్రశ్న 17.
3x² – 2x + \(\frac{1}{3}\) = 0 యొక్క విచక్షణిని కనుగొనుము. తద్వారా మూలాల స్వభావమును తెలుపుము. ఒకవేళ మూలాలు వాస్తవ సంఖ్యలైతే వానిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చట a = 3, b = – 2 మరియు c = \(\frac{1}{3}\)
విచక్షణి b² – 4ac = (- 2)² – 4 × 3 × \(\frac{1}{3}\)
= 4 – 4 = 0.
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణంకు రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు వుంటాయి.
అవి \(\frac{-b}{2 a}\), \(\frac{-b}{2 a}\)

⇒ \(\frac{2}{6}\), \(\frac{2}{6}\)

⇒ \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\).