AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Ex 10(f)

Practicing the Intermediate 1st Year Maths 1B Textbook Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(f) will help students to clear their doubts quickly.

AP Inter 1st Year Maths 1B Solutions Chapter 10 అవకలజాల అనువర్తనాలు Exercise 10(f)

అభ్యాసం – 10 (ఎఫ్)

I.

1. క్రింది ప్రమేయాలకు రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి.

i) x² – 1; [–1, 1] పై [Mar. ’14, May ’13]
సాధన:
f(x) = x² – 1
f ప్రమేయం [-1, 1] పై అవిచ్ఛిన్నం, కనుక
f(-1) = f(1) = 0 మరియు
[-1, 1] లో f అవకలనీయం
∴ రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం c ∈ (-1, 1) అయ్యేటట్లు f'(c) = 0.
f(x) = 2x = 0
∴ = f'(c) = 0
2c = 0
c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1)
కాబట్టి రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూసినట్లే.

ii) sin x – sin 2x; [0, π] పై
సాధన:
f(x) = sin x – sin x
f ప్రమేయం [0, π] పై అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(0) = f(π) = 0 మరియు
లో f అవకలనీయం [0, π]
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం C ∈(0, π)
f'(c) = 0
f'(x) = cos x – 2 cos 2x
f'(c) = 0 ⇒ cosc – 2 cos 2c = 0
⇒ cos c – 2(2cos²c – 1) = 0
⇒ cosc – 4 cos²c + 2 = 0
4 cos²c – cos c – 2 = 0
cos c = \(\frac{1 \pm \sqrt{1+32}}{8}\) = \(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\)
∴ c = cos^-1 \(\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)\)

iii) log (x² + 2) – log 3, [-1, 1] పై [A.P Mar. 15]
సాధన:
f(x) = log (x + 2) – log 3
f ప్రమేయంపై [-1, 1] పై అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(-1) = f(1) = 0 మరియు f[-1, 1] లో f అవకలనం
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం c ∈ (-1, 1)
∴ f'(c) = 0
f'(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\)(2x)
f'(c) = \(\frac{2 c}{c^2+2}\) = 0
2c = 0
c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1).

ప్రశ్న 2.
f(x) = x² + bx² + ax ప్రమేయానికి [1, 3] పై రోల్ సిద్ధాంతం ధ్రువపడుతుంది. c = 2t + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) అయితే a, b ల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినవి f(x) = x³ + bx² + ax
f'(x) = 3x² + 2bx + a
∴ f'(x) = 0 ⇔ 3c² + 2bc + a = 0

ప్రశ్న 3.
x² – 3x + k = 0 సమీకరణానికి [0, 1] లో రెండు విభిన్న మూలాలు ఉండేటట్లుగా, k అనే వాస్తవ సంఖ్య ఉండదని చూపండి.
సాధన:
f(0) = f(c)
0 – 0 + k = 1 – 3 + k
0 = -2
ఇది సాధ్యపడదు, కనుక X అనే వాస్తవ సంఖ్య.

ప్రశ్న 4.
y = (x – 3)² వక్రంపై (3, 0), (4, 1) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యాకు, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుకోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు (3, 0) and (4, 1)
జ్యావాలు = \(\frac{1-0}{4-3}\) = 1
y = (x – 3)²
\(\frac{d y}{d x}\) = 2(x – 3)
⇒ వాలు = 2(x – 3)
1 = 2(x – 3)
\(\frac{1}{2}\) = x – 3
x = \(\frac{1}{2}\) + 3 = \(\frac{7}{2}\)
y = (x – 3)² = (\(\frac{7}{2}\) – 3) = \(\frac{1}{4}\)
వక్రంపై బిందువు (\(\frac{7}{2}\), \(\frac{1}{4}\))

ప్రశ్న 5.
y = x³ వక్రంపై (1, 1), (3, 27) లు రెండు బిందువులు. ఈ బిందువులను కలిపే జ్యా, వక్రంపై ఏ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన బిందువులు (1, 1) and (3, 27)
జ్యా వాలు = \(\frac{27-1}{3-1}\) = 13
y = x³

ప్రశ్న 6.
క్రింది సందర్భాలలో f‘(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ఉండే ‘C’ ని కనుక్కోండి.

i) f(x) = x² – 3x – 1, a = \(\frac{-11}{7}\), b = \(\frac{13}{7}\)
సాధన:

ii) f(x) = e^x; a = 0, b = 1
సాధన:
f(b) = f(1) = e’ = e
f(a) = f(0) = e° = 1
Given f(x) = e^x
f'(x) = e^x
f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
e^c = \(\frac{e-1}{1-0}\) a^x = N
e^c = e – 1 ⇔ \(\log _a^N\) = x
⇒ \(\log _{\mathrm{e}}^{(\mathrm{e}-1)}\) = c

ప్రశ్న 7.
(x² – 1) (x – 2) ప్రమేయానికి [−1, 2] పై రోల్ సిద్ధాంతం సరిచూడండి. అంతరంలో ఏ బిందువు వద్ద అవకలజం సున్న అవుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = (x² – 1) (x – 2) = x³ – 2x² – x + 2
f ప్రమేయం [−1, 2] లో అవిచ్ఛిన్నం
కనుక f(-1) = f(2) = 0 మరియు f
[−1, 2] లో f అవకలనం
రోల్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ∃ C ∈ (−1, 2)
f'(c) = 0
f'(x) = 3x² – 4x – 1
f'(c) = 0
3c² – 4c – 1 = 0
c = \(\frac{4 \pm \sqrt{16+12}}{6}\)
c = \(\frac{4 \pm \sqrt{28}}{6}\)
c = \(\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}\)

ప్రశ్న 8.
కింది ప్రమేయాలకు వాటి పక్క సూచించిన సంవృతాంతరాలపై లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం సరిచూడండి. ప్రతి సందర్భంలో, సిద్ధాంతంలో ఉన్న విధంగా బిందువు ‘C’ ని కనుక్కోండి.

i) x² – 1 on [2, 3]
సాధన:
f(x) = x² – 1
f ప్రమేయం [2, 3] లో
అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
కనుక f(x) = x² – 1
f'(x) = 2x
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం
C ∈(2, 3)
f'(c) = \(\frac{f(3)-f(2)}{3-2}\)
2c = \(\frac{8-3}{1}\)
2c = 5
c = \(\frac{5}{2}\)
c = \(\frac{5}{2}\) ∈ (2, 3)

ii) sin x – sin 2x, పై [0, π]
సాధన:
f(x) = sin x – sin 2x
f ప్రమేయం [0, π] లో అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
f(x) = sin x – sin 2x
f(x) = cos x – 2 cos 2x
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతం ప్రకారం C ∈ (0, π)
f(c) = \(\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi-0}\)
cosc – 2 cos 2c = 0
cosc – 2(2cos² – 1) = 0
cosc – 4 cos²c + 2 = 0
4 cos²c – cos c – 2 = 0
cos c = \(\frac{1 \pm \sqrt{1+32}}{8}\) = \(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\)
c = cos^-1\(\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)\)

iii) log x on [1, 2].
సాధన:
f(x) = log x
f ప్రమేయం [1, 2] లో
అవిచ్ఛిన్నం మరియు f అవకలనీయం
కనుక f(x) = log x
f(x) = \(\frac{1}{x}\)
లెగ్రాంజ్ మధ్యమ సిద్ధాంతం ప్రకారం
c ∈(1, 2) such that
f'(c) = \(\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\)
\(\frac{1}{c}\) = \(\frac{\log 2-\log 1}{1}\)
\(\frac{1}{c}\) = \(\frac{\log 2-\log 1}{1}\)
\(\frac{1}{c}\) = log 2
c = \(\frac{1}{\log _e^2}\) = \(\log _2^e \text {. }\)