AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Ex 1(b)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1A Textbook Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Solutions Exercise 1(b) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Exercise 1(b)

Question 1.
f(x) = e^x, g(x) = log_ex అయితే fog = gof అని చూపండి. f^-1, g^-1 లు కనుక్కోండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Ex 1(b) I Q1

Question 2.
f(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\), g(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\) అయితే (fog) (y) = y అని చూపండి.
Solution:
f(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\), g(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\)
ఇప్పుడు (fog) (y) = f(g(y))
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Ex 1(b) I Q2
∴ (fog) (y) = y

Question 3.
f : R → R, g : R → R లను f(x) = 2x² + 3, g(x) = 3x – 2 గా నిర్వచిస్తే
(i) (fog)(x)
(ii) (gof) (x)
(iii) fof (0)
(iv) go(fof) (3) లు కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g : R → R
f(x) = 2x² + 3; g(x) = 3x – 2
(i) (fog) (x) = f(g(x))
= f(3x – 2), [∵ g(x) = 3x – 2]
= 2(3x – 2)² + 3, [∵ f(x) = 2x² + 3]
= 2(9x² – 12x + 4) + 3
= 18x² – 24x + 8 + 3
= 18x² – 24x + 11
(ii) (gof) (x) = g(f(x))
= g(2x² + 3), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= 3(2x² + 3) – 2, [∵ g(x) = 3x – 2
= 6x² + 9 – 2
= 6x² + 7
(iii) (fof) (0) = f(f(0))
= f(2(0) + 3), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= f(3)
= 2(3)² + 3
= 18 + 3
= 21
(iv) go(fof) (3) = go(f (f(3)))
= go(f(2 × 3² + 3)), [∵ f(x) = 2x² + 3]
= go(f(21))
= g(f(21))
= g(2 × 21² + 3)
= g(885)
= 3(885) – 2, [∵ g(x) = 3x – 2]
= 2653

Question 4.
f : R → R, g : R → R లను f(x) = 3x – 1, g(x) = x² + 1 లుగా నిర్వచిస్తే
(i) (fof) (x² + 1)
(ii) fog (2)
(iii) gof (2a – 3) లు కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g: R → R
f(x) = 3x – 1; g(x) = x² + 1
(i) (fof) (x² + 1) = f(f(x² + 1))
f[3(x² + 1) – 1], [∵ f(x) = 3x – 1]
= f(3x² + 2)
= 3(3x² + 2) – 1
= 9x² + 5
(ii) (fog) (2) [Mar. ’13; May ’13]
= f(g(2))
= f(2² + 1), [∵ g(x) = x² + 1]
= f(5)
= 3(5) – 1, [∵ f(x) = 3x – 1]
= 14
(iii) (gof) (2a – 3)
= g(f(2a – 3))
= g[3(2a – 3) – 1], [∵ f(x) = 3x – 1]
= g(6a – 10)
= (6a – 10)² + 1, [∵ g(x) = x² + 1]
= 36a² – 120a + 100 + 1
= 36a² – 120a + 101

Question 5.
f(x) = \(\frac{1}{x}\), g(x) = √x అయితే x ∈ (0, ∞) కు (gof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = \(\frac{1}{x}\), g(x) = √x, ∀ x ∈ (0, ∞)
(gof) (x) = g(f(x))
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Ex 1(b) I Q5

Question 6.
f(x) = 2x – 1, g(x) = \(\frac{x+1}{2}\), ∀ x ∈ R అయితే (gof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2x – 1, g(x) = \(\frac{x+1}{2}\), ∀ x ∈ R
(gof) (x) = g(f(x))
= g(2x – 1), [∵ f(x) = 2x – 1]
= \(\frac{(2 x-1)+1}{2}\), [∵ g(x) = \(\frac{x+1}{1}\)]
= x
∴ (gof) (x) = x

Question 7.
f(x) = 2, g(x) = x², h(x) = 2x ∀ x ∈ R, అయితే ((fo(goh)) (x)) ను కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2, g(x) = x², h(x) = 2x, ∀ x ∈ R
[fo(goh) (x)] = [fog(h(x))]
= fog(2x), [∵ h(x) = 2x]
= f[g(2x)]
= f((2x)²), [∵ g(x) = x²]
= f(4x²), [∵ f(x) = 2]
= 2
∴ [fo(goh) (x)] = 2

Question 8.
కింది ప్రమేయాల విలోమాలు కనుక్కోండి.
(i) a, b ∈ R, f : R → R ని f(x) = ax + b (a ≠ 0) గా నిర్వచిస్తే. [Mar. ’13]
Solution:
a, b ∈ R, f : R → R మరియు
f(x) = ax + b, a ≠ 0
y = f(x) = ax + b అనుకోండి
⇒ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = ax + b
⇒ x = \(\frac{y-b}{a}\) ……(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = \(\frac{y-b}{a}\)
⇒ f^-1(x) = \(\frac{x-b}{a}\)

(ii) f : R → (0, ∞) ని f(x) = 5^x గా నిర్వచిస్తే. [(A.P) Mar. ’15, ’11]
Solution:
f : R → (0, ∞), f(x) = 5^x
y = f(x) = 5^x అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = 5^x
⇒ log5(y) = x ……..(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f-1(y) = log₅(y)
⇒ f^-1(x) = log₂(x) అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …..(i)
y = log₂(x)
⇒ x = 2^y ……..(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = log₅(y)
⇒ f^-1(x) = log₅(x)

(iii) f : (0, ∞) → R ని f(x) = log₂x గా నిర్వచిస్తే.
Solution:
f : (0, ∞) → R, f(x) = log₂(x)
y = f(x) = log₂(x) అనుకోండి.
y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) …….(i)
y = log₂x
⇒ x = 2^y ………(ii)
(i), (ii) ల నుండి
f^-1(y) = 2^y
⇒ f^-1(x) = 2^x

Question 9.
f(x) = 1 + x + x² + …….. |x| < 1 అయితే f^-1(x) = \(\frac{x-1}{x}\) అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Ex 1(b) I Q9

Question 10.
f : [1, ∞) → [1, ∞), f(x) = 2^x(x-1) గా నిర్వచిస్తే f-1(x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = 2^x(x-1)
f(x) = y
⇒ x = f^-1(x)
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Ex 1(b) I Q10

II.

Question 1.
f(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\)‚ x ≠ ±1, అయితే (fof^-1)(x) = x అని చూపండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Ex 1(b) II Q1

Question 2.
A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ}, C = {p, q, r} అయితే f : A → B, g : B → C లను f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}, g = {(α, q), (β, r), (y, γ)} లుగా నిర్వచిస్తే, f, g లు ద్విగుణ ప్రమేయాలు అని, (gof)^-1 = f^-1og^-1 అని చూపండి.
Solution:
A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ},
f : A → B, f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}
⇒ f(1) = α, f(2) = γ, f(3) = β
∵ A లో ఉన్న విభిన్న మూలకాలకు B లో విభిన్న f-ప్రతిబింబాలున్నవి. కనుక f : A → B అన్వేక ప్రమేయం
f వ్యాప్తి = {α, γ, β} = B (సహప్రదేశం)
కనుక f : A → B సంగ్రస్తం
∴ f : A → B ద్విగుణ ప్రమేయం
B = {α, β, γ}, C = {p, q, r), g : B→ C
g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}
⇒ g(α) = q, g(β) = r, g(γ) = p
∴ B లో ఉన్న విభిన్న మూలకాలకు C లో విభిన్న మూలకాలు g-ప్రతిబింబంగా ఉన్నది.
కనుక g : B → C అన్వేక ప్రమేయం.
g వ్యాప్తి g = g(B) = {p, q, r} = C
కనుక g : B → C సంగ్రస్తం
∴ g : B → C ద్విగుణ ప్రమేయం
ఇప్పుడు f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}
g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}
∴ gof = {(1, q), (2, p), (3, r)}
∴ (gof)^-1 = {(q, 1), (p, 2), (r, 3)} ……..(1)
g^-1 = {(q, α), (r, β), (p, γ)}
f^-1 = {(α, 1), (γ, 2), (β, 3)}
f^-1og^-1 = {(q, 1), (r, 3), (p, 2)} ……..(2)
(1), (2) ల నుండి
∴ (gof)^-1 = f^-1og^-1

Question 3.
f : R → R, g : R → R, f(x) = 3x – 2, g(x) = x² + 1 గా నిర్వచిస్తే
(i) (gof^-1)(2), (ii) (gof)(x – 1) లను కనుక్కోండి. [Mar. ’08; May ’06]
Solution:
f : R → R, g : R → R and f(x) = 3x – 2
f ద్విగుణ ప్రమేయం ⇒ విలోమం వ్యవస్థితం
y = f(x) = 3x – 2 అనుకోండి.
∵ y = f(x)
⇒ x = f^-1(y) ……..(i)
y = 3x – 2
⇒ x = \(\frac{y+2}{3}\) ………(ii)
(i), (ii) ల నుండి
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Ex 1(b) II Q3

(ii) (gof) (x – 1)
Solution:
(gof) (x – 1) = g(f(x – 1))
= g(3(x – 1) – 2), [∵ f(x) = 3x – 2]
= g(3x – 5)
= (3x – 5)² + 1, [∵ g(x) = x² + 1]
= 9x² – 30x + 26
∴ (gof) (x – 1) = 9x² – 30x + 26.

Question 4.
f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)}, g-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)} అయితే (gof)^-1 = f^-1og^-1 అని చూపండి. [(T.S) Mar. ’15]
Solution:
f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)}
∴ f^-1 = {(a, 1), (c, 2), (d, 4), (b, 3)}
g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}
∴ g = {(a, 2), (b, 4), (c, 1), (d, 3)}
(gof) = {(1, 2), (2, 1), (4, 3), (3, 4)}
∴ (gof)^-1 = {(2, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} …….(1)
f^-1og^-1 = {(2, 1), (4, 3), (1, 2), (3, 4)} ………(2)
(1), (2) ల నుండి (gof)^-1 = f^-1og^-1.

Question 5.
f : R → R, g: R → R లను f(x) = 2x – 3, g(x) = x³ + 5 అయితే (fog)^-1(x) కనుక్కోండి.
Solution:
f : R → R, g : R → R, f(x) = 2x – 3, g(x) = x³ + 5
ఇప్పుడు (fog) (x) = f(g(x))
= f(x³ + 5) [∵ g(x) = x³ + 5]
= 2(x³ + 5) – 3, [∵ f(x) = 2x – 3]
f(x) = 2x³ + 7
∴ (fog) (x) = 2x³ + 7
y = (fog) (x) = 2x³ + 7
y = fog(x) = 2x³ + 7
⇒ x = (fog)^-1 (y) ……..(1)
⇒ y = 2x³ + 7
⇒ \(\frac{y-7}{2}\) = x³
⇒ x = \(\left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\) …….(2)
(1), (2) ల నుండి
(fog)^-1 (y) = \(\left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)
(fog)^-1(x) = \(\left(\frac{x-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)

Question 6.
f(x) = x², g(x) = 2^x అయితే (fog) (x) = (gof) (x) సమీకరణం సాధించండి.
Solution:
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Ex 1(b) II Q6

Question 7.
f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\), (x ≠ ±1) అయితే, (fofofof) (x) కనుక్కోండి.
Solution:
f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\), (x ≠ ±1)
(i) (fofof) (x) = (fof) [f(x)]
AP Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 1 ప్రమేయాలు Ex 1(b) II Q7
(ii) (fofofof) (x)